CLASE 2 - RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN MATEMÁTICA 
Para Profesores en Matemáticas 
FRENTE INDEPENDIENTE UNIDAD DOCENTE 
2022 
 
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TRAMO II 
 
Clase 2: Perspectiva para la enseñanza matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción 
 
En la Clase 2 abordaremos una mirada sobre la forma de interpretar la actividad de alumnos 
y docentes en el aula de Matemática: la comunidad matemática en el aula. Desarrollaremos 
sintéticamente algunos de los fundamentos teóricos en lo que se sostiene esta perspectiva, 
para finalizar con la presentación del Modelo Aproximativo propuesto por Ronald Charnay, en 
base a la tipología de las situaciones de la Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy 
Brousseau, como herramienta para la reflexión de las condiciones que posibilitan la 
producción, comunicación y validación del conocimiento matemático en juego en la clase de 
Matemática. 
Esta Clase 2 dispone de 2 partes. Deseamos que la lectura les resulte amena y 
enriquecedora. 
 
PARTE 1 
Una comunidad matemática en el aula 
 
No entraremos aquí en la discusión si la Matemática se inventa o se descubre, cuestión que, 
por otra parte, ha dividido a filósofos, científicos e incluso a matemáticos de todos los 
tiempos. Sí podemos asegurar, sin miedo a equivocarnos, que el que la inventa o la descubre 
es el ser humano. La Matemática es, entonces, una actividad humana. 
 
 
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Por otra parte, como sostiene Ronald Charnay (1997) la Matemática se ha construido y se 
construye gracias a problemas de los más diversos orígenes. 
 
De más está decir que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón 
mismo de la elaboración de la ciencia Matemática. “¡Hacer matemática es resolver 
problemas!”, no temen afirmar algunos. (…). Resta decir que son los problemas que les han 
dado origen (y los que ha planteado a continuación) los que han dado sentido a las 
matemáticas producidas. Esta es, tal vez, la principal lección que tener en cuenta en la 
enseñanza. (pp. 51-52) 
 
Coincidiendo con esta postura, varias corrientes dentro de la Educación Matemática afirman 
que hacer Matemática en la escuela es propiciar un ambiente de resolución de problemas; 
hacer que cada uno de nuestros alumnos, en la medida de sus posibilidades y 
potencialidades, (re)cree o (re)descubra la Matemática. Y como lo señala Jorge Steiman 
(2005), hacer del aula una comunidad matemática. 
 
¿Por qué una comunidad matemática? 
 
- Porque la matemática tendrá un sentido para cada uno de los miembros de la comunidad y 
ese sentido puede valer la pena compartirlo. 
- Porque la matemática podrá ser un objeto-saber que se construya a partir de la 
participación de todos y no sólo a partir de las “facilidades” que ciertos alumnos puedan tener 
para con ella (que habitualmente son los únicos que pasan al pizarrón, o los únicos que 
contestan nuestras preguntas, o…). 
- Porque en esta comunidad matemática pueden coexistir propuestas de trabajo individual 
con propuestas de trabajo grupal. 
- Porque también se podrá aprender a trabajar “con” los otros y “a partir” de los otros. 
- Porque la riqueza del trabajo en grupos se logrará a partir de la variedad de oportunidades 
que el grupo tenga para experimentar un aprendizaje cooperativo. (p. 78) 
 
 
¿Qué actividades lleva adelante esta comunidad matemática en su intento por resolver 
problemas? 
 Busca regularidades. 
 
 Formula hipótesis. 
 
 Experimenta. 
 
 Se equivoca. 
 
 Acierta. 
 
 Vuelve a empezar desde cero. 
 
 Crea notaciones y nombres. 
 
 
 
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 Emplea diferentes lenguajes. 
 
 Comunica y comparte lo que produce. 
 
 Utiliza variedad de recursos. 
 
 Argumenta. 
 
 Demuestra. 
 
… 
 
Los invitamos a que Uds. continúen la lista. 
 
Un marco teórico para iniciar la reflexión: La Teoría de las 
Situaciones Didácticas. 
 
Planificar y poner en acto una clase en la que los problemas sean el motor de la actividad 
matemática en el aula no es tarea sencilla. 
 
La Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD), que Gay Brousseau desarrolló a partir de la 
década del ’70, marcó un cambio revolucionario en la forma de analizar los procesos de 
enseñanza y de aprendizaje de la Matemática. Consiste en un modelo teórico desde el cual 
reflexionar sobre la enseñanza de la Matemática entendida como un proceso de producción, 
comunicación y validación de conocimientos matemáticos en el ámbito escolar. 
 
La enseñanza de las matemáticas demanda conocimientos matemáticos específicos construir 
situaciones de enseñanza y administrarlos a fin de que los alumnos se enteren, es decir, se 
apropien de los conocimientos para descubrir su organización interna y para utilizarlos en la 
solución de problemas. 
 
