2-Polinomios_ Expresiones fraccionarias (2020)_Teoría y Práctico - Agostina Salas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
Facultad de Ciencias Económicas 
Módulo de Matemática – 2020 
 
 
 
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Daniel Luis Mosqueda (2020) – FCE – UNNE 
Unidad N° 2: Polinomios – Expresiones algebraicas 
Fraccionarias 
 
Contenidos: Polinomios. Grado. Especialización o valor numérico. Raíz de un 
polinomio. Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Regla de Ruffini. 
Teorema del resto. Factorización. Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación. 
Operaciones. 
 
Polinomio 
Definición: Denominaremos polinomio con coeficientes reales a toda expresión de la 
forma 1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      donde 0 1 2 1 0, , ,..., , ,n nn a a a a a  , 
que llamaremos sus coeficientes y x es la variable o indeterminada. 
 
En particular, na se llama coeficiente principal, si es distinto de cero; 0a se llama 
término independiente. 
Ejemplo 1: 
 4 3 2
1
P( ) 2 5 3
4
x x x x x     en este caso, 4n 
4 3 2 1 0
1
2, 1, , 5, 3
4
a a a a a       . El coeficiente principal de P( )x es 2 y su 
término independiente, 3. Este polinomio está ordenado según las potencias 
decrecientes de x . Es completo, porque ningún coeficiente es cero. 
 3 2Q( ) 2 4x x x    Para este polinomio, 3n  , 3 21, 2a a    1 00, 4a a   . 
Su coeficiente principal es –1 y su término independiente es –4. Está ordenado según 
las potencias decrecientes de x , pero no es completo, ya que el coeficiente de x es 
0. Se lo puede completar escribiendo 3 2Q( ) 2 0 4x x x x     
 R( ) 2x x  . Para R, 1n  1 01, 2a a  
 S( ) 6x   ; 0n  ; 0 6a   
 
 
 
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Polinomio Nulo 
Llamaremos polinomio nulo o cero al que tiene todos sus coeficientes nulos y lo 
notaremos con 0. Vale decir 0 2P( ) 0 0 0 0 0 0 ...x x x x x       
 
Grado de un polinomio 
Definición: Sea P( )x un polinomio no nulo, es decir, que tiene al menos un coeficiente 
distinto de cero. Si n es un número natural, diremos que P( )x tiene grado n cuando el 
coeficiente de grado n de P( )x es distinto de cero y los de grado mayor que n son todos 
nulos. Esto es equivalente a decir que P( )x es de la forma 
1 2
1 2 1 0...
n n
n na x a x a x a x a

     con 0na  . 
Escribimos gr(P) = n 
En el ejemplo 1 es: gr(P) = 4 ; gr(Q) = 3; gr(R) = 1; gr(S) = 0 
El polinomio nulo carece de grado 
 
Monomio 
Denominaremos monomio de grado n a todo polinomio de la forma 
nax donde a es un 
número real distinto de cero. Es decir, un monomio es un polinomio que tiene a lo sumo 
un único coeficiente no nulo. Por ejemplo, 5 02 , ,4x x x son monomios de grado cinco, 
uno y cero respectivamente 
De este modo, en todo polinomio 1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      el símbolo + 
corresponde a la suma de los monomios 1 2
1 2 1 0; ; ...; ; ;
n n
n na x a x a x a x a


 
 
Especialización o valor numérico 
Sea a y el polinomio 1 21 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      . Se llama 
especialización o valor numérico de P(x) en a, al número real
1 2
1 2 1 0P( ) . . ... . .
n n
n na a a a a a a a a a

      , vale decir el número que se obtiene 
reemplazando la indeterminada x por a y efectuando las operaciones indicadas. 
Ejemplo 
4 2Si P( ) 7 2 5,entoncesx x x x    
 
 
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4 2 4 2P(0) 7.0 0 2.0 5 5; P(1) 7.1 1 2.1 5 7 1 2 5 11                  
 
