2 Método analítico- Proyecciones

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ESTRUCTURAS I 4º - E.P.E.T. Nº 45 Prof: Graciela Giménez 
 
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F3 
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02/08/20 
 ALGUNAS DEFINICIONES A TENER EN CUENTA 
 Sistemas de fuerzas: conjunto de dos o más fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Se clasifican 
en: 
 Concurrentes: sistemas compuestos por fuerzas cuyas rectas de acción concurren a un 
punto en común y cuya resultante (R) del sistema también concurre a dicho punto. 
 
 
 
 
 
 No concurrentes: aquellos en donde las rectas de acción de las fuerzas que lo componen 
no concurren a un punto en común y se desconoce, en principio, el punto por donde pasará 
la resultante (R) 
 
 
 
 
 
 
 
 Resultante: fuerza única que es capaz reemplazar a un sistema de fuerzas actuantes sobre un 
cuerpo, produciendo el mismo efecto. 
 Equilibrante: fuerza que produce el equilibrio de un sistema de fuerzas actuantes sobre un cuerpo. 
Está constituida por una fuerza igual pero de sentido contrario a la resultante del sistema que actúa 
sobre el cuerpo en cuestión. 
Composición de fuerzas: reducción de un sistema de fuerzas dado a un sistema más simple (la Resul-
tante), que le sea equivalente. 
Métodos de obtención de la Resultante de un sistema de Fuerzas 
 Elementos de la Resultante 
 Magnitud Dirección Sentido 
Ubicación (un punto por 
donde pasa) 
METO-
DOS 
Analíticos 
M. de las Proyecciones x x x 
Teorema de Varignon x 
Gráficos 
Paralelogramo x x x 
Polígono de fuerzas x x x 
 Polígono funicular x 
F1 
R 
E 
 
F1 
R? 
E? 
 
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MÉTODOS ANALÍTICOS 
 MÉTODO DE LAS PROYECCIONES: (para hallar la Resultante de un conjunto de fuerzas concu-
rrentes) 
 Copiar en la carpeta: 
“La proyección de la resultante de un sistema de fuerzas sobre cualquier eje, es 
igual a la suma algebraica de las proyecciones de sus componentes, sobre el 
mismo eje”. 
 
Repasamos Trigonometría 
En un triángulo rectángulo... 
 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐.𝑎𝑑𝑦.
ℎ𝑖𝑝.
 → 𝑐. 𝑎𝑑𝑦. = ℎ𝑖𝑝. ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
 se𝑛 𝛼 =
𝑐.𝑜𝑝.
ℎ𝑖𝑝.
 → 𝑐. 𝑜𝑝. = ℎ𝑖𝑝. ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
Con una fuerza 𝐹 ... 
 𝑐. 𝑎𝑑𝑦.= 𝑭𝒙 = 𝑭 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 (Proyección horizontal o componente horizontal de F) 
 c. 𝑜𝑝. = 𝑭𝒚 = 𝑭 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝜶 (Proyección vertical o componente vertical de F) 
 
Para 2 fuerzas 𝐹1 𝑦 𝐹2 
 Gráfico 
 
 
 
 F2 
 F2 
 Las componentes de R son Rx y Ry, 
que son a su vez la suma de F1x y F2x 
y de F1y y F2y, entonces R nos quedará: 
 
𝑐. 𝑜𝑝.
c. op. 
ℎ𝑖𝑝. 
𝑐. 𝑎𝑑𝑦
.
 𝑐. 𝑎𝑑𝑦 
𝛼 
𝛼 
𝐹 
𝐹𝑦 
𝐹𝑥 
α1 
 
𝛼2 
 
F1x F2x 
𝐹2𝑦 
 
 
𝐹1𝑦 
R 
y 
x 
𝛼𝑅 
Rx 
Ry 
 
 F1 se descompone en 
 
 
 
 
 
F1x = F1 · cos α1 
F1y = F1 · sen α1 
 
 F2 se descompone en 
 
 
 
 
 
F2x = F2 · cos α2 
F2y = F2 · sen α2 
O 
F1 
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Rx = F1x + F2x = F1 · cos α1 + F2 · cos α2 
Ry = F1y + F2y = F1 · sen α1 + F2 · sen α2 
* Si se puede aplicar a 2 fuerzas, también será válido para “n” fuerzas, donde “n” puede ser cualquier 
cantidad. 
Rx = F1 · cos α1 + F2 · cos α2 + F3 · cos α3 +.... 
Ry = F1 · sen α1 + F2 · sen α2 + F3 · sen α3 + … 
En símbolos se escribe: 
𝑅𝑥⃗⃗ ⃗⃗ = ∑𝐹𝑖⃗⃗ 
𝑛
𝑖=1
∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 
Que se lee: la sumatoria desde la 1a (i=1) hasta la última (n) de cada una de las Fuerzas, multiplicadas 
por los cosenos de sus respectivos ángulos. 
 
