Tema_4_Teoria_de_Colas_2018-II

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Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
2
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
1. Estructura de un modelo de colas
2. El proceso de Poisson
3. El proceso básico de entrada y salida estacionario
3Investigación de Operaciones 2
Sistema
1
2
3
s
Cola
......
Servidores
o canales
Población
Es importante conocer la distribución del tiempo entre llegadas y del tiempo que se 
demora en la prestación del servicio de servicio (tiempo de servicio)
1. Estructura de un modelo de colas
Disciplina 
de la cola
Proceso 
de 
llegadas
Proceso 
de 
servicio o 
salida
4Investigación de Operaciones 2
Proceso de llegadas
• Llegan los clientes, con cierta tasa (clientes por unidad de tiempo)
• Nos restringiremos a sistemas en los que los clientes llegan ‘uno a uno’. Es decir, dado
un instante de tiempo suficientemente pequeño, llegará 0 ó 1 clientes, de lo contrario
se denomina ‘llegadas en masa’.
• En cada unidad de tiempo (conjunto de ‘instantes’ consecutivos) llegará un número de
clientes variable. Es una variable aleatoria aleatorio.
• A veces, no todos los que llegan entran. Por ejemplo, pueden rehusar entrar o ser
rechazados en función del número de individuos que hay en la cola.
5Investigación de Operaciones 2
2. Estructura de un modelo de colas
Proceso de llegadas
¿Cómo se cuantifica?
• Es el flujo de entrada de clientes.
• Concretamente, es el número de clientes que llegan en cada unidad de tiempo,
• O bien el tiempo transcurrido entre clientes consecutivos.
• Ambos conceptos (clientes/tiempo o tiempo/clientes) son variables aleatorias.
• Definir el proceso de llegadas consiste en definir la distribución de estas variables
aleatorias.
6Investigación de Operaciones 2
2. Estructura de un modelo de colas
Proceso de servicio o de salida
• Define la duración de la prestación del servicio (tiempo de servicio), que puede variar
en cada cliente.
• Se puede definir como el número de clientes que salen del sistema tras la prestación
del servicio, en cada unidad de tiempo.
• O bien, puede definirse como el tiempo de servicio (la duración del servicio prestado:
tiempo desde que accede al servidor o canal hasta que lo abandona).
• Ambos conceptos (clientes/tiempo o tiempo/clientes) son variables aleatorias.
• Definir el proceso de salidas o servicio consiste en definir la distribución de estas
variables aleatorias.
7Investigación de Operaciones 2
Los servidores pueden estar en paralelo,
ofreciendo todos el mismo servicio. Un
cliente pasa por un solo servidor.
Si cada cliente debe pasar por varios
servidores: servidores en serie (como en una
línea de ensamblaje)
Dos servidores en serie
8Investigación de Operaciones 2
La ‘disciplina de la cola’ es el método empleado para determinar 
el orden por el cual se atiende a los clientes. 
• FCFS: first come, first served; o FIFO: first in, first out , es la más
empleada. Se atiende por orden de llegada.
• LCFS: last come, first served; o LIFO: last in, first out. Se atiende primero 
al cliente más reciente.
• SIRO: service in random order, o RSS: random selection of service. El 
servicio es en orden aleatorio.
Puede haber una o varias colas, permitirse o no cambiar de cola, o haber prioridades de atención.
9Investigación de Operaciones 2
2. Estructura de un modelo de colas
La longitud de la cola es una variable aleatoria, pues depende
del número de llegadas, que es aleatorio, y del tiempo de
atención o servicio, que es también aleatorio.
La ‘calidad’ del servicio dependerá no solo del tiempo 
de servicio, sino de la longitud de la cola
10Investigación de Operaciones 2
▪ Estado: número de clientes en el sistema en un instante dado
▪ 𝐸𝑛: estado del sistema en el que hay n clientes.
▪ s: número de servidores o canales de servicio del sistema. 
Si n > s, el tamaño de la cola será: n – s.
▪ 𝑃𝑛(𝑡): probabilidad de que en el instante t haya exactamente n clientes en 
el sistema. Probabilidad de que el estado en 𝑡 sea 𝐸𝑛.
▪ 𝜆𝑛: tasa o razón media de llegada, o número medio de llegadas por unidad 
de tiempo, cuando ya hay n clientes en el sistema.
▪ 𝜇𝑛: tasa o razón media de salida, o número medio de salidas por unidad de 
tiempo, cuando ya hay n clientes en el sistema.
2. Estructura de un modelo de colas
Terminología
11Investigación de Operaciones 2
▪Estado transitorio
- Cuando un sistema recién ha iniciado su actividad, cabe
esperar que su estado esté fuertemente influenciado por el
estado inicial del sistema y por el tiempo transcurrido. Por
ejemplo, es fácil que al inicio no haya colas.
▪Estado estable o estacionario
- Cuando ya ha transcurrido un tiempo suficiente, el estado
del sistema ya suele ser independiente del estado inicial y
del tiempo transcurrido.
Terminología
2. Estructura de un modelo de colas
12Investigación de Operaciones 2
▪ 𝑃𝑛: probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema, 
independientemente de t.
▪ 𝐿: número medio de clientes en el sistema.
▪ 𝐿𝑞: tamaño medio de la cola o número esperado de clientes en la 
cola.
▪ 𝑊: tiempo medio que un cliente pasa en el sistema.
▪ 𝑊𝑞: tiempo medio de espera en la cola.
Terminología para el 
Estado Estacionario
2. Estructura de un modelo de colas
13
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
1. Estructura de un modelo de colas
2. El proceso de Poisson
3. El proceso básico de entrada y salida estacionario
14Investigación de Operaciones 2
2. El proceso de Poisson
Las características más importantes de un sistema de colas vienen 
determinadas por 
• La distribución de probabilidad de los tiempos de llegada
• La distribución de probabilidad de los tiempos de servicio
Un tipo de distribuciones que aparece con mucha frecuencia en este tipo de
problemas (más tarde se justificará por qué) son las asociadas al llamado
Proceso de Poisson.
15Investigación de Operaciones 2
¿Qué es un proceso estocástico?
Es una sucesión de variables aleatorias. O bien, es un fenómeno 
que evoluciona en el tiempo de forma aleatoria.
Sea 𝑡𝑖 el tiempo que transcurre desde la llegada del cliente 𝑖 al cliente 𝑖 + 1
(es el i-ésimo intervalo entre clientes consecutivos). Este tiempo es una 
variable aleatoria.
Antes de que lleguen los clientes, la secuencia 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, … es una secuencia 
de variables aleatoria: es un proceso estocástico.
Una vez que han llegado los clientes, tendremos las ‘realizaciones’ de esas 
variables aleatorias.
2. El proceso de Poisson
t5 t3 t2 t1t4t6
tiempo
16Investigación de Operaciones 2
2. El proceso de Poisson
¿Cuándo un proceso estocástico es de Poisson?
unidades de medida
012345
Si los sucesos (clientes) aparecen (llegan) con media constante e 
independientemente unos de otros, es un proceso de Poisson.
𝑋=número de clientes que llegan por unidad de tiempo: variable aleatoria de Poisson
𝑇=Tiempo entre clientes consecutivos: variable aleatoria Exponencial
t5 t3 t2 t1t4t6
tiempo
t7t8
𝑥1𝑥2𝑥3
𝑥4𝑥5
17Investigación de Operaciones 2
2. El proceso de Poisson
VARIABLE DE POISSON
unidades de medida
012345
tiempo
𝑥1𝑥2𝑥3
𝑥4𝑥5
𝑋 = nº de clientes que llegan en una unidad de tiempo
En un proceso de llegada…
En la prestación del servicio:
𝑋 = nº de clientes que se atienden en una unidad de tiempo
𝑋~𝑃𝑜𝑖()
número medio de 
sucesos por unidad de 
medida
18Investigación de Operaciones 2
•Función de probabilidad:
•Medidas características:
•Aditividad: Sea X1 y X2 dos v. aleatorias de Poisson independientes
𝑋1~𝑃𝑜𝑖(1) ; 𝑋2~𝑃𝑜𝑖(2)
Entonces 𝑌 = 𝑋1 + 𝑋2 es también Poisson
𝑌~𝑃𝑜𝑖(1 + 2)
2. El proceso de Poisson
X es una variable aleatoria de Poisson
𝑋~𝑃(𝜆) 𝑋~𝑃𝑜𝑖(𝜆)
número medio de 
sucesos por unidad de 
medida
𝑃 𝑋 = 𝑟 =
𝜆𝑟
𝑟!
𝑒−𝜆; 𝑟 = 0,1,2, …
𝐸 𝑋 = 𝜆
Var 𝑋 = 𝜆
19Investigación de Operaciones 2
Ejemplo: Un servidor de una pequeña red recibe una media de 7 accesos al minuto. 
Suponiendo que losaccesos a dicho servidor suceden de forma 
independiente y con un ritmo medio constante.
Se quiere calcular la probabilidad de que reciba más de 10 accesos en un 
minuto, que es el número de accesos a partir del cual el servidor tendría 
un rendimiento deficiente. 
X= número de accesos en un minuto; X~Poi(7)
t
20Investigación de Operaciones 2
A un puesto de servicio llegan de manera independiente y estable, una
media de 10 clientes/hora. Calcular la probabilidad de que lleguen 8
clientes en la próxima media hora, sabiendo que en la última hora llegaron
14 clientes.
SOLUCION:
La variable aleatoria número de clientes que llegan en media hora, es una
variable de Poisson de parámetro λ=5. Si A representa el suceso: llegan 8
clientes en la próxima media hora y B el suceso: llegaron 14 clientes en la
hora anterior, se cumple que
P(A∣B)=P(A),
y en consecuencia,
𝑃 𝐴 𝐵 =
58
8!
𝑒−5 = 0.065.
PROBLEMA
21Investigación de Operaciones 2
Si los clientes acuden a un servicio de forma
independiente y con tasa contante de 1 cliente por minuto:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue nadie en un minuto?
b) Si después de un minuto no llegó nadie, ¿Cuál es la probabilidad de que
no llegue nadie tampoco en el segundo minuto?
