Trabajo práctico función coseno

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Instituto de Educación Superior N° 15 
“Dr. Alcides Greca” 
 
 
Trabajo Práctico: Funciones Trigonométricas 
 
 
 
 
 
 Integrantes: Cejas Romina, Díaz Esteban, Dolci Gianluca 
 Materia: Cálculo II 
 Profesorado/año: 2° año en Profesorado de Matemáticas 
 Fecha: 26 de mayo de 2020 
 Profesora: Giménez Sabina Magdalena 
Funciones Trigonométricas: Coseno 
Se llama función coseno, a la aplicación de la razón trigonométrica coseno a una variable 
independiente 𝑥 que se expresa generalmente en radianes, y se denota: 
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝑜 𝑦 = cos 𝑥 
Por lo general, las funciones trigonométricas se definen en términos de la circunferencia 
unitaria, a veces se le conocen con el nombre de funciones circulares. 
Dominio de la función coseno 
El dominio de la función son todos los números reales, por lo tanto también será una función 
continua. 
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): {𝑥 ∈ 𝑅} 𝑜 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): (−∞, ∞+) 
 
Como se puede observar mediante la representación gráfica, en el eje horizontal X toma 
valores desde el menos infinito, hasta el infinito positivo. 
Imagen de la función coseno 
En la función coseno, el rango o imagen consiste en todos los números reales entre -1 y 1, 
inclusive. 
 
Si prestamos atención a la gráfica, es una función acotada porque el eje vertical Y no toma 
los valores de todos los reales y por lo tanto: 
𝐼𝑚 𝑓(𝑥): [−1, 1] 𝑜 − 1 ≤ |𝐶𝑜𝑠𝜃| ≤ 1 
Donde el punto (0,1) será un máximo de la función y el punto (0,-1) será un mínimo de la 
función. 
Desplazamiento de la función coseno 
El desplazamiento de la función ocurre cuando a la misma se le suma o resta un valor 
numérico, su traslado será sobre el eje vertical Y. 
Ejemplo 1: 
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 + 3 
 
Como podemos observar en la gráfica, al sumarle a la función un valor numérico de 3, la 
función se desplaza 3 unidades hacia arriba sobre eje vertical Y. 
Ejemplo 2: 
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 − 2 
 
Como se puede ver, al restarle a la función un valor numérico de 2, la función se desplaza 
2 unidades hacia abajo sobre el eje vertical Y. 
Reflexión de la función coseno 
La reflexión de una función coseno, no es más que el reflejo de la función. Esto sucede 
cuando la misma lleva un signo negativo delante. Es decir: 
𝑓(𝑥) = −cos(𝑥) 
 
Estas son funciones que se desplazan 2 unidades según su signo. Por lo tanto, los máximos 
y mínimos no serán los mismos. 
Amplitud de la función coseno 
La amplitud de la función, es la altura que tiene la gráfica a partir de su eje central. 
𝑦 = 𝑎 cos 𝑥 
Donde 𝑎, es la amplitud |𝑎|. Es el valor más grande que alcanzan las funciones, a medida 
que el valor numérico de 𝑎 aumente, la altura de la función será mayor. 
 
En este caso, la altura o amplitud de la función es de 3. 
𝑎 = 3 
Esto implica también el crecimiento y el decrecimiento de la función. 
Crecimiento y decrecimiento 
Explicar crecimiento y decrecimiento 
Propiedad periódica de la función coseno 
En este tipo de funciones, puede observarse que sus valores se repiten en forma habitual. 
𝑦 = 𝑎 cos 𝑘𝑥 𝑦 (𝑘 > 0) 
Donde 𝑎 es la amplitud, 2𝜋/𝑘 es el período y 𝑘, es el valor numérico que acompaña a la 
𝑥 y debe ser mayor a cero. Mientras 𝑘 aumente su valor numérico, más serán las curvas 
cosenos. 
 
Llamamos período a la longitud del intervalo más corto en el eje horizontal X sobre el cual 
la gráfica se repite. 
𝑓(𝑥) = 2 cos 𝑥 
𝑘 = 1 
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 →
2𝜋
1
= 2𝜋 
 En este caso es de 2𝜋. Cuando las funciones tienen períodos 2𝜋, completan un período 
cuando 𝑘𝑥 varía de 0 a 2𝜋. 
0 ≤ 𝑘𝑥 ≤ 2𝜋 
Completan un período cuando 𝑥 varía entre 0 y 2𝜋/𝑘 y por lo tanto tienen período 2𝜋/𝑘. 
Desfase de las curvas de la función coseno 
Son las gráficas de funciones de la forma: 
𝑦 = 𝑎 cos 𝑘(𝑥 − 𝑏) 𝑦 (𝑘 > 0) 
Donde |𝑎| es la amplitud, 2𝜋/𝑘 es el período y 𝑏 es el desfase. 
Un intervalo apropiado sobre el cual graficar un período completo es [𝑏, 𝑏 + (
2𝜋
𝑘
)]. 
Son curvas desplazadas horizontalmente en una cantidad |𝑏|. Se desplazan a la derecha si 
𝑏 > 0 y a la izquierda si 𝑏 < 0. 
Ejemplo: 
𝑓(𝑥) = cos (𝑥 −
𝜋
2
) → 𝐷𝑒𝑠𝑓𝑎𝑠𝑒 (𝑏) =
𝜋
2
 
Se debe encontrar la amplitud, el período y el desfase. 
La amplitud es de 1, está delante de 𝑐𝑜𝑠 pero no se denota. 
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 
𝑎 = 1 
El período es de 1, está detrás de 𝑐𝑜𝑠 pero no se denota. 
𝑓(𝑥) = 𝑎 cos 𝑘 
𝑘 = 1 →
2𝜋
𝑘
=
2𝜋
1
= 2𝜋 
El desfase es: 
𝑓(𝑥) = 𝑎 cos 𝑘(𝑥 − 𝑏) 
|𝑏| = | −
𝜋
2
| =
𝜋
2
 
𝑏 =
𝜋
2
 
El desfase se produce hacia la derecha. 
Para encontrar el período completo de la función sobre el intervalo: 
[𝑏, 𝑏 + (
2𝜋
𝑘
)] 
[
𝜋
2
,
𝜋
2
+
2𝜋
1
] = [
𝜋
2
,
5𝜋
2
] 
 
 
Función coseno inverso 
Explicar