Unidad 5 Matrices y Determinantes

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Unidad 5
Matrices y Determinantes
Universidad Nacional del Nordeste
Instituto de Ciencias Criminalísticas y Criminología
Se llama matriz de clase m x n a todo
arreglo rectangular con m filas y n
columnas, siendo m y n números
naturales.
Matrices. Definición 
Al conjunto de todas las matrices de
clase m x n, lo notaremos: Kmxn donde K
puede ser el conjunto numérico Q, R o
C.
Una matriz se representa con letra
mayúscula y los elementos de dicha
matriz se representan con letras
minúsculas.
Cada elemento de la matriz tiene dos
subíndices, el primero indica la fila a la
que pertenece y el segundo la columna.
En forma genérica, designaremos a la
matriz A, así:
mxnmn
n
n
mmm
mxnij
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aA













....
...
...............
...
...
][
2
1
321
232221
131211
Ejemplos:
 
32
654
321
x
A 




 

33
011
212
341
x
B













 
 
43
44
3151
4910
6251
0813
272/13
0010
3121
x
x
DC





























De acuerdo a la disposición o naturaleza de 
sus elementos se pueden clasificar en: 
 Matriz cuadrada
 Matriz rectangular
 Matriz fila
 Matriz columna
 Matriz nula
 Matriz traspuesta
 Matriz opuesta
Matrices Especiales 
Matriz cuadrada: Una matriz es
cuadrada si y solo si, tiene el mismo número
de filas que de columnas. (m=n)
mxnijaA ][
Se llama diagonal principal de al
conjunto de los elementos de A que verifican
que
nxnnn
n
n
nnn a
a
a
aaa
aaa
aaa
A













....
...
...............
...
...
2
1
321
232221
131211
nxnijaA ][
jiji  ,;
Matriz rectangular:
Una matriz es rectangular si y solo
si, el número de filas no coincide con el de
columnas. (m ≠ n)
mxnijaA ][
Matriz fila: Es aquella que tiene una sola fila. 
(m = 1)
Por ejemplo: 
xnnaaaaF 11131211 ]...[
31]531[ xA 
Matriz columna: Es aquella que tiene una
sola columna. (n = 1)
13
4
1
5
x
C











11
21
11
....
mxm
a
a
a
C













Por ejemplo:
Matriz nula: Es la que tiene todos sus
elementos nulos. jiaij  ,;0
Matriz Traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta
de A, a la matriz cuyas filas son las columnas
de A y cuyas columnas son las filas de A.
Por lo tanto, si A es una matriz de clase m x n,
es una matriz de clase n x m. TA
mxnmn
n
n
mmm a
a
a
aaa
aaa
aaa
A













....
.....
.................
.....
.....
2
1
321
232221
131211
nxmmn
m
m
nnn
T
a
a
a
aaa
aaa
aaa
A













....
.....
.................
.....
.....
2
1
321
322212
312111
nxmji
T
mxnij aAesaA ][][ La matriz traspuesta de
Matriz Opuesta
Dada la matriz A, indicamos su opuesta
como – A y es la matriz que se obtiene con
todos los elementos opuestos de A.
mxnijmxnij aAesaA ][][ 
La matriz opuesta de
Matrices Cuadradas Particulares
 Matriz triangular superior
 Matriz triangular inferior
 Matriz diagonal
 Matriz escalar
 Matriz identidad o unidad
 Matriz simétrica
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR 
Una matriz es una matriz triangular
superior si y solo si, los elementos situados
por debajo de la diagonal principal son ceros.
nxnijaA ][













200
460
321
A
nxnnn
n
n
a
a
a
aa
aaa
A













...
...000
...............
...0
...
2
1
2322
131211 Por ejemplo: 
 jiaij  ,0nxnijaA ][ es una matriz triangular superior, si y solo si, 
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR 
Una matriz es una matriz triangular
inferior, si y solo si, los elementos situados por
encima de la diagonal principal son ceros.
nxnijaA ][











