Taller de funciones y Trigonometría

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Matemáticas Inicial 
Ingeniería Ambiental 
 
EJERCICIOS 
 
1. Razones Trigonométricas: para el siguiente triangulo rectángulo, determine el valor faltante del triángulo 
y halle las 6 razones trigonométricas del ángulo α. (Aspecto a evaluar: #1 Razones trigonométricas.) 
 
(17)2 = (𝑥)2 + (15)2 
 
289 = 𝑥2 + 225 
 
289 − 225 = 𝑥2 
 
64 = 𝑥2 
 
√64 = 𝑥 
8 = 𝑥 
Razones trigonométricas: 
 
8 
sⅇn = = 0,47 
17 
17 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 = = 2,125 
8 
15 
𝑐𝑜𝑠 = = 0,882 
17 
17 
𝑠𝑒𝑐 = = 1,13 
15 
8 
𝑡𝑔 = = 0,53 
15 
15 
𝑐𝑜𝑡𝑔 = = 1,875 
8 
 
2. Problemas con razones trigonométricas: utilizar las razones trigonométricas para dar respuesta a los 
siguientes problemas. (Aspecto a evaluar: #2 Problemas Trigonométricos.) 
 
a) Desde la cima de un acantilado de 126 metros de altura, el ángulo de depresión de un barco es 25,6°. ¿A qué 
distancia se encuentra el barco de la base del acantilado? 
 
 
 
𝑡𝑎𝑛 25,6 = 
126𝑚 
𝑥 = 
126𝑚 
𝑥 
𝑡𝑎𝑛25,6 
𝑥 = 262,98𝑚 
RESPUESTA: 
La distancia que se 
encuentra el barco de la base 
del acantilado es 262,98m 
RESPUESTA: 
El valor faltante del 
triángulo es 8 
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RESPUESTA: 
La altura de la torre Eiffel es 
de 357,5m 
 
b) En una clase de agrimensura en Paris, el profesor que dirige la clase lleva a los estudiosos al parque de los 
campos de marte, que se encuentra cerca a la torre Eiffel. Desde un punto particular, les indica que deben 
tomar el ángulo de elevación (punto C) y registran un promedio de 31°. Al retroceder 50 metros, hasta el 
punto E el ángulo decrece en 2 grados. ¿Cuál es la altura de la torre Eiffel? 
 
 
 
ℎ 
𝑇𝑔31 = 
𝑥 
ℎ 
𝑇𝑔29 = 
𝑥 + 50𝒎 
ℎ 
𝑥 = 
𝑇𝑔31 
ℎ 
𝑇𝑔29 = 
1,66ℎ + 50𝑚 
𝑥 = 1,66ℎ 0,92ℎ + 27,7 = ℎ 
27,7 = 0,07ℎ 
ℎ = 357,5𝑚 
 
Gráficas de funciones: representa gráficamente cada uno de los siguientes problemas para dar respuesta al 
problema. (Aspecto a evaluar: #3 Gráfica de funciones.) Una nueva empresa de transportes intermunicipales 
desea establecer una nueva ruta que inicia en el portal de Norte y finaliza en el municipio de Cogua. La distancia 
a cubrir es de 45 kilómetros. 
 
 
Buscando sistematizar el servicio de cobro se establece que el pago mínimo será de 4,000 pesos desde el portal 
del Norte, hasta cualquier punto antes de Centro Chía (ubicada a 15 kilómetros del portal del norte) y, desde ese 
punto se incrementará en 600 pesos por cada 5 kilómetros de recorrido. 
 
1) Presente el cobro del pasaje, como una función de la distancia recorrida, de forma gráfica usando un 
plano cartesiano como el que se sugiere a continuación. 
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2) Con la información de la gráfica determine el valor a cobrar para las personas que tomarían este servicio 
y van a los siguientes lugares. 
• Universidad Manuela Beltrán Sede Cajicá (18.6 kilómetros del portal del Norte). 
• Zipaquirá (35.1 kilómetros del portal del Norte). 
 
