Tema 18 - Funciones trigonométricas II - Periodos

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59UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 18
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II:
PERIODOS
TRIGONOMETRÍA
I. FUNCIÓN PERIÓDICA
F es periódica si existe un número T 0 para el cual
se cumple:
F(x T) F(x) x (x T) DF     
Al menor valor positivo de T de se llama periodo mínimo
de F o simplemente periodo de F y todo múltiplo entero
de este valor (nT) será también periodo de F; es decir:
Si:
 F(x T) F(x) F(x nT) F(x) n {0}       
 T: periodo nT: periodo
 mínimo de F general de F
II. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL PE-
RIODO
Una función es periódica si su gráfica se repite com-
pletamente cada cierto intervalo de valores de su varia-
ble independiente (x); siendo la amplitud de este
intervalo el periodo mínimo de la función.
 
En la figura se observa que F es periódica ya que su
gráfica es repetitiva, su periodo mínimo es T y además
se cumple:
F(x) F(x T) F(x 2T) ... F(x nT)      
III. REGLAS PARA CALCULAR PERIODOS
A. Para calcular el periodo mínimo de funciones de la
forma: nF(x) A B rt ( x )      , solo se toma en
cuenta la naturaleza del exponente (n {0})  y
del coeficiente angular ( ).
Presentándose los siguientes casos:
• Si: rt es seno, coseno, secante o cosecante.
Exponente impar Exponente par
 F
2T
| |

 F
T
| |


• Si: rt es tangente o cotangente
Exponente par o impar FT | |


Aplicaciones
1. F
2F(x) Sen(4x) T
4 2
    
2.  4 F2x 3F(x) Cos T3 2 2
3
    
3.  3 FxF(x) Tan T 22 1
2
    
4.  3 F3x 2 8F(x) Sec T4 3 3
4
    
5.  4 FxF(x) Cot T 22
2
    

B. Para calcular el periodo mínimo de funciones de la
forma:
1 2 n
1 2 n
T T T
F(x) rt( x) rt( x) ... rt( x)        
DESARROLLO DEL TEMA
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II: PERIODOS
TEMA 18
Exigimos más!
Se calcula primero cada uno de los periodos parciales
(T1; T2; ... Tn); el periodo mínimo de F será el mínimo
común múltiplo de dichos periodos parciales, es
decir:
F 1 2 3 nT MCM(T ; T ; T ; ...; T )
C. Para calcular el periodo mínimo de funciones de la
forma:
T
F(x) | rt( x ) |   
Se calcula el periodo de la expresión afectada por el
valor absoluto (T) y luego:
Si: rt es seno, coseno, secante o cosecante
F
1T (T)
2
 
Si: rt es tangente o cotangente
FT T 
D. Para funciones de la forma:
T T
F(x) | rt( x) | | Cort( x) |     los periodos parciales
serán iguales y el periodo de F será la mitad de
dicho valor; es decir:
F
1T (T)
2

E. Para funciones de la forma:
    
2n 2k
T T
F(x) rt ( x) Cort ( x) los periodos parciales
serán iguales y el periodo de F será la mitad de
dicho valor; es decir:
F
1T (T)
2

Aplicaciones
•  
1 2
F
T T
3
F(x) Sen2x Cos6x T MCM ;
3
 
       
•    
2
1
F
T2 3T
9
9x 2 2F(x) Tan Sen6x T MCM ;
2 9 3 3

      

• F
T
3
1F(x) | Sen6x | T
2 3 6

      
 