SOLUCION:
a) 𝑋 =clientes en un minuto ⇒ 𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖 𝜆 = 1
⇒ 𝑃 𝑋 = 0 =
𝜆0
0!
e−𝜆 = 0.37
b) 𝑋1 =clientes en el minuto 1∼ 𝑃𝑜𝑖(𝜆1 = 1)
𝑋2 =clientes en el minuto 2 ∼ 𝑃𝑜𝑖(𝜆2 = 1) y son independientes 
PROBLEMA
𝑃 𝑋2 = 0 𝑋1 = 0 = 𝑃 𝑋2 = 0 = 𝑒
−𝜆1 = 0.37
22Investigación de Operaciones 2
La propiedad de independencia también se denomina
de ‘ausencia de memoria’ o ‘amnesia’
Es como si el proceso no se acordase de cuántos
clientes han venido en los periodos anteriores.
El pasado no influye en el valor actual o futuro de X.
2. El proceso de Poisson
23Investigación de Operaciones 2
Un aparcamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada I
según una Poisson con 3 coches a la hora y a la entrada II con 4 coches
a la hora. Si el número de coches que llega a cada entrada son
independientes, ¿cuál es la probabilidad de que en una hora lleguen 3
coches al aparcamiento?
Sea X₁= Coches que llegan a la entrada I y X₂= Coches que llegan a la
entrada II. Entonces, 𝑋₁ ∼ 𝑃𝑜𝑖(𝜆₁) y 𝑋₂ ∼ 𝑃𝑜𝑖(𝜆₂) independientes, con λ₁=3
y λ₂=4 respectivamente.
La variable aleatoria que nos interesa es el número total de coches que
entra en el aparcamiento cada hora, es decir,
𝑌 = 𝑋₁ + 𝑋₂ ∼ 𝑃𝑜𝑖(𝜆₁ + 𝜆₂),
luego 𝑌 ∼ 𝑃𝑜𝑖(7).
Por tanto, 𝑃(𝑌 = 3) =
73
3!
𝑒⁻⁷ = 0.052
PROBLEMA
SOLUCIÓN:
24Investigación de Operaciones 2
t5 t3 t2 t1t4t6
tiempo
t7t8
2. El proceso de Poisson
VARIABLE EXPONENCIAL
T=tiempo entre clientes en un proceso de Poisson
Es una v.a. continua. Su dominio es 𝑡𝑖 ≥ 0
T se denomina variable aleatoria exponencial
𝑇~𝐸𝑥𝑝()
La media del proceso de
Poisson. Número medio de
sucesos por unidad de medida
012345
𝑥1𝑥2𝑥3
𝑥4𝑥5
25Investigación de Operaciones 2
T=intervalo entre dos sucesos consecutivos de un proceso de Poisson
𝑇~𝐸𝑥𝑝()
•Función de densidad:
•Función de probabilidad
•Medidas características
2. El proceso de Poisson
26Investigación de Operaciones 2
El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e 
independiente, siendo el intervalo transcurrido entre la llegada de dos clientes 
consecutivos una variable aleatoria exponencial. 
Por término medio llega un cliente cada minuto.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre dos clientes consecutivos 
sea inferior a un minuto?
Ejemplo:
T=intervalo (minutos) entre dos clientes consecutivos
T~Exp(); =1 cliente/minuto
(a)
(b)
t5 t3 t2 t1t4t6
27Investigación de Operaciones 2
Ausencia de memoria
El proceso de Poisson no tiene memoria. 
Por ejemplo, no se acuerda de cuánto tiempo ha transcurrido desde el último suceso observado
¿Probabilidad de que 
esperemos menos de un 
minuto al próximo 
cliente?
¿T<1?
Después de esperar 10 
minutos sin venir clientes...
¿Probabilidad de que llegue 
en el próximo minuto?
10
¿T<1?
 
( ) ( )11 10
1
10
( 11) ( 10) (10 11)
( 11| 10)
( 10) ( 10)
( 11) ( 10)
( 10)
1 1
1 ( 1)
P T T P T
P T T
P T P T
P T P T
P T
e e
e P T
e
 


−  − 
− 
− 
    
  = =
 
 − 
=

− − −
= = − = 
1110
t
1 1
1
0 0
( 1) ( ) 1tP T f t dt e dt e  − −  = = = − 
28Investigación de Operaciones 2
Un servidor que alberga una página web recibe por término medio 10 accesos 
por minuto, pudiéndose considerar que los accesos son sucesos 
independientes. Se quiere saber:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acceda nadie durante 2 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 10 accesos en un 
minuto?
c) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, por término medio, entre dos accesos 
consecutivos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que entre dos accesos consecutivos transcurra 
menos de un segundo?
PROBLEMA:
SOLUCIÓN:
a) 𝑒−20
b) 0.125
c) 6 segundos
d) 0.154
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Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
1. Estructura de un modelo de colas
2. El proceso de Poisson
3. El proceso básico de entrada y salida estacionario
• Estado: número de clientes en el sistema en un instante dado
• 𝐸𝑛: estado del sistema en el que hay n clientes.
• s: número de servidores o canales de servicio del sistema.
Si n > s, el tamaño de la cola será: n – s.
• 𝑃𝑛(𝑡): probabilidad de que en el instante t haya exactamente n clientes en el
sistema. Probabilidad de que el estado en 𝑡 sea 𝐸𝑛.
• 𝜆𝑛: tasa o razón media de llegada, o número medio de llegadas por unidad de
tiempo, cuando ya hay n clientes en el sistema.
• 𝜇𝑛: tasa o razón media de salida, o número medio de salidas por unidad de
tiempo, cuando ya hay n clientes en el sistema.
2. Estructura de un modelo de colasTerminología
• 𝑃𝑛: probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema,
independientemente de t.
• 𝐿: número medio de clientes en el sistema.
• 𝐿𝑞: tamaño medio de la cola o número esperado de clientes en la cola.
• 𝑊: tiempo medio que un cliente pasa en el sistema.
• 𝑊𝑞: tiempo medio de espera en la cola.
Terminología para el Estado Estable, o Estacionario
Problema: Definir la variable aleatoria 𝐸𝑛 en el caso estacionario. Es discreta. 
Espacio muestral: n=0,1,2,3,4,…
Función de probabilidad: 𝑃𝑛
32Investigación de Operaciones 2
3. Proceso básico de entrada y salida estacionario
Cuando el sistema se encuentra en estado 𝐸𝑛 , el tiempo que 
transcurre hasta la llegada del siguiente cliente (pasando a 
estado 𝐸𝑛+1) es una exponencial de parámetro 𝜆𝑛. es decir, de 
media 1/𝜆𝑛 unidades de tiempo
1-Postulado 
de entrada: 
Si el sistema se encuentra en el estado 𝐸𝑛, el tiempo de prestación
del servicio en un puesto de servicio (pasando a estado 𝐸𝑛−1) sigue
una exponencial de parámetro 𝜇𝑛 ; es decir, de media 1/ 𝜇𝑛
unidades de tiempo
2- Postulado 
de salida: 
Las llegadas y las salidas son independientes entre si.
Es decir, el tiempo entre la llegada de dos clientes consecutivos
es independiente del tiempo empleado en la prestación del
servicio
3- Postulado de 
independencia
También puede decirse que el número de clientes que lleguen en la siguiente unidad de 
medida es una Poisson de parámetro 𝜆𝑛 clientes por unidad de tiempo
O bien, el número de clientes que atiende un puesto de servicio en una unidad de tiempo
es una Poisson de media 𝜇𝑛 clientes por unidad de tiempo (𝜇0 = 0)
33Investigación de Operaciones 2
𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1 + 𝜇𝑛+1𝑃𝑛+1 − 𝜆𝑛 + 𝜇𝑛 𝑃𝑛 = 0
𝜇1𝑃1 − 𝜆0𝑃0 = 0
Suelen denominarse: ECUACIONES DE BALANCE
3. Proceso básico de entrada y salida estacionario
Se demuestra que la función de probabilidad 𝑃𝑛 depende de los parámetros 
𝜆𝑖, 𝜇𝑖 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 a través del siguiente sistema de ecuaciones recursivas:
34Investigación de Operaciones 2Solución de las ecuaciones de balance para el estado estable
𝜆0𝑃0 − 𝜇1𝑃1 + 𝜇2𝑃2 − 𝜆1𝑃1 = 0
⇒ 𝜇2𝑃2 = 𝜆1𝑃1
𝜇1𝑃1 = 𝜆0𝑃0𝑛 = 0
𝑛 = 1
𝑃1 =
𝜆0
𝜇1
𝑃0
𝑃2 =
𝜆1
𝜇2
𝑃1 =
𝜆1𝜆0
𝜇2𝜇1
𝑃0
𝜆1𝑃1 − 𝜇2𝑃2 + 𝜇3𝑃3 − 𝜆2𝑃2 = 0
⇒ 𝜇3𝑃3 = 𝜆2𝑃2
𝑛 = 2
𝑃3 =
𝜆2
𝜇3
𝑃2 =
𝜆2𝜆1𝜆0
𝜇3𝜇2𝜇1
𝑃0
𝜇𝑛𝑃𝑛 = 𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1general 𝑃𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
𝑃0𝑃𝑛 =
𝜆𝑛−1
𝜇𝑛
𝑃𝑛−1
⋮ ⋮
⋮
3. Proceso básico de entrada y salida estacionario
35Investigación de Operaciones 2
Solución para el estado estable (cont.)
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0; 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
Como en cualquier tiempo dado debemos estar en algún estado, se 
cumplirá que 
෍
𝑛=0
∞
𝑃𝑛 = 1
⇒ 𝑃0 +෍
𝑛=1
∞
𝑃𝑛 = 1
⇒ 𝑃0 +෍
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑃0 = 1 ⇒
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
∞ 𝑐𝑛
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
=
𝜆𝑛−1
𝜇𝑛
𝑐𝑛−1; 𝑐0 = 1
3. Proceso básico de entrada y salida estacionario
36Investigación de Operaciones 2
Por tanto, una vez que están definidos los proceso de entrada y salida, a través
de los 𝜆𝑖 y los 𝜇𝑖, ya podemos calcular las probabilidades de estar en cada
estado. la variable aleatoria 𝐸𝑛 ya está definida.
