Cálculo de funciones vectoriales - Limites y continuidad - Apuntes de Ingeniería Civil

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Cálculo de funciones vectoriales
LIMITES, COTINUIDAD, DERIVADAS E INTEGRALES
Al ser componentes de las funciones vectoriales, los
conceptos fundamentales del cálculo, tales como el limite,
la derivada y la integración de estas funciones se definen
de forma semejante a los que se hace para funciones
escalares. Todo se reduce a aplicar dichos conceptos a
cada uno de las funciones componentes.
LIMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL:
Sea Ԧ𝑓(𝑡) una función vectorial definida en cierto intervalo
abierto que contiene al punto de acumulación 𝑡0, excepto
tal vez en 𝑡0 mismo, se dice que el vector 𝑏 es el límite de
Ԧ𝑓(𝑡) cuando 𝑡 se acerca a 𝑡0 y se expresa como lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓(𝑡) =𝑏
sí y solo sí para cada número real 𝜀 > 0, exista un número 𝛿 > 0 tal que Ԧ𝑓(𝑡) − 𝑏 < 𝜀 siempre que 0 < 𝑡 − 𝑡0 < 𝛿; 𝑡 ∈ 𝐷 Ԧ𝑓.lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓(𝑡) =𝑏 ⇔ ∀𝜀 > 0 , ∃ 𝛿 > 0/ 0 < 𝑡 − 𝑡0 < 𝛿 ⇒ Ԧ𝑓(𝑡) −𝑏 < 𝜀
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1:Usando definición de límite, demostrar que:lim𝑡→2 Ԧ𝑓(𝑡) = (6, 4) ; donde Ԧ𝑓(𝑡) = (3𝑡, 𝑡2).𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ____________________________________________________________
Sea Ԧ𝑓(𝑡): 𝐼 ⟶ 𝑅𝑛 una función vectorial definida por:Ԧ𝑓(𝑡) = (𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡), 𝑓3(𝑡), …,𝑓𝑛(𝑡)) ; ∀ 𝑡 ∈ 𝐼
Se dice que el vector Ԧ𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛) es el límite deԦ𝑓(𝑡) cuando 𝑡 se aproxima a 𝑡0, esto eslim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓(𝑡) = lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓1(𝑡) , lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓2(𝑡) , … , lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓𝑛(𝑡) = Ԧ𝑐
Siempre y cuando lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓𝑖(𝑡) = Ԧ𝑐𝑖 ; 𝑖 = 1,2, 3,… , 𝑛 existen.
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 2: Hallar lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓(𝑡), si existe, en cada caso de las
siguientes funciones:
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Sea Ԧ𝑓(𝑡) una función vectorial y sea 𝑡0 un punto de
acumulación del dominio de Ԧ𝑓(𝑡) . Se dice que Ԧ𝑓(𝑡) es
continua en 𝑡0 si se cumple las siguientes condiciones:
1) Ԧ𝑓(𝑡) Existe 2) lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓(𝑡) Existe 3) Ԧ𝑓(𝑡) = lim𝑡→𝑡0 Ԧ𝑓(𝑡)
Si al menos una de estas condiciones no se cumple se
dice que la función es discontinua (no continua) en 𝑡0.
Además implica a su vez que si la función vectorial:Ԧ𝑓(𝑡) = (𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, …, 𝑓𝑛) ; 𝑡0 ∈ 𝐷 Ԧ𝑓⇒ Ԧ𝑓(𝑡) es continua en 𝑡0 sí y solo sí 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛
son continuas en 𝑡0 .
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: Analizar la continuidad de las siguientes
funciones en el punto 𝑡0 ; donde: