Calculo diferencial Universidad-77

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Ejemplo 1:
lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4
𝑥𝑥2 + 1
 
solución 
Para evaluar el límite en el infinito de una función racional, luego 
de verificar la indeterminación al reemplazar el valor del límite, em-
pezamos dividiendo tanto el numerador como el denominador por la 
potencia mayor de la variable que hay en el denominador.
Reemplazando tenemos:
lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4
𝑥𝑥2 + 1
=
∞
∞
 
Levantamos la indeterminación dividiendo en este caso para x2:
lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4
𝑥𝑥2 + 1
= lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4
𝑥𝑥2
𝑥𝑥2 + 1
𝑥𝑥2
= lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
1 + 1𝑥𝑥2
 
=
lím
𝑥𝑥→∞
(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2)
lím
𝑥𝑥→∞
�1 + 1𝑥𝑥2�
=
lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥 + lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥2
lím
𝑥𝑥→∞
1 + lím
𝑥𝑥→∞
1
𝑥𝑥2
 
 
=
∞ + ∞2
1 + 0
= ∞ 
lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4
𝑥𝑥2 + 1
= lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4
𝑥𝑥2
𝑥𝑥2 + 1
𝑥𝑥2
= lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2
1 + 1𝑥𝑥2
 
=
lím
𝑥𝑥→∞
(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2)
lím
𝑥𝑥→∞
�1 + 1𝑥𝑥2�
=
lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥 + lím
𝑥𝑥→∞
𝑥𝑥2
lím
𝑥𝑥→∞
1 + lím
𝑥𝑥→∞
1
𝑥𝑥2
 
 
=
∞ + ∞2
1 + 0
= ∞ 
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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Figura 124
Si el grado del numerador es mayor que el del denominador la 
solución nos queda +∞ o -∞
Caso 2: El grado del numerador y del denominador es el mismo
Ejemplo 1:
lím
𝑥𝑥→∞
2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥
𝑥𝑥2 + 1
 
solución 
Reemplazando tenemos:
lím
𝑥𝑥→∞
2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥
𝑥𝑥2 + 1
=
∞
∞
 
Levantamos la indeterminación dividiendo en este caso para x2:
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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lím
𝑥𝑥→∞
2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥
𝑥𝑥2 + 1
= lím
𝑥𝑥→∞
2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥
𝑥𝑥2
𝑥𝑥2 + 1
𝑥𝑥2
= lím
𝑥𝑥→∞
2 + 1𝑥𝑥
1 + 1𝑥𝑥2
=
lím
𝑥𝑥→∞
�2 + 1𝑥𝑥�
lím
𝑥𝑥→∞
�1 + 1𝑥𝑥2�
=
lím
𝑥𝑥→∞
2 + lím
𝑥𝑥→∞
1
𝑥𝑥
lím
𝑥𝑥→∞
1 + lím
𝑥𝑥→∞
1
𝑥𝑥2
 
=
2 + 0
1 + 0
 
= 2 
Figura 125
Caso 3
Caso 1: El grado del numerador es menor que el del denominador
Ejemplo 1:
solución 
Reemplazando tenemos:
Levantamos la indeterminación dividiendo en este caso para x4: