Trigonometría 1

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
1
secundaria
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TrigonomeTría
Matemática
Delta
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® matemátIca delta 1, secundaria
 trigonometría
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 mauro enrIque matto muzante
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o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos 
que propician 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
El desarrollo del 
tema se da en 
esta sección, 
donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
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MateMática DELTA 1 - trigonoMetría
Tema
85
7
Razones trigonométricas 
de un ángulo agudo
H
Una razón trigonométrica (R.T.) es 
el cociente entre las longitudes de dos 
lados de un triángulo rectángulo con 
respecto a uno de sus ángulos agudos. 
Se establece entre dos R.T. de un 
mismo ángulo. En ellas se cumple que 
su producto es igual a la unidad.
seno (sen)
coseno (cos)
tangente (tg)
cotangente (ctg)
secante (sec)
cosecante (csc)
Estas son:
sen α = 
Resolución:
C.O. = 9 C.A. = 40 H = 41
Determina las R.T. para α.
csc α = 
C.O.
C.A.
α
cos α = sec α = 
tg α = ctg α = 
C.O.
H
H
C.O.
C.A.
H
H
C.A.
C.O.
C.A.
C.A.
C.O.
Razones trigonométricas recíprocas
Ejemplo:
sen α = csc α = 
cos α = sec α = 
 tg α = ctg α = 
9
41
41
9
40
41
41
40
9
40
40
9
A través de su 
famoso teorema 
establece que 
en todo triángulo 
rectángulo el 
cuadrado de la 
hipotenusa es igual 
a la suma de los 
cuadrados de los 
catetos.
Ate n ción
Import a nt e
C.O.: cateto opuesto
C.A.: cateto
 adyacente
H : hipotenusa
Obse rva
Los ángulos 
en las razones 
trigonométricas 
recíprocas son 
iguales.
Pitágoras 
(Samos 570 a. C.)
sen α . csc α = 1
cos α . sec α = 1
tg α . ctg α = 1
41
9
40
α
Título del tema
Para una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios 
y/o lecturas que 
refuerzan el 
desarrollo del tema
100
1
2
4
3
5 x
x = H
H = 5
60° 30°
30°
16°
53°
16°
60°
x
7
7 = C.O.
x
x = C.O.
3
7 cm
20 cm
C.A. = 3
x = C.A.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
En el triángulo se cumple:
En el T.R. se cumple:x
5 = 
C.A.
H = cos 60° 
x
5 = cos 60°
 x = 5 . cos 60°
x
7 = 
H
C.O. = csc 30° 
 
x
7 = csc 30°
 x = 7 . csc 30°
Área = 
7 × 20 × sen 53°
2
Área = 7 × 10 × 
4
5
Área = 7 × 8 = 56 cm2
x
3 = 
C.O.
C.A. = tg 16° 
x
3 = tg 16°
 x = 3 × tg 16°

 x = 5 
1
2 
 x = 
5
2

 x = 7(2)
 x = 14
Al reemplazar, se 
tiene:
x = 3 
7
24 
 x = 
7
8
 Calcula el valor de x. Halla el valor de x.
 Determina el valor de x.
 Encuentra el área del triángulo.
θ
a
b
×
×
10
2
1
1
a . b sen θ
2Área =
Rpta. 
5
2
Rpta. 14
Rpta. 
7
8 Rpta. 56 cm
2
Ejercicios resueltos
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada por el educador.
103MateMática DELTA 1 - trigonoMetría
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve 
2
6
4
Caso 1 Caso 2 Ángulos verticales
Área de un triángulo
a b
x
a
θ
x
y
x = a sen θ 
y = a cos θ
a2 = b2 + x2  Pitágoras
x = a csc θ 
y = a ctgθ
a : ángulo de elevación.
b : ángulo de depresión.
x = a tg θ 
y = a sec θ
a
b
x
θ
a
y
θ
a
by
θ
x
a
Área = 
a . b . sen θ
2
VIS
UA
L
VISUAL
HORIZONTAL
 Calcula el valor de x.
 Halla el valor de x.
3
30°
x 
 Calcula el valor de x.
 Determina el valor de x.
4
11 5
37°
37° 74°
x
x
x
 Halla el valor de x.
 Determina el valor de x.
1 7
16° 53°
x
x
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Resolución de triángulos rectángulos
Nombre de la 
sección
Nombre de la 
sección
Espacio para 
resolver el 
problema.
Organizador 
visual
Enunciado del problema 
o de la situación 
planteada.
54
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
 Efectúa. 
 Reduce. 
 Calcula el valor de x, en radianes.
x
 
π
3
 rad
A π
2
 B π C π
5
D π
6
 E π
4
A π
3
 B 2π
3
 C π
6
D π
4
 E π
5
A π
2
 rad B π rad C π
6
 rad
D π
3
 rad E π
6
 rad
 Efectúa. 
 Relaciona según el gráfico.
I. a a. π
6
 rad
II. β b. – π
3
 rad
III. θ c. π
2
 rad
θ
a
β
π
3
rad
 R = 15π π + 
π
15 
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A Ia; IIb; IIIc B Ib; IIc; IIIa
C Ib; IIa; IIIc D Ic; IIa; IIIb
E Ia; IIc; IIIb
 Halla el valor de x, en radianes.
π
4
rad
π
3 rad
x
A 7π rad B 7π
12
 rad C 7π
9
 rad
D 7π
5
 rad E 7π
3
 rad
N = 
π
3
 + 
π
6
 – π
4
 M = π – π
2
 + 
π
6
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
Alternativas
Nombre de la 
sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
MateMática DELTA 1 - trigonoMetría
Tema
47
4
Sistema de medición 
angular radial
El número π
En todas las circunferencias la división entre 
la medida de su longitud (L) y la medida de su 
diámetro (D), genera un mismo resultado, un número 
aproximadamente igual a 3,141592..., este número es 
representado por la letra griega π.
Es decir:
La longitud de la circunferencia resulta de multiplicar por π el valor del diámetro de la 
circunferencia.
Este sistema de medición angular radial asigna al ángulo de una vuelta un valor de 2π rad.
L = D × π
1 vuelta = 2π rad
π
2
 rad
π rad
3π
2
 rad
Longitud de la circunferencia
El número π en Trigonometría
Equivalencias angulares
Longitud de la circunferencia
Diámetro
L
D
= = π
DiámetroL
on
git
ud
 de la circunferencia
D
Ángulo recto Ángulo llano
O
O
O
William Jones
(1675 - 1749)
Matemático galés 
que propuso el uso 
de π para representar 
el número pi. 
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Matemático y físico 
suizo. Extendió el uso 
de la letra π entre los 
matemáticos.
Obse rva
4
5MateMática Delta 1 - trigonoMetría
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
fo
rm
a,
 m
ov
im
ie
nt
o 
y 
lo
ca
liz
ac
ió
n
Modela objetos 
con formas 
geométricas y sus 
transformaciones.
ángulo trigonométrico 8
Definición
Relaciones de orden
Casos importantes
sistema de medición angular sexagesimal 21
sistema sexagesimal
Equivalencias
Operaciones con medidas de ángulos en el sistema 
sexagesimal
sistema de medición angular centesimal 35
sistema centesimal
Equivalencias
Operaciones con medidas de ángulos en el sistema 
centesimal
sistema de medición angular radial 47
El número 
Longitud de la circunferencia
Equivalencias angulares
conversiones entre sistemas de medición angular 61
Equivalencias entre sistemas de medición angular
Fórmula general de conversión
sector circular 72
Definición
Longitud de arco
Área de sector circular
razones trigonométricas de un ángulo agudo 85
Razón trigonométrica
Razones trigonométricas recíprocas
Teorema de Pitágoras
Tabla de razones trigonométricas
resolución de triángulos rectángulos 98
Definición y casos
Ángulos verticales
Cálculo de la distancia entre dos puntos de forma 
indirecta
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las formas 
y relaciones 
geométricas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para orientarse 
en el espacio.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
geométricas.
Índice
Nacido en Nicea (actualmente Turquía), 
aproximadamente en el año 190 a. C., fue un 
matemático, astrónomo y geógrafo griego, 
cuyos aportes a la ciencia lo convirtieron, 
probablemente, en el más importante de 
su época, debido a la precisión de sus 
investigaciones.
Hiparco,
Padre
de la
Dentro de sus trabajos más importantes, destaca la construcción de la tabla de cuerdas, que 
equivalía a una moderna tabla de senos, la cual necesitaba para calcular la excentricidad de las 
órbitas de la Luna y el Sol. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos 
de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado 
que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años 
después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 
60) de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción 
básica para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, también tenía una 
tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro 
dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo 
a partir de los conocidos. Con la creación de la tabla de cuerdas permitió a los astrónomos 
griegos resolver cualquier tipo de triángulo, y permitió hacer modelos astronómicos cuantitativos 
y predicciones utilizando sus técnicas geométricas preferidas. Hiparco fue uno de los primeros 
matemáticos griegos en utilizar las técnicas aritméticas caldeas, y de esta manera amplió las 
técnicas disponibles para los astrónomos y geógrafos. También introdujo en Grecia la división del 
círculo en 360°.
Trigonometría
6
En el campo de la astronomía, su aporte constituyó en el estudio del movimiento de la Luna, 
calculó la distancia de la Tierra a la Luna en 30 veces el diámetro terrestre, quiere decir, 
384 000 km. Elaboró un catálogo de 850 estrellas, aproximadamente, clasificadas en un sistema 
de luminosidad de 6 niveles de brillo. De estos estudios, ninguno ha llegado hasta nuestros días, 
pero se sabe de ellos por medio del tratado científico Almagesto de Claudio Tolomeo, sobre 
quien ejerció gran influencia.
Como hemos visto, los aportes de Hiparco de Nicea fueron de vital importancia para la distintas 
ramas de la ciencia, y de base para los científicos que surgieron después de él.
Desempeños
• Establece relaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios y 
las asocia y representa con formas bidimensionales compuestas. Establece relaciones entre los lados 
y ángulos de un triángulo.
• Expresa con dibujos y con lenguaje geométrico, su comprensión sobre las propiedades del ángulo 
trigonométrico, de los lados y ángulos de un triángulo, aun cuando estos cambien de posición y vistas, 
para interpretar un problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
• Lee textos o gráficos que describen características o propiedades de los triángulos y las razones 
trigonométricas para extraer información.
• Selecciona y emplea estrategias heurísticas, recursos y procedimientos para determinar las razones 
trigonométricas de ángulos agudos, empleando unidades convencionales.
• Plantea afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre en las razones trigonométricas, 
las justifica con ejemplos y sus conocimientos matemáticos.Reconoce errores en la justificación y los 
corrige.
7
MateMática Delta 1 - trigonoMetría
8
Tema
Ángulo trigonométrico
1
La trigonometría se usó desde 
la antigüedad para dirigir el 
rumbo de las embarcaciones 
de un lugar a otro.
¿Qué rumbo se debe tomar 
para ir de A hacia B?
Rumbo: N 30° E
Lo que se interpreta como 
30° hacia el noreste.
El ángulo trigonométrico se obtiene al realizar un giro, desde una posición inicial hasta una 
posición final.
El giro se puede realizar en sentido horario (signo negativo) o en sentido antihorario (signo 
positivo).
En la solución de problemas es posible cambiar el sentido de giro de cualquier ángulo. 
Ejemplos:
(a)
(b)
(c)
Definición
B
N
S
EO
A
30°
Alfa
Beta
Gamma
Theta
Phi
Omega
Sent ido hora rio
Si el giro es en 
el sentido de las 
manecillas del reloj.
Se nt ido a nt i h o ra rio
Si el giro es contrario 
al de las manecillas 
del reloj.
Se usan letras del 
alfabeto griego 
cuando se desconoce 
la medida de un 
ángulo.
Sentido antihorario
Posición inicial
Po
sic
ión
 fin
al
(+)
Sentido horario
Posición inicial
Posición final
(–)