4 2P( 2) 7.( 2) ( 2) 2.( 2) 5 112 4 4 5 125               
 
 
Raíz de un polinomio: valor particular en la especialización 
Sea a y el polinomio P( )x . Diremos que a es raíz de P(x) si P(a) = 0 
Ejemplo: 2 es una raíz del polinomio 3 3P( ) 8pues P(2) 2 8 8 8 0x x       
 
Operaciones entre polinomios 
Suma 
Dados dos polinomios P( )x y Q( )x , el polinomio (P + Q)(x) se obtiene sumando los 
coeficientes de los monomios del mismo grado. 
En la práctica, para sumar dos polinomios suelen disponerse los polinomios según un 
esquema similar al utilizado para la suma de números naturales, encolumnando los 
monomios de igual grado (agregando aquellos que tienen coeficiente 0 en caso de ser 
necesarios) y luego sumando por columna. 
Ejemplo. Sean 4 2
1
P( ) 5 3
2
x x x x    y 3 2Q( ) 6 2 3 2x x x x   
 
4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
5
(P+Q)( ) 5 6 2
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

   
    
 
Otro método válido para la suma es observar los monomios de igual grado y sumarlos 
entre sí sin encolumnarlos. 
La suma de polinomios cumple con las mismas propiedades de la suma de números 
reales: asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro (polinomio nulo), 
existencia de elemento opuesto (polinomio opuesto) 
 
 
 
 
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Resta o diferencia 
La resta entre dos polinomios se obtiene restando los coeficientes de los monomios de 
igual grado. También se la puede obtener sumando al minuendo el polinomio opuesto al 
sustraendo. Es decir, si P y Q son polinomios P – Q = P + (–Q ) , siendo –Q el opuesto 
de Q. 
Sea restar los polinomios 4 2
1
P( ) 5 3
2
x x x x    y 3 2Q( ) 6 2 3 2x x x x   
 
Primer procedimiento 
4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
3
(P Q)( ) 5 6 5 4
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

   
     
 
Segundo procedimiento 
4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
3
(P Q)( ) 5 6 5 4
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

     
     
 
 
Multiplicación o producto 
El polinomio producto (P. Q) (x) se obtiene multiplicando cada monomio de P por cada 
uno de los monomios de Q y sumando los monomios resultantes. 
Ejemplo: Sean P( ) 2x   y 4 2Q( ) 5 3 8x x x  
 
 4 2 4 2(P.Q)( ) 2. 5 3 8 10 6 16x x x x x       
 
El producto de un polinomio por un número real se resuelve aplicando la 
propiedad distributiva
 
 
Ejemplo: Dados 4P( ) 3x x  y 3
2
Q( )
6
x x 
 
 
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 4 3 4 3 7
5 5 5
(P.Q)( ) 3 . 3. .
6 6 2
x x x x x x
   
         
    
Se multiplican los coeficientes entre sí y por otro lado, las potencias de x entre sí.
 
 
Ejemplo: Dados 4P( ) 5 2x x x   y 3 2Q( ) 6 2 2x x x  
 
   4 3 2(P.Q)( ) 5 2 . 6 2 2x x x x x     
     4 3 2 3 2 3 25 . 6 2 2 . 6 2 2 2. 6 2 2x x x x x x x x         
 
 Aplicamos prop. distributiva 
7 6 4 4 3 3 230 10 10 6 2 2 12 4 4x x x x x x x x          
Sumamos términos semejantes 
7 6 4 3 230 10 16 14 4 2 4x x x x x x       
 
Para multiplicar dos polinomios P y Q también se los puede disponer en forma similar 
al de la suma y la resta. Para los polinomios del ejemplo anterior se tiene: 
4 3 2
3 2
4 3 2
6 5 4 3 2 2
7 6 5 4 3 3
7 6 5 4 3 2
P( ) 5 0 0 2
( ) 6 2 2
10 0 0 2 4 2.P( )
10 0 0 2 4 2 .P( )
30 0 0 6 12 6 .P( )
30 10 0 16 14 4 2 4 (P.Q)( )
x x x x x
Q x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
    
  
    
      
    
       
 y 3 2Q( ) 6 2 2x x x  
 
 
El grado del producto de dos polinomios no nulos, es igual a la suma de sus grados.
 