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0; 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
∞ 𝑐𝑛
Podemos así calcular, por ejemplo, la longitud media de línea (número medio
de personas en el sistema)
𝐿 = 𝐸(𝐸𝑛) = ෍
𝑛=0
∞
𝑛𝑃𝑛
Si hay 𝑠 servidores, 𝑛 − 𝑠 clientes estarán en la cola. La longitud media de la 
cola será
𝐿𝑞 = ෍
𝑛=𝑠+1
∞
(𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛
3. Proceso básico de entrada y salida estacionario
37
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
1. Estructura de un modelo de colas
2. El proceso de Poisson
3. El proceso básico de entrada y salida estacionario
4. Ejemplo caso estable general en EXCEL
38Investigación de Operaciones 2
El servicio de atención al cliente de un banco recibe una media de 300
llamadas telefónicas por hora. El tiempo entre llamadas se distribuye como
una exponencial. El banco emplea en este servicio a un total de 20
operadores. La duración de las llamadas puede también modelizarse como
una exponencial. Cada operador atiende una media de 12 llamadas por hora.
El sistema telefónico puede tener a 18 personas en espera, que son atendidas
según una disciplina FIFO a medida que queden operadores libres.
Implemente este sistema en una hoja de cálculo que muestre:
• Para cada estado, el valor de 𝜆𝑛, 𝜇𝑛, 𝑐𝑛, 𝑃𝑛
• Grafique la función de probabilidad de los estados
• Calcule la fracción de tiempo con todos los operadores ocupados
• Calcule el número medio de persona que está en el sistema
• Calcule la longitud media de la cola
SOLUCIÓN:
Fichero Colas_Banco.xlsx
4. Ejemplo caso estable general con Excel
39Investigación de Operaciones 2
4. Ejemplo caso estable general con Excel
Con estos datos se tiene que
• 𝑛 = 0,1, … , 20 + 18 , 18 en cola y 20 atendidos
• 𝑠 = 20
• nº máximo de clientes en cola: 18
• 𝜆𝑛 = 300, 𝑛 = 1,… , 37
• 𝜆38 = 0
• 𝜇𝑖 = 𝑖 × 12, 𝑖 = 0,1, … , 20
• 𝜇𝑖 = 12 × 20 i = 21,22, … , 38
Calculamos 𝑐𝑛 en una columna, donde 
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
=
𝜆𝑛−1
𝜇𝑛
𝑐𝑛−1; 𝑐0 = 1, 𝑛 = 0,1, … , 38
ESTADOS Lambda_n Mu_n Cn
0 300 0 1
1 300 12 25
2 300 24 312.5
3 300 36 2604.16667
4 300 48 16276.0417
5 300 60 81380.2083
6 300 72 339084.201
7 300 84 1211015
8 300 96 3784421.89
9 300 108 10512283
10 300 120 26280707.6
11 300 132 59728880.8
12 300 144 124435168
13 300 156 239298401
14 300 168 427318573
15 300 180 712197622
16 300 192 1112808784
17 300 204 1636483505
18 300 216 2272893757
19 300 228 2990649681
20 300 240 3738312101
21 300 240 4672890126
22 300 240 5841112658
36 300 240 1.3281E+11
37 300 240 1.6601E+11
38 300 240 2.0752E+11
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
38 𝑐𝑛
Creamos finalmente una 
columna para 𝑃𝑛,donde 
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0
0
40Investigación de Operaciones 2
7. Ejemplo caso estable general con Excel
ESTADOS Lambda_n Mu_n Cn Pn
Todos ocupados?
(ocup)
Pn*ocup n*Pn nº cola nºcola*Pn
0 300 0 1 69E-13 No 0 0.00E+00 0.00E+00 0.00 0.000
1 300 12 25 2.42E-11 No 0 0.00E+00 2.42E-11 0.00 0.000
2 300 24 312.5 3.03E-10 No 0 0.00E+00 6.05E-10 0.00 0.000
3 300 36 2604.16667 2.52E-09 No 0 0.00E+00 7.57E-09 0.00 0.000
4 300 48 16276.0417 1.58E-08 No 0 0.00E+00 6.31E-08 0.00 0.000
5 300 60 81380.2083 7.88E-08 No 0 0.00E+00 3.94E-07 0.00 0.000
6 300 72 339084.201 3.28E-07 No 0 0.00E+00 1.97E-06 0.00 0.000
7 300 84 1211015 1.17E-06 No 0 0.00E+00 8.21E-06 0.00 0.000
8 300 96 3784421.89 3.67E-06 No 0 0.00E+00 2.93E-05 0.00 0.000
9 300 108 10512283 1.02E-05 No 0 0.00E+00 17E-05 0.00 0.000
10 300 120 26280707.6 2.55E-05 No 0 0.00E+00 2.55E-04 0.00 0.000
11 300 132 59728880.8 5.79E-05 No 0 0.00E+00 6.36E-04 0.00 0.000
¿Cuál es la probabilidad de que todos los operadores estén ocupados?
𝑃 todos ocupados = 𝑃 ራ
𝑛=20
38
𝐸𝑛 = ෍
𝑛=20
38
𝑃 𝐸𝑛 = ෍
𝑛=20
38
𝑃𝑛 = 0.9907
34 300 240 8.4999E+10 8.23E-02 Si 1 0.0823 2.80E+00 14.00 1.153
35 300 240 1.0625E+11 1.03E-01 Si 1 0.1029 3.60E+00 15.00 1.544
36 300 240 1.3281E+11 1.29E-01 Si 1 0.1287 4.63E+00 16.00 2.059
37 300 240 1.6601E+11 1.61E-01 Si 1 0.1608 5.95E+00 17.00 2.734
38 300 240 2.0752E+11 2.01E-01 Si 1 0.2010 7.64E+00 18.00 3.619
suma 0.9907
0
41Investigación de Operaciones 2
7. Ejemplo caso estable general con Excel
ESTADOS Lambda_n Mu_n Cn Pn
Todos ocupados?
(ocup)
Pn*ocup n*Pn nº cola nºcola*Pn
0 300 0 1 69E-13 No 0 0.00E+00 0.00E+00 0.00 0.000
1 300 12 25 2.42E-11 No 0 0.00E+00 2.42E-11 0.00 0.000
2 300 24 312.5 3.03E-10 No 0 0.00E+00 6.05E-10 0.00 0.000
3 300 36 2604.16667 2.52E-09 No 0 0.00E+00 7.57E-09 0.00 0.000
4 300 48 16276.0417 1.58E-08 No 0 0.00E+00 6.31E-08 0.00 0.000
5 300 60 81380.2083 7.88E-08 No 0 0.00E+00 3.94E-07 0.00 0.000
6 300 72 339084.201 3.28E-07 No 0 0.00E+00 1.97E-06 0.00 0.000
7 300 84 1211015 1.17E-06 No 0 0.00E+00 8.21E-06 0.00 0.000
8 300 96 3784421.89 3.67E-06 No 0 0.00E+00 2.93E-05 0.00 0.000
9 300 108 10512283 1.02E-05 No 0 0.00E+00 17E-05 0.00 0.000
10 300 120 26280707.6 2.55E-05 No 0 0.00E+00 2.55E-04 0.00 0.000
11 300 132 59728880.8 5.79E-05 No 0 0.00E+00 6.36E-04 0.00 0.000
¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema?
𝐸 𝑛º clientes en sistema = 𝐿 = ෍
𝑛=0
∞
𝑛𝑃𝑛 = ෍
𝑛=0
38
𝑛𝑃𝑛 = 34.17
34 300 240 8.4999E+10 8.23E-02 Si 1 0.0823 2.80E+00 14.00 1.153
35 300 240 1.0625E+11 1.03E-01 Si 1 0.1029 3.60E+00 15.00 1.544
36 300 240 1.3281E+11 1.29E-01 Si 1 0.1287 4.63E+00 16.00 2.059
37 300 240 1.6601E+11 1.61E-01 Si 1 0.1608 5.95E+00 17.00 2.734
38 300 240 2.0752E+11 2.01E-01 Si 1 0.2010 7.64E+00 18.00 3.619
suma 34.17
0
42Investigación de Operaciones 2
7. Ejemplo caso estable general con Excel
ESTADOS Lambda_n Mu_n Cn Pn
Todos ocupados?
(ocup)
Pn*ocup n*Pn nº cola nºcola*Pn
0 300 0 1 69E-13 No 0 0.00E+00 0.00E+00 0.00 0.000
1 300 12 25 2.42E-11 No 0 0.00E+00 2.42E-11 0.00 0.000
2 300 24 312.5 3.03E-10 No 0 0.00E+00 6.05E-10 0.00 0.000
3 300 36 2604.16667 2.52E-09 No 0 0.00E+00 7.57E-09 0.00 0.000
4 300 48 16276.0417 1.58E-08 No 0 0.00E+00 6.31E-08 0.00 0.000
5 300 60 81380.2083 7.88E-08 No 0 0.00E+00 3.94E-07 0.00 0.000
6 300 72 339084.201 3.28E-07 No 0 0.00E+00 1.97E-06 0.00 0.000
7 300 84 1211015 1.17E-06 No 0 0.00E+00 8.21E-06 0.00 0.000
8 300 96 3784421.89 3.67E-06 No 0 0.00E+00 2.93E-05 0.00 0.000
9 300 108 10512283 1.02E-05 No 0 0.00E+00 17E-05 0.00 0.000
10 300 120 26280707.6 2.55E-05 No 0 0.00E+00 2.55E-04 0.00 0.000
11 300 132 59728880.8 5.79E-05 No 0 0.00E+00 6.36E-04 0.00 0.000
¿Cuál es el número medio de clientes en la cola?
𝐸 𝑛º clientes en cola = 𝐿𝑞 = ෍
𝑛=𝑠+1
∞
(𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛 = ෍
𝑛=21
38
𝑛𝑃𝑛 = 14.15
34 300 240 8.4999E+10 8.23E-02 Si 1 0.0823 2.80E+00 14.00 1.153
35 300 240 1.0625E+11 1.03E-01 Si 1 0.1029 3.60E+00 15.00 1.544
36 300 240 1.3281E+11 1.29E-01 Si 1 0.1287 4.63E+00 16.00 2.059
37 300 240 1.6601E+11 1.61E-01 Si 1 0.1608 5.95E+00 17.00 2.734
38 300 240 2.0752E+11 2.01E-01 Si 1 0.20107.64E+00 18.00 3.619
suma 14.15
0
43
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
1. Estructura de un modelo de colas
2. El proceso de Poisson
3. El proceso básico de entrada y salida estacionario
4. Ejemplo caso estable general en EXCEL
5. Notación de Kendall
44Investigación de Operaciones 2
5. Notación de Kendall
Para cualquier sistema de colas, vamos a considerar que la cola no se 
congestiona indefinidamente. Para ello, en general, debe cumplirse que 
𝜆 < 𝑠𝜇
Si 𝜆 ≥ 𝑠𝜇 la cola se congestiona de forma paulatina e indefinida, y el sistema 
no tiene solución estable.