Import a nt e
Not a
Cambio en el 
sentido de giro
+80° –80°
+90° –90°
+180° –180°
Cambio en el signo
Cambio en el signo
Cambio en el signo
12
11
10 2
8 4
1
7 5
6
9 3
9MateMática Delta 1 - trigonoMetría
• Los ángulos positivos aumentan a medida que el giro aumenta.
• Los ángulos negativos disminuyen a medida que el giro aumenta.
O también: –30° > –90° > –140° > –220°
O también: 60° < 90° < 130° < 210°
Ángulos coterminales Ángulos consecutivos Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una 
vuelta
Relaciones de orden
Casos importantes
180°
360°
210°
60° 90° 130°
–220°
–30°
–90° –140°
Menor Mayor
Mayor Menor
La
do
 fin
al
Lado incial
Tienen el mismo lado inicial y final.
Recu e rda
90°
αω β
Ángulos opuestos por el vértice
Si giran en el mismo sentido 
son de igual medida.
θ = φ
θ φ
γ
10
1
2
3
4
5
6
 Calcula el valor de x. Halla el valor de x.
 Calcula el valor de x.
 Determina el valor de x.
 Determina el valor de x.
 Encuentra el valor de x.
Resolución:
Todos los ángulos deben tener el mismo sentido 
de giro.
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Los ángulos tienen el mismo sentido de giro y al 
ser opuestos son de igual medida.
 36° = 2x + 6°
 36° – 6° = 2x
 30° = 2x
 30°2 = x
 15° = x 
∴ x + 140° + 10° = 180°
 x + 150° = 180°
 x = 30°
 Resolución:
 Resolución:
Rpta. 60° Rpta. –70°
Rpta. 30°
x + 40° = 90°
 x = 90° – 40°
 x = 50° 
Cambiamos 
el sentido 
y signo.
Cambiamos 
el sentido 
y signo.
Graficamos el ángulo 
recto (90°) en el mismo 
sentido de la variable.
x
–60°
x
60°
30°
x
–40°
30°
x
+40°
x
+90°
40°
50°
–20°
x
–50°
–20°
x
140°
–10° x
140°
+180°
10° x
2x + 6°36°
Entonces:
x = 60°
∴ (–20°) + (–50°) = x
–70° = x
Rpta. 70°
Entonces:
30° + 40° = x
 70° = x 
x
–40°
Rpta. 50°
Cambiamos el sentido hacia el 
giro del ángulo que se busca.
Graficamos el 
ángulo llano 
(180°).
Rpta. 15°
Ejercicios resueltos
11MateMática Delta 1 - trigonoMetría
 Dos ángulos adyacentes, que giran en sentido 
contrario al de las manecillas de un reloj, miden 
40° y x. Encuentra el valor de x, si dichos ángulos 
son suplementarios.
 Dos ángulos opuestos que giran en sentido 
antihorario miden (x – 20)° y (50 – x)°; calcula el 
valor del doble de x.
 Determina el valor de x.
 Encuentra el valor de + .
 Dos ángulos consecutivos forman un ángulo de 
giro antihorario cuya medida es de 80°. Si uno de 
los ángulos mide cincuenta grados, ¿cuál es el 
valor del otro ángulo?
 Dos ángulos coterminales que giran en sentidos 
contrarios, miden 60° y x grados. Halla el valor 
de x.
40° + x = 180°
 x = 180° – 40°
 x = 140° 
 (50 – x)° = (x – 20)°
 50 + 20 = x + x
 70 = 2x el doble de x.
x + 50° = 80°
 x = 80° – 50°
 x = 30°
∴ 60° + (–x°) = 360°
 60° – 360° = x°
 –300 = x
3x + 3x + 3x = 90°
 9x = 90° 
 x = 
90°
 9
 x = 10°
 Resolución: Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
Los ángulos 
suplementarios
forman un 
ángulo llano.
Al tener el 
mismo giro 
son iguales.
Los ángulos 
consecutivos
solo 
comparten
un lado.
Son 
coterminales 
y tienen giros 
contrarios.
40°
180°
x



Rpta. 140°
Rpta. 30°
Rpta. –300
x
50°
80°
60º
xº
60°
–x°
(50 – x)° (x – 20)°
Rpta. 70
Rpta. 10°
Rpta. 90°
3x
3x
3x
+90°
180°
 α + 90° + θ = 180°
 + θ = 180° – 90° 
 + θ = 90°

7
8
9
10
11
12
α
12
1
Modela y resuelve 
2
ángulo trigonométrico
Sentido antihorario
(+)Po
sic
ión
 fin
al
Posición inicial
Sentido horario
(–)
Po
sic
ión
 in
ici
al
Posición final
Pr
op
ie
da
d
Casos importantes
O
+α
Si cambia el sentido de giro, el signo también 
cambia.
O
–α
Ángulos 
coterminales
ω
α
Ángulos 
consecutivos
β
γ
Ángulos 
opuestos
θφ
 Completa la tabla escribiendo el sentido de giro y 
el signo de cada ángulo trigonométrico.
Ángulo Sentido de giro Signo Ángulo Sentido de giro Signo
 Completa la tabla escribiendo el sentido de giro y 
el signo de cada ángulo trigonométrico.
Síntesis
13MateMática Delta 1 - trigonoMetría
3
 
5
7 8 
4 
6 
 En el gráfico, determina el valor de x.
–30°
100°
x
Rpta.
 Ordena las medidas de los ángulos en forma 
creciente.
I.
III.
II.
IV.
A I, III, IV, II B IV, I, III, II
C II, I, III, IV D II, III, I, IV
E III, I, IV, II
A I, IV, III, II B III, IV, II, I
C II, III, IV, I D I, II, III, IV
E II, IV, I, III
I.
III.
II.
IV.
 Ordena las medidas de los ángulos en forma 
decreciente.
 A partir del gráfico, calcula el valor de x.
–40°
x
Rpta.
 Dado el gráfico, calcula el valor de x.
–120°
x
Rpta.
 Determina el valor de x, en la figura.
80°
–30°
x
Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
14
1
9
 
11
13 14 
10 
12 
 Encuentra el valor de x.
x + 20°–80°
Rpta.
 Encuentra el valor de x.
x – 30°
–50°
Rpta. 
 Halla el valor de x.
30°
40° –25°
x
Rpta.
 Halla el valor de x.
20°
–15°
10°
x
Rpta.
 Calcula el valor de x.
–30°
x
Rpta.
 Calcula el valor de x.
–40°
x
Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
15MateMática Delta 1 - trigonoMetría
15
 