•

    F
1T
2
1F(x) | Tan2 x | T
2
•
1 2
F
T T
1F(x) Senx Cosx T ( )
2 2
 
      
•  
1 2
4 8
F
T T
6 6
1F(x) Sen (6x) Cos (6x) T
2 6 12
  
      
IV. GRÁFICAS GENERALIZADAS DE LAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para funciones de la forma:
F(x) Art( x ) B    
cada uno de los términos que aparecen cumplen una
función en la elaboración de la gráfica; estos términos
son:
A : coeficiente de la rt
B : término independiente
: coeficiente angular
 : desfase inicial ( 1) 
   : desfase angular (desfase de la función)
Nota: el desfase de la función o desfase angular se
obtiene igualando a cero la variable angular:
x 0 x       
 desfase angular
A . El término independiente origina una traslación
vertical en la curva inicial:
Graficamente el término independiente nos indicará
la nueva posición del eje de la curva.
B. El coeficiente de la rt origina un estiramiento o
contracción vertical en la curva inicial, alterando su
intervalo de variación.
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II: PERIODOS
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Si el coeficiente afecta a las funciones seno y co-
seno, en valor absoluto se llama amplitud y grafica-
mente nos representará la mayor elongación que
alcanza la curva con respecto a su eje.
Amplitud Coeficiente
Además:
máx mín
1Amplitud (F F )
2
 
C. El coeficiente angular origina un estiramiento o con-
tracción horizontal en la curva inicial; alterando así
su periodo.
 
D. El desface angular origina una traslación horizontal
en la curva inicial.
Problema 1
Determinar el periodo de:
x x xg(x) Sen Sen Sen
2 3 4
  
UNI
Nivel fácil
A) 20  B) 24 
C) 21 D) 22 
E) 26 
Resolución:
•
xSen T 2(2 ) n
2
   
4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 ,...      
•
xSen T 3(2 ) k
3
   
6 ,12 ,18 , 24 ,...    
•
xSen T 4(2 ) m
4
   
8 ,16 , 24 ,32 ,...    
El menor valor donde coindicen es 24 .
Respuesta: B) 24 
Problema 2
Determinar m y n sabiendo que el
periodo de las funciones:
m nf(x) (Cos nx) y g(x) (Senmx) 
es y
5 4
 
 respectivamente.
UNI
Nivel intermedio
A) n = 5 y m = 8
B) n = 4 y m = 10
C) n = 1 y m = 4
D) n = 2 y m = 6
E) n = 3 y m = 7
Resolución:
• Sabemos que si m es par entonces
el periodo de:
mf(x) : (Cos nx) es n

,
problemas resueltos
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II: PERIODOS
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luego n 5
 
n 5 
• Observamos que n es número
impar, esto implica que el periodo
de:
ng(x) (Senmx) sea igual a: 2m

Por dato: 
2
m 4
 
m 8 
Respuesta: A) n = 5 y m = 8
Problema 3
Si T1 es el periodo mínimo de:
2f(x) Cos( Cosx) y T  es el periodo
mínimo de g(x) Cos(Cos x)  .
Calcular 2 1Cos( T Cos(T ))
UNI
Nivel difícil
A) –2 B) –3
C) –1 D) 1
E) 4
Resolución:
• Por definición si f(x) es periódica
con periodo T se cumple que:
f(x T) f(x), x Dom   
• Dado: f(x) Cos( Cosx)  de perio-
do T1 se cumple:
1f(x T ) f(x) 
1Cos( Cos(x T )) Cos( Cosx)    
de esta igualdad podemos deducir
dos posibilidades:
a. Cos (x + T1) = Cosx
1T 2  
b. Cos(x + T1) = –Cosx
1T  
Por lo tanto como T1 es el periodo mí-
nimo nos quedamos con: 1T  
• Dato: g(x) Cos(Cos x)  de perio-
do T2 se cumple:
 2Cos(Cos (x T )) Cos(Cos x)   
se deducen dos posibilidades:
a. 2Cos (x T ) Cos x   
2T 2 
b. 2Cos (x T ) Cos x    
2T 1 
Por lo tanto como T2 es el periodo
mínimo nos quedamos con: T2 = 1
 Finalmente:
2 1Cos( T Cos(T )) Cos( 1Cos )    
Cos( ) Cos 1    
Respuesta: C) –1