285
061
001
A
nxnnnnnn
aaaa
aa
a
A













....
0
0
.....
.................
.....0
.....00
321
2221
11
Por ejemplo: 
 jiaij  ,0nxnijaA ][ es una matriz triangular inferior, si y solo si, 
MATRIZ DIAGONAL
Una matriz es una matriz diagonal,
si y solo si, los elementos que no pertenecen
a la diagonal principal son nulos.
 jiaij  ,0











200
060
001
A
nxnijaA ][
nxnijaA ][
nxnnn
a
a
a
A













....
0
0
.....000
.................
.....00
.....00
22
11
Por ejemplo: 
es una matriz diagonal, si y solo si,
MATRIZ ESCALAR
Una matriz es escalar, si y solo si, es una
matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales entre sí.











600
060
006
Anxn
a
a
a
A













11
11
11
....
0
0
.....000
.................
.....00
.....00
Por ejemplo: 











100
010
001
I
MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz es identidad, si y solo si, los
elementos de la diagonal principal de una
matriz escalar de clase n x n son iguales a 1.
nxn
nI













1
....
0
0
.....000
.................
.....010
.....001
Por ejemplo: 
MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz es simétrica si y solo si
coincide con su transpuesta.
Es decir:
jiaa jiij  ,
nxnijaA ][











437
382
721
A
Por ejemplo: 
Dos matrices son conformables para la suma,
si y solo si, son de la misma clase.
Dadas las matrices:
SUMA DE MATRICES 
mxnijmxnij bByaA ][][ 
jibabaBA mxnijijmxnijmxnij  ,][][][
La suma de dos matrices de la misma clase, es otra
matriz, de la misma clase que las dadas; y cada
coeficiente de esta matriz se obtiene sumando los
coeficientes de las matrices dadas que están en la
misma posición.
Dadas las matrices:
SUMA DE MATRICES 
mxnmn
n
n
mmm a
a
a
aaa
aaa
aaa
A













....
...
...............
...
...
2
1
321
232221
131211
mxnmn
n
n
mmm b
b
b
bbb
bbb
bbb
B













....
...
...............
...
...
2
1
321
232221
131211
mxnmnmn
nn
nn
mmmmmm ba
ba
ba
bababa
bababa
bababa
BA



















....
...
...............
...
...
22
11
332211
232322221221
131312121111
La suma se obtiene:
La diferencia la podemos expresar
como
Es decir la suma de la matriz A y la matriz
opuesta de B.
DIFERENCIA DE MATRICES 
mxnijmxnij bByaA ][][ 
BA
)( BA 
Dadas dos matrices de la misma clase:
Dada una matriz y un escalar
PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR 
mxnijaA ][
jiacacAc mxnijmxnij  ,].[].[.
El producto de una matriz por un escalar es
otra matriz que se obtiene multiplicando
cada elemento de la matriz por dicho
número.
Kc
Se define la matriz:
 Permutación de dos filas: La fila se
reemplaza por la fila y la fila se
reemplaza por la fila .
Se indica: 
Definición: Dada una matriz , se
llaman operaciones elementales de filas a las
siguientes:
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS
iF
jF jF
iF
ji FF 
mxnijaA ][
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS
 Reemplazo de todos los elementos de una
fila por su producto por un escalar distinto
de cero.
Se indica:
 Reemplazo de una fila por su suma con
otra.
Se indica:
ii FFk .
iji FFkF  .
Por ejemplo: 
Aplicar la siguiente secuencia de operaciones
elementales a la matriz A:
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS














0104
261
523
A













0104
523
261
21 FF 















0104
261
523
A
1) Permutar las filas primera y segunda.
2) Reemplazar la tercera fila por su producto 
por 3. 
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS
333 FF 