17
19 20 
16 
18 
 Determina el valor de x.
–20°
50°
x
–30°
 Determina el valor de x.
–60° 50°
x
30°
 Dos ángulos suplementarios que giran en sentido 
antihorario miden x° y 2x°. Encuentra el valor de 
(x/2)°.
 Dos ángulos suplementarios que giran en sentido 
horario miden 2x° y 3x°. Encuentra el valor de x°.
Rpta.
 Dos ángulos opuestos giran en sentidos contrarios, 
si uno de ellos mide –30°, halla el doble del otro 
ángulo.
Rpta.
 Dos ángulos opuestos giran en el mismo sentido, 
si uno de ellos mide –40°, halla el triple del otro 
ángulo.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
16
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
En la figura, determina el valor de x.
Encuentra el valor de x.
–20°
x
–100°
–20°
40°
x
145°
x + 35°
A 80° B –120° C 120°
D 100° E –80°
A –30° B 30° C 20°
D –20° E 10°
A 110° B 105° C 115°
D 125° E 135°
Calcula el valor de x.
 Halla el valor de x.
x + 20°
100°
A 10° B 30° C 50°
D 60° E 70°
 Dos ángulos suplementarios giran en sentido 
antihorario, si uno de ellos mide 80°. Determina 
el valor de la mitad del otro ángulo.
A 40° B 50° C 60°
D 30° E 70°
A 120° B 110° C 100°
D 90° E –110°
 Usando la información del gráfico, calcula el 
valor de x.
20°
–60°
30°
x
80°x
17MateMática Delta 1 - trigonoMetría
10
11
12
7
8
7 Analiza el gráfico y escribe V si la expresión es 
verdadera o F si es falsa.
I. α y θ son ángulos adyacentes. ( )
II. αes menor que θ. ( )
III. θ gira en sentido antihorario y es positivo. ( )
θα
A 40° B –40° C 30°
D 20° E –30°
A FFF B VFV C FVF
D FFV E VVV
Encuentra el valor de x.
x
140°
A 80° B 130° C 150°
D 60° E 140°
 En la figura, halla el valor de x.
x
9
60°
A 30° B 50° C –40°
D 40° E –50°
 A partir del gráfico, calcula el valor de la incógnita.
130°x
A 30° B 36° C 18°
D 26° E 20°
Determina el valor de x.
x x
3x
A 150° B 210° C 30°
D 140° E 130°
 Encuentra el valor de x, usando la información del 
gráfico.
x
–30°
18
16
17
18
13
14
15
A –50° B 50° C 60°
D 40° E –60°
 Halla el valor de x.
x+40°
 Ordena las medidas de los ángulos en forma 
creciente.
I.
III.
II.
IV.
V.
A I, II, III, IV, V B II, III, V, I, IV
C I, IV, V, II, III D I, V, II, IV, III
E III, IV, V, II, I
Nivel II
A 50° B 90° C 80°
D 40° E 70°
 Calcula el valor de α + θ.
αθ
A 110° B 130° C 90°
D 70° E 60°
 En el gráfico, determina el valor de α + θ.
70° α
θ
 Encuentra el valor de x.
x – 10° 
x + 30°
A 25° B 35° C 45°
D 55° E 15°
 Halla el valor de la expresión x + 10°
2
.
80°
2x – 20°
x
A 100° B 120° C 55°
D 65° E 45°
19MateMática Delta 1 - trigonoMetría
19 22
20
21
24
23
 De acuerdo al gráfico, escribe V si la expresión es 
verdadera o F si es falsa.
I. α es un ángulo recto positivo. ( )
II. θ + φ = 90° ( )
III. α = –90° ( )
IV. φ es un ángulo positivo. ( )
θ
α
φ
A FVFV B FFFF C FFVF
D VVFF E VVFV
 Escribe H si el sentido de giro es horario y A en caso 
sea antihorario, respecto a los ángulos señalados.
I. α
II. β
III. α + θ
α
β
θ( )
( )
( )
A HAH B AAA C HHH
D HAA E AHH
 Calcula el valor de α + θ.
α
θ
30°
A 30° B –30° C –20°
D 270° E –270°
 Determina el valor de α – θ.
α
θ
30°
A 30° B 60° C 20°
D 50° E 40°
 Encuentra el valor de α + θ
2
.
α
θ
30°
A 200° B 195° C 190°
D 185° E 180°
 Halla el valor de x.
2x – 20°
x – 10° 30°
A 10° B 30° C 60°
D 40° E 50°
20
25
28
26
27
29
30
Nivel III
 Calcula el valor de 3α ‒ 2θ.
α
θ 40°
A 360° B 340° C 320°
D 160° E 260°
Determina el valor de 2α – β.
Determina el valor de θ.
120°
β
α
A 90° B 60° C 270°
D 0° E 360°
 Si α es un ángulo recto positivo, encuentra el valor 
de x.
α
x α – 40°
A 30° B 40° C 50°
D 60° E 10°
 Sabiendo que α = 2β = 3φ = 60°, halla el valor 
de x.
x
β
α
φ
A –10° B 20° C –20°
D 30° E 10°
 Si se sabe que α = 3β = 45°, calcula el valor de x.
4β
–α
x
A 75° B 65° C 85°
D 60° E 55°
320°
200°
θ
A 40° B 60° C 120°
D 140° E 160°
Tema
21MateMática Delta 1 - trigonoMetría
2
Sistema de medición angular 
sexagesimal
• El sistema 
sexagesimal 
se originó en 
la antigua 
Mesopotamia, 
en la civilización 
sumeria.
• Sexagesimal es 
un término usado 
para contar de 60 
en 60.
¿Sa bía s qu e.. . ?
La ubicación geográfica de un 
lugar en el mundo está dada 
por coordenadas geográficas, 
expresadas en latitud y 
longitud, medidas en grados, 
minutos y segundos.
Sistema sexagesimal
Este sistema de medición angular divide 
al ángulo de una vuelta en 360 partes 
iguales. 
Además:
 1° se lee, un grado sexagesimal } Unidad
 1' se lee, un minuto sexagesimal 
 1'' se lee, un segundo sexagesimal
Equivalencias
Propiedad: Un ángulo se puede medir en grados, minutos y segundos sexagesimales. 
A° B' C'' = A° + B' + C'' Donde B y C no pueden ser mayores que 60.
1 vuelta = 360°
Latitud
12°03ʹ5''
Lim
a
Longitud
77°03ʹ0''
1°
Ángulo de 
una vuelta
Grados
Minutos
Grados
Minutos
Segundos
Segundos
Minutos
Segundos
Segundos Grados
Grados
Minutos
1° = 60'
1' = 60''
= 360°
× 60
× 60
× 3600 ÷ 3600
÷ 60
÷ 60
Reglas prácticas de conversión
Subunidades
22
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se agrupa: grados con grados, minutos con minutos y segundos con 
segundos.
Resta de ángulos
Para restar dos ángulos en el sistema sexagesimal se debe asegurar que el minuendo 
sea siempre mayor en grados, minutos y segundos.
Ejemplo:
Efectúa: 10°15ʹ40ʹʹ + 5°50ʹ35ʹʹ
Ejemplo:
Efectúa: 20°15ʹ06ʹʹ – 15°50ʹ30ʹʹ
Expresamos convenientemente el minuendo.
 10°15ʹ40ʹʹ 
+ 5°50ʹ35ʹʹ
 15°65ʹ75ʹʹ
75ʹʹ = 60ʹʹ + 15ʹʹ = 1ʹ + 15ʹʹ
15°66ʹ15ʹʹ
66ʹ = 60ʹ + 6ʹ = 1° + 6ʹ
16°6ʹ15ʹʹ
(+)
(+)
20°15ʹ06ʹʹ = 19°75ʹ06ʹʹ = 19°74ʹ66ʹʹ 
 19°74ʹ66ʹʹ 
–15°50ʹ30ʹʹ
 4°24ʹ36ʹʹ
Recordemos que los segundos
y minutos no pueden ser mayores a 60.
Resolución:
Ordenamos en forma vertical.
Rpta. 16°6ʹ15ʹ'
Rpta. 4°24ʹ36ʹ'
1° = 60ʹ 1' = 60ʹ'
Restamos:
El sistema 
sexagesimal 
también es usado 
para establecer 
equivalencias sobre 
unidades de tiempo. 
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
1 hora = 3600 segundos
Horas
Minutos
Horas
Minutos
Segundos
Segundos
×60
×60
÷60
÷60
Import a nt e
Not a
×3600
÷3600
Resolución: 
Observamos que solo en los grados, el minuendo es mayor.
23MateMática Delta 1 - trigonoMetría
1
2
3
4
5
6
Rpta. 50°27ʹ38ʺ
50°27ʹ38ʺ
 ¿Cuántos segundos hay en 2°11ʹ30ʹʹ? Reduce.
 Calcula el valor de x + y, si se sabe que
75ʹʹ = xʹy'ʹ.
 Convierte 7520ʺ a grados, minutos y segundos 
sexagesimales.
¿Cuántos segundos hay en 3h 10 min?
 Efectúa. 
 32°37ʹ48ʺ + 17°49ʹ50ʺ
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
2 × 3600ʹʹ = 7200ʹʹ
11 × 60" = 660ʹʹ
75ʹʹ = 60ʹʹ + 15ʹʹ = 1ʹ + 15ʹʹ = 1ʹ15ʹʹ 
∴ 7200ʹʹ + 660ʹʹ + 30ʹʹ = 7890ʹʹ
1ʹ15ʹʹ = xʹyʹʹ x = 1
y = 15
Luego: 
 x + y = 1 + 15 = 16
Rpta. 7890ʹʹ
Rpta. 16
Rpta. 9
Rpta. 2°5ʹ20ʺ
Rpta. 11 400 s
98ʺ = 60ʺ + 38ʺ = 1ʹ + 38ʺ
87ʹ = 60ʹ + 27ʹ = 1° + 27ʺ
49°87ʹ38ʺ
Entonces:
32°37ʹ48ʹʹ +
17°49ʹ50ʺ
49°86ʹ98ʺ
• De segundos a grados: ÷3600
• De segundos a minutos: ÷60
∴ 10 800 s + 600 s = 11 400 s
A = + 3 × 60ʹ + 15ʹ39ʹ
4 × 60ʹ' + 16ʺ
64ʺ
A = + 195ʹ39ʹ
256ʺ
64ʺ
A = 5 + 4 = 9
7520ʹʹ
320ʹʹ
 –7200ʹʹ
 –300ʹʹ
320ʹʹ
20ʹʹ
2°
5ʹ
3600
60
Convertimos este 
residuo en minutos.

(=)
(=)
Recordemos que los 
minutos y segundos no 
deben ser mayores a 60.
(+)
(+)
A = + 3°15ʹ39ʹ
4ʹ16ʺ
64ʺ
3h = 3 × 3600 s = 10 800 s
10 min = 10 × 60 s = 600 s 
Ejercicios resueltos
24
7 10
8
9
11
12
Halla el valor de x, a partir de la figura. Macarena ha demorado 4025 segundos en pintar 
un cuadro. ¿Cuántas horas, minutos y segundos 
de su tiempo ha invertido en el cuadro?
Ana Paula demora media hora en ducharse y 
cambiarse, catorce minutos en peinarse y veinte 
minutos en maquillarse. ¿Cuántos segundos en 
total le toma estar lista?
César y Martín realizan la misma actividad por 
separado. César emplea dos mil setecientos 
sesenta segundos y Martín cuarenta y siete 
minutos. ¿Quién fue más rápido?
 Determina el valor de x.
 Encuentra el valor de x.
Convertimos de segundos a horas: ÷3600
Resolución:
Resolución:
Resolución:
ducha = 1/2 hora = 30 min = 30 × 60 s = 1800 s
peinado = 14 min = 14 × 60 s = 840 s
maquillaje = 20 min = 20 × 60 s = 1200 s
Total: 1800 s + 840 s + 1200 s = 3840 s
César = 2760 s
Martín: 47 min = 47 × 60 s = 2820 s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 24°45'
Rpta. 29°44ʹ20ʺ 
Rpta. 91°6ʹ25ʺ 
65°15ʹ
x
150°15ʹ40ʺ
x
x + 150°15ʹ40ʺ = 180°
x = 180° – 150°15ʹ40ʺ
x = 179°59ʹ60ʺ – 150°15ʹ40ʺ
x = 29°44ʹ20ʺ
x = 50º15'40'' + 40°50ʹ45ʺ
x = 90°65ʹ85ʺ
x = 90°66ʹ25ʺ
x = 91°6ʹ25ʺ
x + 65°15ʹ = 90°
 x = 90° – 65°15ʹ
 x = 89°60ʹ – 65°15ʹ
 x = 24°45ʹ
Recordamos:
90° = 89° + 1° = 89°60ʹ 
40°50ʹ45ʺ
x
50°15ʹ40ʺ
60ʹ' + 25ʺ
60' + 6'
1'
1º
+
+
Rpta. Macarena utilizó 1 h 7 min 5 s
Rpta. Ana Paula está lista en 3840 s.
Rpta. César fue más rápido, ya que lo hizo en 
2760 s.
Convertimos de segundos a minutos: ÷60
4025
425
–3600
–420
425
5
1
7
3600
60
segundos sobrantes
segundos sobrantes
minutos
hora
Recordamos:
180º = 179º59'60''
25MateMática Delta 1 - trigonoMetría
1
Modela y resuelve 
2
4
Ta
m
bi
én
 
re
cu
er
da
90°
O
180°
360°
Sistema de mediciónangular sexagesimal
• 1 vuelta = 360°
• 1° = 60'
Además:
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una vuelta
180° = 179°60ʹ = 179°59ʹ60ʹʹ
90° = 89°60ʹ = 89°59ʹ60ʹʹ 
Equivalencias
• 1ʹ = 60''
• 1° = 3600''
O
O
1°
 Completa la tabla.
Grados Minutos Segundos
 7200"
180ʹ
6°
 Escribe las equivalencias.
Grados Minutos Segundos
3600"
4°
300ʹ
3 Calcula cuántos segundos hay en 3°13ʹ15ʺ.
Rpta. Rpta. 
 Calcula cuántos segundos hay en 2°36ʹ17ʺ.
Resolución: Resolución:
3
Síntesis
26
5
 
7
 
 
 
 
6 
8 
Rpta. 
 Efectúa. 
 12°26ʹ37ʺ + 4°19ʹ40ʺ
Rpta. 
 Halla el valor de A = 2°30ʹ
50ʹ
 + 
3ʹ40ʺ
22ʺ
.
 