 
El producto de polinomios es asociativo y conmutativo. 
 
División 
Dados dos polinomios P (dividendo) y Q (divisor), Q  0, entonces existen y son únicos 
dos polinomios C y R, denominados, cociente y restorespectivamente, tales que: 
P = Q. C + R y gr(R) < gr(Q) o R = 0 
 
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La división concluye al obtenerse como resto un polinomio de menor grado que el del 
divisor o el resto es el polinomio nulo.
 
 
En general para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera: 
1. Se ordenan, según las potencias decrecientes de la misma variable, el dividendo y el 
divisor y se completa el dividendo. 
2. Se dividen el primer término del dividendo y el primero del divisor, obteniéndose el 
primero del cociente. 
3. Se multiplica el término obtenido por el divisor, y se resta este producto del 
dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo parcial. 
4. Se reitera el procedimiento indicado en 2 y 3, hasta que el resto sea el polinomio 
nulo o bien un polinomio de grado menor que el del divisor. 
 
Ejemplo: Sea dividir 5 3 2P( ) 2 3 5 2x x x x     por 3Q( ) 2x x 
 
Teniendo en cuenta lo indicado es 
5 4 3 2 3
2
2 0 3 2 0 5 2
2
x x x x x x
x
      
 
 
52x 4 3 2 3
5
0 3 2 0 5 2
2
x x x x x
x
     
 2 2
3 2
4 2
3 2 0 5
x x
x x x
 
  
 
 
52x 4 3 2 3
5
0 3 2 0 5 2
2
x x x x x
x
     
 2 2
3
4 2 3 C( )
3
x x x
x
   
2
3
2 0 5
3
x x
x
  

2
6
2 0 1 R( )x x x

  
 
La división finaliza porque el grado del resto obtenido es menor al grado del divisor.
 
 
 
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El grado del cociente es igual a la diferencia entre los grados el dividendo y del 
divisor, si el grado del primero es mayor o igual que el segundo
 
 
Ejemplos: sean dividir P y Q en los siguientes casos 
5 3i) P( ) 2x x x x    ; 2Q( ) 2x x 
 
4 2ii) P( ) 1x x x   ; Q( ) 2x x 
 
Solución: 
5i) x 4 3 2 2
5
0 0 2 2x x x x x
x
    
 3
3
1 1
2 2
x x
x

2
3
0 2x x
x
 

2x
 Luego 3
1 1
C( )
2 2
x x x  y R( ) 2x x  
4ii) x 3 2
4
0 0 1 2x x x x
x
    
 3 3 2
3
2 2 5 10
2
x x x x
x
   
 2
3
0 1
2
x x
x
  
 2
2
4
5
x
x

2
0 1
5
x
x
 
 10
10
x
x

 1
10x

20
21

 
Luego 3 2C( ) 2 5 10x x x x    y 
R( ) 21x  
 
Regla de Ruffini: caso particular de la división 
En el ejemplo ii) de la división, se han obtenido como cociente y resto a 
31 1C( )
2 2
x x x  y R( ) 21x  . 
Cuando el divisor es de la forma Q(x) = x – a, es decir, es un polinomio de grado 1 con 
coeficiente principal 1 (polinomio mónico), tenemos una regla más sencilla para la 
división. Esta regla se denomina regla de Ruffini y nos proporciona un procedimiento 
 
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para calcular los coeficientes del cociente y el resto sin efectuar el algoritmo de la 
división expuesto, como se indica en el siguiente esquena: 
 
