GTP MATEMATICA APLICADA

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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES 
FACULTAD DE FARMACIA Y BIOQUÍMICA 
 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA 
APLICADA 
Guía de Trabajos Prácticos 
 
Primer Cuatrimestre - 2020 
 
 
 
 
 
 
Prof. Tit. Dra. Myriam Nuñez 
Prof. Adj. Lic. Christiane Ponteville 
Prof. Adj. Lic. Rodolfo Cossalter 
Prof. Adj. Dr. Alberto Formica 
 
 
 
 
 
 
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA 
 
1 
 
TRABAJO PRÁCTICO 1 
 
RELACIONES RELATIVAS ENTRE ÁNGULOS 
 
1. Encontrar la medida del ángulo 𝛽 complementario de  sabiendo que: 
a) �̂� = 37°18´ b) �̂� = 45°32´ 
 
2. Encontrar la medida del ángulo 𝛽 suplementario de  sabiendo que: 
b) �̂� = 122°17´ b) �̂� = 67°45´ 
 
3. Completar las siguientes afirmaciones: 
 
a) El ángulo suplementario de un ángulo agudo es un ángulo _______ . 
b) El ángulo suplementario de un ángulo recto es un ángulo _________ . 
c) El ángulo suplementario de un ángulo llano es un ángulo _______ . 
d) El ángulo suplementario de un ángulo obtuso es un ángulo _______ . 
e) Si un ángulo es congruente con su complementario entonces vale_______ . 
f) Si un ángulo es congruente con su suplementario entonces vale_______ . 
 
4. Tachar lo que no corresponda: 
a) Dos ángulos adyacentes (a veces; siempre; nunca) son suplementarios. 
b) Dos ángulos opuestos por el vértice (a veces; siempre; nunca) son suplementarios. 
c) Dos ángulos suplementarios (a veces; siempre; nunca) son complementarios. 
d) Dos ángulos complementarios congruentes (a veces; siempre; nunca) miden 45. 
 
5. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico completar, si es posible, los valores del resto de los 
ángulos para cada una de las situaciones propuestas: 
 
 
 
 
a) 𝜶�̂� = 𝟔𝟎°𝟒𝟓´ b) 𝜷�̂� = 𝟑𝟐°𝟏𝟎´ c) 𝜸�̂� = 𝟕𝟖°𝟓𝟔´ 
 
 
 
2 
 
6. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico: 
 
 
 
 
 
a) enunciar todos los pares de ángulos adyacentes. 
b) enunciar todos los pares de ángulos opuestos por el vértice. 
 
7. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico hallar las medidas del resto de los ángulos para cada una 
de las situaciones propuestas: 
 
 
 
a) 𝜶�̂� = 𝟏𝟎𝟎°𝟒𝟎´´ b) 𝜷�̂� = 𝟑𝟖°𝟏𝟗´ 
c) 𝜹�̂� + 𝜹�̂� = 𝟗𝟕° d) 𝟐 𝜷�̂� = 𝜶�̂� 
 
 
8. Calcular las medidas de los ángulos interiores de cada uno de los siguientes triángulos sabiendo 
que: 
a) los tres ángulos son congruentes. 
b) tiene un ángulo recto y los otros dos son congruentes. 
c) tiene un ángulo que mide 135º y los otros dos son congruentes. 
d) el ángulo 1 mide el doble que el ángulo 2 
 
 
 
 
 
3 
 
9. Hallar la medida de  y  para cada una de las siguientes configuraciones: 
 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
 
 
 
4 
 
TRABAJO PRÁCTICO 2 
 
OPERACIONES ALGEBRAICAS 
 
1. Calcular: 
 
a) 3 (3 − √4−1) b) 2 + 3 ∙ (3 − 8) 
c) 
5
25 + 30
− 3: (1 − 3) d) 
1
2
− (3: 5 + 4)−1 
e) (2 − 3,5) ∙ (−1 + 5: 2)2 f) [
1
5
− (
3
4
+ 7: 8)] : (1 −
7
6
) 
g) √9 + 4 h) √9 ∙ 4 
i) √25: 5 + 4 j) √8 + 7 ∙ 8
3
 
k) (
2
3
)
2
: 
16
9
 l) (2
4
3⁄ )
9
8⁄
 
m) (3 + 23)2 ∙ (
11
3
)
−3
 n) (3 + √16)
−1
: (
1
7
)
2
 
o) √36 − 9: 5 + (3 − 2−1)−2 p) −3 (3 − √4−1) 
q) 
2
3
− {−
1
2
+ 1 − (−
1
2
−
5
12
) − 2 −
1
4
− [−1 − (2 ∙
1
6
−
1
4
) +
2
3
]} 
r) 
 [(4 −
1
2
)
2
+ (−3 −
1
2
)
2
]
1
2⁄
 
 
2. Si 𝑥 = 2, 𝑦 = 2/3 y 𝑧 = −3/2, calcular: 
 
 a) 𝑥 . (𝑦 + 𝑧) 
 b) 𝑥 . 𝑧 + 𝑦 . 𝑧 
 c) 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 
 d) (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑧 
¿En a) y c) obtuvo el mismo resultado? ¿Por qué? 
¿En b) y d) obtuvo el mismo resultado? ¿Por qué? 
 