Se denota FACTOR DE UTILIZACIÓN a 
𝜌 =
𝜆
𝑠𝜇
También suele ser denotado como ‘Intensidad de tráfico’ .
A continuación analizaremos algunos casos particulares de sistemas de 
colas, en los que el factor de utilización sea 𝜌 < 1
Para describir estos casos particulares se suele emplear la 
notación de Kendall
45Investigación de Operaciones 2
1. Proceso de llegada.
M: con distribución de Poisson y tiempo entre clientes exponencial
D: constante (determinista).
G: con distribución general cualquiera.
2. Proceso de salida.
M: con distribución de Poisson y tiempo de servicio exponencial
D: constante (determinista).
G: con distribución general cualquiera.
5. Notación de Kendall
1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 
La notación de Kendall consiste en un conjunto de 6 términos que resume las 
características del sistema
donde:
46Investigación de Operaciones 2
3. Número de servidores.
4. Disciplina de servicio.
FIFO, LIFO,RSS,…, DG (disciplina general de servicio: 
cualquier disciplina)
5. Tamaño máximo de línea: número máximo de clientes en el 
sistema, que puede ser finito (M) o infinito ().
6. Tamaño máximo de la población, que puede ser finito (M) o 
infinito ().
Si 4/5/6 es GD/∞/∞ se suelen omitir estos términos.
1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 
5. Notación de Kendall
El ejemplo del servicio de atención al cliente de la sección 
anterior sería, utilizando la notación de Kendall
M / M / 20 / GD / 38 / ∞
47
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
1. Estructura de un modelo de colas
2. El proceso de Poisson
3. El proceso básico de entrada y salida estacionario
4. Ejemplo caso estable general en EXCEL
5. Notación de Kendall
6. Casos particulares del estado estable
48
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
49Investigación de Operaciones 2
1: M / M / 1 / DG /  / 
M / M / 1 / DG /  / 
• M: Entrada: proceso de Poisson
• M: Salida: Proceso de Poisson
• 1: s=1 servidor
• DG: cualquier disciplina de colas
• ∞: el sistema puede tener infinitos clientes (al menos teóricamente)
• ∞: La población es infinita
50Investigación de Operaciones 2
1: M / M / 1 / DG /  / 
Consideramos que 𝜆𝑛 = 𝜆, 𝑛 = 0,1, … ; 𝜇0 = 0, 𝜇𝑛 = 𝜇, 𝑛 = 1,2, … y que 𝜌 =
𝜆
𝜇
< 1
Sustituyendo en las ecuaciones de las probabilidades de estado estable tenemos que 
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
∞ 𝜆
𝑛
𝜇𝑛
=
1
1 + σ𝑛=1
∞ 𝜌𝑛
=
1
σ𝑛=0
∞ 𝜌𝑛
=
1
1
1 − 𝜌
= 1 − 𝜌
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
=
𝜆𝑛
𝜇𝑛
= 𝜌𝑛 = 𝜌𝑐𝑛−1
y, por tanto, tenemos que
𝑃𝑛 =
𝜆
𝜇
𝑃𝑛−1 = 𝜌𝑃𝑛−1 = 𝜌
𝑛𝑃0 = 𝜌
𝑛(1 − 𝜌)
𝑃 𝑛 > 𝑘 = ෍
𝑗=𝑘+1
∞
𝑃𝑗 = 1 − 𝜌 ෍
𝑗=𝑘+1
∞
𝜌𝑗 = 𝜌𝑘+1
Probabilidad de
que haya más
de 𝑘 clientes
51Investigación de Operaciones 2
1: M / M / 1 / DG /  / 
Vamos a calcular el tamaño medio de línea
𝐿 = ෍
𝑛=0
∞
𝑛𝑃𝑛 = ෍
𝑛=0
∞
𝑛𝜌𝑛(1 − 𝜌) = 𝜌 1 − 𝜌 ෍
𝑛=0
∞
𝑛𝜌𝑛−1
= 𝜌 1 − 𝜌
𝑑
𝑑𝜌
෍
𝑛=0
∞
𝜌𝑛 = 𝜌 1 − 𝜌
𝑑
𝑑𝜌
1
(1 − 𝜌)
=
𝜌
1 − 𝜌
=
𝜆
𝜇 − 𝜆
y el tamaño medio de cola para s=1
𝐿𝑞 = ෍
𝑛=2
∞
(𝑛 − 1)𝑃𝑛 = ෍
𝑛=1
∞
(𝑛 − 1)𝑃𝑛 = ෍
𝑛=1
∞
𝑛𝑃𝑛 −෍
𝑛=1
∞
𝑃𝑛
= 𝐿 − 0 − 1 − 𝑃0
= 𝐿 − 𝜌 =
𝜌2
1 − 𝜌
52Investigación de Operaciones 2
1: M / M / 1 / DG /  / 
Tiempos de permanencia- Fórmulas de Little
𝑊 =tiempo medio de permanencia en el sistema
𝑊𝑞 =tiempo medio de permanencia en la cola
𝐿𝑠=número medio de clientes en servicio
𝑊𝑠=tiempo medio de permanencia en servicio
Teorema de Little:
Para cualquier sistema de colas en el cual existe una 
distribución de estado estable se cumple que:
• 𝐿 = 𝜆𝑊 ⇒ 𝑊 =
𝐿
𝜆
• 𝐿𝑞 = 𝜆𝑊𝑞 ⇒ 𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
• 𝐿𝑠 = 𝜆𝑊𝑠 ⇒ 𝑊𝑠 =
𝐿𝑠
𝜆
53Investigación de Operaciones 2
1: M / M / 1 / DG /  / 
Tiempos de permanencia- Fórmulas de Little
Intuición de este resultado para nuestro sistema (el teorema es mucho más general)
Cuando entra un cliente al sistema, se encuentra, en promedio, 𝐿 clientes. Por
tanto, cuando salga, se habrán atendido 𝐿 + 1 clientes. El tiempo medio de
atención de un cliente es 1/𝜇, por lo que este cliente habrá estado, por término
medio, 𝐿 + 1 tiempos de atención, es decir,
𝑊 =
1
𝜇
+⋯+
1
𝜇
=
𝐿 + 1
𝜇
𝐿 = 𝜆𝑊 ⇒ 𝑊 =
𝐿
𝜆
Por otra parte, tenemos que, para nuestro sistema,
𝐿 =
𝜆
𝜇 − 𝜆
⇒ 𝜇 =
𝜆(𝐿 + 1)
𝐿
y, por tanto, 
𝑊 =
𝐿 + 1 𝐿
𝜆(𝐿 + 1)
=
𝐿
𝜆
54
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
55Investigación de Operaciones 2
2: M / G / 1 / DG /  / 
Este caso, el proceso de salida no sigue el modelo básico. Los resultados 
que se aportan no se basan en las fórmulas anteriores.
Teorema
Sea un sistema M/G/1 donde el tiempo de servicio es una variable 
aleatoria de media 1/𝜇 y varianza 𝜎2. Entonces, se cumple que 
𝑃𝑜 = 1 − 𝜌; 𝑃𝑛 = 𝜌
𝑛 1 − 𝜌
𝐿𝑞 =
𝜆2𝜎2 + 𝜌2
2(1 − 𝜌)
𝐿 = 𝐿𝑞 + 𝜌;𝑊 = 𝑊𝑞 + 1/𝜇
(Se cumplen, además, el resto de las fórmulas de Little)
Fórmula de 
Pollaczek-
Khintchine
56
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
57Investigación de Operaciones 2
3: M / 𝑬𝒌 / 1 / DG /  / 
Distribución de Erlang, o k-Erlang
Sean 𝑇1,…,𝑇𝑘 k variables exponenciales de parámetro 𝜆, con 𝐸 𝑇𝑖 =
1
𝜆
.
Entonces la variable aleatoria 
𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 +⋯+ 𝑇𝑘
sigue una distribución k-Erlang, de función de densidad
𝑓 𝑡 = 𝜆𝑒−𝜆𝑥
𝜆𝑡 𝑘−1
𝑘 − 1 !
, 𝑥, 𝜆 ≥ 0
Esta distribución verifica
𝐸 𝑇 =
𝑘
𝜆
𝑉𝑎𝑟 𝑇 =
𝑘
𝜆2
58Investigación de Operaciones 2
3: M / 𝑬𝒌 / 1 / DG /  / 
En este caso, se considera un solo servidor, pero el servicio consta de k
fases consecutivas, cada una con duración exponencial de igual parámetro.
Por consiguiente, el tiempo de servicio total , T, se ajusta a una distribución
de Erlang (k-Erlang)
El tiempo medio total de servicio es 1/; por lo tanto, si se considera que 
hay k fases, el tiempo promedio en cada fase será 1/k.
Por tanto, es un caso particular del sistema anterior. Se demuestra que 
𝐿𝑞 =
𝜌2
1
𝑘
+ 1
2 1 − 𝜌
𝐿 = 𝐿𝑞 + 𝜌;𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
;𝑊 = 𝑊𝑞 + 1/𝜇
59Investigación de Operaciones 2
Los clientes de un cajero automático llegan con una distribución de
Poisson, a razón de …. El tiempo que se demoran los clientes en
el cajero sigue una distribución exponencial, con una media de …
Determine algunas probabilidades 𝑃𝑛 y los parámetros de este
sistema.
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1 (libro)
60Investigación de Operaciones 2
Ejercicios de aplicación
Se está estudiando un proceso de carga de arena en volquetes. El lugar donde éstos van
depositando la arena tiene espacio para que se estacione sólo un volquete. El tiempo de
carga de unvolquete puede reducirse aumentando el número de obreros que componen la
cuadrilla. Suponga que el tiempo que demora un obrero en cargar un volquete sigue una
distribución exponencial con un promedio de una hora. Suponga además que los volquetes
llegan con una distribución de Poisson, con un promedio de 2 por hora y que el costo de
espera de un volquete es de $20 por hora. Si a cada obrero se le paga $5 por hora, ¿de qué
tamaño conviene que sea la cuadrilla de obreros?