La teoría de las situaciones en matemática – TSDM – es un medio para estudiar este tipo de 
saberes y producir los conocimientos correspondientes. Es esencial comprender bien el 
objetivo de la teoría, su carácter científico: incluir y explicar los fenómenos 
vinculados a la enseñanza de matemáticas y no confundirlos con las condiciones 
para la enseñanza en las clases. La comprensión y la explicación de los fenómenos 
contemplan el mejoramiento de la enseñanza pero no se trata de decir 
 
 
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directamente a los profesores cómo hacer la clase. (Perrin-Glorian, 2009, p.11) [El 
texto en negrita, nuestro] 
 
La TSD es una herramienta para la investigación y la reflexión. Comparar, sin tener en 
cuenta esta dimensión de la TSD, situaciones didácticas diseñadas con fines investigativos (y 
por tanto en contextos controlados) con clases normales, no hará más que enfatizar las 
diferencias, resaltar los aspectos incompletos o negativos de las clases reales, y producir 
desazón o malestar, innecesarios, en quien realiza estas lecturas. 
 
Tipología de las situaciones y el Modelo Aproximativo 
 
Posiblemente, esta clasificación de las situaciones que se hace en la TSD, sea el aspecto más 
conocido de esta teoría, entre docentes de diferentes niveles educativos. 
En general, las situaciones de acción, formulación, validación e institucionalización 
son consideradas por los docentes como orientadoras para el análisis o la gestión 
de los momentos de una clase basada en la resolución de problemas. 
 
Gálvez (2007) describe la clasificación que Brousseau establece para las situaciones 
didácticas: 
 
1. Las situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre 
los alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta 
para organizar su actividad de resolución del problema planteado. 
 
2. Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación de 
informaciones, entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan 
habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben comunicar. 
 
3. Las situaciones de validación, en las que se trata de convencer a uno o varios 
interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los alumnos 
deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobación 
empírica de que lo que dicen es cierto; hay que explicar que, necesariamente, debe ser 
así. 
 
4. Las situaciones de institucionalización, destinadas a establecer convenciones 
sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase 
asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por 
ellos en situaciones de acción, de formulación y de validación. [Textos en negrita, 
nuestros] (p. 43) 
 
Ronald Charnay (1997, pp. 53-63), basándose enesta tipología, propone un modelo de 
enseñanza que promueve un aprendizaje constructivista, al cual denomina modelo 
 
 
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aproximativo. En dicho modelo, el problema es el recurso por excelencia para el 
aprendizaje, y se constituye en “fuente, lugar y criterio de la elaboración del saber” (p. 58) 
 
Ilustraremos la adaptación de esta clasificación como orientadoras para la gestión de clases 
en condiciones normales (no bajo el control de una investigación). Si bien intentaremos 
individualizar la acción, la formulación y la validación, nos parece pertinente el siguiente 
comentario: 
 
Si la validación es un intercambio de argumentos, toda situación de validación es una 
situación de formulación; a su vez, toda situación de formulación es una situación de acción, 
ya que requiere tomar decisiones, actuar y acusar recibo de la reacción de los demás. Por lo 
tanto, si bien es útil diferenciar los tres tipos de situaciones, es necesario tener en claro que 
no se suceden linealmente sino que se superponen, se solapan y se incluyen unas con otras 
(Dirección General de Cultura y Educación de La Provincia de Buenos Aires, 2002, p. 53) 
 
Un juego con dados. 
 
[Adaptado de Steiman (2005, pp. 71-76] 
 
Se divide la clase en grupos (las ternas permiten una interacción apropiada) de manera tal 
que dos grupos se enfrenten entre sí. 
Cada grupo dispone de una tira (tablero) con los números del 1 al 12. 
 
 
 
A cada grupo se le asignan 24 fichas que deben disponerlas todas a su gusto dentro de las 
casillas del tablero. Ninguna ficha puede abarcar más de un casillero. 
 
Los equipos contrincantes enfrentan los tableros de manera tal que cada uno pueda ver la 
distribución de fichas del opositor. 
 
Se facilita un par de dados que irán arrojando alternadamente cada equipo. 
 
El juego consiste en tirar simultáneamente los dos dados, sumar los números obtenidos y 
extraer una ficha (en caso que hubiese) del casillero de su tablero que corresponde a dicha 
suma. Independientemente que halla o no una ficha en la casilla (es decir que un equipo no 
pueda retirar ficha alguna) cada equipo debe alternarse en la tirada de dados. 
 
Gana el equipo que primero retire todas sus fichas. 
 
El profesor les pide a cada equipo que designe un secretario quien: 
 
 
 
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- Antes de iniciar la primera tirada, deja registrado cómo están distribuidas las fichas en su 
tablero (es decir cuántas fichas en cada casillero). 
 
- Durante el juego debe registrar qué sumas van obteniendo. 
 