5 
 
3. Simplificar las siguientes expresiones: 
 
a) 
(𝑥 + 2)
5−2
∙
(𝑥2 − 4)−1
30
 
b) 
(𝑥 − 2)
7
:
(𝑥2 − 4)
49
 
c) (
1
𝑥
+ 𝑥−2) ∙
𝑥2
(𝑥 + 1)2
 
d) [1 −
1
(𝑎 + 1)2
] ∙
1
𝑎
 
e) 
𝑎 − 3
5
−
𝑎
3
+
𝑎
15
 
 
ECUACIONES e INECUACIONES 
 
4. Resolver las siguientes ecuaciones: 
 
a) 2𝑥 + 1 = −1 
b) − 5𝑥 + 2 = −7 
c) 3 − 𝑥 = 𝑥 + 2 
d) 2 (2𝑥 − 3) = 𝑥 + 6 
e) 
3
4
 (2𝑥 + 4) = 𝑥 + 19 
 f) − 2 (3𝑥 − 1) + 4 = 7𝑥 − 3 
g) 
𝑥 − 1
6
− 
𝑥 − 3
2
= −1 
 h) 
5
𝑥 − 7
=
3
𝑥 − 2
 
i) 
4
𝑥 − 3
=
5
𝑥 − 2
 
k) |𝑥 − 1| = 4 
l) 
2𝑥 + 4
𝑥 + 2
= 2 
m) |2 − 𝑥| = 3 
n) 𝑥2 − 4 = 5 
o) 𝑥2 − 4 = −𝑥2 + 6 
p) (𝑥 − 3)2 = 9 
q) (𝑥 − 4)3 = 27 
𝑟) √𝑥 − 2 = 3 
s) √𝑥 + 3 − 2 = 5 
 
 
5. Resolver las siguientes inecuaciones y representar su solución en la recta real: 
a) 2𝑥 − 2 ≤ 𝑥 − 3 
b) 𝑥2 − 4𝑥 + 4 > 0 
c) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0 
d) |𝑥 − 1| < 4 
e) |3 − 2𝑥| < 1 
f) |2𝑥 − 3| ≥ 5 
g) |3 − 2𝑥| > 3 
h) 3|𝑥| > 4 
 
6 
 
 
6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 
 
a) 





23
12
xy
xy
 b) 





1243
632
yx
yx
 
c) 





1026
53
yx
yx
 d) 





522
3
yx
yx
 
 
7. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 
 
a) { 
𝑦 = 𝑥2 − 5 𝑥 + 6
𝑦 = 𝑥2 + 2 𝑥 + 1
 
 
b) { 
𝑦 = −5𝑥2 + 5
𝑦 = 𝑥2 + 5 𝑥 + 6
 
 
c) { 
𝑦 = 2 𝑥 + 1
𝑦 = 𝑥2 − 2 𝑥 + 1
 
 
d) { 
2𝑥 − 𝑦 = 4
𝑦 = 𝑥2 − 3 𝑥 + 2
 
 
 
7 
 
TRABAJO PRÁCTICO 3 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
1. Sabiendo que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa 
es 𝑎, calcular, si es posible, las medidas del lado restante en cada caso. Justificar su respuesta. 
 
a) 𝑎 = 5, 𝑏 = 4 
b) 𝑏 = 1, 𝑐 = 1 
c) 𝑎 = 4, 𝑏 = 6 
d) 𝑏 = 8, 𝑐 = 10 
e) 𝑎 = 7, 𝑏 = 2 
f) 𝑏 = 16, 𝑐 = 12 
 
2. Decidir cuál o cuáles de las siguientes ternas de números NO puede corresponder a la medida de 
los lados de un triángulo rectángulo. Indicar en cada caso el porqué de su respuesta (todas las 
medidas corresponden a una misma unidad): 
 
a) 𝑝 = 5, 𝑞 = 4, 𝑟 = 3 
b) 𝑝 = 20, 𝑞 = 25, 𝑟 = 15 
c) 𝑝 = 6, 𝑞 = 8, 𝑟 = 100 
d) 𝑝 = 2√13, 𝑞 = 6, 𝑟 = 4 
e) 𝑝 = 7, 𝑞 = 15, 𝑟 = 8 
 
3. Sabiendo que 𝑠𝑒𝑛(30°) = 1/2, que cos(45°) = √2/2 y que 𝑠𝑒𝑛(60°) = √3/2completar la 
siguiente tabla con los valores que correspondan en cada lugar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Expresando el ángulo de manera conveniente (a partir de los resultados de la tabla anterior o de 
los que vaya obteniendo si resulta útil) calcular los siguientes valores: 
a) 𝑠𝑒𝑛(15°), cos(15°) , 𝑡𝑔(15°) (sugerencia: 15° = 45° − 30° ó 15° = 60° − 45°) 
b) 𝑠𝑒𝑛(75°), cos(75°) , 𝑡𝑔(75°) 
c) 𝑠𝑒𝑛(90°), cos (90°) 
d) 𝑠𝑒𝑛(120°), cos(120°) , 𝑡𝑔(120°) 
e) 𝑠𝑒𝑛(150°), cos(150°) , 𝑡𝑔(150°) 
 