Ejercicio 2 (libro)
Proceso de salida: 𝜇 = 𝑘 × 1, con 𝑘 =número de obreros
Proceso de entrada: 𝜆 = 2
Coste medio volquetes=número medio de volquetes en el sistema (L) × 20
𝐿 =
2
𝑘 − 2
⇒ 𝐶𝑣 =
40
𝑘 − 2
Coste operarios=5k
𝐶𝑇 = 5𝑘 +
40
𝑘−2
; 𝐶𝑇
′ = 0 ⇒ 𝑘 = 4.8, pero la solución ha de ser un entero
Si comparamos k=4 y k=5, vemos que el óptimo es k=5
61Investigación de Operaciones 2
Se están considerando dos mecánicos para atender las máquinas de un taller.
El primer mecánico, que cobra $6 por hora, puede atender una máquina en un
tiempo que sigue una distribución exponencial con un promedio de 12 minutos.
El segundo mecánico cobra $15 por hora y puede atender una máquina en un
tiempo que sigue una distribución exponencial con un promedio de 7 minutos y
medio.
El tiempo que está parada una máquina le cuesta al taller $ 10 por hora. El
tiempo que transcurre entre dos descomposturas consecutivas sigue una
distribución exponencial con una media de 15 minutos.
¿Qué mecánico debe contratarse?
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 3 (libro)
Las averías son como llegadas al sistema de reparación, donde hay 
un puesto de servicio.
Coste hora: coste mecánico ×(coste máquina parada×nº de máquinas 
paradas)
62Investigación de Operaciones 2
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 3 (libro)
Mecánico 1:
• Entrada: 𝜆 =
1
15𝑚
= 4máquinas/ hora
• Tasa servicio: 𝜇 =
1
12𝑚
= 5 máquinas/hora
• Número medio de máquinas en el taller=𝐿 =
𝜆
𝜇−𝜆
=
4
5−4
= 4
• Cada máquina en espera cuesta 10 /hora
• Coste medio horario= 6 + 10 × 4 = 46
Mecánico 2:
• Entrada: 𝜆 =
1
15𝑚
= 4máquinas/ hora
• Servicio: 𝜇 =
1
7.5𝑚
= 0.133 máquinas/minuto=8 máquinas/hora
• Número medio de máquinas en el taller=𝐿 =
𝜆
𝜇−𝜆
=
4
8−4
= 1
• Cada máquina en espera cuesta 10 /hora
• Coste medio horario= 15 + 10 × 1 = 25
Es mejor el 2
63Investigación de Operaciones 2
Un servicio de lavado automático de carros atiende a los clientes que llegan
con una distribución de Poisson a razón de 12 por hora. El servicio emplea
200 litros de agua por cada carro. Un porcentaje del agua empleada en el
lavado es reciclada, para lo cual se debe emplear una depuradora.
¿Qué capacidad debe tener esta depuradora, como mínimo, si se desea que
en la cola no haya, en promedio, más de 5 carros, si se recicla el 75 % del
agua empleada en el lavado?
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 4 (libro)
Entrada: 𝜆 = 12 autos/hora
Servicio: 𝜇 = autos/hora
Capacidad depuradora=0.75× 200 litros/auto × 𝜇 autos/hora
Número medio de autos en cola=𝐿 =
𝜆
𝜇−𝜆
=
12
𝜇−12
= 5 ⇒ 𝜇 = 14.4
Capacidad depuradora= 0.75 × 200 × 14.4 = 2160 litros/hora
64Investigación de Operaciones 2
Suponga que la llegada de furgones de ferrocarril cargados con
granos a unos silos sigue una distribución de Poisson, con un
promedio de un furgón cada 2 horas. El tiempo de descarga de un
furgón por un grupo de estibadores tiene una distribución
exponencial con valor medio de una hora con 20 minutos. El costo
de agregar un grupo extra de estibadores es de $10/hora. El costo
de tener un furgón mientras se descarga y esperando a ser
descargado es de $15/hora.
¿Cuántos grupos de estibadores recomienda?
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 5 
65
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
66Investigación de Operaciones 2
▪ M: la entrada es un proceso de Poisson
▪ M: la salida es un proceso de Poisson (el tiempo de servicio es
exponencial)
▪ 1: Un servidor
▪ DG: cualquier disciplina de cola
▪ M: máximo de M clientes en el sistema (M-1 en cola)
Los estados son solo 𝐸0, 𝐸1, … , 𝐸𝑀 ⇒ 𝑃𝑛 = 0 si 𝑛 > 𝑀.
▪ ∞: población infinita
4 M / M / 1 / DG / M / 
Corresponde a situaciones en las que está limitado el número de clientes que
pueden entrar a un sistema: M. Cuando ya hay M clientes, el sistema les niega la
entrada, y los clientes se pierden para siempre.
Ejemplos: 
• Llamadas a una centralita, con limitación del número de llamadas en espera
• Acceso a un lavadero de autos en los que no puede haber más de M-1 vehículos 
esperando.
67Investigación de Operaciones 2
▪ Para utilizar las fórmulas generales, puede interpretarse como si la razón
de llegada dependiese del estado del sistema,
𝜆𝑛 = 𝜆, 𝑠𝑖 𝑛 < 𝑀
𝜆𝑛 = 0, 𝑠𝑖 𝑛 = 𝑀
▪ El proceso de salidas es igual al caso general: 𝜇0 = 0; 𝜇𝑛 = 𝜇, 𝑛 = 1,… ,𝑀
Tasa media de llegadas (que 
no de entradas). Son los que 
‘llaman a la puerta’
Tasa media de
abandonos por
rechazo=𝜆𝑅
La tasa de entradas media es
ҧ𝜆 = ෍
𝑛=0
∞
𝜆𝑛𝑃𝑛 = ෍
𝑛=0
𝑀−1
𝜆𝑃𝑛 = 𝜆 ෍
𝑛=0
𝑀−1
𝑃𝑛 = 𝜆 1 − 𝑃𝑀 = 𝜆 − 𝜆𝑃𝑀
▪ Como sólo hay hasta estado 𝐸𝑀, ⇒ 𝑃𝑛 = 0, si 𝑛 > 𝑀
Tasa media de entradas 
(que no de llegada)
68Investigación de Operaciones 2
Denotamos por 𝜆𝑛
∗ la tasa a la que son rechazados los clientes que llegan ,
dependiendo del estado del sistema:
𝜆𝑛
∗ = 0, si 𝑛 = 0, 1, 2, … ,𝑀 – 1
𝜆𝑛
∗ = 𝜆, si 𝑛 = 𝑀 (no hay 𝑛 > 𝑀)
La tasa de rechazos media es
𝜆𝑅 = ෍
𝑛=0
∞
𝜆𝑛
∗ 𝑃𝑛 = ෍
𝑛=0
𝑀
𝜆𝑛
∗ 𝑃𝑛 = 𝜆𝑃𝑀
Vamos a demostrar que la tasa media a la que son rechazados los clientes 
que llegan es 𝜆𝑅 = 𝜆𝑃𝑀
4 M / M / 1 / DG / M / 
69Investigación de Operaciones 2
4: M / M / 1 / DG / M / 
Sustituyendo lo anterior en las ecuaciones generales resulta: 
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
𝑀 𝑐𝑛
=
1
1 + σ𝑛=1
𝑀 𝜆
𝑛
𝜇𝑛
=
1
1 + σ𝑛=1
𝑀 𝜌𝑛
=
1
σ𝑛=0
𝑀 𝜌𝑛
=
1 − 𝜌
1 − 𝜌𝑀+1
𝑃𝑛 = 𝜌
𝑛𝑃𝑜; 𝑛 = 1,2, … ,𝑀 ; 𝑃𝑛 = 0; 𝑛 = 𝑀 + 1,…
Longitud media de línea y de cola:
𝐿 = ෍
𝑛=0
𝑀
𝑛𝑃𝑛 = ෍
𝑛=0
𝑀
𝑛𝜌𝑛(1 − 𝜌) = ⋯ =
𝜌
1 − 𝜌
−
𝑀 + 1 𝜌𝑀+1
1 − 𝜌𝑀+1
𝐿𝑞 = 𝐿 − (1 − 𝑃0)
Se siguen cumpliendo las ecuaciones de Little, donde usamos la tasa media de 
entrada ҧ𝜆.
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
;𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
ҧ𝜆
70Investigación de Operaciones 2
Ejemplo Una peluquería que atiende una sola persona tiene un total de 10
sillas. Los clientes que al llegar la encuentran llena, ya no entran. Los
tiempos entre llegadas siguen una exponencial. En promedio, llegan 5
clientes a la hora. El peluquero tarda un promedio de 10 minutos en
cortar el cabello. El tiempo que tarda en cortar el cabello es
exponencial.
Se trata de un sistema M/M/1/FIFO/11/∞
Entrada: 𝜆𝑛 = 5; 𝑛 = 0,1, … , 10; 𝜆𝑛 = 0, 𝑠𝑖 𝑛 > 10
Salida: 𝜇 =
1
10𝑚
= 6 clientes/hora
𝜌 =
𝜆
𝜇
=
5
6
= 0.83
La Probabilidad de que el peluquero esté ocioso es
𝑃0 =
1 − 𝜌
1 − 𝜌𝑀+1
=
1 − 0.83
1 − 0.8312
= 0.188
Y de que el sistema esté lleno: 𝑃𝑀 = 𝑃11 = 𝜌
11𝑃0 = 0.83
11 × 0.188 = 0.025
El número medio de clientes que cada hora 
no pueden entrar en la peluquería es 𝜆𝑅 = 𝜆𝑃𝑀 = 5 × 0.025 = 0.125
71Investigación de Operaciones 2
d Sistema 4: M / M / 1 / DG / M / 
La longitud media del sistema es:
𝐿𝑞 = 𝐿 − 1 − 𝑃0 = 3.48 − 1 − 0.188 = 2.67 clientes
𝐿 =
𝜌
1 − 𝜌
−
𝑀 + 1 𝜌𝑀+1
1 − 𝜌𝑀+1
=
0.833
1 − 0.833
−
(11 + 1) × 0.833(11+1)
1 − 0.833(11+1)
= 3.48
y la longitud media de la cola es
La tasa equivalente de llegadas es
ҧ𝜆 = 𝜆 1 − 𝑃𝑀 = 5 × 1 − 0.025 = 4.87
El tiempo que un cliente medio pasa en la peluquería es
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
=
3.48
4.87
= 0.71
En este tipo de sistemas puede darse que 𝜌 > 1, pues el número de estados no 
va a crecer indefinidamente.
