Semana 1-Dominio-Derivadas parciales (7) - John Liñan (4)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 3
Semana 1 - Sesión 1
Eduardo Quincho Flores
03/08/2021
ESCUELA NAVAL 
DEL PERÚ
MARINA DE GUERRA DEL PERÚ
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN DE LA MARINA
FUNCIÓN REAL DE VARIABLES
CUANTITATIVAS: DOMINIO, RANGO
Y CURVA DE NIVEL
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
BIBLIOGRAFÍA
Referencias de Información :
LARSON, RON (2006) CÁLCULO. España.
LOUIS LIETHOLD (2003) CALCULO CON G. ANALITICA. España. Harla
ESPINOZA RAMOS (2009). ANALISIS MATEMATICO 3.Peru .San Marcos.
STEWART, James (2017). Cálculo de varias variables. España. Ed. Mc. Graw – Hill
Bibliografia Virtual:
• Funciones de Varias variables 
http://ww.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top
• Integrales dobles http://www.scribd.com/doc/7399298/Integrales-doblesç
http://www.scribd.com/doc/7399298/Integrales-doblesç
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante determina el
dominio de una función de varias variables, en forma
analítica, graficándolo y contrastando su resultado con
el obtenido en un graficador, realizando los
procedimientos ordenada y coherentemente.
1707 a 1883 (Basilea – Suiza)
1643 a 1727 (Londres – Inglaterra)
Isaac Newton
Leonhard Euler
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SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
y
z
x
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FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES
➢Una función 𝒇 de dos variables es una regla que asigna a cada par
ordenado de números reales (𝑥, 𝑦) de un conjunto 𝑫, un número real
único denotado por 𝑓(𝑥, 𝑦).
➢El conjunto 𝑫 es el Conjunto de Partida de 𝑓 y su imagen es el
conjunto de valores que toma 𝑓.
Entrada 1
x
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
1 salida
PROCESO
y
Entrada 2
D
Al conjunto de entradas se llama dominio de 𝒇 y se denota por 𝑫𝒐𝒎 𝒇 .
Al conjunto de números de salida se llama rango o imagen de 𝒇 y se
denota por 𝑰𝒎(𝒇).
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FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES
➢Función real de una variable real:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ
𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
➢Función real de dos variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ
(𝑥 , 𝑦) ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
➢Función real de 3 variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ
(𝑥 , 𝑦, 𝑧) ⟼ 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
➢Función real de 𝑛 variables reales:
𝑓:𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ⟼ 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑛 ≥ 2.
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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES
➢La gráfica de la función de dos variables 𝑓 , se entiende como el
conjunto de puntos de la forma (𝑥, 𝑦, 𝑧) , donde 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y
(𝑥, 𝑦) pertenece al dominio de 𝑓. Es decir,
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦); (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
Dicha gráfica se interpreta
geométricamente como una superficie en
el espacio, y se dice que 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) es la
ecuación en forma explícita de dicha
superficie.
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DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES
➢Función real de dos variables reales:
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ
(𝑥 , 𝑦) ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Dominio Rango o imagen
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2/ ∃𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐷 Im( 𝑓) = 𝑓(𝑥, 𝑦)/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷
➢Análogamente se define el dominio y rango para funciones de 𝑛 variables.
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL DOMINIO Y RANGO 
DE UNA FUNCIÓN 𝒛=𝒇(𝒙,𝒚)
Ran(𝒇)
(𝒙, 𝒚)
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ÁLGEBRA DE FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES REALES
Si 𝒇 y 𝒈 son funciones de dos variables con dominio 𝐷 ⊂ ℝ2 , entonces: 
• Suma o diferencia: 𝑓 ± 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ± 𝑔 𝑥, 𝑦
• Producto: 𝑓. 𝑔 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑔(𝑥, 𝑦)
• Cociente:
𝑓
𝑔
𝑥, 𝑦 =
𝑓 𝑥,𝑦
𝑔 𝑥,𝑦
, 𝑔(𝑥, 𝑦) ≠ 0
No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables.
Sin embargo, si 𝒉 es una función de varias variables y 𝒈 en una función de una
sola variable, puede formarse la función compuesta 𝑔 ∘ ℎ (𝑥, 𝑦) como sigue:
Composición: 𝑔 ∘ ℎ (𝑥, 𝑦) = 𝑔 ℎ(𝑥, 𝑦)
𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∘ ℎ = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 ℎ : ℎ(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
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CURVAS DE NIVEL
Las curvas de nivel se obtienen cortando
la gráfica de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con planos
horizontales situados a distintas alturas,
cuyas intersecciones son curvas que al
proyectarlo sobre el plano 𝑋𝑌 tienen por
ecuación 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘, a estas curvas se le
llaman curvas de nivel de la función 𝑓 en
𝑘 y al conjunto de curvas de nivel se
llama mapeo de contorno.
