inbound5407228868731187789 - Cesardamian Yampa

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN 
 
 
 
 
Ingresantes 2023 
Jornadas de Ambientación 
Cuadernillo Teórico - Práctico 
Autores: Ing. Valeria Graieb – Lic. Natalia Miranda Barros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cuadernillo de Matemática 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 2 ) 
 
 
 Autoridades 
Vicedecano en Ejercicio del Decanato 
Esp. Ing. Juan Esteban Campos 
Secretaria Académica 
Arq. Rodolfo Dibi 
Secretaria Administrativa 
CPN. Jorge Eduardo Sueldo 
Secretaría Legal y Técnica 
Abog. Verónica Campos 
Secretaria de Gestión de Ciclos de 
Licenciaturas y Carreras Cortas 
Esp. Ing. María del Carmen Venecia 
Secretaria de Ciencia y Tecnología 
Mg. Ing. Patricia Albarracín 
Cuadernillo elaborado por: Secretaria de Planeamiento 
Mg. Ing. Luis Francisco García 
Ing. Graieb, Valeria 
Lic. González, Luisa 
Lic. Miranda Barros, Natalia 
Secretario de Cultura y Comunicación 
Institucional 
Ing. Jorge Molina 
Recopilación Bibliográfica: 
 
Secretaria de Asuntos Estudiantiles 
Sta. Noemí 
Ing. Cáceres, Walter 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 3 ) 
 
Palabras de Bienvenida 
El presente material de estudio está dirigido a vos estimado alumno aspirante a 
ingresar en las Carreras de Tecnicaturas de la Facultad Regional Tucumán de la 
Universidad Tecnológica Nacional. El mismo tiene como objetivo principal introducirte 
en las asignaturas fundamentales que tiene la carrera y como lo es en este caso la 
Matemáticas quien colabora y fomenta el pensamiento técnico y analítico; Asimismo y 
como una segunda intención es poder adquirir las habilidades necesarias para enfrentarte 
a diversas prácticas de ejercicio que te permitirán profundizar y potenciarte en el 
desarrollo de pensamiento crítico y de resolución de problemas que luego te facilitarán 
en el futuro inicio de las disciplinas de la Currícula Universitaria. 
Estamos ansiosos por iniciar este nuevo año lectivo junto a vos y que a su vez logres 
introducirte favorablemente en esta nueva propuesta académica. De nuestra parte 
pondremos todo lo que esté a nuestro alcance para estar presentes en cada una de tus 
inquietudes. 
Te damos formalmente la bienvenida a nuestra casa de Altos Estudios. Éxitos en tu 
trayectoria. Saludos 😃 
Ciclo de Secretaria de Carreras Cortas y Licenciaturas 
Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Tucumán 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 4 ) 
 
Prologo 
 Decidiste entrar a la Universidad y eso se convierte en toda una decisión 
trascendental que conlleva nuevas responsabilidades. Implica cambios y desafíos en la 
forma de vida anterior. Los estudios universitarios significan cambiar para ser mejor. 
Deberás convertirte en un joven responsable. Y eso, porque estás proyectando tus metas 
hacia un futuro. A partir de este momento, comienzas un nuevo camino plagado de sueños 
y anhelos y es nuestro deber acompañarlos. Como dice el gran científico Albert Einstein 
“Nunca consideres al estudio como una obligación sino como una oportunidad para entrar 
en el maravilloso mundo del saber”. 
Tu vida como estudiante universitario está llena de situaciones para el crecimiento 
personal como así también técnico. 
El éxito académico en la universidad dependerá de vos, de tu esfuerzo, voluntad, 
responsabilidad, autodisciplina y, sobre todo, tu dedicación al trabajo que se plasmará en 
tus estudios. Proponemos aprender a aprender, identificando obstáculos que se 
presenten desde los contenidos iniciales y reconociendo estrategias y recursos 
alternativos. La expresión "aprender a aprender" representa el verdadero espíritu de las 
estrategias de aprendizaje, implica una disposición mental positiva respecto a la 
capacidad personal y la intención de madurar sus pensamientos que será de utilidad no 
solo en la vida estudiantil sino a lo largo de toda la vida profesional. 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 5 ) 
 
