Pirámide - kevin Bellido

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GEOMETRÍA 
Pirámide 
SUPERFICIE PIRAMIDAL 
Definición.- Se denomina superficie piramidal, a la superficie generada por 
una recta que se desplaza por una poligonal plana simple o polígono y un 
punto fijo, no contenido en el plano de la poligonal 
Generatriz 
Directriz 
Hoja o 
manto 
Vértice O 
B 
D 
C 
E 
Hoja o 
manto A La superficie piramidal 
es cerrada, si la directriz 
es un polígono 
PIRÁMIDE 
Definición.- Es el poliedro determinado por un plano secante a una 
superficie piramidal. La base de una pirámide es una región poligonal y 
las caras laterales son regiones triangulares. 
Vértice 
O 
D 
C 
E 
A 
B 
Base 
Cara lateral 
Arista lateral 
Arista básica 
Altura 
CLASIFICACIÓN DE LAS PIRÁMIDES 
Una pirámide es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., según que su 
base sea una región triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. 
 
A 
B 
C 
V 
 
 A 
B 
C 
V 
 
D 
 A 
B 
C 
V 
B C 
 
Pirámide 
cuadrangular 
Pirámide 
triangular 
Pirámide 
pentagonal 
V 
D 
C 
A O 
B 
PIRÁMIDE REGULAR 
V–A BCD es una pirámide regular 
 
O: centro de la base 
VO: altura de la pirámide 
M: punto medio de CD 
VM: apotema de la pirámide 
M • 
Definición.- Es una pirámide cuya base es una región poligonal regular y las 
aristas laterales congruentes entre sí. 
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL Y TOTAL DE 
UNA PIRÁMIDE REGULAR 
D 
B 
C 
D 
C 
B 
A 
F 
E 
E E 
A 
 
V 
F 
C D 
B 
Sector poligonal 
B 
ÁREA LATERAL DE UNA PIRÁMIDE REGULAR 
Teorema.- El área lateral de una pirámide regular es igual al producto del 
semiperímetro de la base y la longitud del apotema de la pirámide. 
 V 
D 
C 
A 
M 
ap 
V – ABCD es una pirámide regular 
SL =(pB)(ap) 
ST = SL + SB 
V = 
1
3 (SB)(h) 
PIRÁMIDES TRIANGULARES CON UN ÁNGULO TRIEDRO 
CONGRUENTE 
Teorema.- Si dos pirámides triangulares tienen un ángulo triedro 
congruente, entonces los volúmenes de los sólidos determinados por las 
pirámides son proporcionales a los productos de las longitudes de las 
aristas que concurren en los vértices de éstos ángulos triedros. 
VV−ABC
VO−LMN
= abclmn 
N L 
O 
M 
l n 
m 
A 
B 
C 
V 
a 
b 
c 
PIRÁMIDES SEMEJANTES 
Definición.- En una pirámide, al trazar un plano secante a la superficie lateral y 
paralelo a la base, se determina otra pirámide, semejante a la pirámide dada, 
cuya base es una sección transversal de la pirámide. 
 
A 
B 
C 
V 
 
H 
Las pirámides V-ABC y V-LMN son semejantes 
h 
M 
N L 
VA
VL = VBVM = VCVN = ABLM = BCMN = CANL = Hh = ⋯ 
SLV−ABC
SLV−LMN
= STV−ABCSTV−LMN = VA ²(VL)² = (AB)²(LM)² = H²h² = ⋯ 
VV−ABC
VV−LMN
= (VA)³(VL)³ = (AB)³(LM)³ = H³h³ = ⋯ 
TRONCO DE PIRÁMIDE 
Definición.- Se denomina tronco de pirámide, al poliedro determinado por 
una pirámide y un plano secante a todas las aristas laterales. 
 
ABCDE–ABCDE es un tronco 
de pirámide 
A E 
D B 
C 
V 
A 
B 
D 
E 
C 
TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS 
Definición.- Es el tronco de pirámide cuyas bases están contenidas en 
planos paralelos. 
 
 
H 
C 
D 
A 
B 
E 
B 
C 
D 
E 
P 
A 
ABCDE–ABCDE es un tronco 
de pirámide de bases paralelas 
TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR 
Definición.- Se denomina tronco de pirámide regular al tronco de pirámide 
de bases paralelas cuyas bases son regiones poligonales regulares y las 
caras laterales son regiones trapeciales isósceles congruentes. 
 
ABCDEF–ABCDEF es 
un tronco de pirámide de 
bases paralelas 
 
MN: Apotema del tronco de 
pirámide 
a 
q 
b 
C b D 
b 
M 
O 
a a 
B 
A 
B 
C D 
E 
F 
 
b 
 O 
 b b 
 
 
 
 
 
a 
A 
E 
F 
b 
b 
a 
a 
a 
N 
F  
A  
A  
B  
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL Y 
TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR 
A 
A  
B  
B 
D 
D  
E 
E  
F 
F  
C 
C  
A 
A  
F 
A 
C 
B 
C D 
B 
A 
B 
C D 
E 
F 
A 
E 
F 
ÁREA LATERAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR 
Teorema.- El área lateral de un tronco de pirámide regular es igual al 
producto de la suma de los semiperímetros de las bases y la longitud del 
apotema. 
ABCDEF-A’B’C’D’F’ es un tronco de 
pirámide regular 
C D 
B 
A 
B 
C D 
E 
F 
A 
E 
F 
S 
S’ 
N 
M 
ap 
SL = (pS + pS’)ap 
ST = SL + S + S’ 
V = 
h
3(S + S’ + S.S’) 
PRISMOIDE 
Definición.- Es el poliedro que tiene sus vértices contenidos en dos planos 
paralelos y su caras laterales puede ser regiones triangulares, trapeciales o 
paralelográmica. 
K L 
ABCDE-FGHI es un prismoide 
 
C D 
A 
F I 
 
G 
B 
E 
H 
La sección media resulta de la 
intersección de un prismoide y 
un plano que biseca a todas las 
aristas laterales. 
 JKLMNOP es la sección media 
V = 
h 
6(S1 + S2 + 4SM) 
M 
N 
J 
P O 
S1 
S2 
SM h