Práctica de Análisis 1 - John Liñan (4)

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PRÁCTICA DIRIGIDA 
 
1. Determinar el dominio de: 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 9 + √25 − 𝑥2 
b) 𝑓(𝑥) =
√20−𝑥−𝑥2
𝑥2−9
 
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
√𝑥+1
6
−1
 
2. Graficar las funciones indicando su dominio y rango 
a) 𝑦 = 2𝑥 + 3 
b) 𝑦 = −
1
3
𝑥 − 2 
c) 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 2 
d) 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 − 3 
 
3. f = {(−2,4), (5,3), (1, −2), (6, −1), (7,3)}; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥2; 𝑥 ∈
[−7; 10] 
ℎ(𝑥) = {
𝑥 + 2; 𝑥 ∈ ⟨−8; 1]
𝑥2 − 3𝑥 + 9; 𝑥 ∈ 〈1,15〉
 
Calcule el valor numérico de 𝐸 =
(𝑔𝑜ℎ)(0)−(2𝑓+5𝑔)(1)
(𝑓𝑜ℎ)(2)
 
4. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 1; 𝑦 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 4, calcular (𝑔°𝑓)(𝑥) 
5. Calcular 
a) lím
𝑥→2
2𝑥2−𝑥−6
𝑥2−4
 
b) lím
𝑥→3
𝑥3−8𝑥−3
𝑥2+𝑥−12
 
c) lím
𝑥→1
3𝑥3−9𝑥+6
1−𝑥3
 
d) lím
𝑥→∞
5𝑥+1
3𝑥−4
 
 
6. Determinar la inversa 𝑓−1(𝑥), de las siguientes funciones, indicando 
su dominio y rango 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑥ϵ [−1, 2] 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2; 𝑥 ∈ ⟨2; 4]. 
 
PRÁCTICA DIRIGIDA 
7. Calcular las derivadas de las siguientes funciones y evaluarlas en el 
valor de x dado: 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥8−4𝑥7+3𝑥6
6𝑥4
; 𝑥 = 2 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥5−4𝑥4+3𝑥2
𝑥4
; 𝑥 = −1 
c) 𝑓(𝑥) = 52𝑥+1; 𝑥 = 1 (sug: 𝑢𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎) 
d) 𝑓(𝑥) =
(5𝑥−3)3(2𝑥+1)2
𝑒5𝑥
; 𝑥 = 0 (sug: ln(𝑒𝑢) = 𝑢) 
e) 𝑓(𝑥) = (2𝑥−1) ∙ (√5 + 2𝑥 − 𝑥2
3
) 
8. Determinar si la función 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 − 3 𝑥 < 2
3𝑥2 + 𝑥 2 ≤ 𝑥
, es continua en 
x= 2 
9. Investigue las clases de discontinuidad, dé un ejemplo gráfico de 
cada una de ellas 
10. Derive las siguientes funciones en forma implícita: 
a) 4𝑦2 − 5𝑥3 − 7𝑥4𝑦 + 5𝑥2𝑦3 = 3, y evalúe en el punto 𝑓(1) = −1. 
b) 𝑦2 − 5𝑥3 + 5𝑥𝑦3 = 2 
 
11. Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal al gráfico 
de: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥; 𝑥 = 2 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 + 3, y que pasa por el punto cuya abscisa es 1. 
 
12. Determine la medida del mayor ángulo formado por las rectas 
tangentes, en el punto de intersección de las curvas: 
 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥 − 4 y 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥 + 4. 
 
13. Calcular 𝑓′′(𝑥) si: 
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 3 
b) 𝑓(𝑥) = ln(4𝑥 + 1)5 
 
14. Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥3+3𝑥2 − 12𝑥 + 2; 𝑥 ∈ [−3; 4], 
determine: 
a) Los puntos críticos 
b) Los intervalos de monotonía 
c) Los extremos absolutos y relativos 
d) Grafique 
PRÁCTICA DIRIGIDA 
 
15. Aplicar L’Hospital para calcular los siguientes límites: 
a) lím
𝑥→1
3𝑥3−9𝑥+6
1−𝑥3
 
b) lím
𝑥→∞
5𝑥+1
3𝑥−4
 
c) lím
𝑥→4
√2𝑥+1−3
√𝑥−3
3
−1
 
 
16. Determinar las dimensiones de un rectángulo, cuya diagonal mide 
42 cm, para que contenga la mayor área posible. 
 
17. Un triángulo rectángulo se expande con el tiempo. La hipotenusa 
del rectángulo aumenta a razón de 8 cm/h y la base crece a razón de 
5 cm/h. ¿Cuán rápido crece la altura cuando esta mide 6 cm y la base 
mide 8 cm?