Estimados alumnos pueden transitar orgullosos nuestras aulas y sentir que están en 
buenas manos porque ingresan a esta prestigiosa Universidad, cuyos orígenes se mezclan 
con las luchas de emancipación del pensamiento y la libertad. 
Esperamos que puedan sentir a esta universidad como un espacio propio. Desde ya 
los mejores éxitos en este inicio académico. Bienvenido!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 6 ) 
 
Índice 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Números Naturales y Enteros. Propiedades 
 Números Racionales. Propiedades. 
 Números Irracionales. Propiedades. Notación científica 
 Números Reales. Estructura algebraica 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 Clasificación de las expresiones algebraicas 
 Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio 
 Operaciones entre polinomios. 
 Regla de Ruffini y Teorema del Resto 
 Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra Factoreo 
 Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y 
simplificación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 7 ) 
 
CONJUNTOS NUMERICOS 
Introducción 
Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de 
un símbolo. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. 
Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la 
temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc… 
A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la 
actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrolló en la antigua 
Roma y se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el 
que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L, C 
, D , M 
El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el Sistema 
de Numeración Decimal. 
Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como 
base el número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); 
cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se 
denomina números árabes. 
 
Objetivos 
 Definir a los conjuntos numéricos 
 Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo 
 Recordar la aritmética de los números reales y complejos 
 Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 8 ) 
 
Conceptos previos 
 Conceptos básicos de lógica proposicional. 
 Teoría de Conjuntos 
 
Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la 
anterior y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Están 
representadas en el siguiente mapa conceptual. 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 9 ) 
 
Definición 
Los números Naturales son los números que usamos para contar u ordenar los 
elementos de un conjunto no vacío 
Simbólicamente: N = {1, 2, 3, 4, 5,....n, n+1, } 
 
Operaciones 
La suma y el producto de números naturales son siempre naturales. En cambio la 
diferencia no siempre es otro natural. Simbólicamente: 
 
Si a €N y b € N, entoncesa + b € N (a y b se llaman términos o sumandos) 
Si a €N y b € N, entonces a . b € N (a y b se llaman factores) 
 
 
 
 
NUMEROS ENTEROS 
 
Para dar solución al problema que se presenta al restar números naturales donde el 
minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros números que amplia al 
conjunto de números naturales. Se agregan el número cero y los números opuestos a los 
naturales. De ese modo 3 – 3 = 0 y 3 – 7 = -4 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 10 ) 
 
Definición 
El conjunto de los números Enteros está formado por la unión de los naturales, el cero 
y los opuestos de los naturales 
Simbólicamente se expresan Z= {...... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,........ } 
 
Los números enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos 
acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de 
referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores 
a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…). 
En un gráfico de conjuntos se aprecia claramente que 
 
 
 
 
 
Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto 
arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento 
como unidad y la convención de que para la derecha estarán los números enteros 
positivos (naturales) y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los 
naturales). 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 11 ) 
 
Operaciones en Z 
 
La suma y el producto de enteros es siempre otro entero. 
 
La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del 
sustraendo a – b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo 
 
La división entre los enteros a y b, con b≠ 0, arroja como resultados dos números enteros 
llamados cociente (q) y resto) 
A ase le dice dividendo y a b se le dice divisor. 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 12 ) 
 
Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q 
Se dice que la división es exacta, que “a es múltiplo de b”, que “a es divisible por b”, 
que “b es factor de a” o que “b es divide a a” 
 
 
La división por 0 no está definida. 
Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!! 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 13 ) 
 
 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 14 ) 
 
 
En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan números y 
letras) puede aplicarse, de ser necesario, la definición de potenciación y así encontrar 
una expresión algebraica equivalente 
 
Productos notables 
 
Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las 
propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 15 ) 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 16 ) 
 
 
NUMEROS RACIONALES 
Dividir es repartir en partes iguales!!! 
Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52cartas. 
El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en 
el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada 
uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro? 
¡Tu puedes deducir la respuesta!¿Y si se quiere repartir pero 
el dividendo es menor que el divisor? Por ejemplo 
Ejemplo: 
Juana quiere repartir 1 barra de chocolate entre sus 3 amigos. 
Entonces Juana da un tercio de chocolate a cada uno. 
 