Ejemplo
72Investigaciónde Operaciones 2
PIMPO S.A. está haciendo planes para abrir una pequeña estación para
lavado de autos y debe decidir cuánto espacio dejar para los autos que
esperan. Según los estudios que ha realizado, estima que los clientes
llegarían con una distribución de Poisson con un promedio de uno cada
veinte minutos, a menos que el área de espera esté llena, en cuyo caso el
cliente se iría a otra estación de servicio. El tiempo que puede atribuirse al
lavado de un auto tiene una distribución exponencial con una media de 15
minutos. Compare la fracción de clientes que se perderían si el área de
espera tuviera espacio para: a) cero autos; b) dos autos; c) cuatro autos.
Ejercicio de aplicación
4: M / M / 1 / DG / M / 
73Investigación de Operaciones 2
Proceso de llegada: 𝜆 = 1 auto/20 minutos = 3 autos/hora 
Proceso de salida. Tasa servicio: 𝜇 =
1
15𝑚
=
1
0.25ℎ
= 4 autos/hora 
Caso 1: área de espera 0: M=1
Fracción de clientes que se pierden=
𝜆𝑅
𝜆
=
𝜆𝑃𝑀
𝜆
= 𝑃𝑀
𝑃𝑀 = 𝑃1 = 𝜌𝑃𝑜 con 𝜌 =
𝜆
𝜇
=
3
4
= 0.75, y 𝑃0 =
1−𝜌
1−𝜌𝑀+1
=
1−
3
4
1−
3
4
2 = 0.57
𝑃1 = 0.43 ⇒ Se pierde el 43% de los clientes
Caso 2: área de espera 0: M=3
𝑃𝑀 = 𝑃3 = 𝜌
3𝑃𝑜 con 𝜌 =
𝜆
𝜇
=
3
4
= 0.75, y 𝑃0 =
1−𝜌
1−𝜌𝑀+1
=
1−
3
4
1−
3
4
4 = 0.37
𝑃3 = 0.16 ⇒ Se pierde el 16% de los clientes
Caso 3: área de espera 0: M=5
𝑃𝑀 = 𝑃5 = 𝜌
5𝑃𝑜 con 𝜌 =
𝜆
𝜇
=
3
4
= 0.75, y 𝑃0 =
1−𝜌
1−𝜌𝑀+1
=
1−
3
4
1−
3
4
6 = 0.30
𝑃5 = 0.07 ⇒ Se pierde el 7% de los clientes
74Investigación de Operaciones 2
4: M / M / 1 / DG / M / 
Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para para prestar servicio
a clientes que son atendidos sin necesidad de bajar de su automóvil. Los
clientes reciben su pedido y se marchan.
A este restaurante llega una media de 40 automóviles por hora (Poisson). En el
sistema no puede haber más de 4 automóviles (1 en servicio+3 en cola). Si el
sistema se llena, los autos no acceden. Son rechazados porque bloquean el
tráfico de la calle. Se necesita un tiempo medio de 4 minutos (exponencial)
para servir un pedido de un cliente.
Ejercicio de aplicación
1. ¿Cuál es el número medio de clientes que está esperando? (no se
cuenta el que está siendo atendido)
2. ¿Cuántos vehículos son atendidos, por término medio, cada hora?
3. Apenas me he incorporado a la cola para que me atiendan. En
promedio, ¿cuánto tiempo esperaré antes de que atiendan?
4. ¿Y para poder saborear mi hamburguesa?
75Investigación de Operaciones 2
Proceso de llegada: 𝜆 = 40 autos/hora 
Tasa servicio: 𝜇 =
1
4𝑚
= 15 autos/hora 
Capacidad del sistema: 𝑀 = 4
Número medio de clientes en cola=𝐿𝑞 = 𝐿 − (1 − 𝑃0)
donde:
𝐿 =
𝜌
1−𝜌
−
𝑀+1 𝜌𝑀+1
1−𝜌𝑀+1
=
2.67
1−2.67
−
4+1 2.6674+1
1−2.6674+1
= 3.4374 clientes
𝜌 =
𝜆
𝜇
=
40
15
= 2.6667
𝑃0 =
1 − 𝜌
1 − 𝜌𝑀+1
=
1 − 2.667
1 − 2.6674+1
= 0.0125
Por tanto: 
𝐿𝑞 = 𝐿 − 1 − 𝑃0 = 3.4374 − (1 − 0.012) = 2.4498 clientes
1. ¿Cuál es el número medio de clientes que está esperando? (no se cuenta el 
que está siendo atendido)
76Investigación de Operaciones 2
2. ¿Cuántos vehículos son atendidos, por término medio, cada hora?
Si 𝑛 = 0 ⇒ 𝜇𝑜 = 0
Si 𝑛 = 1 ⇒ 𝜇1 = 𝜇,
…
𝑁 = 𝜇𝑜𝑃0 + 𝜇𝑃1 + 𝜇𝑃2 +⋯ = 𝜇 1 − 𝑃0 = 15 1 − 0.012 = 14.81 vehículos
y que coincide con la tasa media de entrada ҧ𝜆
3. Apenas me he incorporado a la cola para que me atiendan. En promedio,
¿cuánto tiempo esperaré antes de que atiendan?
Tiempo medio de espera en cola: 
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
ҧ𝜆
=
𝐿𝑞
𝜆(1 − 𝑃4)
=
𝐿𝑞
𝜆(1 − 𝜌4𝑃0)
=
2.4498
40(1 − 2.6674 × 0.0125)
=
2.4498
14.81
= 0.1654 horas = 9 minutos
4. ¿Y para poder saborear mi hamburguesa?
Tiempo medio de espera en el sistema: 
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
=
3.4374
14.81
= 0.232 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 13.9 minutos
Pues 
1
𝜇
= 4 minutos más. O bien:
77
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
78Investigación de Operaciones 2
5 M / M / 1 / DG / M’ / 
En este caso, hay clientes que, en función de la longitud de la cola, deciden 
rechazar entrar al sistema. 
El caso anterior, M / M / 1 / DG / M /  puede interpretarse como un caso 
particular de éste, donde todos los clientes (el 100%) eran rechazados del 
sistema si 𝑛 > 𝑀.
Ahora los clientes no son rechazados, sino que ellos mismos rechazan entrar. 
El resultado es el similar: tasas de entrada variables en función del estado: 𝜆𝑛
M la entrada es un proceso de Poisson
M
la salida es un proceso de Poisson (el tiempo de servicio es 
exponencial)
1 Un servidor
DG cualquier disciplina de cola
M’
los clientes pueden rechazar entrar al sistema en función 
del tamaño de la cola 
∞ población infinita
79Investigación de Operaciones 2
5 M / M / 1 / DG / M’ / 
Vamos a considerar tres situaciones
A. RECHAZOS: Los clientes que llegan, al ver la longitud de la cola
rechazan entrar al sistema. Se resolverá tratando las tasas de
entradas como función del estado: 𝜆 ≡ 𝜆𝑛
B. ABANDONOS: Los clientes que llegan acceden al sistema. Sin
embargo, algunos se cansan de esperar y abandonan sin ser
atendidos. Se resolverá tratando las tasas de salidas como función
del estado: 𝜇 ≡ 𝜇𝑛
C. Sistema con RECHAZOS y ABANDONOS.
80Investigación de Operaciones 2
5: M / M / 1 / DG / M’ / 
Sistema con n clientes
1
Llegadas
Tasa 𝜆
Rechazan entrar 
Tasa 𝜆 × 𝑟(𝑛)
Entran
Tasa 𝜆 × (1 − 𝑟(𝑛))
Abandonan sin ser atendidos
Tasa 𝑎(𝑛)
Salen tras ser 
atendidos
Tasa 𝜇𝑛
SISTEMA DE COLAS CON RECHAZOS Y ABANDONOS
𝜇𝑛 = ቊ
0, 𝑛 = 0
𝜇, 𝑛 > 0
81Investigación de Operaciones 2
Sistema con n clientes
1
Cola
Disciplina 
de la cola
Llegadas 
de 
clientes
𝜆
M / M / 1 / DG / M’ / 
Supongamos que los clientes llegan con tasa constante 𝜆. Al llegar al sistema y 
ver que hay ya 𝑛 clientes (𝐸𝑛), una proporción de ellos, 𝑟 𝑛 , decide no entrar. 
𝝀𝒏 = 𝝀 × 𝟏 − 𝒓 𝒏
Entrada de clientes
Clientes que 
rechazan entrar
𝜆𝑅,𝑛 = 𝜆 × 𝑟 𝑛
= 𝜆 − 𝜆𝑛
𝑛
𝑟(𝑛)
𝒓(𝒏) = proporción de clientes que
rechazan entrar en función de n
0%
100%
Necesitamos 
conocer esta 
función
𝜇𝑛 = ቊ
0, 𝑛 = 0
𝜇, 𝑛 > 0
con RECHAZOS
82Investigación de Operaciones 2
M / M / 1 / DG / M’ / 
Ejemplo A un comercio, los clientes llegan según un proceso de Poisson, con una
media de 𝜆 = 10 clientes a la hora. El sistema tiene un único puesto de
servicio, con un tiempo de servicio que sigue una exponencial de media 5
minutos (𝜇 = 12 clientes a la hora).
El comercio no es muy especializado, por lo que si los clientes ven que hay mucha cola
tenderán a no entrar y buscar otro comercio similar en otro momento. Tras un estudio del
mercado sobre el comportamiento de estos consumidores se llegó a la conclusión de que la
probabilidad, 𝑟(𝑛), de que un cliente no quiera entrar al sistema en función del número de
clientes en el sistema se puede resumir en la siguiente tabla:
𝑛 0 1 2 3
𝑟(𝑛) 𝑟(0) = 0 𝑟(1) = 0.3 𝑟(2) = 0.9 𝑟(3) = 1
𝜆𝑛 = 𝜆 1 − 𝑟 𝑛 𝜆0 = 𝜆 × 1 = 10 𝜆1 = 𝜆 × 0.7 = 7 𝜆2 = 𝜆 × 0.1 = 1 𝜆3 = 𝜆 × 0 = 0
𝜇𝑛 0 12 12 12
Vemos, pues, que si hay 2 clientes en la cola (𝑛 = 3) ningún cliente quiere 
entrar.
con RECHAZOS
83Investigación de Operaciones 2
Una vez que hemos definido 𝜆𝑛 a partir de 𝜆 y 𝑟 𝑛 , se resuelve igual que el 
caso general. 