Rpta. 
 Halla el valor de J = 4°50ʹ
29ʹ
 + 5ʹ30ʺ
11"
.
Rpta. 
 Efectúa. 
 41°17ʹ47ʺ + 2°11ʹ20ʺ
 
 
Rpta. 
 ¿Cuántos segundos hay en 2 horas 15 minutos?
Rpta.
 En 3 horas y 20 minutos, ¿cuántos segundos hay?
Rpta. 
 ¿Cuántos grados, minutos y segundos hay 
en 26 714ʺ?
Rpta.
 Expresa 21 265ʺ en grados, minutos y segundos.
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
9 10
11 12
27MateMática Delta 1 - trigonoMetría
13
 
15
14 
16 
17 18
19 20
 Calcula el valor de a + b, sabiendo que 
192ʹ = a°bʹ.
 Si se sabe que 737ʺ = xʹyʺ, calcula el valor de x + y.
Rpta.
 A partir de la figura, determina el valor de x.
36°40ʹ
x
20°31ʹ
Rpta. 
 Determina el valor de x.
25°40ʹx
10°15
ʹ
Rpta. 
Rpta. 
 Resuelve. 
 23°11ʹ5ʺ – 14°37ʹ56ʺ
Rpta. 
 Resuelve. 
 4°17ʹ31ʺ – 2°39ʹ59ʺ
Rpta. 
 Alejandro ha estado conectado a Facebook 
1380 segundos por la mañana y 900 segundos por 
la tarde. ¿Cuántos minutos ha estado conectado 
en total?
 Carolina ha escuchado música durante 
3780 segundos en la mañana y 2700 segundos 
en la tarde. ¿Cuántos minutos ha escuchado 
música en total?
Rpta. 
Rpta. 
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
∴ 
28
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
 ¿Cuántos segundos hay en 3°15ʹ17ʺ?
 Efectúa. 
 2°10ʹ20ʺ + 14°15ʹ30ʺ
 Resuelve. 
 20°31ʹ47ʺ – 18°25ʹ27ʺ
A 11 717'' B 11 818''
C 11 919'' D 11 616''
E 11 515''
A 16°25ʹ30ʺ B 16°30ʹ35ʺ
C 16°25ʹ50ʺ D 16°35ʹ50ʺ
E 16°35ʹ40ʺ
A 2°6ʹ40ʺ B 2°7ʹ20ʺ
C 2°8ʹ20ʺ D 2°6ʹ20ʺ
E 2°9ʹ20ʺ
 ¿Cuántos minutos hay en 3780 segundos?
 Halla el resultado de 40°17ʹ – 23°52ʹ.
 Encuentra el valor de la incógnita.
47°39ʹ + x = 90°
A 60' B 61' C 62'
D 63' E 64'
A 16°24ʹ B 15°24ʹ C 16°26ʹ
D 15°25ʹ E 16°25ʹ
A 42°21ʹ B 43°21ʹ C 41°21ʹ
D 42°22ʹ E 44°21ʹ
29MateMática Delta 1 - trigonoMetría
10
11
12
7
8
9
 ¿Cuánto es el valor de x en la ecuación?
 x + 45°40ʹ = 180°
A 134°20ʹ B 133°20ʹ
C 132°20ʹ D 134°30ʹ
E 135°30ʹ
 Resuelve. 
 130°10ʹ12ʺ – 120°40ʹ56ʺ
 Calcula el resultado de 23°49ʹ57ʺ + 15°45ʹ55ʺ.
A 9°29ʹ17ʺ B 8°29ʹ17ʺ
C 8°29ʹ16ʺ D 9°29ʹ16ʺ
E 9°28ʹ18ʺ
A 38°94ʹ112ʺ B 39°35ʹ22ʺ
C 38°35ʹ52ʺ D 39°35ʹ52ʺ
E 39°18ʹ22ʺ
 A partir del gráfico, determina el valor de x.
 Halla el valor de x.
 Antonio fue al cine a ver el estreno de su película 
favorita. Según sus cálculos, la película duró 
1 h 58 min y 14 s. ¿Cuántos segundos duró la 
película en total?
A 46°8ʹ41ʺ B 45°8ʹ41ʺ
C 47°8ʹ42ʺ D 44°8ʹ41ʺ
E 46°8ʹ44ʺ
A 118°50ʹ19ʺ B 119°50ʹ19ʺ
C 117°50ʹ19ʺ D 118°51ʹ18ʺ
E 119°51ʹ18ʺ
A 7093 s B 7092 s
C 7097 s D 7094 s
E 7000 s
43°51ʹ19ʺ
x
61°9ʹ41ʺx
30
16
17
18
13
14
15
Nivel II Simplifica.
 N = 1°31ʹ
13ʹ
+ 1ʹ52ʺ
16ʺ
 Encuentra el valor de x.
30°10ʹ
42°15ʺ35°28ʹ
x
 Calcula el valor de a + b sabiendo que 72ʹ = b°aʹ.
A 13 B 15 C 16
D 14 E 7
A 12 B 11 C 13
D 15 E 14
A 107°38ʹ25ʺ B 109°38ʹ60ʺ
C 106°38ʹ17ʺ D 107°38ʹ15ʺ
E 108°38ʹ67ʺ
 Efectúa. 
2°15ʹ40ʺ + 13°40ʹ50ʺ + 21°30ʹ6ʺ
 Si se sabe que 4222ʺ = a°bʹcʺ; determina el valor 
de ca + b .
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 36°26ʹ36ʺ B 36°26ʹ37ʺ
C 37°26ʹ36ʺ D 37°27ʹ37ʺ
E 38°28ʹ38ʺ
 Halla el valor de x.
x + 9°50'
x + 20°10'
A 27° B 30° C 32°
D 28° E 31°
 1
 2
31MateMática Delta 1 - trigonoMetría
19 22
20
21 24
23
 Si se sabe que 6°05ʹ58ʺ – 3°50ʹ47ʺ = a°bʹcʺ; 
encuentra el valor de b – c
a
 .
 Sabiendo que 3°15ʹ16ʺ + 4°50ʹ47ʺ = a°bʹcʺ; calcula
 el valor de a + b + 1
c
.
 Determina el valor de verdad de cada proposición.
I. 90º = 89º60'
II. 2º = 7200"
III. 180º = 179º59'60"
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 5 B 6 C 7
D 8 E 9
A VVF B FFF C FVV
D VVV E FVF
 Relaciona los elementos de ambas columnas, 
según corresponda.
I. 59º60' a. 6'
II. 360º b. 359º59'60"
III. 360" c. 60º
A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIb; IIIa
C Ic; IIa; IIIb D Ib; IIc; IIIa
E Ia; IIc; IIIb
 Halla el valor de a + b + c, si se sabe que 
a°45'52'' – 1°b'17'' = 7°35'c''.
 Encuentra el valor de a – c + b, si:
 14°a'16'' + b°10'14'' + 2°5'c'' = 20º21'41''
A 18 B 50 C 51
D 48 E 53
A 1 B –1 C 2
D 3 E –2
 
32
25 28
26
27
29
30
Nivel III
 Determina el valor de x en la ecuación. 
 40°15' + 3x – 10° + 50º45' = 180°
A 89° B 100° C 99°
D 33° E 15°
 Calcula el valor de a + b + c + d, si se sabe que 
4°a'10'' + b°11'9'' + 3°c'4'' = 13°19'd''.
 A partir del gráfico, halla el valor de x.
6°40ʹ – x
x
A 35 B 39 C 33
D 34 E 37
A 48°20ʹ B 47°20ʹ
C 46°15ʹ D 48°40ʹ
E 49°20ʹ
 Con la información del gráfico, encuentra el valor 
de x.
30°30ʹ – 2x
x
 En la ecuación, calcula el valor de la incógnita.
 49°x' + x°20' = 90°
 Determina el valor de x.
 60°3'x'' + 69°x'4'' + x°6'6'' = 180°
A 70°10ʹ B 70°12ʹ C 71°10ʹ
D 73°13ʹ E 72°30ʹ
A 40 B 50 C 60
D 80 E 70
A 40 B 45 C 50
D 55 E 60
 
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
33MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Dos ángulos adyacentes giraron en sentido 
antihorario. Si se sabe que uno de ellos mide 
120°, indica cuánto será la sexta parte de la 
medida del otro ángulo.
Determina el valor de θ – α.
Calcula el valor de x ÷ 10. Encuentra el valor de x.
Halla el quíntuple de x. Descubre el valor de α – β.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
10°A
30°C
20°B
60°D
10°A
30°C
20°B
50°D
10°A
20°C
80°B
1°D
45°A
80°C
60°B
90°D
20°A
80°C
40°B
100°D
0°A
2°C
1°B
3°D
20° + x
–150°
4x
3x
2x
70°
α
α
90° – α
–θ
α + 30°
x
135°
β
34
¿Cuántos segundos hay en 8°20'51''? Da como 
respuesta la suma de las cifras.
Efectúa.
36°41'33'' + 24°28'12'' + 48°50'15''
En la siguiente ecuación, calcula el valor de β.
 36°28' + β = 90°
Determina el valor de M, si se sabe que:
4°5ʹ13ʹʹ + 11°8ʹ7ʹʹ = a°bʹcʹʹ y
Halla el valor de x en el gráfico. Encuentra el valor del suplemento de x.
7 10
8 11
9 12
31051A
30000C
30051B
9D
1A
4C
2B
8D
53°38ʹ 
40°11ʹ39ʹ 150° 
A
A A
58°30ʹ 
41°11ʹ40ʹ 60° 
C
C C
52°32ʹ 
41°12ʹ39ʹ 90° 
B
B B
53°32ʹ 
41°12ʹ41ʹ 30°
D
D D
139°48ʹ21ʹʹ
x
107°12ʹ33" A
110°C
110°48ʹ21" B
112°59ʹD
M = 
a + b – c
2
4x x – 90°
MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Tema
35
3
A finales del siglo XVIII, en Francia, 
se dictó una ley que cambió, entre 
otras cosas, el calendario y el 
sistema de medición angular.
En aquella época, en Francia, el día 
fue dividido en 10 horas, cada hora 
en 100 minutos y cada minuto en 
100 segundos.
Este sistema de medición angular divide al ángulo de 
una vuelta en 400 partes iguales.
Sistema centesimal
Reloj de Laplace
1 vuelta = 400g
1g
Equivalencias
Propiedad: Un ángulo se puede medir en grados, minutos y segundos centesimales.
Ag Bm Cs = Ag + Bm + Cs: Donde B y C no pueden ser mayores que 100.
Ángulo de 
una vuelta
1g = 100m
1m = 100s
= 400g
Reglas prácticas de conversión
Grados MinutosMinutos Grados× 100 ÷ 100
Minutos SegundosSegundos Minutos× 100 ÷ 100
Grados SegundosSegundos Grados× 10 000 ÷ 10 000
X
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
Pierre - Simon
Laplace
Nació en Francia el 
28 de marzo 
de 1749.
Ángulo recto
Ángulo llano
100g200g
Import a nt e
Además:
 1g se lee, un grado centesimal } Unidad
 1m se lee, un minuto centesimal 
 1s se lee, un segundo centesimal
Sistema de medición 
angular centesimal
Subunidades
36
Ejemplo:
Efectúa: 45g15m26s – 19g87m63s
Resolución: 
El minuendo es menor en los minutos y segundos.
45g15m26s 45g cede 1g o 100m a 15m.
115m cede 1m o 100s a 26s.44g115m26s 
44g114m126s
Efectúa: 25g80m45s + 16g41m80s
 25g 80m 45s 
+ 16g 41m 80s
41g121m125s
41g122m25s
42g22m25s
Rpta. 42g22m25s
Rpta. 25g27m63s
100s + 25s = 1m + 25s
100m + 22m = 1g + 22m
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se agrupan los sumandos en grados, minutos y segundos, 
respectivamente.
Resta de ángulos
Para restar ángulos se debe expresar el minuendo como una cantidad mayor en grados, 
minutos y segundos, respecto al sustraendo.
Ejemplo:
(+)
 44g114m126s
– 19g 87m 63s
 25g 27m 63s
Expresamos convenientemente. 
1g
1m
(+)
Recuerda que los minutos 
y segundos no deben ser 
mayores que 100.
Restamos.
• 100g = 99g100m
• 100g = 99g99m100s
• 200g = 199g100m
• 200g = 199g99m100s
Ate n ción
37MateMática Delta 1 - trigonoMetría
1
2
3
4
5
6
 Calcula cuántos segundos hay en 3g12m41s.
 En la figura, determina el valor de x.
 Halla el valor de x, a partir de la figura.
 Calcula el valor de x, en la figura.
 Reduce.
 Encuentra el valor de a + b, si 140m = agbm.
 Resolución:
 3g12m41s = 3g + 12m + 41s
 12 × 100s = 1200s
 3 × 10 000s = 30 000s
 = 30 000s + 1200s + 41s
 = 31 241s
A = 3
g40m
34m + 
5m16s
129s
 Resolución:
 A = 3
g + 40m
34m + 
5m + 16s
129s
 A = 3 × 100
m + 40m
34m + 
5 × 100s + 16s
129s
 A = 300
m + 40m
34m + 
500s + 16s
129s
 A = 340
m
34 m + 
516s
129s
 A = 10 + 4 = 14
 Resolución:
 140m = 100m + 40m
 = 1g + 40m
 = 1g 40m
 Por lo tanto: 1g 40m = ag bm
 a = 1 ; b = 40
 Finalmente: a + b = 1 + 40 = 41
 Resolución:
 En el sistema centesimal el ángulo recto mide 
100g, entonces:
 x + 40g50m = 100g
 x + 40g50m = 99g100m
 x = 99g100m – 40g50m
 x = 59g50m
 Resolución:
 x + 140g80m = 200g
 x + 140g80m = 199g + 1g
 x + 140g + 80m = 199g + 100m
 x = 199g + 100m – 140g – 80m
 x = 59g + 20m
 x = 59g20m
 Resolución:
 x + 50g60m = 100g
 x + 50g60m = 99g + 1g
 x + 50g + 60m = 99g + 100m
 x = 99g + 100m – 50g – 60m
 x = 49g + 40m
 x = 49g40m
40g50m
x
50g60m
x
140g80m
x
Rpta. 14
Rpta. 31 241s
Rpta. 59g50m Rpta. 59g20m
Rpta. 41
Rpta. 49g40m
Ejercicios resueltos
38
7
8
9
10
11
12
 Resolución:
 x + 165g + 100g = 400g
 x + 265g = 400g
 x = 400g – 265g
 x = 135g
 Determina si las proposiciones son verdaderas o 
falsas.
 I. 800s > 10m
 II. 1g5m < 84m
 III. 1546s > 2g
 Expresa 266 649s en grados, minutos y segundos 
centesimales.
 Calcula el valor de x, en centesimales.
 Determina el valor de x en centesimales.
por ser un ángulo recto
 Encuentra el valor de x, en centesimales.
 Halla el valor de x, en centesimales.
Rpta. 26g66m49s
Rpta. 135g
Rpta. Las 3 proposiciones son falsas.
 I. 800s > 10 × 100s
 800s > 1000s (F)
 II. 1g 5m < 84m
 1 × 100m + 5m < 84m
 100m + 5m < 84m
 105m < 84m (F)
 III. 1546s > 2g
 1546s > 2 × 10 000s
 1546s > 20 000s (F)
 Resolución:
 Para comparar cantidades, expresamos en las 
mismas unidades.
 Resolución:
 x + 180g50m + 100g = 400g
 x = 400g – 100g – 180g50m
 x = 300g – 180g50m
 x = 299g + 1g – 180g50m
 x = 299g + 100m – 180g50m
 x = 299g100m – 180g50m
 x = 119g50m
 Resolución:
 Recordamos: 100s = 1m (dos ceros)
 10 000s = 1g (cuatro ceros)
 Resolución: 
 Resolución: 
 2x + 3x = 200g
 5x = 200g
 x = 200
g
 5
 x = 40g
Rpta. 40g
Rpta. 50g Rpta. 119g50m
3x
2x
150g
x
50g + x = 100g
 x = 50g
150g200g 50g
x
 260 000s + 26g 
 6600s 66m
 49s 49s
 266 649s 26g + 66m + 49s
165g
x
180g50m
x
Ángulo llano
200g



++
39MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Síntesis
1
3
5
Modela y resuelve 
2
4
6
 Completa el siguiente cuadro.
Grados Minutos Segundos
4g
1500m
50 000s
Grados Minutos Segundos
1700m
3g
60 000s
 Completa el siguiente cuadro.
 Calcula los segundos que hay en 5g16m14s.
Rpta. 
 Calcula los segundos que hay en 4g41m39s.
Rpta. 
 Halla el valor de x + y, si 340m = xgym.
Rpta. 
 Halla el valor de a + b, si 480s = ambs.
Rpta. 
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Ta
m
bi
én
 
re
cu
er
da
Sistema de medición angular centesimal
• 1 vuelta = 400g
• 1g = 100m
Además:
200g = 199g 100m = 199g 99m 100s
100g = 99g 100m = 99g 99m 100s
Equivalencias
• 1m = 100s
• 1g = 10 000s
200g
O
400g
O
100g
O
1g
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo de una vuelta
40
7
 
8 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
 Reduce.
 A = 
3g69m
41m
 + 
2g22m
37m
 Reduce.
 B = 
3m57s
51s
 + 
3m32s
83s
 Efectúa. 
 4g50m37s + 5g20m73s
 Efectúa. 
 7g60m19s + 3g40m31s
 Efectúa. 
 41g16m13s – 27g19m40s
 Efectúa. 
 17g27m23s – 5g69m40s
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
9 10
11 12
41MateMática Delta 1 - trigonoMetría
 
1
13
 
14 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
 Calcula el valor de x, según la figura. Según la figura, calcula el valor de α.
 Halla el valor de .
Determina el valor de x. Determina el valor de x.
 Halla el valor de x .
x
70g60m x
60g45m
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
15 16
17 18
89g
 –150g
145g
139gxn
 –155g
–x
α
3
35gxm
xg36m
x
2
60gxm
42
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
 Calcula el valor de x.
 Halla el valor de x.
 Reduce.
 N = 1
g68m
14m
x
65g
x66
g
A 30g B 35g C 40g
D 45g E 50g
A 31g B 32g C 33g
D 34g E 35g
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
 Determina el valor de x.
 Encuentra el valor de a + c – b; si:
3g15m20s 
4g20m18s
ag bm cs
x
153g
A 145g B 147g C 149g
D 253g E 143g
A 4 B 8 C 9
D 12 E 10
Del gráfico, calcula el valor de a + b – c.
agbmcs25 453s
A 1 B 3 C 2
D 4 E 5
+
43MateMática Delta 1 - trigonoMetría
10
11
12
7
8
9
 Halla el valor de x.
 Determina el valor de x.
 Encuentra el valor de x.
x
55g50m
x 154g50m
x
–55g
A 45g50m B 45g60m C 46g50m
D 44g50m E 44g60m
A 44g50m B 44g60m C 44g30m
D 45g50m E 44g40m
A 40g B 50g C 65g
D 45g E 55g
 Relaciona las expresiones de la izquierda con sus 
equivalencias de la derecha.
 I. 3g a. 215s
 II. 2m15s b. 1g40m
 III. 140m c. 30 000s
A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIa; IIIb
C Ib; IIc; IIIa D Ia; IIc; IIIb
E Ic; IIb; IIIa
 Halla el valor de x.
 Calcula el valor de x.
x x + 20g
40g
x
354g60m
A 45g50m B 45g40m C 46g50m
D 44g50m E 44g60m
A 30g B 40g C 50g
D 45g E 20g
44
 