 30° 45° 60° 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
cos (𝛼) 
𝑡𝑔(𝛼) 
 
8 
 
5. Dado un triángulo rectángulo como el de la figura determinar, en cada caso y utilizando 
únicamente los datos, los valores de los lados y ángulos que no están dados (las medidas de los 
lados están dadas todas en la misma unidad). Para los valores que no son exactos, utilizar una 
aproximación de 4 cifras decimales. 
 
 
a) 𝑎 = 5, 𝑏 = 3 
b) 𝑏 = 6, 𝑐 = 3 
c) 𝛼 = 30°, 𝑏 = 10 
d) 𝛽 = 52°, 𝑎 = 6 
e) 𝛼 = 40°, 𝑎 = 9 
f) 𝑎 = 8, 𝑐 = 5 
g) 𝛽 = 35°, 𝑐 = 8 
 
 
 
6. Considerando un triángulo cuyos lados y ángulos están definidos como en la figura determinar, 
en cada caso, las medidas de los lados y ángulos faltantes a partir de los datos dados (las 
medidas de los lados están dadas todas en la misma unidad). Para los valores que no son 
exactos, utilizar una aproximación de 4 cifras decimales. 
 
 
a) 𝑎 = 6, 𝑏 = 4, �̂� = 25° 
b) �̂� = 22°, �̂� = 79°, 𝑏 = 8 
c) �̂� = 45°, 𝑎 = 8, 𝑐 = 4 
d) �̂� = 30°, 𝑎 = 10, 𝑏 = 5 
e) 𝑐 = 9, 𝑏 = 10, �̂� = 70° 
f) 𝑎 = 7, 𝑐 = 9, 𝑏 = 6 
g) 𝑎 = 9, 𝑐 = 9, �̂� = 55° 
 
 
 
9 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO 4 
 
PUNTOS y RECTAS EN EL PLANO 
 
1. Ubicar los siguientes pares de puntos en un sistema de ejes cartesianos y hallar la distancia entre 
ellos: 
 
a) 𝐴 = (5; 6) 𝐵 = (3; 5) 
b) 𝐴 = (−1; 3) 𝐵 = (2; 3) 
c) 𝐴 = (6; −3) 𝐵 = (−1; −1) 
d) 𝐴 = (2; 1) 𝐵 = (2; −1) 
e)𝐴 = (0; −3) 𝐵 = (−1; 0) 
f) 𝐴 = (−3; 1) 𝐵 = (1; −3) 
 
2. Hallar las coordenadas del punto medio entre 𝐴 y 𝐵 de cada uno de los ítems del ejercicio 1. 
 
3. Decidir si los puntos 𝐴 = (−2; 5), 𝐵 = (3; −5) y 𝐶 = (−7; 15) están o no alineados. Explicar 
el procedimiento utilizado. 
 
4. Dados los siguientes gráficos, hallar la ecuación de la recta identificando previamente la 
pendiente y la ordenada al origen: 
 
 
 
 
 
 
       






x
y
       






x
y
       






x
y
       






x
y
       






x
y
       






x
y
a) b) c) 
d) e) f) 
 
10 
 
5. Hallar y graficar la ecuación de la recta que tiene pendiente m y contiene al punto 𝑃0 
a) 𝑚 =
5
2
 𝑃0 = (1; −1) 
b) 𝑚 = −1 𝑃0 = (4; 3) 
c) 𝑚 = 2 𝑃0 = (−3; 2) 
d) 𝑚 = 0 𝑃0 = (1; 8) 
e) 𝑚 = −2 𝑃0 = (0; 5) 
f) 𝑚 =
1
2
 𝑃0 = (−4; 0) 
 
6. Hallar y graficar la ecuación de la recta que contiene a los puntos 𝑃0 y 𝑃1: 
 
a) 𝑃0 = (2; 0) 𝑃1 = (3; 2) 
b) 𝑃0 = (−3; 1) 𝑃1 = (−4; 5) 
c) 𝑃0 = (−1; −1) 𝑃1 = (2; −2) 
d) 𝑃0 = (−4; 2) 𝑃1 = (2; 2) 
e) 𝑃0 = (0; −2) 𝑃1 = (4; 0) 
f) 𝑃0 = (2; −1) 𝑃1 = (2; 5) 
g) 𝑃0 = (−2; 6) 𝑃1 = (2; 0) 
 
7. Indicar cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares a la recta de 
ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 3, justificando su decisión. 
 
a) 𝑦 = 2𝑥 + 1 
b) 𝑦 = −2𝑥 − 3 
c) 𝑦 =
1
2
𝑥 + 5 
 
d) 𝑦 =
1
2
𝑥 +
1
3
 
e) 2𝑥 + 4𝑦 = 8 
f) 6𝑥 − 3𝑦 = 7 
 
8. Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto 𝑃 = (−1; 4) y es paralela a la recta de 
ecuación 𝑦 = 5𝑥 − 2. Graficar ambas rectas en el mismo sistema de coordenadas. 
 
9. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación 𝑦 = −𝑥 + 3 y que contenga al 
punto 𝑃 = (8; 4). Graficar ambas rectas en el mismo sistema de coordenadas. 
 
10. Hallar la ecuación de la recta paralela a la recta de ecuación 𝑦 =
3
2
𝑥 + 3 y que contenga al punto 
𝑃 = (2; 1). Graficar ambas rectas en el mismo sistema de coordenadas. 
 
11. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación 𝑦 =
3
4
𝑥 − 2 que intersecta al 
eje de ordenadas en el mismo punto que la recta dada. Graficar ambas rectas en el mismo sistema 
de coordenadas. 
 
12. Representar gráficamente los puntos del plano definidos por: 
a) y < 2 x + 1 
b) x + y > 0 
c) x + 2 y ≥ 3 
d) 2 y ≥ 4 – 3 x 
e) x ≥ 2 
f) y < 4 
 
 
11 
 
TRABAJO PRÁCTICO 5 
 
POLINOMIOS 
 
1. Hallar 𝑃 ∙ 𝑄, 3𝑃 + 𝑄, 𝑃2 − 𝑄, e indicar su grado cuando esto sea posible: 
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 2 𝑄(𝑥) = −3𝑥2 + 6 
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 
c) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 𝑄(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥 
 
2. Si el grado de 𝑔𝑟(𝑃) = 4 y 𝑔𝑟(𝑄) = 3, ¿qué puede decirse del grado de los siguientes 
polinomios? 
a) 𝑃 ∙ 𝑄 
b) 𝑃3 
c) 𝑃 + 𝑄 
d) 𝑃3 + 𝑄3 
 
3. Determinar, si existe, 𝑎 ∈ ℝ para que: 
a) 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 − 𝑎𝑥 + 2 𝑃(2) = −1 
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 𝑎 0 es raíz de 𝑃 
c) 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 𝑎𝑥 + 6 𝑃(−1) = 6 
 
4. Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno de los siguientes casos: 
 
a) 𝑃(𝑥) = 3𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 − 1 𝑄(𝑥) = 2𝑥3 + 1 
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 6𝑥 + 9 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3 
c) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥2 − 9 𝑄(𝑥) = 2𝑥2 + 2 
d) 𝑃(𝑥) =
1
4
𝑥4 + 1 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2 
e) 𝑃(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑄(𝑥) = −𝑥 + 3 
 
5. a) Hallar un polinomio 𝑃 de grado 2 tal que sus raíces sean -1 y 2, y además 𝑃(−2) = 5. 
b) Hallar un polinomio 𝑃 de grado mínimo que sea divisible por 𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 y que tenga 
a 2 y 3 como raíces. 
 
6. Determinar 𝑘 ∈ ℝ tal que 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 + 𝑘 𝑥 + 3 sea divisible por 𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 3. 
 
7. ¿Para qué valores de 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 𝑎𝑥3 −
1
4
𝑥2 + 𝑏 es divisible por 
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2, y tiene resto 𝑅(𝑥) = −18 al dividirlo por 𝑥 − 2? 
 
 
 
 
 
12 
 
8. Determinar , en cada caso, los coeficientes para que: 
a) 0 𝑦 1 sean raíces del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3𝑥 + 𝑐 
b) los polinomios 𝑃(𝑥) = 𝑎 𝑥2 − 3𝑥 + 𝑐 y 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tengan a 2 y a 1 
como raíces en común. 
 
9. Hallar las raíces racionales del polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 3𝑥3 − 3𝑥 − 2 . 
 
10. Hallar todas las raíces reales de los siguientes polinomios: 
a) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 
b) 𝑃(𝑥) =
1
2
𝑥3 − 3𝑥2 +
11
2
𝑥 − 3 
c) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 − 4𝑥 
d) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 −
7
4
 
e) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 7𝑥2 − 5𝑥 + 6 sabiendo que 3 es raíz 
 
11. Factorizar el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 6𝑥2 − 8𝑥 + 8 sabiendo que 𝑥 = 2 es una raíz 
doble. 
 
12. Factorizar los siguientes polinomios usando el método de Gauss: 
a) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 3𝑥 − 𝑥2 − 1 
b) 𝑄(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 9𝑥2 − 9𝑥 
 
13. Determinar en cada caso la multiplicidad de 𝛼 como raíz del polinomio 𝑃: 
a) 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)2(𝑥2 − 1)(𝑥3 − 1) 𝛼 = 1 
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥8 − 𝑥6 + 6𝑥3 𝛼 = 0 
 
 
13 
 
TRABAJO PRÁCTICO 6 
 
CÓNICAS 
 
1. A partir de la ecuación determinar vértice, foco y directriz de las siguientes parábolas. Graficar 
indicando todos sus elementos. 
a) 𝑦 = −𝑥2 
b) 𝑦2 = 6(𝑥 + 1) 
c) (𝑥 − 2)2 = 4(𝑦 + 1) 
d) (𝑦 + 3)2 = −2(𝑥 − 4) 
 
