Sistemas generales de ecuaciones lineales en forma de ecuación matricial

Vista previa del material en texto

Sistemas generales de ecuaciones lineales en forma de ecuación matricial
Sistemas generales de ecuaciones lineales en forma
de ecuación matricial
En la situación planteada en la lectura anterior, logramos escribir el sistema de ecuaciones cuando se
procesa 25 kg de harina:
Y su escritura en forma matricial:
Recordemos que llamamos ecuación lineal o ecuación de primer grado a una igualdad que relaciona a
ciertos coeficientes, por lo general números reales, con una o más incógnitas, teniendo en cuenta que estas
LECCIÓN 1 de 1
Sistemas generales de ecuaciones lineales en forma
de ecuación matricial
incógnitas aparecen elevadas a la primera potencia. Simbólicamente, lo escribimos como:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + …………anxn=b
Buscar la solución de una ecuación es encontrar el conjunto de valores x1,x2, x3………….xn que satisfagan la
ecuación.
Si trabajamos con varias ecuaciones relacionadas entre sí, formarán un sistema de ecuaciones lineales,
donde la solución hallada debe satisfacer a todas y cada una de las ecuaciones del sistema. En forma
general, el sistema se expresa como:
Podremos realizar la representación matricial del sistema de la siguiente forma:
O en notación abreviada:
A .X=B
Donde a es la matriz de coeficientes del sistema, x es el vector de incógnitas y b es el vector de términos
independientes. 
En nuestra situación problemática escribimos el sistema como
y determinamos, al realizar la reducción de la matriz, que el rango de la matriz de coeficientes es 2: r(a)=2.
La ventaja de escribir un sistema de ecuaciones en su forma matricial es que nos permite analizar la
situación a través de las propiedades de matrices. 
Existen otras maneras de escribir las ecuaciones, como una relación entre matrices o vectores. Veamos, a
continuación, algunas de ellas:
Matriz ampliada del sistema de ecuaciones –
La matriz ampliada del sistema surge de agregar el vector de términos independientes a la matriz de
coeficientes. La denotaremos  .
En forma general, la matriz ampliada será:
En nuestra situación, la forma vectorial será:
Y la matriz ampliada del sistema será:
Forma vectorial de un sistema de ecuaciones –
Partiendo de estas formas, buscaremos maneras de escribir el sistema para que sea fácil su interpretación
y resolución.
Sistemas de ecuaciones equivalentes –
Dos sistemas de ecuaciones lineales se denominan equivalentes cuando  la solución de uno de ellos es
también solución del otro.
Para solucionar un sistema de ecuaciones, es necesario sustituir dicho sistema por otro equivalente de
manera tal que nos conduzca rápidamente a su solución.
Propiedad de la equivalencia –
Se puede obtener un sistema equivalente a otro si:
Se le adiciona, a una de las ecuaciones, el producto de una constante no nula por otra de las
ecuaciones.
Se intercambian el orden de las ecuaciones.
Se multiplica una ecuación por una constante distinta de cero.
No es más que las operaciones elementales por fila que estudiamos en matrices. Esto nos lleva a la
posibilidad de pasar de un sistema de ecuaciones complicado a uno de estructura mucho más simple.
Si retornamos a nuestro ejemplo, podemos tomar la matriz ampliada del sistema y reducirla por fila de
manera de encontrar un sistema equivalente.
En la lectura anterior, planteamos la secuencia para reducir la matriz de coeficientes; el proceso es
exactamente igual, sólo que ahora arrastramos la columna de términos independientes.
Parece claro que la matriz equivalente encontrada es de interpretación más sencilla y describe cual es la
solución del sistema.
La solución para este sistema de ecuaciones es r=12, t=8, n=5. Por ser un sistema equivalente por fila al
sistema planteado en el problema, posee la misma solución.
Queremos, por último, recordar las clasificaciones de los sistemas de ecuaciones.
Figura 1: Clasificación de los sistemas






SCD
Sistema compatible determinado, el sistema posee solución única.

Rectangular
El número de ecuaciones es mayor o menor que el número de incógnitas.

Cuadrado
Posee igual número de ecuaciones que incógnitas.

No homogéneo
Sus términos independientes no son todos iguales a cero.

Homogéneo
Sus términos independientes son todos iguales a cero.

SI
Sistema incompatible, el sistema no posee solución.

SCI
Sistema compatible indeterminado, el sistema posee infinitas soluciones.
Fuente: elaboración propia.

La siguiente matriz es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones: 
 
Podemos entonces decir que el sistema tiene ___ ecuaciones con ____
incógnitas.
SUBMIT
SUBMIT
Escriba su respuesta aquí
La siguiente matriz es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones:
De acuerdo a las clasificaciones de sistema de ecuaciones, podemos decir que
se trata de un sistema:
Cuadrado
Rectangular
Homogéneo
No homogéneo
SUBMIT
La siguiente matriz es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones:
 
Podríamos decir que el rango de la matriz de coeficiente y el rango de la matriz
ampliada es:
r(A)=2  y  r(A|B)=2
r(A)=2  y   r(A|B)=3
r(A)=1  y  r(A|B)=2 
r(A)=3  y   r(A|B)=2
r(A)=3  y   r(A|B)=3