 
Nivel II Indica verdadero (V) o falso (F), según 
corresponda.
 I. 100g equivale a 99g100m. ( )
 II. 2m23s es mayor a 232s. ( )
 III. 200g equivale a 199g99m100s. ( )
A VVV B VFF C FVF
D FFV E VFV
 Relaciona los gráficos de la izquierda con sus 
medidas equivalentes de la derecha.
I. a. 199g100m
II. b. 99g100m
III. c. 399g100m
A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIa; IIIb
C Ib; IIc; IIIa D Ia; IIc; IIIb
E Ic; IIb; IIIa
Determina el valor de x.
x
2x + 10g
40g
A 30g B 40g C 50g
D 35g E 45g
 Encuentra el valor de x.
x
–30g40
g
A 15g B 20g C 25g
D 30g E 35g
Calcula el valor de x.
–40g
x
A 220g B 230g C 240g
D 250g E 260g
 Indica verdadero (V) o falso (F), según la figura.
I. α = 6000m ( )
II. β > 150g ( )
III.α + β < 210g ( )
α
β
40g
A VFV B VVV C FVF
D VVF E FFF
13
14
15
16
17
18
45MateMática Delta 1 - trigonoMetría
 
 
 
 Halla el valor de M.
 M = 1
m76s
16s
 + 1
g15m
23m
 
A 3 B 4 C 5
D 6 E 16
 Determina el valor de x.
 Según el gráfico.
150g
–170g
–x
α
β θ
60g
 Relaciona los ángulos de la izquierda con sus 
respectivos valores de la derecha.
 I. α a. 160g
 II. β b. 140g
 III. θ c. 40g
A 60g B 70g C 80g
D 90g E 65g
A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIa; IIIb
C Ib; IIc; IIIa D Ia; IIc; IIIb
E Ic; IIb; IIIa
 Encuentra el valor de x en grados y minutos 
centesimales.
x
45g20m 40g60m
A 114g20m B 115g20m
C 116g20m D 114g30m
E 115g30m
 ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos presenta una 
medida de ángulos incorrecta?
I.
II.
III.
–40g
60g
60g–300g
–30g
150g
A II y III B Solo III
C Solo I D Solo II
E Ninguno
19
20
21
22
23
46
 
Nivel III
 Calcula el valor de x en grados, minutos y segundos 
centesimales.
40g60m45s
x
A 59g38m55s B 60g40m55s
C 60g45m55s D 59g39m55s
E 60g40m65s
 Halla el valor de x en grados, minutos y segundos 
centesimales.
20g65m47s x
A 180g35m53s B 179g34m53s
C 179g35m54s D 180g45m53s
E 180g35m54s
 Determina el valor de x.
x
–40
g50
m10
s
–40g10m50s
A 20g40m40s B 19g40m40s
C 20g39m39s D 19g39m40s
E 20g39m40s
 Encuentra el valor de x.
x
50g65m 40g40s
A 108g35m60s B 108g35m65s
C 109g34m60s D 109g35m60s
E 110g35m40s
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
60gxm
99g
40g40m
xg40m
39gxm
A 60 B 20 C 30
D 40 E 50
A 40 B 50 C 60
D 65 E 55
24
25
26
27
28
29
MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Tema
47
4
Sistema de medición 
angular radial
el número π
En todas las circunferencias la división entre 
la medida de su longitud (L) y la medida de su 
diámetro (D), genera un mismo resultado, un número 
aproximadamente igual a 3,141592..., este número es 
representado por la letra griega π.
Es decir:
La longitud de la circunferencia resulta de multiplicar por π el valor del diámetro de la 
circunferencia.
Este sistema de medición angular radial asigna al ángulo de una vuelta un valor de 2π rad.
L = D × π
1 vuelta = 2π rad
π
2
 rad
π rad
3π
2
 rad
longitud de la circunferencia
el número π en Trigonometría
equivalencias angulares
Longitud de la circunferencia
Diámetro
L
D
= = π
DiámetroL
on
git
ud
 de la circunferencia
D
Ángulo recto Ángulo llano
O
O
O
William Jones
(1675 - 1749)
Matemático galés 
que propuso el uso 
de π para representar 
el número pi. 
leonhard euler
(1707 - 1783)
Matemático y físico 
suizo. Extendió el uso 
de la letra π entre los 
matemáticos.
Obse rva
48
1
2
3
4
 Efectúa. 	 Determina	el	valor	de	x,	a	partir	de	la	figura.
 Encuentra el valor de x, en radianes.
 Calcula el valor de x, en el sistema radial.
Entonces:
Cambiamos 
de sentido 
y signo.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
•	 Todos los ángulos 
deben tener el mismo 
sentido de giro.
Cambiamos 
de sentido de 
giro y signo.
•	 Si	cambia	el	sentido	
de giro cambia el 
signo del ángulo.
MCM(5; 3; 10) = 30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 30
30
 . π
5
 – 30
30
 . π
3
 + 30
30
 . 3π
10
15 6 . π
30
 – 10 . π
30
 + 3 . 3π
30
15 6π – 10π + 9π
30
x + π
10
 rad = π
2
 rad
x + π
3
 rad = 2π rad
π
4
 rad + x + π
3
 rad = π rad
x = 2π rad – π
3
 rad 
x = π rad – π
3
 rad – π
4
 rad 
15 . 5π
30
 = 5π
2
x = π rad – 7π
12
 rad 
x = 5π
3
 rad 
x = 5π
12
 rad 
x = 4π
10
 rad 
x = 2π
5
 rad 
π
10
 rad
π
3
 rad
π
3
 rad
– π
4
 rad
π
3
 rad
π
4
 rad
π
10
 rad
–x
+x
x = π
2
 rad – π
10
 rad 
x = 5
5
× π
2
rad – π
10
 rad 
x
x
x
– π
3
 rad x
Rpta. rad5π
2
Rpta. 2π
5
 rad 
Rpta. 
Rpta. 
5π
12
5π
3
rad
rad
Ejercicios resueltos
15 π
5
 – π
3
 + 3π
10
49MateMática Delta 1 - trigonoMetría
5
6
7
8
 Halla el valor de x, en radianes. Efectúa.
 M = 3
π
 13π
3
 + 11π
6
 + 13π
6
	 Según	el	gráfico,	analiza	el	valor	de	verdad	de	las	
expresiones.
 Calcula el valor de x, en radianes.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Planteamos la ecuación de equivalencia.
I. α = π
3
 rad (V)
Son	ángulos	opuestos	por	el	vértice	y	tienen	
el mismo sentido de giro.
II. α + β = π rad (V)
Los ángulos forman un ángulo llano.
III. β + π
3
 rad = π rad (V)
 β = π rad – π
3
 rad
 β = 2π
3
 rad
I. α = π
3
 rad
II. α + β = π rad 
III. β = 2π
3
 rad 
x + x + x = π rad
3x = π rad
Cambiamos 
el sentido de 
giro y signo.
MCM(3; 6) = 6Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
π
6
 rad + π
4
 rad = 5π
6
 rad
x = 5π
6
 rad – π
6
 rad – π
4
 rad 
x = π
3
 rad 
x = 4π
6
 rad – π
4
 rad 
x = 2π
3
 rad – π
4
 rad 
x = 5π
12
 rad
π
6
 rad
π
3
 rad
π
3
 rad
π
6
 rad
π
4
 rad
π
4
 rad
– 5π
6
 rad
5π
6
 rad
x
x
x
x
α
α
β
β
x
M = 50
2
M = 25 M = 5
M = 3
π
 2
2
.13π
3
 + 11π
6
 + 13π
6
M = 3
π
 26π
6
 + 11π
6
 + 13π
6
 
M = 3
π
 50π
6
x + 
Rpta. 5π
12
 rad
Rpta. π
3
 rad
Rpta. 5
Rpta. VVV
50
9
10
11
12
 Ordena los siguientes ángulos, indicados de rojo, 
de menor a mayor.
	 Del	gráfico:
	 Relaciona	según	el	gráfico.
 Encuentra el valor de x, en radianes.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
•	 El menor ángulo es II porque gira en sentido 
horario, por tanto es negativo.
•	 El ángulo IV es mayor al ángulo recto, pero 
menor al ángulo llano.
•	 El ángulo III es mayor que el ángulo llano.
•	 El ángulo I es casi de una vuelta.
α = – π
4
 rad
θ = π
4
 rad
Para β:
π
4
 rad + β + π
4
 rad = π rad
 β + π
2
 rad = π rad
 β = π rad – π
2
 rad
 β = π
2
 rad
I. α a. π
4
 rad
II. β b. – π
4
 rad
III. θ c. π
2
 rad
Calcula el valor de x + y.
•		 x	+	 π
4
 rad = π rad 
 x = π rad – π
4
 rad 
 x = 3π
4
 rad
•		 y	+	 π
4
 rad = π
2
 rad
 y = π
2
 rad – π
4
 rad
 y = π
4
 rad
I.
III.
II.
IV.
π
18
rad
– 5π
9
rad
5π
9
rad
2π
3
rad
2π
3
rad
π
3
rad
– π
4
 radπ
4
 rad
π
9
rad
x
x
x
y
β
α θ
Planteamos la ecuación de equivalencia.
Cambiamos 
el sentido de 
giro y signo.
x + 5π
9
 rad + 2π
3
 rad = 2π rad 
 x + 11π
9
 rad = 2π rad 
 x = 2π rad – 11π
9
 rad
 x = 7π
9
 rad
Rpta. II, IV, III, I.
Rpta. Ib; IIc; IIIa.
x + y = 3π
4
 rad + π
4
 rad
x + y = π rad

Rpta. π rad Rpta. 
7π
9
 rad
π
4 rad
51MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Síntesis
1
3
Modela y resuelve 
2
4
 Relaciona los diámetros de la izquierda con la 
longitud de la circunferencia correspondiente de 
la derecha.
L = π . D
Se	cumple	que:
Entonces:
Pero D = 2r
 Relaciona los diámetros de la izquierda con la 
longitud de la circunferencia correspondiente de 
la derecha.
 Calcula el valor de x, en radianes.
 D
I. 3 cm
II. 1 m
III. 4 m
a. π m
b. 3π cm
c. 4π m
Diámetro Longitud de la circunferencia
I. 10 m
II. 7 m
III. 15 cm
a. 7π m
b. 15π cm
c. 10π m
Diámetro Longitud de la circunferencia
L = 2πr
L : longitud de la circunferencia
D : diámetro
r : radio
radπ
2
rad3π
2
π rad
2π rad
x
radπ
4
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
 Calcula el valor de x, en radianes.
x
rad
π
6
Rpta. 
R
ec
ue
rd
a 
ta
m
bi
én
...
Sistema de medición angular radical
Resolución:
Resolución:
52
1
5
 