Definición 
Los Números Racionales son los números que se pueden 
escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se 
pueden expresar como fracción. En símbolos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 17 ) 
 
Los números racionales representan partes de un todo 
Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números 
Racionales 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 18 ) 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 19 ) 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 20 ) 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 21 ) 
 
 
 
 
 
Q es un conjunto denso 
 
Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría 
justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro 
racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos. 
Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números 
racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más 
próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso. 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 22 ) 
 
NUMEROS REALES 
 
Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numérica. Es decir ya no queda 
ningún punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un número racional o un 
número irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es, 
Racionales más Irracionales se forma un nuevo conjunto Definición. 
El conjunto de los Números Reales es la unión del conjunto de los Racionales al conjunto 
de los Irracionales. Simbólicamente 
 
A la recta numérica se le dice recta real pues en ella se representan a todos los números 
reales y, viceversa, todo punto de la recta es la representación de un real. 
El conjunto R también tiene la propiedad de ser denso. De acuerdo a la definición se tiene 
el siguiente cuadro: 
 
 
 
 
 En un diagrama de Venn, se observa la relación entre los conjuntos 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 23 ) 
 
Notación científica 
Cuando manejamos números muy grandes o muy pequeños tenemos dificultad para 
interpretarlos y para introducirlos en algunas calculadoras. Es usual, para ellos, 
representarlos mediante notación científica. Se dice que un número está expresado en 
notación científica cuando se escribe como el producto de un número mayor que 1 y 
menor que 10, multiplicado por una potencia entera de diez. 
 
 
El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo 
El conjunto R tiene estructura de Campo o Cuerpo pues las operaciones de suma y 
producto de números reales cumplen los siguientes axiomas: 
Si x, y, z € R, entonces: La suma y el producto son operaciones cerradas 
X + y € R (x.y) € R 
 
La suma y el producto son operaciones conmutativas 
x + y = y + x x.y = y.x 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 24 ) 
 
La suma y el producto son operaciones asociativas 
(x+y) + z = x + (y+z) (x.y).z = x. (y.z) 
 
El producto es distributivo respecto a la suma 
x. (x+z) = x.y + x.z 
 
Existen números reales que son neutros respecto de la suma y el producto 0 es el neutro 
respecto de la suma pues x+0 = x 
1 es el neutro respecto del producto pues x.1 = x 
Todos los números reales tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco 
– x se dice inverso aditivo u opuesto de x 
1/x se dice inverso multiplicativo o recíproco de x 
 
EXPRECIONES ALGEBRAICAS 
Llamamos Expresión Algebraica Real a toda combinación de letras y/o números reales 
vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación de 
exponente racional. 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 25 ) 
 
Ejemplos: 
A los números intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables 
 
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican 
en: 
 
Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son 
aquellas donde las variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto 
y potencia de exponente entero no negativo. 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 26 ) 
 
Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos 
una variable está afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador. 
 
 
Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable está 
afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación. 
 
 
 
 
TEORIA DE LOS POLINOMIOS 
Monomios 
Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y 
resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término. 
 
Grado de un Monomio 
Es la suma de los exponentes de las letras (o variables) que contiene. 
Ejemplos: 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 27 ) 
 
Monomios Semejantes 
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 
Ejemplos: 
 
 
POLINOMIO 
Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado 
del monomio de mayor grado que participa en caso particulares. 
 
Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios 
Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios 
Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios 
Ejemplos: 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 28 ) 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 29 ) 
 
Polinomio Homogéneo 
Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado. 
Ejemplos: 
Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como: 
 
 
Donde: 
n Є Z, n≥ 0 se llama grado del polinomio P y se escribe n = grP(x) 
ai Є R se denominan coeficientes del polinomio 
an ≠ 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término 
independiente Ejemplos: 
 
 
 
VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO 
 
Ejemplo: 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 30 ) 
 
 
 
 
CERO DE UN POLINOMIO 
 
 
Polinomio Ordenado 
Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos 
de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el 
último. 
Ejemplos: 
 
 
Polinomio Completo 
Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la 
variable menores al grado del polinomio. 
Ejemplos: 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 31 ) 
 
Si un polinomio está incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la 
variable que faltan con coeficiente cero. 
Ejemplo: 
 
 
Polinomio Nulo 
Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero Se escribe P(x) = 
0 y se dice de él que no posee grado. 
Esto es la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio Nulo Ejemplo: 
 
 
Polinomio Opuesto 
 
 
Igualdad entre Polinomios 
Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los 
términos semejantes son iguales. 
En símbolos: 
Operaciones con Polinomios: 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 32 ) 
 
La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las 
correspondientes operaciones entre reales. 
 
 
Suma de Polinomios 
Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes y se obtiene un 
polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de mayor grado. 
 
Resta de Polinomios 
Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo. 
 
Producto de polinomios 
Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciación de potencias de 
igual base, se obtiene un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los 
polinomios intervinientes.
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 33 ) 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 34 ) 
 
División de Polinomios Numéricos: 
División de monomios entre sí 
El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los 
coeficientes de los monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la 
propiedad de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un 
monomio. 
Ejemplos: 
 
 
División de un polinomio por un monomio 
Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado 
no siempre es un polinomio 
Ejemplo: 
 
 
División de Polinomios entre si 
Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) ≠ 0, tal que gr P(x) ≥ grQ(x) Entonces existen 
dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que: 
P(x) = Q(x).C(x) + R(x) con gr R(x) < grQ(x). 
Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto. También puede 
expresarse: 
Cuando R(x) = 0 la división es exacta por lo que P(x) = Q(x).C(x) y se dice que Q(x) es un 
Factor de P(x) o que P(x) es divisible por Q(x). De ese modo se tendrá que: 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 35 ) 
 
 
Algoritmo de la división 
Sean P(x) y Q(x) tal que grP(x) ≥ grQ(x). Para realizar la división P(x):Q(x) se procede del 
siguiente modo 
Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo 
Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de P(x) por el 
término de mayor grado del divisor 
Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del 
divisor y se coloca el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes. 
Luego se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo 
Se repiten los paso 2 y 3 
Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 36 ) 
 
 
 
 
Caso particular 
Si grQ(x) = 1, entonces R = constante (polinomio degrado cero). 
En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x – b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo 
que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini. 
 
 
 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 37 ) 
 
REGLA DE RUFFINI 
 
 
Y un resto R que se obtienen con el siguiente algoritmo: 
1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo 
2º paso: En el segundo renglón se coloca el valor “b” a la izquierda de los demás números 
ya colocados 
3º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente y el resto del 
siguiente modo: 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 38 ) 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 39 ) 
 
 
 
Teorema del Resto: 
Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x) 
particularizado para x = b. Esto es: R = P (b) 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 40 ) 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 41 ) 
 
Teorema del Factor 
Sea P(x) un polinomio de grado n y b una constante. Se dice que b es un cero de P(x) ↔ (x-
b) es un factor de P(x). Esto es equivalente a afirmar que b es un cero de P(x) ↔ P(x) es 
divisible por (x – b ) 
Observación: Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que P(x) 
= (x-b).C(x) 
 
 
Teorema Fundamental del Algebra 
 
Teorema sobre el Número Cero 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 42 ) 
 
Extensión de la Regla de Ruffini: 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 43 ) 
 
Extensión del Teorema del Resto 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 44 ) 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 45 ) 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO: CONJUNTO DE NÚMEROS – EXPRESIONES 
ALGEBRAICAS 
 
Ejercicio nº 1: 
Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados: 
a) El 30% de un número. 
b) El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida. 
c) El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida. 
d) El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente. 
 
