Unidad 6 Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Unidad 6: Sistemas de 
Ecuaciones Lineales
Universidad Nacional del Nordeste
Instituto de Ciencias Criminalísticas y Criminología
Ecuaciones Lineales con n incógnitas 
Se denomina ecuación lineal con n incógnitas,
a toda expresión de la forma:
bxaxaxaxa nn  ...332211
Raaaa n ,...,,, 321
Rxxx n ,...,, 21
En forma abreviada:



n
i
ii bxa
1
Rb Se denomina término independiente
Llamamos coeficientes
Llamamos incógnitas
Se llama solución de una ecuación lineal
con n incógnitas a toda n-úpla
de números reales, tal que al reemplazar
ordenadamente cada incógnita por cada
valor verifica la igualdad.
),...,,( 21 n
Sistemas de m ecuaciones lineales 
con n incógnitas



n
j
ijji mibxa
1
...,2,1;.
Es toda expresión de la forma: 










mnnmmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
............................................
...
...
2211
22222121
11212111
En forma abreviada: 
Notación
m: número de ecuaciones. ( )
n: número de incógnitas. ( )
: coeficiente de la incógnita xj en la i-ésima
ecuación
indica la ecuación a la que pertenece 
el coeficiente
indica la incógnita de la que es
coeficiente.
son las incógnitas.
: términos independientes.
Nm
Nn
Raij 
miNi  1,
njNj  1,
miRbi  1,
Rx j 
Ejercicio
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Identificar:
a) el número de ecuaciones y el número de
incógnitas.
b) los coeficientes 
c) Los términos independientes: 











053
145
22543
01132
521
31
5321
4321
xxx
xx
xxxx
xxxx
423223, ayaa
41 byb
Clasificación de Sistemas de Ecuaciones Lineales 
según el número de ecuaciones y de incógnitas
1) Sistemas cuadrados: (m = n).
2) Sistemas no cuadrados o rectangulares: (m  n).
Resolver un sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas es determinar los
valores de las incógnitas que verifican en
forma simultánea las ecuaciones del
sistema.
Solución del sistema de ecuaciones lineales
Es una n-úpla , tal que al
reemplazar ordenadamente las incógnitas por
los satisfacen simultáneamente todas y
cada una de las ecuaciones del sistema.
n
n R),...,,( 21 
i
Conjunto solución:
Es el conjunto S de todas las n-úplas
que satisfacen en forma
simultánea todas y cada una de las
ecuaciones del sistema.
n
n R),...,,( 21 
Clasificación de Sistemas de Ecuaciones 
Lineales según el conjunto solución
Compatible
Indeterminado
Determinado 
Sistemas de 
ecuaciones 
Incompatible: No tiene solución
S≠Ø
S=Ø
Sistema compatible: es aquel que tiene
solución.
 Sistema compatible determinado: La solución
es única, existe un único valor para cada incógnita.
 Sistema compatible indeterminado: El sistema
tiene solución múltiple. Tiene infinitas soluciones.
Sistema incompatible: es aquel que
carece de solución; no existe ninguna núpla
de Rn que verifique en forma simultánea
todas las ecuaciones del sistema.
Sistemas de ecuaciones equivalentes:
Dos sistemas de ecuaciones se dicen
equivalentes, si tienen el mismo conjunto
solución.
Forma Matricial de un Sistema
nxmmn
n
n
mmm a
a
a
aaa
aaa
aaa
A













....
...
...............
...
...
2
1
321
232221
131211
)1(
22
11
321
232221
131211
....
...
...............
...
...
´















nxmmmn
n
n
mmm ba
ba
ba
aaa
aaa
aaa
A
1
2
1
...
xmm
b
b
b
B













1
2
1
...
xnn
x
x
x
X













Asociamos a todo sistema de m ecuaciones
con n incógnitas cuatro matrices:
Expresión matricial de un sistema de 
ecuaciones lineales
Dado un sistema de m ecuaciones lineales con
n incógnitas; se puede escribir matricialmente
de la siguiente manera
)1()1()( . xmxnnxm BXA 












mn
n
n
mmm a
a
a
aaa
aaa
aaa
....
.....
.................
.....
.....
2
1
321
232221
131211












nx
x
x
...
2
1













mb
b
b
...
2
1
TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA
Si a un sistema de ecuaciones expresado en
forma matricial se aplican operaciones
elementales de filas a ambos miembros de la
igualdad, el sistema de ecuaciones obtenido y
el original admiten el mismo conjunto
solución.
TEOREMA DE ROUCHÉ - FROBENIUS
Sea A . X = B un sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas:
A . X = B es compatible  r (A) = r (A’)
Un sistema de ecuaciones lineales es
compatible si y solo si, la matriz de
coeficientes y la matriz ampliada con los
términos independientes tienen igual rango.
TEOREMA DE ROUCHÉ - FROBENIUS
Demostración:













 BAcompatibleesBXA
n




 ./
...
.
2
1
  












 BAAABAAA nn
n
n ......
...
.... 2211
2
1
21 





B es combinación lineal de las n columnas de A
r (A) = r (A’)
Consecuencias del Teorema
1) Si r(A)  r(A’) el sistema de ecuaciones es
incompatible y no admite soluciones.
2) Si r(A) = r(A’) = r el sistema es compatible.
a) Si r = n , el sistema es compatible
determinado y tiene una única solución.
b) Si r < n , el sistema es compatible
indeterminado y tiene infinitas soluciones.
Ejercicios: Dados los siguientes sistemas de
ecuaciones clasificarlos aplicando el Teorema de
Rouché Frobenius y determinar el conjunto
solución.







843
12
82
)
zyx
zyx
zyx
a







2224
12
82
)
zyx
zyx
zyx
b







1224
12
82
)
zyx
zyx
zyx
c
SISTEMAS CUADRADOS
Sistemas Cuadrados: Sea A.X=B un
sistema de ecuaciones tal que A es cuadrada.
Es un sistema de ecuaciones cuadrado cuya
matriz del sistema (matriz de los coeficientes)
es inversible.
SISTEMA CRAMERIANO
REGLA DE CRAMER
Si un sistema es Crameriano cada incógnita se puede
calcular como un cociente de determinantes.
 El Dividendo es el determinante de la matriz que se
obtiene al reemplazar en la matriz del sistema, los
coeficientes de la incógnita que se quiere
determinar por los términos independientes.
 El Divisor es el determinante de la matriz de los
coeficientes o matriz del sistema.
La regla de Cramer afirma que la única n-úpla
solución de un sistema Crameriano se encuentra
efectuando los n cocientes de dichos determinantes.
REGLA DE CRAMER
Sea A.X=B un sistema crameriano:
La matriz A representada por columnas:
;
......21
A
ABAA
x
n
j 
]....[ 21 nAAAA 
A
AAB
x
n....2
1 
A
ABA
x
n....1
2 
nj 1
jcolumna
..........
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones mediante la Regla de Cramer.
El sistema es compatible determinado y la
única n-úpla solución es:
2
1
2
31
52
311
519
x





113
1952
yx
yx
3
1
3
31
52
111
192
y
)}3,2{(S
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones mediante la Regla de Cramer.
2
10
20
105
143
112
1014
1422
1111



x







145
2243
112
zx
zyx
zyx
3
10
30
105
143
112
1145
1223
1112



y
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones mediante la Regla de Cramer.
El sistema es compatible determinado y la
única n-úpla solución es: )}4,3,2{(S







145
2243
112
zx
zyx
zyx
4
10
40
105
143
112
1405
2243
1112



z
Sistemas homogéneos: son aquellos en los
cuales todos los términos independientes son
simultáneamente nulos.










0...
............................................
0...
0...
2211
2222121
1212111
nnmmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
0:  ibi
SISTEMAS HOMOGÉNEOS 
SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS 
Sistemas no homogéneos: son aquellos en
los cuales todos los términos independientes
no son simultáneamente nulos. Es decir,
existe al menos un término independiente no
nulo.
0/  ibi
Clasificación de Sistemasde Ecuaciones 
Lineales según el conjunto solución
Compatible
Indeterminado: 
infinitas 
soluciones 
Determinado: 
Única solución: 
trivial Sistemas de 
ecuaciones 
homogéneos
SISTEMAS HOMOGÉNEOS CUADRADOS
Propiedad:
Un sistema lineal y homogéneo de n
ecuaciones con n incógnitas tiene solución
única si y sólo si el determinante de la
matriz de los coeficientes es no nulo.
Un sistema lineal y homogéneo de n
ecuaciones con n incógnitas es
indeterminado si y solo si el determinante
de la matriz de los coeficientes es nulo.
Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas de 
ecuaciones:















30864
1
15432
)
145
2243
112
)
zyx
zyx
zyx
b
zx
zyx
zyx
a
















zyx
zyx
yzx
e
zyx
zyx
zyx
d
987
0654
23
)
02
023
02
)








25864
1
15432
)
zyx
zyx
zyx
c