Ejercicios- De los costos a la competencia perfecta

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José Pablo Vanegas Soriano		
José Pablo Vanegas Soriano		
DE LOS COSTOS A LA COMPETENCIA PERFECTA
Como sabemos la función de costos de la empresa es una función derivada de la optimización que esta realiza para minimizar sus costos dados distintos niveles de producción. Así antes de presentar el equilibrio de competencia perfecta, el cual depende en gran manera de la estructura de costos, es prudente recordar la derivación de esta función de costos.
LA FUNCION DE COSTOS.
Para este ejemplo utilizaremos una función de producción de tipo hipérbola equilátera y suponemos una ecuación de costos lineales .
De la función de producción: 
Donde (Y) representa la producción total, (A) un parámetro de eficiencia, (L) el insumo uno, el cual llamaremos trabajo, (K) el insumo dos, el cual llamaremos capital, (α) que representa la elasticidad trabajo del producto y (β) la elasticidad capital del producto.
Encontrar la función derivada de costos.
1. Encontrar el equilibrio minimizador de costos, es decir encontrar la siguiente condición:
Es decir, igualar la tasa marginal de sustitución técnica de capital por trabajo a la relación de precios de los insumos o factores.
Teniendo en cuenta que , entonces tomando la función de producción calculamos las respectivas productividades marginales:
En este caso APL y APK representan las productividades medias de trabajo y capital respectivamente. Así para una función de producción naciente de una hipérbola equilátera las productividades marginales de los insumos dependen positivamente de la elasticidad que tenga el producto frente a estos y la productividad media de los mismos. Dividiendo las MP´s obtenemos la tasa marginal de sustitución técnica e igualándola a la relación de precios de los factores obtenemos la condición de optimización:
2. Obtener las funciones de demanda condicionadas de los factores.
· De la condición de optimización despejar (K):
· Insertar este (K) en la función de producción:
· Despejar L y obtener la demanda condicionada del factor Trabajo:
· Haciendo lo respectivo para el caso de la demanda condicionada del capital:
· Introducimos las dos funciones condicionadas de los factores en la ecuación de costos, para encontrar la función de costos de largo plazo o solo una demanda condicionada para encontrar la función de costos de corto plazo:
Función de costos de largo plazo:
Función de costos de corto plazo:
Como se puede notar la función de costos depende del nivel de producción, del precio de los factores, de las elasticidades producto, la eficiencia y de los rendimientos a escala y en el corto plazo además del capital dado.
LA EMPRESA EN COMPETENCIA PERFECTA.
Una vez que se tiene una estructura de costos para una empresa se puede hacer el análisis de la misma en alguna estructura de mercado. Para estos ejemplos supondremos que hay una estructura de competencia perfecta en el mercado lo que implica que los precios son un dato para las empresas. También sabemos que la condición de equilibrio para maximizar los beneficios de la empresa es que el costo marginal se iguale al precio de mercado.
Supongamos los siguientes datos:
Función de costos: 
Demanda de mercado: 
Número de empresas: N=10
Encontrar la función de oferta de la empresa.
1. Determinar el punto de cierre de la empresa
Este es aquel punto en el cual a precios menores es preferible dejar de producir para minimizar perdidas, este punto será igual al punto que minimice los costos variables medios o igual al punto que solucione la intersección entre los costos marginales y los costos variables medios:
Costos marginales = 
Costos variables medios 
· Solucionamos el sistema que forman estas dos ecuaciones:
· Una vez obtenida la cantidad producida en cierre utilizamos la condición de equilibrio de la competencia perfecta, , para encontrar el precio de cierre:
Así, la empresa dejara de producir si el precio de mercado se posiciona por debajo de 10 unidades.
2. Encontrar la función directa de oferta de la empresa
· A partir de la condición de equilibrio de la empresa en un mercado de competencia perfecta se encuentra la función inversa de oferta:
· Se despeja (x) para encontrar la función directa de oferta:
Encontrar la función de oferta de mercado.
La función de oferta de mercado se entenderá como la suma horizontal de las ofertas individuales solo si se cumple que la agregación de las ofertas no altera el mercado de factores y si la tecnología se mantiene constante.
1. Hacer la suma horizontal.
· Se suman todas las ofertas directas individuales:
MERCADO.
Para que un mercado parcial se encuentre en equilibrio se debe cumplir la condición de que la oferta agregada sea igual a la demanda agregada.
1. Encontrar la cantidad y precio de equilibrio en el mercado.
· Presentando la condición de equilibrio se soluciona el sistema
· Se sustituye (p) en cualquiera de las ecuaciones
Sabiendo cual es el precio que se establece en el mercado se puede establecer cuanta cantidad produce cada empresa para maximizar sus beneficios.
EMPRESA.
1. Producción que maximiza los beneficios.
· Planteando la condición de optimización en competencia perfecta, 
2. Calcular el beneficio de corto plazo.
· Definiendo el beneficio como, 
Las empresas obtienen beneficios excedentes de corto plazo lo que ocasionará la entrada de nuevas empresas al mercado desplazando la oferta de mercado a la derecha y haciendo que el precio de equilibrio disminuya, el mecanismo continuará hasta que los beneficios sean normales, es decir cero.
ESTATICA COMO IMPESTOS
Suponiendo costos cuadráticos y demanda lineal:
Al desarrollar el modelo hasta el precio de equilibrio suponiendo mismas estructuras de costos tenemos:
· Ahora suponemos un impuesto (t) por unidad producida, lo que alterará los costos
· Calculamos la función de oferta de la empresa
· Suponiendo idénticas estructuras de costos en todas las empresas encontramos la oferta de mercado
· Resolvemos para encontrar el precio de equilibrio
Como podemos notar en los equilibrios de antes y después de los impuestos el precio después de los impuestos es mayor. 
Con derivación:
Que claramente es mayor a cero.