Semana 11 sesión 2 (1) - Eliane Melanie Lopez Atencia

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Volumen de un sólido de revolución
¿Qué sucedería si deseamos calcular un volumen de una sólido generado al rotar una región encerrada entre dos curvas continuas, alrededor del eje X?. 
Si el sólido de revolución es generado por la rotación alrededor del eje X de la región encerrada entre dos curvas continuas y desde hasta donde para todo . Entonces la sección plana transversal es una corona circular (o anillo), de modo que el volumen del sólido generado está dado por la fórmula:
II. Método del anillo
a) Calcule el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región determinada por la curva y la recta .
Solución: 
Igualamos las funciones: de donde 
Por la gráfica podemos deducir que el área encerrada es el doble del área desde x=0 a x=1. Por lo tanto, podemos escribir:
El proceso del sólido obtenido se verán en las siguientes gráficas:
¿Qué sucedería si deseamos calcular un volumen de una sólido generado al rotar una región encerrada entre dos curvas continuas, alrededor de una recta paralela a los ejes?. 
Si el sólido de revolución es generado por la rotación alrededor de la recta de la región encerrada entre dos curvas continuas y desde hasta donde para todo , o para todo , entonces la sección plana transversal es una corona circular (o anillo), de modo que el volumen del sólido generado está dado por la fórmula:
b) Halle el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta la región comprendida entre las curvas y 
 Solución: 
 Igualamos las funciones: de donde o . 
 Como la región rotará alrededor de entonces . Así:
El proceso del sólido obtenido se verán en las siguientes gráficas:
 
Manos a la obra
Resuelva los siguientes ejercicios propuestos:
1) Halle el volumen generado por la rotación de la región encerrada por las siguientes gráficas, alrededor del eje X:
a) , 
b) , 
c) , , 
d) , 
2) Halle el volumen del sólido de revolución que resulta al girar alrededor del eje Y la región limitada por las funciones y 
3) Halle el volumen del sólido de revolución que resulta al girar alrededor del eje Y la región limitada por las funciones y 
4) Encuentre el volumen cuando el área plana encerrada por y gira alrededor de 
5) Calcule el volumen del sólido que genera la circunferencia al girar alrededor del eje X.
6) Dada la región plana E en el primer cuadrante imitada por ,,.Halle el volumen generado si se rota E alrededor del eje Y.
7) La región entre las curvas y se gira alrededor del eje . Halle el volumen del sólido de revolución formado.