Maximización de la utilidad y elección

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MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD Y ELECCIÓN
Maximización de la utilidad
OBJETIVO: Analizar como los individuos toman decisiones de consumo.
Restricción presupuestaria: La cantidad máxima de recursos que un individuo puede gastar está dada por:
En el caso de 2 bienes se tiene:
x1
x2
El problema consiste en encontrar la utilidad máxima que se pueda alcanzar dado un cierto nivel de ingreso.
Principio de optimización
Para maximizar la utilidad dado un monto fijo de ingreso, un individuo comprará aquellas cantidades de bienes que agiten su presupuesto, y para las cuales la Relación Marginal de Sustitución (RMS) iguale a la tasa a la cual los bienes son intercambiados en el mercado.
x1
x2
Sabemos que:
Por lo tanto en el punto óptimo:
En consecuencia:
Solución analítica
Planteando el lagrangiano
Condiciones de primer orden
……
Resolviendo:
Principio de optimización
¿Qué pasa si ? 
Supongamos que …. y que 
Estamos dispuestos a dar 2 de y por 1 de x para mantener la utilidad constante.
El mercado pide 1 de y por 1 de x.
Al deshacerme de solo 1 de y mejora mi utilidad.
y
x
Soluciones de esquina
Puede ocurrir que para todos los puntos de una curva de indiferencia se tenga:
Entonces se tiene una solución de esquina.
y
x
Interpretación del multiplicador de Lagrange
Cada unidad monetaria gastada debe tener la misma utilidad marginal.
Función de demanda
La solución del problema de maximización de la utilidad nos permite encontrar las demandas ordinarias o Marshallianas:
…que asignan un valor de demanda para cada combinación de vectores de precios e ingreso.
Propiedades de la función de demanda
La función de demanda es homogénea de grado cero en precios e ingreso.
 para todo y para todo 
Se cumple la Ley de Walras.
Convexidad. Si la relación de preferencias es convexa, entonces la función de demanda es un conjunto convexo; si la relación de preferencias es estrictamente convexa, entonces la función de demanda consiste en un solo elemento.
Función de utilidad indirecta
La función de utilidad indirecta nos indica la cantidad máxima de utilidad que puede alcanzar un individuo dados unos precios y un determinado nivel de ingresos.
Propiedades de la función de utilidad indirecta
Homogénea de grado cero.
Estrictamente creciente en M, y no creciente en Pi para todo i.
Cuasiconvexa. El conjunto es convexo para cualquier V*.
M
x
p
x
p
x
p
n
n
£
+
+
+
...
2
2
1
1
M
x
p
x
p
£
+
2
2
1
1
1
p
M
2
p
M
2
1
p
p
m
-
=
2
p
M
dx
dy
x
y
RMS
-
»
D
D
-
=
dx
dy
p
p
y
x
=
-
RMS
p
p
y
x
=
M
x
p
x
p
x
p
a
s
x
x
x
u
Max
n
n
n
=
+
+
+
...
.
.
)
,...,
,
(
_
2
2
1
1
2
1
]
...
[
)
,...,
,
(
2
2
1
1
2
1
n
n
n
x
p
x
p
x
p
M
x
x
x
u
L
-
-
-
-
+
=
l
1
1
2
1
1
)
,...,
,
(
p
x
x
x
x
u
x
L
n
l
-
¶
¶
=
¶
¶
2
2
2
1
2
)
,...,
,
(
p
x
x
x
x
u
x
L
n
l
-
¶
¶
=
¶
¶
n
n
n
n
p
x
x
x
x
u
x
L
l
-
¶
¶
=
¶
¶
)
,...,
,
(
2
1
n
n
x
p
x
p
x
p
M
L
-
-
-
-
=
¶
¶
...
2
2
1
1
l
2
,
1
2
1
RMS
p
p
=
2
1
p
p
RMS
¹
1
2
1
=
p
p
2
-
=
RMS
2
1
p
p
RMS
¹
n
n
p
UM
p
UM
p
UM
=
=
=
=
...
2
2
1
1
l
)
,
(
M
P
X
)
,
(
)
,
(
M
P
X
M
P
X
=
a
a
0
>
a
)
,
(
M
P
M
X
P
=
))
,
(
(
)
,
(
*
M
P
X
U
M
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V
=
)
,
(
)
,
(
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V
M
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V
=
a
a
{
}
*
)
,
(
:
)
,
(
V
M
P
V
M
P
£