RESOLUCION 1rExParcialMpI 22-04-23 - Cristian Nolasco

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional de Salta 22 de abril de 2.023
Facultad de Ciencias Exactas Carreras: LAS - TUP
Matemática para Informática - PRIMER EXAMEN PARCIAL - TEMA A
Apellido y Nombres:
Documento: Comisión: N. de Orden:
Importante: Debe realizar el examen con tinta, con letra clara y prolija. Desarrolle los ejercicios 3 y
4 al reverso de la hoja. Debe �rmar al �nal del último ejercicio desarrollado. La duración del examen es de
2 horas.
1. (a) Considera el conjunto A = f01; 10; 11; f0gg y B = f00; 11; f01gg,
i) Escribe por extensión el conjunto P (B �A) =
�
;; f00g ; ff01gg ; B �A
	
ii) Determina si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones:
; 2 P (B �A) es: V f01g � B [A es: V 10 2 A \B es: F
P (B �A) � P (B) es: V f01g 2 P (B �A) es: F
(b) Representa sombreando en el
siguiente diagrama la operación
C � (B \A)C
2. Dada la proposición: "para x 2 R, se cumple que x = 5, si jx+ 2j = 7".
(a) Su valor de verdad es: F . Justi�cación:
Sean p(x) : jx+ 2j = 7 y q(x) : x = 5, se cumple que Cp = f�9; 5g 6� Cq = f5g
(b) La recíproca es: 8x 2 R : x = 5 =) jx+ 2j = 7
y su valor de verdad es: V . Justi�cación: se cumple que Cq = f5g � Cp = f�9; 5g
(c) La negación de la proposición es: 9x 2 R : jx+ 2j = 7 ^ x 6= 5
3. Decide si el siguiente razonamiento es válido, usando reglas de inferencias y equivalencias lógicas:
�Las preguntas fueron sencillas o estudié su�ciente. Aprobé el examen si estudié su�ciente. No aprobé
el examen. En consecuencia las preguntas fueron sencillas�.
p : las preguntas fueron sencillas
q : estudié su�ciente
r : aprobé el examen
[(p _ q) ^ (q ! r) ^ (� r)]) p
1. p _ q premisa
2. q ! r premisa
3. � r premisa
4. � q modus tollens de 2 y 3
5. p silogismo disyuntivo de 4 y 1
Por lo que el razonamiento es VALIDO
4. Muestra usando propiedades (enuncialas) de los números reales que 8x; y 2 R : xy + 2 > 0 ^ x < 0)
y < �2
x
.
x < 0) 9x�1 = 1x < 0 (1) por def. y prop. del recíproco
xy + 2 > 0) xy + 2� 2 > 0� 2 por consistencia de la suma
xy + 0 > 0� 2 por prop. del opuesto
xy > �2 por prop. del neutro de la suma�
1
x
�
xy < �2
�
1
x
�
por consistencia del producto y (1)
1x < �2
x
por prop. del recíproco
x < �2
x
por prop. del neutro del producto.
q.e.d.
5. (a) El conjunto de los valores reales que veri�can la desigualdad
j4� xj
6
�3 � 0 es Cs = [�14; 22]
j4� xj
6
� 3 � 0
j4� xj
6
� 3
j4� xj � 18
jx� 4j � 18
�18 � x� 4 � 18
�18 + 4 � x � 18 + 4
�14 � x � 22
(b) La ecuación 3 (x� k) = (1� k)x tiene solución única si k cumple que k 6= �2
luego Cs =
�
3k
2 + k
�
3 (x� k) = (1� k)x
3x� 3k = (1� k)x
3x� (1� k)x = 3k
(2 + k)x = 3k
si k 6= �2 entonces x = 3k
2 + k
y la solución es única
Firma
Universidad Nacional de Salta 22 de abril de 2.023
Facultad de Ciencias Exactas Carreras: LAS - TUP
Matemática para Informática - PRIMER EXAMEN PARCIAL - TEMA B
Apellido y Nombres:
Documento: Comisión: N. de Orden:
Importante: Debe realizar el examen con tinta, con letra clara y prolija. Desarrolle solamente los
ejercicios 3 y 4 al reverso de la hoja. Debe �rmar al �nal del último ejercicio desarrollado. La duración del
examen es de 2 horas.
1. (a) Considera el conjunto A = f01; 11; f0g; f10gg y B = f01; 10; f10gg,
i) Escribe por extensión el conjunto: P (A \B) = f;; f01g ; ff10gg ; A \Bg
ii) Determina si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones:
; � P (A�B) es: V ff01gg � A [B es: F f10g 2 B \A es: V
A \B � P (A) es: F ff0gg 2 P (A�B) es: V
(b) Representa sombreando en el
siguiente diagrama la operación
A� (C [B)C
2. Dada la proposición: "para x 2 R; se cumple que jx+ 3j = 7, si x = 4,".
(a) Su valor de verdad es: V . Justi�cación:
Sean p(x) : x = 4 y q(x) : jx+ 2j = 7, se cumple que Cp = f4g � Cq = f�9; 5g
(b) La recíproca es: 8x 2 R : jx+ 2j = 7 =) x = 4
y su valor de verdad es: F . Justi�cación: Cq = f�9; 5g 6� Cp = f4g
(c) La negación de la proposición es: 9x 2 R : x = 4 ^ jx+ 2j = 7
3. Decide si el siguiente razonamiento es válido, usando reglas de inferencias y equivalencias lógicas:
�Estudié mucho o el examen estuvo fácil. Aprobé el examen si estudié mucho. No hay examen fácil.
Por lo tanto aprobé el examen�.
p : estudié mucho
q : el examen es fácil
r : aprobé el examen
[(p _ q) ^ (p! r) ^ (� q)]) r
1. p _ q premisa
2. p! r premisa
3. � q premisa
4. p silogismo disyuntivo de 3 y 1
5. 5 modus ponens de 2 y 4
Por lo que el razonamiento es VALIDO
4. Muestra usando propiedades (enuncialas) de los números reales que 8a; b 2 R : ab � 4 < 0 ^ b < 0 )
a >
4
b
.
b < 0) 9b�1 = 1b < 0 (1) por def. y prop. del recíproco
ab� 4 < 0) ab� 4 + 4 < 0 + 4 por consistencia de la suma
ab+ 0 > 0 + 4 por prop. del opuesto
ab > 4 por prop. del neutro de la suma
ab
�
1
b
�
< 4
�
1
b
�
por consistencia del producto y (1)
a1 <
4
b
por prop. del recíproco
a <
2
b
por prop. del neutro del producto.
q.e.d.
5. (a) El conjunto de los valores reales que veri�can la desigualdad
j5� xj
4
� 2 � 0 es Cs = [�3; 13]
j5� xj
4
� 2 � 0
j5� xj
4
� 2
j5� xj � 8
jx� 5j � 8
�8 � x� 5 � 8
�8 + 5 � x � 8 + 5
�3 � x � 13
(b) La ecuación 2 (x+ k) = (4� k)x tiene solución única si k cumple que k 6= 2
luego Cs =
�
�2k
�2 + k
�
=
�
2k
2� k
�
2 (x+ k) = (4� k)x
2x+ 2k = (4� k)x
2x� (4� k)x = �2k
(�2 + k)x = �2k
si k 6= 2 entonces x = �2k�2 + k y la solución es única
Firma