Fijas de Análisis Matemático - John Liñan (4)

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Curso: Análisis Matemático 
 
1. Convertir la ecuación polar: 𝒓 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟔𝒔𝒆𝒏𝜽, a una ecuación 
cartesiana. 
A. (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟓 
B. (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟑 
C. (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟑 
D. (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟑 
E. (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟑 
 
2. Determine los puntos de intersección de las siguientes curvas 
𝐶1: 𝑟 = 1 y 𝐶2: 𝑟 = 2 − 2cos (θ) en coordenadas 
polares: 
 
a. 
𝜋
3
; 
𝜋
6
 
b. 
𝜋
3
; −
𝜋
6
 
c. 
𝜋
3
; 
5𝜋
3
 
d. −
𝜋
3
; 
𝜋
6
 
3. Calcule el área de la región sombreada (ver figura). Donde 𝑟 = 1 y 
𝑟 = 2sen(2𝜃). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Encuentre el área de la región que se encuentra dentro de la 
circunferencia: 𝑟 = −2𝑐𝑜𝑠𝜃, y fuera de la circunferencia: 𝑟 = 1. 
 
A. (
𝝅
𝟑
−
√𝟑
𝟐
) 𝒖𝟐 
B. (
𝝅
𝟑
+
√𝟑
𝟐
) 𝒖𝟐 
C. (
𝝅
𝟑
+
√𝟐
𝟐
) 𝒖𝟐 
D. (
𝟐𝝅
𝟑
+
√𝟑
𝟐
) 𝒖𝟐 
E. (
𝝅
𝟓
+
√𝟑
𝟐
) 𝒖𝟐 
5. Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por los 
puntos A= (2,3,6) y B= (6,-2,-7). 
A. 𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(4, −5,1) 
B. 𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(1, −5, −13) 
C. 𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(4,5, −13) 
D. 𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(4, −5, −13) 
E. 𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(4, −5, −8) 
 
6. Determine la ecuación vectorial del plano que pasa por los 
puntos A= (2,3,6), B= (6,-2,-7) y C= (3,-1,9). 
A. 𝑃: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(7,−5,−13) + 𝛽(1, −4,3) 
B. 𝑃: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(4,−5,−13) + 𝛽(1, −4,3) 
C. 𝑃: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(4,−5,−13) + 𝛽(−1,−4,3) 
D. 𝑃: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(4,−5,6) + 𝛽(1, −4,3) 
E. 𝑃: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,3,6) + 𝛼(4,−5,−13) + 𝛽(9, −4,3) 
7. Calcule la distancia del punto P= (3,-6,7) al plano: 
𝑃: 4𝑥 − 7𝑦 + 5𝑧 + 9 = 0 
A. 10,33 𝑢 
B. 10,93 𝑢 
C. 11,33 𝑢 
D. 12,33 𝑢 
E. 10,83 𝑢 
 
8. Dados los vectores 𝐚 = ⟨−4; 2; 3⟩ y 𝐛 = −2𝐢 − 𝐣 + 8𝐤, calcule el 
ángulo formado por los vectores 𝐚 y 𝐛. 
a. 42,46 
b. 51,25 
c. 47,88 
d. 53,20 
9. El plano pasa por los puntos (0; 1; 1), (1; 0; 1) y (1; 1; 0). 
a. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 
b. 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0 
c. 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 
d. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 
 
10. Dados los puntos A = (−3,7, −6) ; B = (2,3,0); 
C = (5,2, −5) ; D = (1, −3,8). 
Calcule: 4√78 ∙ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑ − 𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑ ⃑ . 𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 
 
A. 369 
B. 266 
C. 356 
D. 366 
E. 362 
 
11. Calcule la siguiente integral, utilizando el método 
correspondiente: 
 
∫
𝟕𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟏𝟏
(𝒙𝟐 + 𝟏𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟏)
𝒅𝒙 
 