0104
523
261













03012
523
261
3) Reemplazar la primera fila por su suma
con la segunda. 121 FFF 












03012
523
742













03012
523
261
221 2 FFF 













03012
523
742
221 2 FFF 












03012
384
742
4) Reemplazar la segunda fila por:
Sean 
Se dice que A es equivalente a B, si B se
obtiene de A, por la sucesiva aplicación de un
número finito de operaciones elementales.
Matrices Equivalentes
mxnijmxnij bByaA ][][ 
Definición: Se llama combinación lineal de
las filas con coeficientes
a la siguiente expresión:
Sea , de filas y
sean con
COMBINACIONES LINEALES
mFFF ,....,, 21
,,....,, 21 Kccc r  mr 
rFFF ,....,, 21
rccc ,....,, 21
rrFcFcFc  ....2211
mxnijaA ][
Por ejemplo, consideremos la matriz:
COMBINACIONES LINEALES











16229
261
523
A
]16229[]6183[]1046[]261.[3]523.[2 
Puede observarse que la tercera fila es una
combinación lineal de las dos primeras, con
coeficientes 2 y 3, pues:
Definición: Una combinación lineal de filas
se llama nula si es igual a la matriz nula de
clase 1xn.
Por ejemplo, la siguiente combinación lineal
de filas es nula:
COMBINACIÓN LINEAL NULA
]00[]126[]126[]42.[3]63.[2 
Dadas filas cualesquiera, la combinación
lineal con todos los coeficientes cero, es
una combinación lineal nula; se llama
combinación lineal nula trivial.
COMBINACIÓN LINEAL NULA
:][ mxnijaA  nFFF 0....00 21 xn10...0]00[0 
Sea , de filas con
Definición: Las filas son
linealmente dependientes si y solo si existen
escalares no todos nulos, tales
que:
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
mr 
xnrr FcFcFc 12211 0]0...000[.... 
mxnijaA ][ rFFF ,....,, 21
rFFF ,....,, 21
,,....,, 21 Kccc r 
Esto es equivalente a decir que la única forma
de expresar la matriz nula 01xn como
combinación lineal de las filas es la
combinación nula trivial.
Definición: Las filas son 
linealmente independientes si y solo si, no son 
linealmente dependientes.
iF
0...0]0...000[....... 2112211  rxnrr cccFcFcFc
rFFF ,....,, 21
son linealmente independientes si
y sólo si:
rFFF ,....,, 21
1) Si dos filas son iguales, el conjunto de filas
es linealmente dependiente.
2) Si alguna de las filas es nula, el conjunto
de filas es linealmente dependiente.
3) Si alguna de las filas es combinación lineal
de las otras, el conjunto de filas es
linealmente dependiente.
4) Si alguna de las filas es múltiplo de otra, el
conjunto de filas es linealmente
dependiente.
PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE FILAS
Sea
Se llama rango fila de A al máximo número de
filas linealmente independientes de A.
Se llama rango columna de A al máximo
número de columnas linealmente
independientes de A.
Teorema: El rango fila de toda matriz es igual
a su rango columna.
Rango de una matriz
mxnijaA ][
1) El rango fila de la matriz nula, de cualquier
clase, es cero.
2) El rango fila de la matriz identidad de clase
nxn, es n.
3) Dos matrices equivalentes por fila tienen el
mismo rango fila.
PROPIEDADES
Una matriz es escalonada si, y solo si, verifica 
las dos condiciones siguientes: 
 Las filas nulas, si existen, están después de
todas las no nulas.
En cada una de las filas no nulas, el
número de ceros que precede al primer
elemento no nulo es mayor que el anterior.
Por ejemplo: 
MATRICES ESCALONADAS









 

100
260
523
A











000
260
503
B









 

000
200
023
C











 

0
1
0
0
0
0
260
523
D
Propiedad: El rango fila de una matriz
escalonada, es igual al número de filas no
nulas de esa matriz.
Dada una matriz
Llamamos matriz adjunta del elemento
a la matriz de clase (n-1) x (n-1) que se
obtiene al eliminar la fila i y la columna j de A.
Ejemplo:
4444434241
34333231
24232221
14131211
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
























444241
343231
141211
)3,2(
aaa
aaa
aaa
A
nxnijaA ][
MATRIZ ADJUNTA DEL ELEMENTO 
ija
),( jiA ija
Definición: Es una función definida 
de la siguiente manera:
Si n = 1
Si n ≥ 2
Regla de Laplace: Desarrollo de un determinante por
elementos de una línea.
KK nxn :
1111
11 /: aaAKK x 
niconAaAKK ji
ji
ij
n
j
nxn  