1 0 1 0 1
coeficientesdeldiviendo(ordenadoen forma decreciente ycompleto)
2 2 4 10 10
1 2 5 10 21 Resto

  
  
 
 Coeficientes del cociente 
Opuesto al término independiente del divisor 
 
¿Cómo se obtuvieron los coeficientes 1, – 2, 5, –10 y 21? Así: 
El primer valor, 1 en este caso, coindice con el valor del coeficiente principal del 
dividendo. Este valor se multiplica por (–2). 1 = –2 (obteniéndose el primer valor de la 
segunda fila). Sumándolo con el valor del coeficiente que ocupa esa columna se obtiene 
–2 + 0 = –2. Volviendo a multiplicar a este resultado (–2) por el opuesto del término 
independiente del divisor, (–2).( –2) = 4 (segundo valor de la fila 2), sumándolo con el 
valor correspondiente de la columna: 4 + 1 = 5 (tercer valor de la tercer fila). De esta 
manera se obtienen los demás coeficientes. 
 
El procedimiento general a seguir es el siguiente: 
 En la primera fila se escriben los coeficientes del dividendo, en forma ordenada y 
completa. 
 En el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término independiente del divisor. 
 En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente y el resto. 
 El primer coeficiente de cociente es el primero del dividendo. Los restantes 
coeficientes del cociente se obtienen multiplicando el anterior por el número que 
figura en el ángulo izquierdo y sumando este producto, que se coloca en la segunda 
fila, al correspondiente de la primera. 
 El último número así obtenido es el resto, que separamos de los anteriores con un 
trazo vertical. 
 El grado del cociente es el grado del dividendo menos 1. 
 
 
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Ejemplos: Obtenga el cociente y el resto de la división de 
3 5P( ) 2 2 1x x x x    ; Q( ) 1x x 
 
1 0 2 0 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0
 
  
  
 
 
4 3C( ) 1x x x x     y R( ) 0x  . En este caso se dice que “Q divide a P” o el 
polinomio “Q es divisor de P” o que “P es divisible por Q” o bien “P es múltiplo de Q”. 
 
Definición de divisibilidad 
Si P y Q son dos polinomios, diremos que Q divide a P o también P es múltiplo de Q si 
existe un polinomio C tal que P = Q. C. 
Q divide a P si y solo si el resto de dividir P por Q es igual al polinomio nulo, Q  0 
 
Teorema del Resto 
Sea el número real a y el polinomio P( )x . El resto de la división entre P(x) y 
Q(x) = x – a es el valor numérico de P(x) en a. 
 
Es decir, el resto R(x) de la división de P(x) : (x – a) es P(a) . 
Ejemplos: 
En la división entre los polinomios ya analizados 4 2P( ) 1x x x   ; Q( ) 2x x  es 
4 2P( 2) ( 2) ( 2) 1 21 resto        
Y en la división entre 3 5P( ) 2 2 1x x x x    ; Q( ) 1x x 
 
3 5P(1) 2.1 1 2.1 1 0 resto      
 
Corolario del Teorema del Resto 
Un número real a
 
es raíz de un polinomio P( )x si y solo sí Q(x) = x – a divide a P(x). 
 
 
 
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Factorización: casos 
Factorear un polinomio significa expresarlo como producto de polinomios irreducibles. 
Un polinomio P (x) es primo o irreducible si no se puede descomponer en un producto 
de polinomios de grado positivo, menor que el grado de P. Algunos de los casos de 
factoreo son los siguientes: 
o Factor común: se trata de la propiedad distributiva de la multiplicación con 
respecto a la suma. Si cada uno de los términos de un polinomio tiene un mismo 
factor que interviene, a éste se llama factor común del polinomio. 
Ejemplos:  2 2 . 2x x x x    , x es el factor que está presente en todos los términos. 
    2 3 2 2 3 23 6 3 . 1 2 o bien 3 6 3 . 1 2x x x x x x x x          
 
o Factor común por grupos: agrupar convenientemente la expresión y observar que 
cada grupo así formado tenga, en efecto, un factor común. Se puede utilizar para un 
número par de términos 
Ejemplos 
           3 2 3 2 23 6 4 8 3 6 4 8 3 . 2 4. 2 3 4 . 2x x x x x x x x x x x               
El factor común en cada grupo es (x – 2). 
           4 2 3 4 2 3 2 2 2 2 22 2 2 2 2 . 1 . 1 2 . 1x x x x x x x x x x x x x x x              
Aquí el factor común en cada grupo es (x2 + 1) 
 
