ejercicios - Joseph Montecino

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1. Una familia va a comprar un apartamento en un nuevo sector residencial de la ciudad. El vendedor ofrece varias
alternativas: casas o apartamentos. Una vez elegido, se ofrecen tres posibilidades de parqueadero: subterráneo, en
el primer piso o sin parqueadero. Finalmente, se ofrecen tres alternativas de pago: de contado, financiado o como
permutación. ¿De cuántas formas puede escoger la familia su próxima vivienda?
2. ¿De cuántas formas distintas se puede construir un número de dos cifras que sea par?
3. Se aplica una prueba de siete preguntas a un aspiran- te a ingresar a un curso de matemáticas. Cada pregunta tiene
dos opciones de respuesta K: Verdadero o N: Falso.
a) Si el estudiante responde la prueba al azar construir un diagrama de árbol para determinar el número de
posibilidades distintas para responderla.
b) Si el profesor responsable de la prueba verifica que la segunda pregunta está mal redactada y decide anularla,
¿de cuántas formas distintas se puede contestar la prueba?
c) Si el estudiante sabe las respuestas de las tres primeras preguntas y las demás las responde usan- do una
moneda para seleccionar la respuesta, ¿de cuántas formas distintas podrá responder el examen?
4. Los cuatro finalistas de un torneo internacional de golf son España, Estados Unidos, Sudáfrica y Australia. Cada país
está representado por un solo jugador.
a) ¿De cuántas formas distintas es posible que finalice el torneo?
b) Si el torneo premia a los dos primeros lugares, ¿de cuántas formas distintas se pueden otorgar estos premios?
c) Si se decide premiar a los tres primeros jugadores y se sabe que el torneo lo ganó Estados Unidos, ¿de cuántas
formas se pueden otorgar los otros dos premios?
d) Si se sabe que Estados Unidos ganó el torneo y Suráfrica terminó segundo, ¿de cuántas formas distintas se
puede otorgar el tercer premio?
5. Un empleado de un café Internet recibe tres nuevos equipos para instalarlos en el local. Cuenta con tres espacios
disponibles para ubicarlos y tiene tres cámaras web disponibles para instalarle a cada equipo.
a) ¿De cuántas formas distintas puede el empleado instalar los equipos?
b) Si el proveedor instala el primer equipo, ¿de cuántas formas distintas puede el empleado instalar los dos equi-
pos restantes?
6. Una fábrica de calzado decide lanzar al mercado los últimos guayos deportivos. Inicialmente lo ofrece en cuatro
tamaños distintos. Cada tamaño se fabrica en tres colores distintos. Y finalmente, cada par de guayos se ofrece en
dos tipos de empaque distintos.
a) Construir un diagrama de árbol para el número de guayos distintos que puede la fábrica a un almacén.
b) Si se agota uno de los colores, ¿cuántos pares distintos de guayos se pueden ofrecer al mercado?
Solución con GPT
1. Solución: Podemos utilizar el principio multiplicativo para resolver este problema. Primero, tenemos dos opciones
para elegir el tipo de vivienda: casa o apartamento. Luego, tenemos tres opciones para elegir el tipo de parqueadero:
subterráneo, en el primer piso o sin parqueadero. Finalmente, tenemos tres opciones para elegir el tipo de pago: de
contado, financiado o como permutación. Entonces, el número total de formas en que la familia puede escoger su
próxima vivienda es:
2×3×3 = 18
Por lo tanto, la familia puede escoger su próxima vivienda de 18 formas diferentes.
2. Para resolver este problema, podemos utilizar el principio de conteo.
Primero, tenemos que elegir la primera cifra. Sabemos que la cifra tiene que ser par, por lo que hay 5 posibilidades:
2, 4, 6, 8 o 0.
Luego, tenemos que elegir la segunda cifra. Sabemos que la cifra tiene que ser cualquiera de las 10 posibles: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Por lo tanto, el número total de formas distintas en que se puede construir un número de dos cifras que sea par es:
5×10 = 50
Entonces, hay 50 formas distintas de construir un número de dos cifras que sea par.