2. Graficar los elementos indicados y determinar para cada caso la ecuación canónica de la parábola 
que tiene: 
a) vértice en (0; 0) y foco (0; 2) 
b) vértice en (0; 0) y directriz 𝑥 = 2 
c) vértice en (0; 0) y abre hacia arriba con el foco a 5 unidades del vértice 
d) vértice en (−2; 4) y foco (−2; 3) 
e) vértice en (−1; 1) y directriz 𝑦 = 0 
f) foco en (1; 1) y directriz 𝑥 = 2 
 
3. Determinar la ecuación canónica, vértice, foco y directriz de las parábolas definidas por las 
siguientes ecuaciones. Graficar. 
a) 6𝑥 + 𝑦2 = 0 
b) 𝑥2 − 4𝑥 = 8𝑦 − 28 
c) 𝑦2 = 16𝑥 − 8 
d) 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 
 
4. A partir de la ecuación determinar los vértices, focos, centro y longitud de los ejes mayor y menor 
de las siguientes elipses. Graficar indicando todos sus elementos. 
a) 𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 
c) (𝑥 + 1)2
4
+
(𝑦 − 2)2
9
= 1 
b) (𝑥 − 3)2
16
+ 𝑦2 = 1 
d) (𝑥 − 3)2
5
+
(𝑦 + 2)2
7
= 1 
 
5. Graficar los elementos indicados y determinar para cada caso la ecuación canónica de la elipse 
que tiene: 
a) vértices en (4; 0) y (−4; 0), y focos (2; 0) y (−2; 0) 
b) focos (0; 8) y (0; −8), y su excentricidad es 4/5 
c) la longitud del eje mayor es 6, del eje menor es 4 y centro (2; −3) 
d) focos en (−3; 0) y (5; 0) y el eje mayor mide 10 
e) foco en (7; 2), vértice en (9; 2) y centro (4; 2) 
 
14 
 
f) centro en el origen, contiene al punto (−1; 3) y uno de sus vértices es (0; 5) 
g) uno de los vértices dista 8 de un foco y 18 del otro y el centro en (0; 0) 
 
6. Determinar la ecuación canónica, los vértices, los focos y el centro de las elipses definidas por 
las siguientes ecuaciones. Graficar. 
 
a) 16𝑥2 + 9𝑦2 = 144 
b) 2𝑥2 + 4𝑦2 = 16 
c) 
𝑥2
16
+
𝑦2
4
+ 𝑦 + 1 = 0 
d) 
𝑥2
4
+
𝑦2
16
+
𝑦
2
+ 1 = 0 
e) 4𝑥2 + 𝑦2 − 16𝑥 − 6𝑦 + 21 = 0 
 
7. A partir de su ecuación, determinar vértices, focos, centro, recta focal y la longitud del eje de las 
siguientes hipérbolas. Graficar indicando todos sus elementos. 
 
a) 
𝑥2
16
−
𝑦2
9
= 1 
b) 
(𝑦 − 3)2
144
−
(𝑥 + 2)2
25
= 1 
c) 𝑦2−
𝑥2
16
= 1 
d) 
(𝑥 + 1)2
144
−
(𝑦)2
8
= 1 
 
8. Graficar los elementos indicados y determinar para cada caso la ecuación canónica de la 
hipérbola que tiene: 
a) vértices en (3; 0) y (−3; 0), y focos (4; 0) y (−4; 0) 
b) vértices (0; 2) y (0; −2), y su excentricidad es √5/2 
c) la longitud del eje focal es 8, centro (−3; 2) y distancia focal 10 
d) eje mide 12, pasa por el (8; 14) y centro (0; 0) 
e) un foco dista de los vértices 50 y 2 y centro (1; 2) 
 
9. Determinar la ecuación canónica, vértices, focos y el centro de las hipérbolas definidas por las 
siguientes ecuaciones. Graficar. 
a) 9𝑥2 − 16𝑦2 = 144 
b) 𝑥2 − 9𝑦2 + 9 = 0 
c) 4𝑥2 − 3𝑦2 − 8𝑥 − 8 = 0 
d) 𝑦2 − 𝑥24𝑥 − 4𝑦 = 0 
 
 
15 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO 7 
FUNCIONES 
FUNCIONES LINEALES 
 
1. Dadas las ecuaciones de las siguientes rectas, decidir cuáles corresponden a una función lineal. En 
caso afirmativo, indicar el valor de la pendiente y la ordenada al origen. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 
c) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 3 
e) 𝑓(𝑥) = 5 
 
2. Hallar la forma explícita 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 de las siguientes funciones lineales: 
a) Expresadas en forma canónica: 
i) 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 1) + 3 
ii) 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 + 2) + 1 
iii) 𝑓(𝑥) =
1
2
(𝑥 − 4) − 3 
b) Expresadas en forma implícita: 
i) 3𝑥 + 2𝑦 = 6 
ii) −2𝑥 + 𝑦 = 5 
iii) 2𝑥 + 5𝑦 = 3 
 