3. Funciones Polinómicas: construya un modelo lineal o cuadrático, que se ajuste al problema y con base 
en el, de respuesta a la pregunta del ejercicio. (Aspecto a evaluar: #4 Funciones Polinómicas.) 
 
a) Una empresa que elabora relojes inteligentes, ha establecido que, si puede venderlos a 100 dólares, 
estarían dispuestos a producir 20 relojes diarios mientras que si en el mercado, se pueden vender a 150 
dólares, podrían producir 30 relojes diarios. Construya una función lineal que relaciones el precio p con la 
cantidad S de productos que estarían dispuestos a fabricar. Además, si la compañía decidió producir 24 
relojes diarios determine el precio de venta p que se ajusta al modelo que construyó anteriormente. 
RESPUESTA: 
El valor a cobrar a la Universidad (18.6Km del portal norte) es de 4.432 
El valor a cobrar a Zipaquirá (35.1Km del portal norte) es de 6.412 
KILÓMETROS PRECIO 
15 4000 
20 4600 
25 5200 
30 5800 
35 6400 
40 7000 
45 7600 
 
6.412 
4.432 
FUNCIÓN LINEAL PRECIO-PRODUCCIÓN 
RELOJES 
Precio en dolares de Relojes 
 
200 
150 
150 120 130 
140 
100 110 
100 
50 
0 
20 22 24 26 28 30 
PRODUCCIÓN DIARIA DE RELOJES 
el precio de los relojes sería 
de 120 dólares 
RESPUESTA: Si se decide 
producir 24 relojes diarios, 
P
R
EC
IO
 D
E 
R
EL
O
JE
S 
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b) Una persona desea incursionar en el servicio de grúas, por lo cual busca información acerca del valor que 
debería cobrar según la distancia que se debe desplazar. La persona investiga y obtiene que, por una 
distancia de 6,5 kilómetros, el valor promedio es 45,000 mientras que, por 12,8 kilómetros el precio se 
incrementa en 25,000. Construya un modelo que permita determinar el valor a pagar V como una función 
de la distancia recorrida x, e indique cuanto costaría un servicio si la distancia a recorrer es 17,6 
kilómetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Los costos fijos semanales de una empresa por su producto son 400 dólares y, el costo de producir cada 
unidad es de 1,40 dólares. Además, la empresa puede vender x productos a un precio p por unidad, en 
donde p = 5 − 0,01x. Construya un modelo cuadrático que permita determinar la utilidad que se obtiene 
al producir y vender x unidades y, obtenga el número x de productos que maximizan la utilidad. 
Título del gráfico 
100.000 
90.000 
80.000 
70.000 
60.000 
50.000 
40.000 
30.000 
20.000 
10.000 
0 
Título del eje 
Incremento de precio precio total 
RESPUESTA: 
La tarifa base es de $45.000 y por cada 
Kilómetro adicional se le suman 
$3.968,25 a la tarifa base. 
Cuando se haya recorrido 17,6 
Kilómetros el precio es de $89.048 
Tí
tu
lo
 d
el
 e
je
 
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𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 
𝑈 = 𝑝(𝑥) − (400 + 1,4𝑥) 
𝑈 = (5 − 0,01𝑥)𝑥 − (400 + 1,4𝑥) 
𝑈 = 5𝑥 − 0,01𝑥2 − 1,4𝑥 − 400 
𝑈 = −0,01𝑥2 + 3,6𝑥 − 400 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑥 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 
𝑈´ = −0,02𝑥 + 3,6 = 0 
𝑥 = 
3,6 
0,02 
𝑥 = 180 
RESPUESTA: 
El modelo cuadrático es: 
𝑈 = −0,01𝑥2 + 3,6𝑥 − 400 
 
El número de productos que maximizan 
la utilidad es de 180