Ejercicio nº 2: 
Expresa en lenguaje algebraico: 
a) La mitad del resultado de sumarle 3 a un número. 
b) La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la 
altura. 
c) El cuadrado de la suma de dos números enteros 
consecutivos. 
d) La media de un número y su cuádruplo. 
 
Ejercicio nº 3: 
Traduce al lenguaje algebraico: 
a) La suma de un número con el doble de otro. 
b) El precio de una camisa rebajado en un 20%. 
c) El área de un círculo de radio x. 
d) La suma de tres números enteros consecutivos. 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 46 ) 
 
Ejercicio nº 4: 
Completa esta tabla: 
POLINOMIO GRADO N° DE TERMINOS VARIABLE/S 
a) 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 
b) 5 2 x.y 
c) 
𝑥3
2
+ 5𝑥 = 
 
d) 
− 3𝑥2
4
+ 2𝑥 − 7 = 
 
 
Ejercicio nº 5: 
Dados los polinomios: 
P(x) = 4x2 − 1 = 
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 = 
R(x) = 6x2 − x + 1 = 
S(x) = 
1
2x2
+ 4 = 
T(x) = 
3
2x2
+ 5 = 
U(x) = x2 + 2 = 
 
Calcular: 
P(x) + Q (x) = 
P(x) − U (x) = 
P(x) + R (x) = 
2P(x) − R (x) = 
S(x) + T(x) + U(x) = 
S(x) − T(x) + U(x) = 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 47 ) 
 
Ejercicio nº 6: 
a) Sumar los Polinomios y extrae factor común en cada caso: 
P(x)= 9𝑥4 − 6𝑥3 + 3𝑥2 
Q(x)=3𝑥2𝑦2 − 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 
 
Ejercicio nº 7: 
a) Restar los siguientes Polinomios: 
P(x)= (𝑥2 − 3) (𝑥2 + 3) 
Q(x)= (𝑥2 − 3)2 
b) Reduce 
- (x + 3)2 − (x + 3)(x − 3) 
 
Ejercicio nº 8: 
Efectúa y reduce: 
1 
2
(𝑥2 − 1) +
1
3
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) − 2𝑥2 
 
Ejercicio nº 9: 
Dividir los siguientes Polinomios entre sí: 
1. (𝑥4 + 2𝑥3 − 11𝑥2 + 30𝑥 − 20): (𝑥2 + 3𝑥 − 2) 
2. (𝑥6 + 5𝑥4 + 3𝑥2 + 2𝑥): (𝑥2 − 𝑥 + 3) 
3. P(x)=𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 − 8 
 Q(x)=𝑥2 − 2𝑥 + 1 
 
Ejercicio nº 10: 
Divide por la Regla de Ruffini: 
1. (x3 + 2x + 70): (x + 4) 
2. (x5 − 32x): (x − 2) 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 48 ) 
 
3. (x4 − 3x2 + 2): (x − 3) 
 
Ejercicio nº 11: 
Efectúa y simplifica el resultado: 
a) 
(3x2−2x+1)
(x+1)
.
(−2x+3)
x
 
b) 
3
4
(𝑥 − 2) +
1𝑥
2
− 𝑥 +
1
2
 
 
Ejercicio nº 12: 
Opera y simplifica: 
a) 
(x2−2x+1)
(x−1)
.
(x+1)
x
 
b) 
2(x+1)
3
+
(𝑥−1)
2
+
1
3
(2𝑥 − 2) 
 
Ejercicio nº 13: 
Desarrolla y reduce las siguientes expresiones: 
a) (x + 5)2 − (x − 5)2 
b) (2x + 3)(2x − 3) − 2(2x2 − 1) 
 
Ejercicio nº 14: 
Reduce las siguientes expresiones: 
a) (2x − 5)2 
b) 𝑥(3x − 2) − (3x + 2)(3x − 2) 
 