1,.)1.(/: ),(
1
DETERMINANTES
Si n = 2
Dada la matriz :
Si hallamos el determinante por el desarrollo de la primera fila:
Si hallamos el determinante por el desarrollo de la segunda fila: 
niconAaAKK ji
ji
ij
n
j
nxn  

1,.)1.(/: ),(
1
DETERMINANTES







2221
1211
aa
aa
A
21
21
1222
11
11 .)1.(.)1.( aaaaA
 
21122211 .. aaaaA 
11
22
2212
12
21 .)1.(.)1.( aaaaA
 
11221221 .. aaaaA 
En resumen: “El determinante de segundo orden
es igual al producto de los elementos de la
diagonal principal menos el producto de los
elementos de la diagonal secundaria”.
21122211
2221
1211
.. aaaa
aa
aa
A 
DETERMINANTES







2221
1211
aa
aa
A
Si n = 3
Dada la matriz :
Si hallamos el determinante por el desarrollo de la primera fila:
niconAaAKK ji
ji
ij
n
j
nxn  

1,.)1.(/: ),(
1
DETERMINANTES











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
222131
13
3331
232121
12
3332
232211
11 .)1.(.)1.(.)1.(
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA  
223113322113233112332112233211332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 
)......()......( 223113332112233211322113233112332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 
Si n = 3
Dada la matriz :
Tarea: 
Hallar el determinante por el desarrollo de la segunda fila 
y tercera fila verificando que el resultado hallado mediante 
cualquiera de sus filas es el mismo. 
niconAaAKK ji
ji
ij
n
j
nxn  

1,.)1.(/: ),(
1
DETERMINANTES











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Regla de Sarrus: Sirve para calcular el valor del
determinante de orden 3.
Consiste en agregar a continuación de la última
fila las dos primeras filas, y el determinante es
igual a la suma de los productos de los elementos
de la diagonal principal y sus paralelas, menos la
suma de los productos de los elementos de la
diagonal secundaria y sus paralelas.
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A   )......( 231231133221332211 aaaaaaaaa
)......( 211233113223312213 aaaaaaaaa 
DETERMINANTES











105
143
112
A
Por ejemplo:
Dada la matriz A, de orden 3, hallaremos el
determinante utilizando la regla de Sarrus.

105
143
112
A
143
112
 )3.1.12.0.15.4.1()1.1.51.0.31.4.2(
102313 
niconAaARR ji
ji
ij
n
j
nxn  

1,.)1.(/: ),(
1
DETERMINANTES
En el siguiente ejemplo hallaremos el determinante de
orden 4.
Sea













2173
0502
1061
4532
A
 
217
106
453
.)1.(2 13A  
213
101
452
.)1.(0 23  
273
161
432
.)1.(5 33
173
061
532
.)1.(0 43
 )4.(1.2A 0  )31.(1.5 0
163)155()4( A
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1) Si una matriz tiene dos filas o dos columnas
iguales, su determinante es cero.
2) Si una matriz tiene una fila o una columna nula,
su determinante es cero.
3) El determinante del producto de dos matrices
de la misma clase, es igual al producto de los
determinantes de las matrices.
4) El determinante de una matriz triangular
(superior o inferior) o diagonal, es igual al
producto de los elementos de la diagonal
principal.
5) El determinante de la matriz identidad de
cualquier orden es 1.
6) Si se multiplica un escalar no nulo por una
fila o columna de una matriz, el
determinante de la nueva matriz será igual
al determinante de la matriz multiplicado
por el escalar.
7) Si en una matriz se permutan dos filas o
dos columnas, el determinante de la
nueva matriz es el opuesto del
determinante de la primera.
8) Si una matriz tiene dos o más filas (o
columnas) linealmente dependientes, su
determinante es cero.
9) Si una matriz tienesus filas
proporcionales, su determinante es nulo.
10) El determinante de una matriz es igual al
de su traspuesta.