           
  
1 1 1 1 1 1
1 1
xy x y y xy x y x y y x y
x y
                
  
 
o Diferencia de cuadrados: se sabe que    2 2 .a b a b a b    , o sea una diferencia 
de cuadrados es igual al producto entrela suma y la diferencia de sus bases: 
Ejemplo:    2 9 3 . 3x x x     , las bases de las potencias son x y 3. 
  
2
22 1 1 1 14 2 2 . 2
4 2 2 2
x x x x
     
           
     
 
    
2 2 2 . 2x x x    
 
o Trinomio cuadrado perfecto: se sabe que  
2 2 22a b a ab b    y 
 
2 2 22a b a ab b    . Los segundos miembros se llaman trinomios cuadrados 
 
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perfectos, porque son el cuadrado de un binomio suma o diferencia, respectivamente. 
Ejemplos  
22 2 21 2 1 2.1. 1x x x x x        
    
2 22 24 12 9 2 2.(2 ).3 3 2 3x x x x x       
 
 
         
2 222 2 4 2 2 29 24 16 3 2. 3 . 4 4 3 4a ab b a a b b a b       
 
o Cuatrinomio cubo perfecto: teniendo en cuenta  
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b     y 
 
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b     . 
Ejemplo:  
33 2 3 2 2 312 6 8 3.2 . 3.2. 2 2x x x x x x x         
Combinación de casos de factoreo 
A veces, para factorear un polinomio y lograr que los factores sean irreducibles es 
necesario aplicar al menos dos casos. 
Ejemplo 1: factorizar 2x
3
 – 20x
2
 + 50x 
Podemos extraer factor común 2x 
 3 2 22 20 50 2 10 25x x x x x x    
 
Pero el polinomio dentro del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto 
 
22 2 210 25 2. .5 5 5x x x x x      
 
De este modo tenemos: 2x3 – 20x2 + 50x = 2x .(x – 5)2 
 
Ejemplo 2: factorizar 9x3 – 36x 
Extrayendo factor común 9x, 9x3 – 36x = 9x. (x2 – 4) 
Observamos que el polinomio que se encuentra dentro del paréntesis es una diferencia 
de cuadrados, por lo que se tiene: 9x3 – 36x = 9x. (x2 – 4) = 9x. (x – 2) . (x + 2) 
 
Expresiones algebraicas fraccionarias. 
Definición: Denominaremos expresión algebraica fraccionaria o también fracción 
racional a toda expresión de la forma 
P( )
Q( )
x
x
donde P( )x y Q( )x son polinomios con 
coeficientes reales y Q(x) distinto de cero, que se llamarán numerador y denominador de 
la fracción respectivamente. 
 
 
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36 
Daniel Luis Mosqueda (2020) – FCE – UNNE 
Simplificación 
Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria se factorea el numerador y el 
denominador, cancelando factores comunes. Por ejemplo: 
1) 
 2
2
24
2
xx
x x



 
 
. 2
. 2
x
x x


2x
x

 
2) 
 
22
2
36 9
9
xx x
x
 

    3 . 3x x 
3
3
x
x



 
3) 
 
 
 
222
2 2
4 4 4 4. 24 16 16
2 8 2 4
x x xx x
x x
   
 
     2 2 . 2x x 
 2. 2
2
x
x



 
 