3. Hallar y graficar la ecuación de la función lineal cuyo gráfico tiene pendiente 𝑚 y pasa por el 
punto 𝑃0 = (𝑥0; 𝑦0) en los siguientes casos: 
i) 𝑚 = 2 𝑃0 = (2; −1) 
ii) 𝑚 = −3 𝑃0 = (−2; 3) 
 
4. Dados los siguientes gráficos, hallar la ecuación de la correspondiente función lineal, indicando 
su dominio: 
 a) b) 
 
 
 
 
16 
 
 
5. Hallar y graficar la función lineal que verifica: 
i) 𝑓(3) = 1 𝑦 𝑓(5) = 2 
ii) 𝑓(−5) = 1 𝑦 𝑓(3) = −2 
iii) 𝑓(2) = 1 𝑦 𝑓(−3) = 1 
 
 
6. Hallar las raíces de las siguientes funciones lineales: 
i) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 
ii) 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 5) + 1 
iii) 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥 + 5 
iv) −2𝑥 + 3𝑦 = 6 
 
7. Hallar gráficamente los puntos de intersección de las siguientes rectas: 
 
a) 





23
12
xy
xy
 b) 





1243
632
yx
yx
 c) 





1026
53
yx
yx
 d) 





522
3
yx
yx
 
Comparar con los resultados obtenidos en el ejercicio 6 del trabajo práctico 2. 
 
8. Dadas las siguientes funciones hallar su función inversa: 
 
a) 3)(:  xxfRRf 
b) 52)(:  xxfRRf 
 
Graficar la función y su inversa en un mismo sistema de coordenadas verificando su simetría con la 
recta identidad. 
 
FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
9. Dadas las siguientes funciones cuadráticas 
i) Hallar las raíces reales y expresarlas cuando sea posible en forma factorizada. 
ii) Hallar el vértice y expresarlas en forma canónica. 
iii) Graficar 
a) 23)( 2  xxxf b) 132)( 2  xxxf 
c) 42)( 2  xxxf d) 2)( 2  xxxf 
 
 
 
17 
 
10. Dadas las siguientes funciones cuadráticas expresadas en forma canónica 
i) Identificar el vértice 
ii) Hallar si existen las raíces reales. 
iii) Graficar 
a) 8)3(2)( 2  xxf b) 9)1()( 2  xxf 
c) 2)2()(  xxf d) )1)(3()(  xxxf 
11. Indicar cuál de las siguientes funciones cuadráticas se corresponde con cada gráfico. 
Justificar 
a) 4)3()( 2  xxf b) 3)1(2)( 2  xxf 
c) 2)3()(  xxf d) )1)(2()(  xxxf 
 
 
 
 
 
12. Hallar gráficamente los puntos de intersección de las siguientes funciones: 
a) { 
𝑦 = 2 𝑥 + 1
𝑦 = 𝑥2 − 2 𝑥 + 1
 
 
b) { 
2𝑥 − 𝑦 = 4
𝑦 = 𝑥2 − 3 𝑥 + 2
 
Comparar con los resultados obtenidos en el ejercicio 6 del trabajo práctico 2. 
 
 
 
18 
 
 
13. Dadas las siguientes funciones hallar su función inversa: 
 
a) 3)(: 230   xxfRRf b) 
2
03 )3()(:   xxfRRf 
c) 2
03 )3()(:   xxfRRf d) 3)2()(:
2
32   xxfRRf 
 
FUNCIÓN MÓDULO 
 
14. Graficar las siguientes funciones e indicar su dominio e imagen 
 
a) 3)(  xxf b) 2)(  xxf 
c) 34)(  xxf d) 532)(  xxf 
 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 
 
15. Reducir (no usar calculadora): 
a) 0
8
2828 2143 e
e
eeee   
b) 2525 43 eeee  
c) 
2
463
3
622
 
 
16. Hallar el valor de 𝑥: 
a) 11 273  x 
b) 128
2
4
2
1



x
x
 
c) 12555 12 xx 
 
17. Graficar los siguientes pares de funciones en un mismo sistema de coordenadas: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = 3𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3 
c) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 𝑔(𝑥) = −5𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑔(𝑥) = 3−𝑥 
 
18. Las funciones exponenciales son adecuadas para representar el crecimiento poblacional como 
también el proceso de desintegración de partículas. 
La cantidad de masa que va quedando de un elemento radioactivo a través del tiempo se 
representa por la siguiente función: y = 10 (1/2)t/25, donde t es el tiempo medido en años e y la 
masa medida en gramos. 
 
19 
 
a) ¿Qué masa tenía el elemento al inicio? 
b) ¿Cuánto quedará al término de 100 años? 
c) ¿Cuántos años pasarán para que la masa inicial se reduzca a la mitad? 
 