Cada equipo se organiza para distribuir las fichas sobre el tablero; toman decisiones 
racionales o no (por ejemplo, un alumno pone fichas en el 5 porque es su día de nacimiento); 
comienzan a tirar los dados y a dialogar con la situación que responde a sus acciones 
haciéndoles tomar conciencia de las consecuencias de sus actos. 
 
El profesor recorre los grupos para asegurarse que todos han entendido las reglas del juego y 
las consignas para el registro. 
 
A medida que se suceden las tiradas los alumnos comienzan a dialogar entre ellos tratando 
de formular, de expresar en sus propias palabras lo que está sucediendo. 
 
El profesor escucha atento el vocabulario que emplean y la forma en que registran las sumas 
que van obteniendo. 
 
Están los que escriben los dos números y la suma, una debajo de la otra: 
 
2+3=5 
 
7+1=8 
 
etc. 
 
Otros solo la suma obtenida, una junto a la otra. 
 
5 – 8 – 11 – 8 etc. 
 
Hay quienes, atentos a que hay sumas que se repiten, no las escriben de nuevo, y hacen una 
marca al lado de la primera vez que la escribieron. 
 
Simultáneamente comienzan las primeras validaciones: “te dije que no pusieras fichas en el 
1. No ves que nunca puede darnos 1 la suma”; “tendríamos que haber puesto más fichas en 
el 8, es el que más nos salió”; “tendríamos que haber pensado bien antes de poner las 
fichas”. 
Seguramente el juego termina con un ganador, se pide revancha y se vuelve a jugar. 
Cada equipo organiza de nuevo su tablero en función del juego anterior: algunos números 
son rechazados, como el 1; otros son más aceptados por el hecho de que en el juego anterior 
salieron más veces; habrá equipos que se detienen a analizar menos empíricamente la 
situación. 
 
 
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El docente está atento a la toma de decisiones. Mira las nuevas distribuciones de los tableros. 
Le pide a cada equipo que les explique qué decisiones tomaron para la nueva organización. 
Detecta que un grupo, menos reflexivo, vuelve a colocar las fichas de acuerdo con 
preferencias personales. Los invita a analizar la situación, a tomar decisiones más racionales. 
 
Las partidas se reiteran. El docente va percibiendo que ya hay equipos que se dieron cuenta 
que hay números que tiene más posibilidades de salir, otras creen que es una cuestión de 
suerte, alguno manifiesta que hay alguna trampa, otros afirman que tiene que haber algún 
 
El profesor detiene las partidas y convoca a los grupos a exponer las acciones que han 
realizado al inicio de cada partida, las conjeturas que formularon en cada una, y las formas 
de validarlas. 
 
Como ha estado atento, selecciona los representantes de las diferentes conjeturas. 
 
También se describen en el pizarrón los registros que se han empleado de las sumas que han 
ido saliendo. 
Se discuten cada conjetura, sus formas de validación, la conveniencia de tal o cual registro, 
etc. 
 
Los alumnos emplean su propio vocabulario: hay números que tienen más posibilidades de 
salir; prefiero aquella tabla porque ahora me doy cuenta que no todos son iguales (queriendo 
decir que no todos tienen la misma frecuencia); eso está bien pero de última depende de la 
suerte… 
 
Llega el momento de la institucionalización: es el profesor el que recoge todos estos 
conocimientos puestos en juego, los organiza, propone otras formas de mirar y analizar, 
asigna nombres: azar, evento, frecuencia, probabilidad. Introduce notaciones. Otorga 
estatus matemático al conocimiento puesto en juego durante la actividad. 
 
PARTE 2 
En esta segunda parte los invitamos a observar la resolución de algunos problemas de 
geometría para luego pensar en posibles análisis de resolución que podrían hacer los 
alumnos. 
Para observar el mismo deben acceder al siguiente enlace: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=59intLtuXk8 
 
 
 
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¡Hasta la siguiente clase! 
 
ACTIVIDADES DE REPASO Y AUTOAPRENDIZAJE 
 
A continuación, les presentamos las actividades para esta clase. Estas actividades no se 
entregan y no tienen calificación. Son actividades que ayudarán a entender más algunas 
cuestiones. 
 
CLASE 2 
ACTIVIDAD 1: 
Resolver el siguiente cuestionario de la Parte 1 de esta clase. (Clase 2 – C1) 
ACTIVIDAD 3: 
Resolver el siguiente cuestionario de la Parte 2 de esta clase. (Clase 2 – C2) 
 
ACTIVIDADES OPTATIVA 
Foro de consultas 
A partir de esta clase y a lo largo de todo el cursado contarán con un Foro de Consultas y 
Dudas en el cual podrán presentar inquietudes, problemas o dudas en relación con la 
propuesta de cada clase. 
 
Bibliografía de referencia 
Instituto Nacional de Formación Docente (2015). Clase 2. La gestión de una comunidad 
matemática en el aula. Módulo: Perspectivas para la Enseñanza de la Matemática. 
Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela 
Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.