Operaciones 
Suma y resta 
Para sumar – restar expresiones algebraicas fraccionarias se procede a la regla para 
sumar – restar fracciones en el conjunto . 
P R A+B
Q S (Q,S)mcm
  ; 
P R A B
Q S (Q,S)mcm

  
Siendo mcm (Q, S) el mínimo común múltiplo entre Q y S, A y B se obtienen de hacer 
la operación: 
(Q,S)
A .P
Q
mcm
 y 
(Q,S)
B .R
S
mcm
 
O sea: 
1. Se halla el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y se toma 
como denominador de la suma – resta. 
2. Se divide el mcm hallado por cada denominador y este cociente se multiplica 
por el correspondiente numerador. 
3. Se suman – restan (según sea el caso) los polinomios obtenidos en 2., y esta 
suma (o diferencia) es el numerador de la fracción resultante. 
4. Si es posible, se simplifica la expresión algebraica fraccionaria obtenida. 
 
Ejemplos: 
1) 
2
1 2
1 3 3
x
x x

 
 
 
 
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37 
Daniel Luis Mosqueda (2020) – FCE – UNNE 
Factoreamos los denominadores   2 1 1 1x x x    ;  3 3 3. 1x x   
Entonces el      2 1;3 3 3. 1 . 1mcm x x x x     
 
       
2
2
( 1).3 2 . 11 2 2 2 3
1 3 3 3. 1 . 1 3. 1 . 1
x xx x x
x x x x x x
    
  
     
 
2) 
2 1
1 1
x
x x
 
 
 
El mcm de los denominadores está dado por x + 1, ya que ambos denominadores son 
iguales. 
 2 2 11 1
1 1 1
xx x
x x x

  
  
 . 1
1
x
x


1x  
3) 
2
1 1 4
1 1 1
x x
x x x
 
  
  
 
Los polinomios x – 1 y x + 1 son irreducibles a excepción de x
2
 – 1 que ya lo 
habíamos factoreado. El      21; 1; 1 1 . 1mcm x x x x x      
   
   
 
   
2 2 2 2
2
2
2 1 2 1 41 1 4.11 1 4
1 1 1 1 . 1 1 . 1
x x x xx xx x
x x x x x x x
x
         
    
      

2 1x  2x 2 1x 
       
 4 14 4 4
1 . 1 1 . 1
xx
x x x x
 
 
       1 . 1x x 
4
1x


 
 
Multiplicación 
Si 
P R
y
Q S
 son expresiones algebraicas fraccionarias, definimos su producto por: 
P R P . R
.
Q S Q . S
 
 
Se multiplican los numeradores y denominadores entre sí, previa simplificación. 
 
Ejemplos: 
1) 
   2 2 4 . 416 2 1
.
2 2 3 12
x xx x x
x x
   

   2 1x 
 
2
1
.
x 
 3. 4x 
   4 . 1
6
x x 
  
 
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38 
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2 24 4 5 4
6 6
x x x x x    
  
2) 
3
3 2 2
1 1
.
2 2 1
x x x
x x x x
 

   2x  
3
.
2
x
x   
2
1x     2 . 1
x
x x
 
 
 
 
2 22 2 2
x x
x x x x x
 
    
 
División 
Si 
P R
y
Q S
 son expresiones algebraicas fraccionarias y 
R
0
S
 definimos la división 
P R P S
: .
Q S Q R
 
 
Es decir que para dividir dos expresiones fraccionarias es necesario multiplicar el 
dividendo por su inversa multiplicativa. 
Ejemplo 
2 2
2 2
4
. .
2 4 2
x x x x x
x x x x

 
   2x 
 2
.
x   
2
. 2x
x
 2x
x

 
 
Operaciones combinadas 
Para resolverlas, siguen siendo válidas las reglas operatorias con números reales. Es 
decir, primero se resuelven multiplicaciones y divisiones; luego sumas y restas. 
 