19. Graficar en forma aproximada las siguientes funciones: 
a) y = log (x-5) 
b) y = 3+ln(x) 
c) y = 1+ln(x+3) 
 
20. Reducir: 
a) 











5
log)2log(
2
log
a
a
a
 
b) ln z7 +lnz9-ln1 
c) ln e5x 
d) log 105 
 
21. Resolver las siguientes ecuaciones: 
a) 2 log x = 3 + log (
x
10
) 
b) log x + log(x + 3) = 2 log (x + 1) 
c) ln (
x
2
) − 2ln (
x
3
) = 3ln(x) − ln (
64
9
) 
d) log(20x + 20) − 2log(x + 1) = 1 
 
22. Considerar la población del ejercicio 18. Existe otra sustancia radioactiva que comienza su 
proceso de desintegración en el mismo momento pero según la siguiente ecuación: 
 
y = 
 20
3
1
10







t
 
 ¿Existe algún instante de tiempo donde ambas sustancias tienen la misma masa? 
 
 
23. Dadas las siguientes funciones, hallar su función inversa. 
 
a) 
xxfRRf 2)(: 0   b) 1)(: 1  
xexfRRf 
c) )3log()(: 3  xxfRRf d) 3)2log()(: 2  xxfRRf 
 
 
 
 
20 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
24. Calcular las funciones trigonométricas pedidas: 
a) sen (3/2 ) 
b) cos (4/3 ) 
c) sen (-/6) 
d) sen (5 π) 
e) tg (-π/3) 
f) cos (
13
2
 𝜋) 
 
25. Graficar de forma aproximada las siguientes funciones, indicando su dominio e imagen: 
 
a) f(x) = 2 + sen x 
b) f(x) = cos ( x – π ) 
c) f(x) = sen (2 x) 
d) f(x) = cos (x + π/2 ) 
e) f(x) = - sen x + 1 
f) f(x) = 2 - cos( 2 x) 
 
 
21 
 
TRABAJO PRÁCTICO 8 
 
LÍMITE, CONTINUIDAD y DERIVADAS 
 
1. Dadas las siguientes funciones: 
a) Hallar su dominio de definición. 
b) Calcular los límites indicados. 
 
(i) 5)( 2  xxf )(
2
xflim
x
 
(ii)
2
1
)(
2 


x
x
xf )(
1
xflim
x
 
(iii) xxxf cossen )(  )(
2
xflim
x 
 
(iv) 2)(  xexf )(
0
xflim
x 
 
(v) )2(ln)(  xxf )(
3
xflim
x
 
(vi)
1
1
)(
2



x
x
xf )(
1
xflim
x 
 
(vii)







2si
2si4
)(
2
2
xx
xx
xf )(lim
0
xf
x
 )(lim
2
xf
x
 
(viii)






1si5
1si2
)(
x
xx
xf )(
1
xflim
x 
 
(ix)









0si3
0si
0si
)(
x
xx
xx
xf )(
0
xflim
x 
 
 
2. Dadas las siguientes funciones: 
a) Hallar su dominio de definición. 
b) Calcular los límites indicados. 
 
(i)
4
2
)(
2 


x
x
xf )(
2
xflim
x 
 
(ii)
5
25
)(
2



x
x
xf )(
5
xflim
x 
 
 
22 
 
(iii)
23
234 23
)(
xx
xxx
xf


 )(
0
xflim
x 
 
(iv)
34
23
)(
2
23



xx
xxx
xf )(
1
xflim
x
 
 
3. A partir de la gráfica determinar 
 
 a) )( xflim
ax 
 b) )x(flim
ax 
 c) )x(flim
ax 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
f 
a =0 
2
 
y 
x 
f 
a = 
2

 
a =  4 
 2 
y 
f 
 4 
5 
x 
3 
(vi) (v) (vii) 
 3 
2 
f 
2 
y 
x 
a = 2 
y 
x 
f 
a =  1 
 1 
2 
a =  3 
 
 
(ii) (iii) (iv) (i) 
y 
x 
1 
2 

1 
f 
a = 2 
y 
x 
 3 
 3 
4 f 
 
23 
 
4. A partir de las siguientes gráficas, determinar si las funciones son continuas en x 0. De no serlo, 
indicar cuál de las tres condiciones no se cumple: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 0 = 0  2 
2 
(x) 
x 
y 
 2 
 1 
x 0 = 2 
3 
(ix) 
x 0 = 2 
 
x 
y 
3 
 2 
2 
(viii) 
2 
x 0 = 2 
x 
y (vi) 
3 
x 
y 
x 0 = 3 
 2 
(v) 
 3  1 
1 
3 
 x 0 =  3 
y 
x 
(iii) 
 x 0 = 0 
 1 
x 
y (i) (ii) 
y 
x 
 5 
x 0 =  5 
y 
x 
2 
4 
x 0 = 4 
(iv) 
 1 
x 0 =  3 
y 
x  3 
(vii) 
 
24 
 
5. Para cada una de las siguientes funciones decidir si es continua en el punto indicado: 
 
a) 𝑓(𝑥) = {
−
4
3
𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 4
𝑥2 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 4 
 𝑒𝑛 𝑥0 = 4 
 
b) 𝑓(𝑥) = { −𝑥
2 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 
 𝑒𝑛 𝑥0 = 0 
 
c) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 3 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 
 𝑒𝑛 𝑥0 = 0 
 