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ = ∑𝐹𝑖⃗⃗ 
𝑛
𝑖=1
∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑖 
Que se lee: la sumatoria desde la 1a (i=1) hasta la última (n) de cada una de las Fuerzas, multiplicadas 
por los senos de sus respectivos ángulos. 
Una vez calculadas 𝑹𝒙⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝑹𝒚⃗⃗⃗⃗ ⃗ por Teorema de Pitágoras, 
 
 
 
 
Calculamos el valor de la Resultante �⃗⃗� : 
 
Por Pitágoras �⃗� 2 = 𝑅𝑥⃗⃗ ⃗⃗ 
2
+ 𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ 
2
 despejando �⃗⃗� 
�⃗� = √𝑅𝑥⃗⃗ ⃗⃗ 
2
+ 𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ 
2
 
Y el ángulo que forma con el eje “x” (+) (Ver gráfico pág. 2) 
𝑡𝑔 𝛼𝑅 =
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑅𝑥⃗⃗ ⃗⃗ 
 − − − − − − − − 𝜶𝑹 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑅𝑥⃗⃗ ⃗⃗ 
) 
R * 
ℎ𝑖𝑝. 
𝑐. 𝑜𝑝.
c. op. 𝛼 
𝑐. 𝑎𝑑𝑦
.
 𝑐. 𝑎𝑑𝑦 
Teorema de Pitágoras dice: 
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de 
los cuadrados de los catetos: 
hip2 = c. op.2 + c. ady2 
 
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Éste ángulo, nos da la dirección de la Resultante dado por el ángulo  (alfa) por lo que pueden presentarse 
cuatro situaciones, una para cada cuadrante que forman los ejes “x” e “y” 
R = es el ángulo de la Resultante, medido desde el 0º sobre el eje positivo X (+) 
 
1er Cuadrante: Para Rx (+); Ry (+) 
 
 
 
𝑡𝑔 𝛼𝑅 = 
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑅𝑥⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 R = 𝛼𝑅 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑅𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗
) 
 calculadora arc tg es Inv o Shift tg) 
 
 
2° Cuadrante: Para Rx (−) ; Ry (+) 
 
 
 
 𝛼𝑅 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑅𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗
) =
(+)
(−)
= (−) 
 βR = 180º + (−𝛼𝑅) 
 
3er Cuadrante: Rx (−) ; Ry (−) 
 
 
 
 
 
 
 𝛼𝑅 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑅𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗
) =
(−)
(−)
= (+) 
 βR = 180º + (+𝛼𝑅) 
 
 
Rx 
 
O 
𝛼𝑅 
x (+) 
y(+) 
R 
 
Ry 
 
Rx 
 
𝛼𝑅=R 
y+ 
x (-) 
O 
 
Rx 
 
Ry 
 
R 
 
Rx tiene sentido negativo (-) 
Ry tiene sentido negativo (-) 
Por lo que la R se encuentra encuentra en el 3er cua-
drante 
 
x (-) 
R 
 
Ry 
 
O 
𝛼𝑅 
y - 
Rx tiene sentido negativo (-) 
Ry tiene sentido positivo (+) 
Por lo que la R se encuentra encuentra en el 2º 
cuadrante 
Rx (+) sentido positivo sobre el eje x 
Ry (+) sentido positivo sobre el eje y 
Por lo que la R se encuentra encuentra en el 1er 
cuadrante. 
 
βR 
180º 
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4° Cuadrante: Rx (+) ; Ry (−) 
tg 𝛼𝑅 =
𝑅𝑦
𝑅𝑥
 𝛼𝑅 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑅𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗
) 
 
 
 
 
 𝛼𝑅 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝑅𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
𝑅𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗
) =
(+)
(−)
= (−) 
 βR = 360º + (−𝛼𝑅) 
 
 
 
 
Ry 
 
Rx tiene sentido positivo (+) 
Ry tiene sentido negativo (-) 
Por lo que la R se encuentra encuentra en el 4º cuadrante 
 
y - 
x (+) Rx 
 
R 
 
αR