 
12. Calcule la siguiente integral, utilizando el método 
correspondiente: 
 
∫
𝐥𝐧(𝒙 + 𝟓)
(𝒙 + 𝟓)𝟑
𝒅𝒙 
 
13. Calcule la siguiente integral, utilizando el método 
correspondiente: 
 
∫
𝟑𝒙
√𝒙𝟐 + 𝟒
𝒅𝒙 
 
14. Calcule la siguiente integral, utilizando el método 
correspondiente: 
 
∫
[𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟓)]𝟑
𝟐𝒙 + 𝟏𝟎
𝒅𝒙 
 
15. Calcule el área de la región sombreada 
 
 
A. 𝑨 = 
𝟏
𝟑
𝒖𝟐 
B. 𝑨 = 
𝟐
𝟑
𝒖𝟐 
C. 𝑨 = 
𝟒
𝟑
𝒖𝟐 
D. 𝑨 = 
𝟓
𝟑
𝒖𝟐 
E. 𝑨 = 
𝟏
𝟒
𝒖𝟐 
16. Calcule el área de la región sombreada 
A. 𝑨 = 
𝟐𝟒𝟑
𝟏𝟐
𝒖𝟐 
B. 𝑨 = 
𝟐𝟓𝟑
𝟏𝟏
𝒖𝟐 
C. 𝑨 = 
𝟐𝟓𝟏
𝟏𝟐
𝒖𝟐 
D. 𝑨 = 
𝟏𝟓𝟑
𝟏𝟐
𝒖𝟐 
E. 𝑨 = 
𝟐𝟓𝟑
𝟏𝟐
𝒖𝟐 
 
17. Calcule el volumen del sólido mostrado en la figura 
 
 
A. 
7
15
𝜋 𝑢3 
B. 
9
105
𝜋 𝑢3 
C. 
17
105
𝜋 𝑢3 
D. 
8
15
𝜋 𝑢3 
E. 
8
105
𝜋 𝑢3 
 
18. Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor 
del eje 𝒙 la región 𝐑 acotada por la curva 𝒚 = √𝒙, el eje 𝒙 y la recta 
𝒙 = 𝟑. 
 
3 2 6y x x x  
a. 10,88 
b. 4,5 
c. 15,12 
d. 14,14 
 
 
19. Sea 𝐷 el sólido obtenido al girar la región mostrada en la 
figura alrededor del eje 𝑦. 
Calcule el volumen de dicho 
sólido. 
 
 
 
20. En cada figura, calcule la longitud de arco de la curva desde 
el 
punto A hasta el punto B. 
 
 
A. 1,72 𝑢 
B. 1,42 𝑢 
C. 1,22 𝑢 
D. 1,79 𝑢 
E. 1,02 𝑢 
𝑦 =
2
3
√𝑥3 
B 
A 
21. Encuentre la longitud de la curva, descrita por las 
siguientes ecuaciones. 𝑥 = 𝑒𝑡 − 𝑡; 𝑦 = 4𝑒
𝑡
2;−8 ≤ 𝑡 ≤ 0. 
a. 12,04 
b. 7,34 
c. 4,09 
d. 9 
 
22. Calcule la longitud de la parte indicada de la curva: 
𝑟(𝑡) = (2𝑐𝑜𝑠 𝑡)𝑖 + (2𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑗 + (√5𝑡)𝑘; 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
 
23. Determine el vector tangente unitario para función vectorial 
𝑟(𝑡) = 〈t; 3 cos(𝑡); 3sen(𝑡)〉. 
 
24. Encuentre el vector tangente unitario a la curva: 
 𝑟(𝑡) = ( 𝑡)𝑖 + (
2
3
𝑡
3
2⁄ ) 𝑘; 0 ≤ 𝑡 ≤ 8 
 
 
25. Determine el vector binormal para esta curva en el espacio: 
𝑟(𝑡) = (3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑖 + (3 ∙ cos 𝑡)𝑗 + (4𝑡)𝑘 
 
26. Determine el vector tangente unitario para esta curva en el 
espacio: 
𝑟(𝑡) = (3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑖 + (3 ∙ cos 𝑡)𝑗 + (4𝑡)𝑘