6. Hallar las funciones derivadas de: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 + 6 
b) 𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥 
c) xxxf ln)( 2  
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 
e) 3)( xxxf  
f) xexxf 3)(  
g) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2+1
 
h) )3(cos)( xxf  
i) xsenxf )( 
j) 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
𝑥3
 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(2𝑥) 
l) 𝑓(𝑥) = (𝑒3𝑥+7)2 
 
7. Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva definida por la función f en el punto dado: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4 𝑒𝑛 𝑃 = (3; 7) 
b) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥−1
 𝑒𝑛 𝑃 = (−2; −1) 
c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 3𝑥 − 4 𝑒𝑛 𝑃 = (−1; −4) 
d) 𝑓(𝑥) = ln (2𝑥 − 9) 𝑒𝑛 𝑃 = (5; 0) 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4 𝑒𝑛 𝑃 = (1; 4) 
 
8. Determinar, si existen, los valores de abscisa x para los cuales la pendiente de la recta tangente 
vale 5, en los siguientes casos: 
a) xxxf 53)( 2  
b) xxxf  3)( 
c) 462)( 3  xxxf 
d) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 + 5) 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥−3 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 5𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ [0 ; 2𝜋] 
 
9. Determinar las ecuaciones explícitas de las rectas tangente a las curvas dadas por las siguientes 
funciones en cada uno de los puntos de abscisa que se indican: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 2 𝑒𝑛 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = 1 
b) 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥−1
 𝑒𝑛 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = −2 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−𝑥 𝑒𝑛 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = 1 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑒𝑛 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 =
𝜋
2
 
 
 
25 
 
TRABAJO PRÁCTICO 9 
 
VECTORES 
 
OPERACIONES CON VECTORES 
 
1. Dados los siguientes vectores de 
2R en notación cartesiana 
A = (1,1); B = (2,-3); C = (-4,0) 
a) Calcular gráfica y analíticamente: 
 A BA  CB  IC  BC 22  BCA 3 
 
b) Hallar el módulo de cada vector y de los vectores calculados en a). 
 
2. Dados los siguientes vectores de 
3R en notación cartesiana A = (-2,3,-1); B = (14,4); C = (1,3,0) 
 
 a) Calcular analíticamente 
 BBACABCBACBACBABA 2;3;;;2;2;;  
 b) Hallar el módulo de cada vector. 
 
 
3. Encontrar un versor asociado a cada uno de los siguientes vectores dados en notación cartesiana: 
 )1,0,1();1,1,1();1,1,3(  CBA 
¿Es único? 
 
4. Dados los siguientes vectores en notación vectorial, JIBJIA 3;2  , hallar un vector 
C que satisfaga las condiciones pedidas. 
 a) C sea paralelo a B ¿es único? 
 b) C sea paralelo a B, pero de sentido contrario, ¿es único? 
 c) 0BC 
 d) BCA  
 e) C sea un vector unitario con misma dirección y sentido que A 
 f) CA tenga la misma dirección que A 
 g) CA tenga la misma dirección que A y modulo igual a 1 
 h) Sea paralelo a B y 3CA 
 ¿Son únicos los vectores hallados anteriormente? 
 
 
 
 
 
26 
 
 
PRODUCTO ESCALAR y PRODUCTO VECTORIAL 
 
5. Dados los vectores de R3 con origen en 0: )3,0,4();2,1,3(;)1,3,2(  CBA , 
calcular: 
a) CAABBAAAA .;.;.;;. 
b)   CABACBA ..;.  
c) 

AB ; 

BC ;

AI ; 

AJ ;

AK 
 
6. a) Para los vectores del ejercicio anterior, calcular los siguientes productos vectoriales: A x B; 
 B x A; C x I; 3(AxB); 3A x B 
b) Para los vectores del ejercicio anterior, calcular: (A x B).C; (BxC).A; (CxA).B 
 
7. Decidir si los siguientes pares de vectores son perpendiculares o no. 
 a) JIBJIA 2;2  
 b) JIBJIA 24;2  
 c) KJIBKJIA  2;2 
 
8. Encontrar un vector B en el plano que sea perpendicular a JIA 32  . ¿Es único? Justificar la 
respuesta. 
 
9. Hallar todos los valores de r de modo que los siguientes vectores resulten perpendiculares. 
a) JIBrJIA 34;2  . 
 b) JrIBrJIA 3;2  . 
¿Cuántos valores de r encontró? ¿Por qué? 
 
10. Sean los vectores ICKJIBKJIA  ;;2 , calcular: 
 a) BA  
 b) AB  
 c) ¿hay alguna relación entre los productos vectoriales de los ítems a) y b)? 
 d) CA  
 e) IC  
 
11. Sean los vectores KJBKJIA 2;2  
 a) calcular BA  
 b) ¿qué representa geométricamente BA  ? 
 
12. Sean los vectores KJBKIA  ;23 , encontrar un vector C, perpendicular a ambos.