Ejercicio nº 15: 
Aplica las identidades notables y reduce las siguientes expresiones: 
a) (5x − 1)2 − (5x + 1)(5x − 1) 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 49 ) 
 
b) (x + 7)2 − x(x + 14) 
 
Ejercicio nº 16: 
Expresa como cuadrado de un binomio o como producto de dos 
factores: 
a) 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 
b) 16 −
𝑥2
9
 
 
Ejercicio nº 17: 
Expresa en forma de producto: 
a) 25 𝑥2 + 20𝑥 + 4 
b) 
𝑥2
4
− 16 
 
Ejercicio nº 18: 
Expresa en forma de producto: 
a) 4𝑥2 − 
1
36
 
b) 36 𝑥2 + 36𝑥 + 9 
 
Ejercicio nº 19: 
Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 
2
x
+ 
x+1
x2
− 
1
2x
 
b) 
2x
3y
 .
3y
2x2
 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 50 ) 
 
Ejercicio nº 20: 
Opera y simplifica: 
a) 
−𝟏 
𝒙𝟐
+ 
𝟓 
 𝐱
−
𝟐
𝟑𝒙
= 
b) 
𝟑 (𝐚−𝟔) 
𝟔𝒂𝟐
.
𝟐𝐚 
 𝐱(𝐚−𝟔)
= 
 
Ejercicio nº 21: 
Efectúa y simplifica: 
a) 
𝐱−𝟏
𝐱+ 𝟏
+
𝟐𝐱
𝟑 (𝐱+𝟏)
= 
b) 
(𝐱−𝟏)
𝟐𝐱
: 
(𝐱+𝟏)
 𝒙𝟐
= 
 
Ejercicio nº 22: 
Opera y simplifica el resultado en cada caso: 
c) 
2
x−1
+
3x
x−1
−
2
x
= 
d) 
(x−2) 
x+2
: 
2x
x+2
= 
 
Ejercicio nº 23: 
Simplifica las fracciones: 
a) 
𝐱𝟐+𝟔+𝟗
𝐱𝟐 −𝟗
 = 
 
b) 
𝐱𝟐−𝟒
𝐱+𝟐
 = 
 
 
 
 
Ministerio de Educación 
Universidad Tecnológica Nacional 
Facultad Regional Tucumán 
1983 / 2023 – “40 Años de Democracia” 
 
 
( 51 ) 
 
Ejercicio nº 24: 
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 𝒙𝟐 + 
𝟐𝒙
𝟒𝒙+𝟒
= 
 
b) 𝐱𝟐 − 
𝟒𝐱+𝟒
𝐱−𝟐
= 
 
c) 𝐱𝟐 + 𝟒𝐱 + 𝟒 = 
 
Ejercicio nº 25: 
Simplifica: 
a) 
𝐱𝟐−𝟏
𝐱𝟐 +𝐱
 = 
 
b) 
𝐱𝟐+𝟐𝐱+𝟏
𝐱+𝟏
= 
 
	Objetivos
	Conceptos previos
	Definición
	Operaciones
	NUMEROS ENTEROS
	Definición (1)
	Operaciones en Z
	La división por 0 no está definida.
	Productos notables
	Dividir es repartir en partes iguales!!!
	Definición (2)
	Los números racionales representan partes de un todo
	Q es un conjunto denso
	NUMEROS REALES
	Notación científica
	Cuando manejamos números muy grandes o muy pequeños tenemos dificultad para interpretarlos y para introducirlosen algunas calculadoras. Es usual, para ellos, representarlos mediante notación científica. Se dice que un número está expresado en notació...
	El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo
	CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
	Monomios
	Grado de un Monomio
	Monomios Semejantes
	Polinomio Homogéneo
	Polinomio Ordenado
	Polinomio Completo
	Polinomio Nulo
	Suma de Polinomios
	Resta de Polinomios
	Producto de polinomios
	División de monomios entre sí
	División de un polinomio por un monomio