Ejemplo (continuación)
Caso general Nuestro ejemplo
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
𝜇𝑛
; 𝑛 = 1,2,3.
𝑐1 = 0.83; 𝑐2 = 0.49;
𝑐3 = 0.04
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
∞ 𝑐𝑛
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
3 𝑐𝑛
𝑃0 = 0.424
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0; 𝑛 = 1,2,3
𝑃𝑛 = 0; 𝑛 > 3
𝑃1 = 0.353; 𝑃2 = 0.206;
𝑃3 = 0.017
𝐿 = ෍
𝑛=0
∞
𝑛𝑃𝑛 𝐿 = ෍
𝑛=0
3
𝑛𝑃𝑛 𝐿 = 0.82
𝐿𝑞 = ෍
𝑛=𝑠+1
∞
(𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛 𝐿𝑞 = ෍
𝑛=2
3
(𝑛 − 1)𝑃𝑛 𝐿𝑞 = 0.5284Investigación de Operaciones 2
M / M / 1 / DG / M’ / 
Otras cantidades de interés:
▪ Fracción media de clientes que rehúsan entrar al sistema= σ𝑖=1
𝑛 𝑟 𝑛 𝑃𝑛
▪ Tasa media de entrada al sistema: ҧ𝜆 = σ𝑖=0
𝑛 𝜆𝑛𝑃𝑛
▪ Número medio de cliente que, por u.t., llegan, pero no acceden al sistema:
𝜆𝑅 = σ𝑖=0
𝑛 (𝜆 − 𝜆𝑛)𝑃𝑛 = 3.08
▪ Ecuaciones de Little, donde usamos la tasa media de entrada ҧ𝜆.
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
;𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
ҧ𝜆
෍
𝑖=0
3
𝑟 𝑛 𝑃𝑛 = 0.308 =
𝜆𝑅
𝜆
ҧ𝜆 =෍
𝑖=0
3
𝜆𝑛𝑃𝑛 = 6.92
con RECHAZOS
85Investigación de Operaciones 2
Pudiera ocurrir que algunos clientes que están en cola abandonen
el sistema, debido a que les parece excesivo el tiempo de espera.
a(n) representa la tasa de clientes que abandonan el sistema
Lo modelizaremos como salidas del sistema, aunque sin ser
atendidos. La razón de salida total sería:
𝜇𝑛
𝑇 = 𝜇𝑛 + 𝑎(𝑛)
M / M / 1 / DG / M’ / 
Sistema de colas con abandono
con ABANDONOS
Sistema con n 
clientes
Llegadas
Tasa 𝜆
Abandonan sin ser atendidos
Tasa 𝑎(𝑛)
Salen tras ser 
atendidos
Tasa 𝜇
1
86Investigación de Operaciones 2
𝑛 0 1 2 3 …
𝑎(𝑛) 0 𝑎(1) 𝑎(2) 𝑎(3) …
𝑛     …
𝜇𝑛
𝑇 0  + 𝑎(1)  + 𝑎(2)  + 𝑎(3) …
M / M / 1 / DG / M’ /  con ABANDONOS
La información sobre los abandonos se puede organizar en 
una tabla como la siguiente:
Se asume que:
𝑛 =  = 𝑐𝑡𝑒.
𝜇0 = 0; 𝑛 =  𝑛 > 0.
87Investigación de Operaciones 2
M / M / 1 / DG / M’ /  con ABANDONOS
Usando 𝜆 y 𝜇𝑛 de esta tabla podemos usar las fórmulas generales
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
=
𝜆𝑛
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
∞ 𝑐𝑛
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0
𝐿 = ෍
𝑛=0
∞
𝑛𝑃𝑛𝐿𝑞 = ෍
𝑛=𝑠+1
∞
(𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛
𝑊 =
𝐿
𝜆
;𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
La información sobre los abandonos está ya dentro de las fórmulas, a
través de los coeficientes 𝑐𝑛, que afecta a todas estas expresiones.
Además, nos puede interesar calcular el número medio de clientes que 
abandonan por u.t.:
Tasa media de abandonos ത𝑎 = ෍
𝑛=0
∞
𝑎(𝑛)𝑃𝑛
88Investigación de Operaciones 2
Sistema de colas con rechazo y abandono
▪ Si en un sistema se producen rechazos y abandonos, entonces la razón de llegada
y de salida dependerán del estado del sistema:
𝑛 =  1 – 𝑟 (𝑛)]
𝜇𝑛
𝑇 = 𝑛 + 𝑎 𝑛
▪ Las expresiones de las probabilidades 𝑃0 y 𝑃1 serán las mismas: estado estable.
▪ Para calcular los cuatro parámetros se emplean las mismas fórmulas generales.
Para los tiempos der permanencia se usa
Sistema con n clientes
1
Llegadas
Tasa 𝜆
Rechazan 
entrar 
Tasa 𝜆 × 𝑟(𝑛)
Entran
Tasa 𝜆 × (1 − 𝑟(𝑛))
Abandonan sin ser atendidos
Tasa 𝑎(𝑛)
Salen tras ser 
atendidos
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
;𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
ҧ𝜆
𝜇𝑛 = ቊ
0, 𝑛 = 0
𝜇, 𝑛 > 0
89Investigación de Operaciones 2
M / M / 1 / DG / M’ /  con RECHAZOS Y ABANDONOS
𝜇𝑛
𝑇
90Investigación de Operaciones 2
Problema
Armando, que tiene una peluquería, atiende a sus clientes a razón de
7 por hora, en un pequeño local, durante 8 horas diarias. El hijo de
Armando, Alex, que estudia Ingeniería en la UDEP, ha tomado nota
de los tiempos entre las llegadas de los clientes y ha comprobado que
siguen aproximadamente una distribución exponencial con una media
de 10 minutos. Como los clientes, que pagan S/. 10 en promedio,
suelen pasar mucho rato esperando, algunos de los que llegan se
rehúsan a ingresar.
M / M / 1 / DG / M’ / 
Alex, que ha venido registrando la cantidad de clientes que se
rehúsan a entrar, ha construido la siguiente tabla donde, según el
tamaño de la cola (x), expresa el porcentaje (P) de clientes que se
rehúsan a entrar.
x (cola) 0 1 2 3 4 5 6
P (%) 0 10 30 50 70 90 100
Por tanto, en su estado actual, 𝑛 ≤ 7
91Investigación de Operaciones 2
Además, algunos de los clientes que entran y hacen la cola, se
desaniman después y se van, a razón de 𝑎 clientes por hora, donde
𝑎 depende de la cantidad de clientes que hay en la cola.
M / M / 1 / DG / M’ / 
x (cola) 0 1 2 3 4 5 6
a (clientes/hora) 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5
escribe este sistema calculando sus características más
importantes (𝑃𝑛, ҧ𝜆, 𝜇𝑛, … )
Para definir esta situación, Alex construyó la siguiente tabla:
92Investigación de Operaciones 2
M / M / 1 / DG / M’ / 
Tabla para cálculos del estado actual
𝜇𝑛
𝑇
93
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
94Investigación de Operaciones 2
6 M / M / 1 / DG / M / M
M la entrada es un proceso de Poisson
M
la salida es un proceso de Poisson (el tiempo de servicio es 
exponencial)
1 Un servidor
DG cualquier disciplina de cola
M Sólo puede haber un máximo de M clientes en el sistema.
M La población sólo tiene M clientes
En este caso sólo hay M clientes en el sistema. En el estado 𝐸𝑛 hay 𝑛 clientes dentro
del sistema y 𝑀 − 𝑛 fuera de él. Los clientes entran y salen del sistema. Se le suele
conocer como el problema de reparación de máquinas.
• Un taller tiene M máquinas y una persona que se dedica a repararlas. Cuando se
avería una máquina se interpreta como una entrada. Cuando es reparada, una salida.
• Una empresa tiene M computadoras y un técnico que acude cuando los usuarios
tienen algún tipo de incidencia con ella.
• Un avión transporta M pasajeros y un asistente que atiende las peticiones de los
viajeros.
• En un zoológico hay M animales y un veterinario que se ocupa de su salud.
Ejemplos:
95Investigación de Operaciones 2
Sistema
1
Cola
Disciplina 
de la cola
Proceso 
de 
entrada o 
llegadas
Proceso 
de 
servicio o 
salida
• Hay 𝑀 clientes que entran y salen del sistema.
• Cada uno acude al sistema con tasa media de 𝜆 entradas/u.t.
• Por tanto, en media, cada 1/𝜆 u.t. regresan al sistema.
• Cada uno entra de forma independiente de los demás.
• Si en el sistema hay 𝑛 clientes fuera habrá (𝑀 − 𝑛).
• La tasa media de entradas cuando el estado es 𝐸𝑛 será entonces 𝜆𝑛 =
𝑀 − 𝑛 𝜆 clientes por u.t.
6: M / M / 1 / DG / M / M
96Investigación de Operaciones 2
6 M / M / 1 / DG / M / M
El sistema es entonces un caso particular del sistema básico con:
• 𝜆𝑛 = 𝑀 − 𝑛 𝜆, 𝑛 = 0,1,2, … ,𝑀
• 𝜇𝑛 = ቊ
0, 𝑛 = 0
𝜇, 𝑛 > 0
• Estados posibles: 𝐸0, 𝐸1, … , 𝐸𝑀
• 𝑃𝑛 = 0 si 𝑛 > 𝑀.
• Llamamos 𝜌 =
𝜆
𝜇
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
=
𝑀𝜆 × 𝑀 − 1 𝜆 × 𝑀 − 2 𝜆 ×⋯× 𝑀 − 𝑛 + 1 𝜆
𝜇𝑛
=
𝑀!
𝑀 − 𝑛 !
𝜆𝑛
𝜇𝑛
=
𝑀!
𝑀 − 𝑛 !
𝜌𝑛
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
𝑀 𝑐𝑛
= 1 +෍
𝑛=1
𝑀
𝑀!
𝑀 − 𝑛 !
𝜌𝑛
−1
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0 =
𝑀!
