Semana 11 sesión 1 (1) - Eliane Melanie Lopez Atencia

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Volumen de un sólido de revolución
Considere el siguiente sólido S
S
a
b
xi-1
xi
con su correspondiente sección transversal plana de Área . Si calculamos el volumen de la siguiente figura y consideramos la formación de n “cilindros” tendríamos que:
	
Siendo ésta una Suma de Riemann y haciendo tender la longitud de cada intervalo de la partición del intervalo a cero, es decir, más y más pequeño, obtenemos el valor exacto del volumen del sólido como la integral siguiente 
I. Método del Disco
Cuando se genera un sólido de revolución rotando alrededor del eje X una región plana E ubicada bajo la gráfica de una función NO NEGATIVA con sobre el eje X, desde hasta , como en la siguiente figura:
f
X
a
Y
y=f(x)
A(x)
b
x
f
Y
X
f(x)
E
a
b
x
Entonces las secciones planas transversales resultan ser DISCOS de radio , las que tienen área de sección igual a , para de modo que el Volumen del Sólido de Revolución generado está dado por la fórmula:
Ejemplos resueltos
a) Calcule el volumen V del sólido de revolución generado al rotar el área ubicada debajo de la gráfica de la curva , encima del eje X y limitada por las rectas y alrededor del eje X.
Solución:
El proceso del sólido obtenido se verán en las siguientes gráficas:
¿Qué sucedería si deseamos calcular un volumen de una sólido generado al rotar una región alrededor del eje Y?. Escriba la fórmula apropiada:
b) Calcule el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva , la recta , el eje de las ordenadas que giran alrededor del eje Y.
Solución:
El proceso del sólido obtenido se verán en las siguientes gráficas:
Manos a la obra
Resuelve los siguientes ejercicios propuestos:
1) Halle el volumen generado por la rotación de la región encerrada por la siguientes gráficas, alrededor del eje X:
a) Debajo de la curva y sobre el Eje X.
b) , , y el Eje X
c) ; la recta ; 
2) Halle el volumen generado por la rotación de la región encerrada por la siguientes gráficas, alrededor del eje Y:
a) , las rectas , para 
b) , las rectas y el Eje Y
c) , , la recta 
 
a 
 
a 
 
a 
 
a