Definición. Las curvas de nivel de una función 𝑓 de dos variables son
las curvas cuyas ecuaciones son 𝑓 (𝑥; 𝑦) = 𝑘 , donde 𝑘 es una
constante (en el rango de 𝑓 ).
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EJEMPLO
Sea 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 − 𝑥2 + 𝑦2, las curvas de nivel y la gráfica de esta
superficie son:
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Semana 1 Sesión 2
Eduardo Quincho Flores
ESCUELA NAVAL 
DEL PERÚ
MARINA DE GUERRA DEL PERÚ
DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN DE LA MARINA
DERIVADAS PARCIALES, INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA.
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LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante calcula las derivadas
parciales de diferentes funciones, aplicando las definiciones y
teoremas, resolviendo mediante las propiedades de límites y
vectores normales, con precisión en el cálculo.
1707 a 1883 (Basilea – Suiza)
1643 a 1727 (Londres – Inglaterra)
Isaac Newton
Leonhard Euler
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DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS 
VARIABLES REALES
➢Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , las primeras derivadas parciales de 𝑓 con respecto a 𝑥
e 𝑦 son las funciones 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 definidas por:
NOTACIÓN: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , entonces sus derivadas parciales
respecto a 𝑥 y 𝑦 se expresan, respectivamente, en las
formas siguientes:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐷𝑥[𝑓(𝑥, 𝑦)]
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐷𝑦[𝑓(𝑥, 𝑦)]
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
Siempre y cuando el límite exista y sea finito
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL
Consideremos:
1) La superficie 𝑺 con ecuación es 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 .
2) El plano 𝒚 = 𝒚𝟎
𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 =
𝜕𝑓 𝑥0, 𝑦0
𝜕𝑥
= lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Δ𝑥
𝒚 = 𝒚0
x0
y0
𝑷(𝒙0, 𝒚0, 𝒛0)
Respecto a 𝒙
La Curva: 𝑪𝟏 =Plano  𝑺
La pendiente de la Recta Tangente a 𝑪𝟏 en el punto 𝑷(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒇 (𝒙𝟎, 𝒚𝟎)) es dado por:
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL
Consideremos:
1) La superficie 𝑺 con ecuación es 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 .
2) El plano 𝒙 = 𝒙𝟎
𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) =
𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)
𝜕𝑦
= lim
Δ𝑦→0
𝑓(𝑥0, 𝑦0 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Δ𝑦
Respecto a 𝒚
La Curva: 𝑪𝟐 =Plano  𝑺
La pendiente de la Recta Tangente a 𝑪𝟐 en el punto 𝑷(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒇 (𝒙𝟎, 𝒚𝟎)) es dado por:
𝒙 = 𝒙0
𝒙0
𝒚0
𝑷(𝒙0, 𝒚0, 𝒛0)
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE 𝒛=𝒇(𝒙,𝒚)
➢Para determinar 𝑓𝑥 , conservar a 𝑦 constante y derivar de manera
ordinaria 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑥.
➢Para determinar 𝑓𝑦 , conservar a 𝑥 constante y derivar de manera
ordinaria 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑦.
Ejemplo 1. Dada la función 𝑧 definida por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 + 𝑥 − 5𝑦.
Hallar 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦. 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 4𝑥𝑦 + 𝑦2 + 1
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 2𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 5
Solución:
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
➢Se llama derivada parcial de segundo orden de una función 𝑓 a las derivadas parciales de
sus derivadas parciales de primer orden.
➢Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función de dos variables hay 4 derivadas parciales de segundo orden:
• 𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
• 𝑓𝑥 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
• 𝑓𝑦 𝑥 = 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
• 𝑓𝑦 𝑦
= 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
ANÁLISIS MATEMÁTICO 2
METACOGNICIÓN
➢ ¿Qué hemos aprendido en esta sesión?
➢ ¿Para qué nos sirve el aprendizaje de este tema?
➢ ¿Qué estrategias hemos empleado para el
desarrollodel tema?
➢ ¿Qué dificultades enfrentaste? y ¿cómo las solucionaste?