6 
7 8
9 10
 Reduce.
Q = 
12
13 
π
2
 + π
3
 + π
4
Rpta. 
 Reduce.
P = 
8
7 π + 
π
2
 + π
4
Rpta. 
Resolución:Resolución:
 Determina el valor de x, en radianes.
 Halla el valor de x, en radianes. Halla el valor de x, en radianes.
 Determina el valor de x, en radianes.
x
rad3π
4x
2π
3
rad
xrad7π
4
xrad9π
5
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
53MateMáticaDelta 1 - trigonoMetría
11
 
13
12 
14 
Nivel II
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
 Calcula el valor de x.
 Determina el valor de x, en radianes. Determina el valor de x, en radianes.
x
rad
5π
6
–
Rpta. 
 Calcula el valor de x.
–x
9π
10
rad
x
x
x
π
4
x
x
rad
 Encuentra el valor de x.
x
π
3
–
Rpta. 
rad
 Encuentra el valor de x.
x
rad
π
4
–
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución:Resolución:
15 16
54
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
 Efectúa. 
 Reduce. 
 Calcula el valor de x, en radianes.
x
 
π
3
 rad
A π
2
 B π C π
5
D π
6
 E π
4
A π
3
 B 2π
3
 C π
6
D π
4
 E π
5
A π
2
 rad B π rad C π
6
 rad
D π
3
 rad E π
6
 rad
 Efectúa. 
 Relaciona según el gráfico.
I. α a. π
6
 rad
II. β b. – π
3
 rad
III. θ c. π
2
 rad
θ
α
β
π
3
rad
 R = 15π π + 
π
15 
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A Ia; IIb; IIIc B Ib; IIc; IIIa
C Ib; IIa; IIIc D Ic; IIa; IIIb
E Ia; IIc; IIIb
 Halla el valor de x, en radianes.
π
4
rad
π
3 rad
x
A 7π rad B 7π
12
 rad C 7π
9
 rad
D 7π
5
 rad E 7π
3
 rad
N = 
π
3
 + 
π
6
 – π
4
 M = π – π
2
 + 
π
6
55MateMática Delta 1 - trigonoMetría
10
11
12
7
8
9
 Determina el valor de x, en radianes.
 Encuentra el valor de x, en radianes.
 Indica verdadero (V) si los ángulos son correctos y 
falso (F) si no lo son.
I.
( )
II.
( )
III.
π
4 rad
7π
4
rad π
4 rad 
π
4
 rad
π
3
 rad 
π
6
 rad
2π
3
rad
x
π
5
rad
π
10
rad
π
10
rad
x
A π
6
 rad B 7π
6
 rad C 5π
3
 rad
D π
3
 rad E 3
2
 rad
A π
5
 rad B π
2
 rad C π
8
 rad
D 2
7
 rad E 2π
5
 rad
A VVF B FVV C VFV
D VVV E FFF
 Calcula el valor de a + b.
 Relaciona los ángulos de la izquierda con sus 
medidas en radianes de la derecha.
I. 1 vuelta a. π rad
II. 1
2
 vuelta b. 2π rad
III. 1
4
 vuelta c. π
2
 rad
 Halla el valor de x.
π
5
rad
x
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 6π
7
 rad B 3π
5
 rad C 6π
5
 rad
D 9π
5
 rad E 7π
5
 rad
A Ib; IIa; IIIc B Ic; IIb; IIIa
C Ib; IIc; IIIa D Ia; IIb; IIIc
E Ic; IIa; IIIb
aπ
3
rad
bπ
3
rad
( )
56
16
17
18
13
14
15
Nivel II Determina el valor de x.
π
4
rad
x
A 7π
3
 rad B 7π
4
 rad C 9π
4
 rad
D 3π
4
 rad E 11π
4
 rad
 Efectúa.
 R = 
5
π 3π + 
π
5 
 Encuentra el valor de x, en radianes.
x
x
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A π
5
 rad B π
3
 rad C π
4
 rad
D π
3
 rad E π
7
 rad
 Efectúa.
 P = π2 + 
π
4 + 
π
8 + 
π
16 × 
16
5
 Calcula el valor de x, en radianes.
 Halla el valor de x, en radianes.
–x
π
8
rad
–x–x
x
A π B 2π C 3π
D 4π E 5π
A – π
4
 rad B π
4
 rad C 3π
8
 rad
D – 3π
8
 rad E π
5
 rad
A π
2
 rad B π
4
 rad C π
5
 rad
D π
3
 rad E π
6
 rad
57MateMática Delta 1 - trigonoMetría
22
23
24
19
20
21
 Relaciona los gráficos de la izquierda, con las 
medidas angulares más adecuadas de la derecha.
	 Según	el	gráfico,	analiza	el	valor	de	verdad	de	las	
expresiones.
I. a. 3π
4
 rad
II. b. π
4
 rad
III. c. 5π
4
 rad
π
4
rad
α
β
 Efectúa.
 R = 
3
2π 2π + 
π
2 + 
π
6 
I. α = π
4
 rad
II. α + β = π rad
III. β = 3π
4
 rad
π
4
rad
π
4
rad
π
4
rad
A VVF B FFF C FVF
D VVV E VFV
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A Ib; IIa; IIIc B Ic; IIb; IIIa
C Ib; IIc; IIIa D Ia; IIb; IIIc
E Ic; IIa; IIIb
 Relaciona los gráficos de la izquierda, con las 
medidas angulares de la derecha.
 Determina el valor de x, en radianes.
 Encuentra el valor de x, en radianes.
I. a. – π
2
 rad
II. b. 3π
2
 rad
III. c. π
2
 rad
π
6
rad–
π
6
rad
x
π
4
rad x
A 5π
4
 rad B 9π
4
 rad C 11π
4
 rad
D π
4
 rad E 13π
4
 rad
A π
2
 rad B π
4
 rad C π
5
 rad
D π
8
 rad E π
3
 rad
A Ia; IIb; IIIc B Ic; IIa; IIIb
C Ia; IIc; IIIb D Ic; IIb; IIIa
E Ib; IIa; IIIc
58
 Q = 4
π
 π + π
2
 – π
4
 – 9
π
 π
3
 – π
9
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
 Relaciona los gráficos de los ángulos indicados 
con rojo con sus respectivas medidas angulares.
 De la figura, calcula el valor de x.
I. a. 7π
4
 rad
II. b. 3π
8
 rad
III. c. 6π
7
 rad
π
8
rad
π
7
rad
π
2
rad
2π
3
rad–
x
π
4
rad
A Ia; IIb; IIIc B Ia; IIc; IIIb
C Ic; IIb; IIIa D Ib; IIa; IIIc
E Ib; IIc; IIIa
A π
6
 rad B 5π
6
 rad C 7π
6
 rad
D π
5
 rad E 2π
5
 rad
28
29
30
25
26
27
 
 Observa el gráfico.
Calcula el valor de β – α.
α
β
π
6
rad
A π rad B 2π rad C π
3
 rad
D π
2
 rad E 2π
3
 rad
 
 
 Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.
 De los gráficos, indica cúal de ellos presenta un 
ángulo incorrecto.
I.
I.
III.
II.
IV.
III.
II.
IV.
π
4 rad
π
4 rad
π
3
rad–
π
3
rad–
π
3
rad–
π
4
rad–
π
6 rad–
π
3
rad–
π
6
rad
π
3
radπ
6
rad
5π
3
 rad
5π
6 rad
A I; II; III; IV B II; III; I; IV
C I; II; IV; III D III; I; II; IV
E I; IV; II; III
A 	 Solo	I	 B I y II C 	 Solo	III
D 	 Solo	II	 E I y IV
Efectúa.
 
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
59MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Halla el valor de α. Determina el valor de x + 10 . 
¿A cuánto es igual a + b – c?
Descubre el valor de θ .
Calcula el valor de β. Encuentra el valor de γ.
1 4
2
5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
48gA
132gC
58gB
142gD
4A
9C
8B
14D
158A
27C
83B
8D
4 A
8 C
6 B
10 D
270g25mA
310g25mC
280g25mB
310g65mD
14g17mA
24g27mC
17g13mB
27g17mD
–89g35m
42g
α –82g
–xg64g
agbmcs
651 875s
3
–150g
–186g
–θg
–γ
β
60
Efectúa e indica el valor de K. Halla el valor de A.
Calcula el valor de 15x
8
. Encuentra el valor de x en radianes.
Según	el	gráfico,	determina	el	valor	de	a	+	b	+	c. Descubre el valor de β en radianes.
7 10
8 11
9 12
A
A
A
A
C
C
C
C
B
B
B
B
D
D
D
D
2A
6C
3B
12D
3πA
6πC
5πB
7πD
 K = π – π
4
 + π
2
 + π
8
 A = 8 π
2
 – π
4
 + π
8
 + π
2
3π
4
π
2
π
3
π
6
π
9
8π
15
15π
8
3π
8
3π
5
16π
7
5π
2
3π
2
5π
2
π
8
8π
5
π
π
3
π
5
–
cπ
6
aπ
6 bπ
6
–
π
2–
 
 
– –
π
9
2π
9
–
β
x
x
MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Tema
61
5
Conversiones entre sistemas 
de medición angular
Equivalencias entre los sistemas de medición angular
Fórmula general de conversión
La medida de un ángulo se 
puede expresar en tres sistemas 
de medición.
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Sistema radial
Tomando como referencia el ángulo de una vuelta, el ángulo llano y el ángulo recto, 
podemos obtener las siguientes equivalencias.
Ángulo Sistema sexagesimal
Sistema 
centesimal
Sistema 
radial
360° 400g 2π rad
180° 200g π rad
90° 100g
π
2
 rad
Para cualquier ángulo α que puede ser medido en los tres sistemas de la siguiente manera, 
se verifica lo siguiente.
Donde:
S: número de grados sexagesimales de α
C: número de grados centesimales de α
R: número de radianes de α
Ejemplo:
Convierte 240° al sistema radial.
Resolución:
240° × π rad
180°
 = 4π rad
3
 = 4π
3
 rad
S
180
 = C
200
 = R
π
S
9
 = C
10
Además, en el caso de S y C, tenemos:
Sistema que se pide
Sistema en el que se encuentra el ángulo
Rpta. 4π
3
rad
Dos o más 
cantidades son 
equivalentes si 
tienen el mismo valor 
pero se escriben en 
unidades diferentes.
Import a nt e
Tener en cuenta 
las siguientes 
equivalencias:
• 180° <> 200g <> rad
• 90° <> 100g <> 
π
2
 rad
• 45° <> 50g <> 
π
4
 rad
Utiliza el factor de 
conversión:
Sistema que se pide
Sistema en el que se 
encuentra el ángulo
Not a
At e n ción
R
ec
to
O
O
O
Ll
an
o
U
na
 
vu
el
ta
62
En algunos casos, se tiene que usar las diferentes medidas angulares (S, C y R) de un 
ángulo.
Ejemplo:
Reduce, sabiendo que S, C y R son las medidas angulares en los sistemas sexagesimal, 
centesimal y radial, respectivamente, de un mismo ángulo. 
M = 
C + S
C – S – 3
M = C + S
C – S
 – 3 M = 19k
1k
 – 3
M = 19 – 3
M = 16 M = 4
M = 10k + 9k
10k – 9k
 – 3Ejemplo: 
¿Cuántos minutos centesimales hay en 2°42'?

 162' . 50
m
27'
 
 162' . 50
m
27'
 6 . 50m = 300m
Conversión entre grados, minutos y segundos sexagesimales y centesimales
Los sistemas de medida sexagesimal y 
centesimal se dividen en grados, minutos 
y segundos.
Resolución:
Observamos que 
solo se usan dos 
medidas S y C.
S = 9k
C = 10k
Resolución:
2°42' = 2° + 42' = 2 . (60') + 42'
2°42' = 120' + 42' = 162'
Usaremos la siguiente equivalencia:
27' < > 50m
Si se sabe que:
Equivalencias
grados 9° < > 10g
Minutos 27' < > 50m
Segundos 81'' < > 250s
6
1
S
9
 = 
C
10
 = 
20R
π
 = k
20 . S
180
 = 20 . C
200
 = 20 . R
π
 S
180
C
200
R
π
= = × 20
S = 9k; C = 10k; R = πk
20
 

Rpta. Hay 300 minutos centesimales.
Not a
 9° < > 10g
 27' < > 50m
 81'' < > 250s
×3 ×5
×3 ×5
Según lo demostrado:
S = 9k
C = 10k
R = 
πk
20
Recu e rda
63MateMática Delta 1 - trigonoMetría
1
2
5
3
6
4
R = 
R = 
10(9k)
10k
R = 
 90k
 10k
R = 9 = 3 Rpta. 3
Resolución:
Utilizamos la siguiente equivalencia.
 180° < > π rad
Resolución:
Se sabe que la suma de los ángulos internos de 
un triángulo es 180°.
Resolución:
Sabemos que: S = 9k y C = 10K.
Reemplazando tenemos:
Resolución:
Se sabe que: S = 9k
 C = 10k
 R = 
Resolución:
Para simplificar todos los ángulos, expresamos en 
el mismo sistema.
 π rad
3
 . 180°
π rad
 = 180°
3
 = 60°
 50g < > 45° (según lo demostrado)
Al reemplazar las equivalencias se tiene:
Q = 30° + 60°
45°
 = 90°
45°
 = 2 
En el gráfco:
x + 50g = 90°
x + 45° = 90°
 x = 90° – 45°
 x = 45°
Resolución:
Se sabe que: 
50g < > 45°
Rpta. 45°
Rpta. 37°
Entonces:
 Convierte 2π rad
3
, al sistema sexagesimal.
 Simplifica.
 Q = 
30° +
50g
 Calcula el valor de x en el sistema sexagesimal.
 Rpta. 2π rad
3
 < > 120°
2π rad
3
 . 180°
π rad
2π rad
3
 . 180°
π rad
 2 × 60° = 120°
• 70g × 180°
200g
 = 7 × 18°
2
 = 63°
• 4π
9
 rad × 180°
π rad
 = 4
9
 × 180° = 80°

 63° + 80° + x = 180°
 143° + x = 180°
 x = 180° – 143° = 37°

 4(10k) – 2(9k) = 44
 40k – 18k = 44
 22k = 44
 k = 
44
22 = 2 
 Determina el valor de x en grados sexagesimales.
 Siendo S y C lo convencional para un ángulo, 
simplifica:
 Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo, 
calcula el valor de R, si 4C – 2S = 44.
π rad
3
x
50g
70g
x
4π
3
rad

Rpta. 2
Rpta. π10 rad
10S
C
π k
20
Ejercicios resueltos
R = π(2)
20
rad 
 = π10 rad
64
7
8
9
10
11
12
Resolución:
Se sabe que π
4
 rad < > 45°
 100g < > 90°
Resolución:
Convertimos π
36
 rad a grados sexagesimales.
π
36
 rad × 
180°
π rad = 
180°
36
 = 5°
Asimismo, los grados a minutos, teniendo en 
cuenta que:
1° < > 60'
5° × 
60'
1° = 5 × 60' = 300'
Resolución:
Convertimos 160g a sexagesimales.
160g × 
180°
200g = 16 
. 18°
2
 = 144°
De acuerdo al gráfico, tenemos:
 144° = (x + 40)°
 144 = x + 40
 144 – 40 = x
 104 = x
Resolución:
Convertimos los grados y minutos por separado.
• 36° × 
200g
180° = 36° × 
200g
180° = 2 × 
200g
10 = 40
g
• 27' × 
50m
27' = 27' × 
50m
27' = 1 × 50
m = 50m
Luego: 36°27' < > 40g50m
Resolución:
Se cumple que 27' < > 50m
Resolución:
12m50s = 12m + 50s = 12 . (100s) + 50s
 = 1200s + 50s = 1250s
Recuerda que 81'' < > 250s

 1250s . 
81''
250s 
 1250s . 
81''
250s 
 125 . 
81''
25 = 405''
 Encuentra el valor de x.
 x° + π
4
 rad = 100g
 ¿A cuántos minutos centesimales equivalen 135'?
 ¿Cuántos minutos sexagesimales hay en π
36
 rad?
 Halla el valor de x.
 Expresa 36°27' en grados y minutos centesimales.
 ¿A cuántos segundos sexagesimales equivalen 
12m50s?
Al reemplazar en la ecuación, tenemos:
x° + 45° = 90°
 x° = 90° – 45°
 x° = 45°

 135' . 50
m
27'
 
 135' . 50
m
27'
 
 5 . 50m
 250m
5
5
2
1
1
10
1
1
(x + 40)°
160g
Rpta. 45°
Rpta. A 250m
Rpta. A 405''
Rpta. Hay 300'
Rpta. 104 
Rpta. 40g50m
65MateMática Delta 1 - trigonoMetría
Síntesis
1
5
3
Modela y resuelve 
2
6
4
Fórmula de conversión Algunas equivalencias 
entre S, C y R
S C R
Equivalencia entre S y C
S
180
 = C
200
 = R
π
 9° < > 10g
27' < > 50m
81'' < > 250s
S = 9k
C = 10k
R = 
πk
20
Factor de conversión
180° <> 200g <> π rad
 90° <> 100g <> π
2
 rad
 45° <> 50g <> π
4
 radSistema que se pide
Sistema en el que se encuentra el ángulo
 Completa el siguiente cuadro.
 Si α = 80g, ¿cuál es su valor en radianes? Si β = 20g, ¿cuál es su medida en radianes?
 Convierte 60° al sistema radial. Convierte 30° al sistema radial.
S C R
90°
200g
 Completa el siguiente cuadro.
S C R
45°
2π rad
540°
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3 π2 rad
Conversiones entre sistemas 
de medición angular
66
1
7
 
8 
9 10
11
13
12
14
 Convierte 2π
3
 rad al sistema sexagesimal.
 ¿A cuántos minutos sexagesimales equivale 
π
6
rad?
 ¿A cuántos minutos sexagesimales equivale 
π
100
rad?
 Simplifica.
 M = 
60° + 
2π
3
 rad
200g
 
 Simplifica.
 N = 45° + 50
g
 
π
2
 rad
 
 Convierte 5π
6
 rad a grados sexagesimales.
 Calcula π
18
 rad + 30g en grados sexagesimales. Calcula π
9
 rad + 60g en grados sexagesimales.
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución:
Resolución:
67MateMática Delta 1 - trigonoMetría
15
 
16 
 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
 Indica verdadero (V) o falso (F), según 
corresponda.
 I. 90° > 100g ( )
 II. π rad > 80° ( )
 III. 30° < 30g ( )
 Siendo S y C lo convencional para un ángulo, 
simplifica.
 M = 3C – 2S
C – S
 Siendo S y C lo convencional para un ángulo, 
simplifica.
 N = 5S – 4C
C – S
 ¿A cuántos minutos sexagesimales equivalen 
150m?
 ¿A cuántos minutos centesimales equivalen 
108ʹ?
 Indica verdadero (V) o falso (F), según 
corresponda.
 I. 60° > 60g ( )
 II. π
4
 rad > 50° ( )
 III. π
5
 rad < 39g ( )
 Halla el valor de x.
 x° + π
6
rad = 60g
 Halla el valor de x.
 xg + 2π
5
rad = 108°
Rpta. 
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
17 18
19 20
21 22 
68
1
Practica y demuestra
Nivel I
2
3
4
5
6
7
8
 Expresa en radianes 135°.
 Expresa en grados sexagesimales 2π
15
rad.
 Convierte 170g al sistema sexagesimal.
A π
4
 rad B π
3
 rad C 3π
4
 rad
D π
7
 rad E 2π
7
 rad
A 16° B 20° C 28°
D 24° E 32°
A 142° B 147° C 151°
D 153° E 157°
 ¿Cuántos minutos centesimales hay en π
40
rad?
A 300m B 200m C 100m
D 400m E 500m
 Simplifica.
 M = 
200g
8° + π
18
 rad
 
 Siendo S y C lo convencional para un ángulo, 
simplifica. 
 Expresa 6g50m en minutos sexagesimales.
 Expresa 567'' en segundos centesimales.
A 347' B 351' C 353'
D 343' E 341'
A 1750s B 1720s C 1710s
D 1740s E 1780s
A 10 B 120 C 17
D 16 E 18
A 10 B 29 C 13
D 14 E 27
N = 2πC + πSπC – πS 
69MateMática Delta 1 - trigonoMetría
13
14
16
15
9
10
11
12
x° π15 rad
x°
80g
x
–50g
xg
7
10 π rad
 Calcula el valor de x.
 Halla el valor de x.
 Determina el valor de x.
 Encuentra el valor de x en grados sexagesimales.
A 110 B 120 C 140
D 150 E 160
A 70 B 72 C 82
D 60 E 90
A 12 B 13 C 14
D 15 E 16
A 135° B 145° C 155°
D 165° E 125°
 
 Calcula el valor de x en grados sexagesimales.
 Halla el valor de x en grados centesimales.
x–
π
4 rad
x
126°
A 35° B 45° C 55°
D 25° E 65°
A 150g B 160g C 130g
D 140g E 120g
 Relaciona las medidas angulares de la columna 
de la izquierda con sus equivalentes angulares de 
la derecha.
 I. 12° a. 5g
 II. 70g b. π
15
 rad
 III. π
40
 rad c. 63°
A Ia;