 
Bibliografía 
Duarte, B. (2005). Matemáticas para ingresar a la universidad. Buenos Aires, 
Argentina: Granica. 
Noriega R. y Sanchez C. (s. f). El álgebra. Buenos Aires, Argentina: Editorial 
Docencia. 
Rojo, Sánchez, Greco (1978). Matemática para el ingreso a la universidad. Buenos 
Aires, Argentina: Ediciones Sigma. 
 
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39 
 
Guía de Trabajos Prácticos N° 2 
 
ACTIVIDAD 1 
Determina cuáles de las siguientes expresiones son polinomios y cuáles no. Justifica. En caso 
de que lo sean, determinar el grado, coeficiente principal y término independiente. 
Expresión algebraica 
¿Es 
polinomio? 
Justificación 
Polinomio 
Grado 
Coeficiente 
principal 
Término 
independiente 
2P( ) 9 8 2x x x   
Q( ) 2x x x  
4 23 1R( ) 8
4 2
x x x x   
3
S( )x x
x
   
2 1T( ) 9 6 4x x x x    
 
ACTIVIDAD 2 
Sabiendo que: 2 3 2 3A( ) 3 1; B( ) 3 2 7 3; C( ) 5 3 4; D( ) 3x x x x x x x x x x x x            
Determina: 
a. A(1) = d. 3B(x) –
2
1
C(x) = g. C(x) : A(x)= 
b. A(–1) = e. B(x) . D(x) = 
c. A(x) + B(x) – C(x) = f. C(x) : D(x) = 
ACTIVIDAD 3 
 a. ¿El polinomio 3 2P( ) 2 3 4x x x x    es divisible por Q( ) 1x x  ? Justifica. 
b. ¿El polinomio 2R( ) 6 3 3a a a    es múltiplo de S( ) 1a a   ? Justifica. 
c. Un polinomio M(x) de grado 2 tiene por raíces a –1 , 2 y como coeficiente principal 1 
¿Podríasencontrar su expresión algebraica? Si tu respuesta es sí, escríbela. 
 
 
 
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40 
 
ACTIVIDAD 4 
Desarrolla las siguientes operaciones: 
a.  
2
5 3y  
b.  
2
22x x y  
c.  
3
5 2y  
d.  
3
21 3xy  
e.   2 23 3x x   
f. 2 2
2 3 2 3
3 4 3 4
x x y x x y
  
    
  
 
 
ACTIVIDAD 5 
En matemática, muchas veces es necesario escribir una expresión algebraica como producto 
de otros factores. En esta actividad factoriza, cuando sea posible, los polinomios: 
Factor común 
a. 2 35 20x x 
b. 2 3 3 2 4 4 5 58 4 16 12x y x y x y x y   
Factor común en grupos 
c. 3 2 5 5x x x   
d. 4 3x x xy y   
Trinomio cuadrado perfecto 
e. 2 12 36x x  
f. 2 216 8x xy y  
g. 2 14 49x x  
Cuatrinomio cubo perfecto 
h. 3 26 12 8x x x    
i. 3 28 60 150 125x x x    
j. 3 2 2 4 63 3x x y xy y    
Diferencia de cuadrados 
k. 2 1x   
l. 2 29 4x y   
m. 
4
25 81x   
 
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41 
 
ACTIVIDAD 6 
Factorea los siguiente polinomios: 
a. 225 4 20x x   
b. 225 4x  
c. 6 15 8 20y x xy    
d. 3 2 2 36 12 8x x y xy y    
e. 3 2 2 3 210 4 6x y x y x y   
 
ACTIVIDAD 7 
Expresa, si fuera posible, como producto los siguientes polinomios combinando 
procedimientos: 
a. 3 24 4x x x   
b. 312 363x x  
c. 6 2 4 2 32x y x y x y   
d. 4 22 18x x  
e. 3 220 60 45x x x   
f. 3 27 21 7 21x x x    
g. 3 22 9 18x x x    
h. 52 32x y xy  
i. 6 4 2 1x x x    
j. 4 32 4 2 4x x x    
 