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3. Si el estudiante responde la prueba al azar, podemos construir un diagrama de árbol para determinar el número
de posibilidades distintas para responderla. En cada nivel del árbol, el estudiante tiene dos opciones: responder
Verdadero o responder Falso. Como hay siete preguntas, el árbol tendrá siete niveles. En el nivel más bajo del árbol,
se pueden contar todas las hojas del árbol para obtener el número total de posibilidades distintas para responder la
prueba:
27 = 128
Por lo tanto, hay 128 posibilidades distintas para responder la prueba al azar.
4. Si el profesor decide anular la segunda pregunta, entonces la prueba tendrá seis preguntas en lugar de siete. Como
cada pregunta tiene dos opciones de respuesta, el número de posibilidades distintas para responder la prueba será:
26 = 64
Por lo tanto, hay 64 formas distintas de contestar la prueba si la segunda pregunta es anulada.
5. Si el estudiante sabe las respuestas de las tres primeras preguntas y las demás las responde usando una moneda
para seleccionar la respuesta, podemos contar las posibilidades para las cuatro últimas preguntas. Como cada una
tiene dos opciones de respuesta, el número de posibilidades distintas para responder las cuatro últimas preguntas
será:
24 = 16
6. Hay cuatro posibles ganadores en el torneo, y cada uno puede quedar en uno de los cuatro lugares. Por lo tanto, el
número total de formas distintas en que puede finalizar el torneo es:
4×3×2×1 = 24
Hay 24 formas distintas en que puede finalizar el torneo.
7. Para otorgar los dos primeros lugares, hay cuatro posibles ganadores para el primer lugar y tres posibles ganadores
para el segundo lugar (ya que no puede ganar el mismo país dos veces). Por lo tanto, el número total de formas
distintas en que se pueden otorgar los dos primeros premios es:
4×3 = 12
Hay 12 formas distintas en que se pueden otorgar los dos primeros premios.
8. Si se decide premiar a los tres primeros jugadores y se sabe que Estados Unidos ganó el torneo, entonces hay tres
posibles jugadores que pueden quedar en segundo lugar y dos posibles jugadores que pueden quedar en tercer
lugar. Por lo tanto, el número total de formas distintas en que se pueden otorgar los tres premios es:
1×3×2 = 6
Hay 6 formas distintas en que se pueden otorgar los tres premios.
9. Si se sabe que Estados Unidos ganó el torneo y Sudáfrica terminó segundo, entonces solo quedan dos posibles países
que pueden recibir el tercer premio: España y Australia. Por lo tanto, el número total de formas distintas en que se
puede otorgar el tercer premio es:
2
Hay 2 formas distintas en que se puede otorgar el tercer premio.
10. Para instalar los tres equipos en los tres espacios disponibles, podemos pensar que el primer equipo se puede ins-
talar en cualquiera de los tres espacios, el segundo en cualquiera de los dos espacios restantes y el tercero en el
espacio que queda. Entonces, el número total de formas de instalar los equipos es:
3 ·2 ·1 = 6
Por lo tanto, hay 6 formas distintas de instalar los equipos.
11. Si el proveedor instala el primer equipo, quedan dos equipos y tres espacios disponibles. El segundo equipo puede
ser instalado en cualquiera de los dos espacios restantes y el tercer equipo en el espacio que queda. Entonces, el
número total de formas de instalar los equipos es:
2 ·1 = 2
Por lo tanto, hay 2 formas distintas de instalar los dos equipos restantes si el proveedor instala el primer equipo.
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a) Diagrama de árbol para el número de guayos distintos que puede la fábrica a un almacén:
Guayos
(4 tamaños)
Guayos
(3 colores)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(3 colores)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(3 colores)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(3 colores)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Guayos
(2 tipos de empaque)
Empaque 1
Empaque 2
Empaque 1
Empaque 2
Por lo tanto, el número de guayos distintos que puede ofrecer la fábrica es:
4×3×2×2×3 = 144
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b)Si se agota uno de los colores, el número de guayos distintos que se pueden ofrecer al mercado se reduce a:
4×2×2×2×2 = 64
Ya que quedan 4 tamaños, 2 colores, 2 tipos de empaque y cada par de guayos se ofrece en 2 tipos de empaque.