ACTIVIDAD 8 
a) Una empresa tiene como función costo C( ) 96 12x x  y el ingreso I( ) 20x x , siendo x 
el número de bienes producidos. 
i) Halla la expresión de la ganancia. 
ii) ¿Cuándo el Costo es igual al Ingreso? 
iii)¿Cuántas unidades se deben producir para que la Ganancia sea mayor que 0? 
 
b) Escribe el polinomio reducido del perímetro del siguiente triángulo isósceles donde 
 
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42 
 
 2 2
1
ac ab ; ac 3; cb 6
2
x x x x      
 
i) ¿cuánto valen cada uno de los lados y el perímetro, si x = 4 metros? 
ii) ¿Puede x valer 1 metro? ¿por qué? 
 
c) Un terreno rectangular tiene una superficie de 2S( ) 2 5 12x x x   
i) ¿Cuál es su altura si su base, expresada en metros, es 4?x 
ii) Basándose en el ítem i) ¿cuánto valen la altura, la base y la superficie, si x = 3 
metros? 
iii) ¿Puede x valer 1 metro? ¿por qué? 
 
ACTIVIDAD 9 
Simplifica cuando sea posible las siguientes expresiones algebraicas racionales hasta obtener 
su mínima forma. 
a. 
3 4
6
x y
x y
 
b. 
2
2 2
xy y
x y



 
c. 
2
4 6 9
.
4 9 12
x x
x x



 
d. 
 96
12
:
94
4
2 x
x
x
x
 
 
e. 
2
5 3 4
1 1 1
x
x x x
  
  
 
f. 
 
   
22
6 1 6
11
x
x x xx x

  

 
 
 
 
 
 
 
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43 
 
Ejercicios Complementarios 
ACTIVIDAD 1 
Determina el grado, coeficiente principal y término independiente de los siguientes 
polinomios 
Polinomio Grado 
Coeficiente 
principal 
Término 
independiente 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
ACTIVIDAD 2 
Sabiendo que ( ) ; ( ) ; 
 ( ) ; ( ) ; Determina: 
a. A(x) b – B(x) + C(x) = 
b. -2C(x) +A(x) = 
c. 5[B(x) + C(x)] = 
d. B(x) . A(x) = 
e. A(x) : D(x) = 
 
ACTIVIDAD 3 
Expresa, si fuera posible, como producto los siguientes polinomios combinando 
procedimientos: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. ( ) ( ) 
g. 
h. 
i. 
 
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44 
 
ACTIVIDAD 4 
a) El dueño de una propiedad quiere sembrar una alfombra de pasto en el fondo de su 
casa y para ello debe tener en cuenta la siguiente figura en la cual se ve el patio 
trasero y, sombreado, el espacio a sembrar, con las dimensiones que allí se indican. 
i) Hallar la expresión polinómica que permite calcular la superficie a sembrar. 
ii) ¿Cuánto dinero se necesita si x = 7 y el m2 de pasto vale $165? 
 
b) Cada semana un campo cuadrado de cierto parque estatal es podado alrededor de los 
bordes. El resto del campo se mantiene sin podar para que sirva como hábitat para aves 
y pequeños animales. El campo tiene b metros de lado y la franja podada es de x metros 
de ancho. 
i) Explique por qué el área de la parte podada es ( ) 
ii) Si el campo tiene 62500m
2
 de superficie, calcular el área no podada si x =75m. 
 
 
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45 
 
ACTIVIDAD 5 
Simplifica cuando sea posible las siguientes expresiones algebraicas racionales hasta 
obtener su mínima forma. 
a. 
5 7
4 9
x y
y x
 
b. 
2 3
4 4
x y y
x y



 
c. 
2
2
25 16 3
.
5 4
y y
y y y


 
 
d. 
2 2
2 10
:
9 36 2 8
x x
x x x


  
 
e. 
2
3 2
2 4 2
x
x x x
  
  