𝑀 − 𝑛 !
𝜌𝑛𝑃0
97Investigación de Operaciones 2
6 M / M / 1 / DG / M / M
También podemos escribir, partiendo de las fórmulas básicas del proceso, que
𝑃𝑛+1 =
𝜆𝑛
𝜇𝑛+1
𝑃𝑛 =
𝑀 − 𝑛 𝜆
𝜇
𝑃𝑛 = 𝑀 − 𝑛 𝜌𝑃𝑛
y, por tanto,
෍
𝑛=0
𝑀−1
𝑃𝑛+1 = ෍
𝑛=0
𝑀−1
𝑀 − 𝑛 𝜌𝑃𝑛 = 𝑀𝜌 ෍
𝑛=0
𝑀−1
𝑃𝑛 − 𝜌 ෍
𝑛=0
𝑀−1
𝑛𝑃𝑛
= 𝑀𝜌 1 − 𝑃𝑀 − 𝜌 𝐿 −𝑀𝑃𝑀 = 𝑀𝜌 − 𝐿𝜌
Además, del primer término tenemos:
𝐿 = 𝑀 −
1 − 𝑃0
𝜌
෍
𝑛=0
𝑀−1
𝑃𝑛+1 = 1 − 𝑃0
Sustituyendo este resultado en la 
ecuación previa y despejando 𝐿:
𝐿𝑞 = 𝐿 − (1 − 𝑃0)
98Investigación de Operaciones 2
6 M / M / 1 / DG / M / M
Hay una tasa de entrada diferente en cada estado. La tasa promedio de 
entrada es
ҧ𝜆 = 𝐸 𝑀 − 𝑛 𝜆 = 𝜆𝐸 𝑀 − 𝑛 = 𝜆 𝑀 − 𝐸 𝑛 = 𝜆(𝑀 − 𝐿)
Otra forma sencilla de demostrarlo:
ҧ𝜆 = ෍
𝑛=0
∞
𝜆𝑛𝑃𝑛 = ෍
𝑛=0
𝑀
𝜆(𝑀 − 𝑛) 𝑃𝑛 = 𝜆𝑀෍
𝑛=0
𝑀
𝑃𝑛 − 𝜆෍
𝑛=0
𝑀
𝑛𝑃𝑛
= 𝜆𝑀 − 𝜆𝐿 = 𝜆(𝑀 − 𝐿)
Se tiene, por tanto, que ҧ𝜆 = 𝜆(𝑀 − 𝐿)
Y las fórmulas de Little quedan entonces
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
=
𝐿
𝜆(𝑀 − 𝐿)
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
ҧ𝜆
=
𝐿𝑞
𝜆(𝑀 − 𝐿)
99Investigación de Operaciones 2
6 M / M / 1 / DG / M / M
Un aula tiene 50 computadoras. En promedio, cada computadora necesita que
sea revisada una vez cada 50 horas. La revisióndemora una media de 30
minutos. Hasta que no es revisada, la computadora queda fuera de servicio.
Hay un único asistente dedicado al mantenimiento de esa sala.
¿Cuántos ordenadores están, por término medio, fuera de servicio?
EJEMPLO
• 𝑀 = 50
• 𝜆 =
1
50
= 0.02 revisiones/hora
• 𝜇 = 2 computadoras/hora 
• 𝜌 = 0.01
El número medio de computadoras fuera de servicio serán tanto la que están 
revisando como las que están a la espera de serlo: 𝐿
𝐿 = 𝑀 −
1 − 𝑃0
𝜌
= 50 −
(1 − 0.51)
0.01
= 1
(cálculos hechos con hoja de cálculo)
𝑃0 = 1 +෍
𝑛=1
𝑀
𝑀!
𝑀 − 𝑛 !
𝜌𝑛
−1
= 0.51
100Investigación de Operaciones 2
6 M / M / 1 / DG / M / M
EJEMPLO (cálculos hechos con hoja de cálculo)
Cuánto tiempo transcurre, por término medio, hasta que vuelve a estar una 
computadora operativa desde que se avería
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
=
𝐿
𝜆(𝑀 − 𝐿)
=
1
0.02(50 − 1)
= 1.02 horas
Se va a impartir clase en ese aula para 45 alumnos. ¿Cuál es la 
probabilidad de que cada alumno pueda utilizar una computadora?
𝑃 al menos 45 disponibles
= 𝑃 un máximo de 5 averiadas
= 𝑃 𝑛 ≤ 5 = ෍
𝑛=0
5
𝑃𝑛 = 0.9897
101Investigación de Operaciones 2
▪ Un mecánico atiende 4 máquinas del mismo tipo en una
fábrica. En promedio, cada máquina requiere servicio del
mecánico cada 10 horas; este tiempo se ajusta a una
distribución exponencial. El tiempo de reparación tiende a
seguir la misma distribución, con un promedio de 2 horas.
Se ha estimado que, cuando una máquina queda en
reparación, el tiempo perdido se valoriza en $20 por hora.
El servicio del mecánico cuesta $50 diarios.
▪ ¿Cuál es el número esperado de máquinas en operación?
▪ ¿Cuál es el costo esperado por día?
(Suponga que se trabaja 8 horas al día).
EJEMPLO
6 M / M / 1 / DG / M / M
102Investigación de Operaciones 2
▪ 1/ = 10 horas   = 0,1 máq./ hora
▪ 1/ = 2 horas   = 0,5 máq./ hora
▪Ce = $20/hmáq.
▪Cs = $50/día.
P0 = 0,3983  L = 0,9917 máq.
M – L = 4 – 0,9917 = 3,0083 máq.
C = 50 + 20(0,9917)(8) = $208,67/día.
EJEMPLO
6 M / M / 1 / DG / M / M
103
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
104Investigación de Operaciones 2
▪ La tasa media de entrada es 𝜆 = 𝑐𝑡𝑒
▪ El sistema tiene 𝒔 servidores
▪ La tasa media de servicio de cada servidor es igual a 𝜇 =cte.
▪ La tasa de salida global depende del estado.
▪ La tasa de salida es (nº de servidores ocupados)× 𝜇
7 M / M / s / DG / ∞ / ∞
Sistema
1
2
3
s
Cola
⋮
Servidores
o canales
Proceso 
de 
entrada
Proceso 
de salida
𝝀
𝜇
𝜇
𝜇
𝜇
𝜇𝑛 = ቊ
𝑛𝜇, 𝑛 < 𝑠
𝑠𝜇, 𝑛 ≥ 𝑠
105Investigación de Operaciones 2
▪ Si el número de clientes es 𝑛 < 𝑠, sólo habrá 𝑠 servidores ocupados.
La tasa global de salida será
𝜇𝑛 = 𝑛𝜇.
▪ Si el número de clientes es 𝑛 ≥ 𝑠 , todos los servidores estarán
ocupados. Entonces, la tasa global de salida será
𝜇𝑛 = s𝜇
Introducimos estos valores en las fórmulas generales
7 M / M / s / DG / ∞ / ∞
Sistema
1
2
3
s
Cola
⋮
Servidores
o canales
Proceso 
de 
entrada
Proceso 
de salida
𝝀
𝜇
𝜇
𝜇
𝜇
𝝁𝒏
106Investigación de Operaciones 2
7 M / M / s / DG / ∞ / ∞
𝑐𝑛 =
𝜆
𝜇
𝑛
1
𝑛!
𝑐𝑛 =
𝜆
𝜇
𝑛
1
𝑠! 𝑠𝑛−𝑠
𝑃0 = ෍
𝑖=0
𝑠−1
𝜆
𝜇
𝑖
1
𝑖!
+
1
𝑠!
𝜆
𝜇
𝑠
1
1 − 𝜌
−1
; 𝜌 =
𝜆
𝑠𝜇
(< 1)
lo que lleva a :
Operando, se cumple también que:
𝐿𝑞 = 𝜌
𝑠
𝑠𝑠
𝑠!
×
𝜌
1 − 𝜌 2
𝑃0
Con este resultado obtenemos 𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
𝑊 = 𝑊𝑞 +
1
𝜇
Y finalmente podemos conseguir: 𝐿 = 𝑊𝜆
Si 𝑛 < 𝑠 ⇒ 𝜇𝑛 = 𝑛𝜇
Si 𝑛 ≥ 𝑠 ⇒ 𝜇𝑛 = 𝑠𝜇
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0
107Investigación de Operaciones 2
Los clientes de una farmacia llegan al mostrador con una distribución de
Poisson, con un promedio de 2,5 clientes por minuto. El tiempo que
emplea cada uno de los s empleados en atender a un cliente sigue una
distribución exponencial con una media de 50 segundos. Los clientes
llegan a la farmacia y cogen un ticket numerado para guardar su turno
(asuma que aquí no se hace cola). Cuando les llega el turno (una pantalla
muestra su número) hacen su pedido directamente al primer empleado del
mostrador que esté desocupado.
Una vez que les atienden el pedido en el mostrador, los clientes pasan a la
única caja para pagar y recoger su pedido. Aquí, generalmente se forma
una cola. El dueño de la farmacia es quien atiende todos los pagos, y ha
visto que lo puede hacer en un tiempo que sigue una distribución
exponencial con una media de 8 segundos. Para conseguir esta eficiencia,
un ayudante le embolsa el pedido, el cual ya está listo para ser entregado
en el momento en el que el cliente es atendido en la caja.
a) ¿Cuántos empleados debe tener la farmacia si se desea que el tiempo
promedio que pasa un cliente dentro sea menos de 64 segundos?
b) Compruebe (numéricamente) que la razón de llegada al mostrador es
igual a la razón promedio de salida del mostrador.
f Sistema 7: M / M / s / DG / ∞ / ∞Ejemplo
108
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
109Investigación de Operaciones 2
M la entrada es un proceso de Poisson
M
la salida es un proceso de Poisson (el tiempo de servicio es 
exponencial)
s varios servidores en paralelo
DG cualquier disciplina de cola
M
máximo de M clientes en el sistema (M-1 en cola), como en
el caso 4 (d.)
∞ población infinita
8 M / M / s / DG / 𝑴 / ∞
Sistema con n clientes
1
2
3
s
......
Llegadas
Tasa 𝜆
Rechazados 
Tasa 𝜆 × 𝑃𝑀
Entran
Tasa 𝜆 × (1 − 𝑃𝑀)
Salen tras 
ser atendidos
𝜇
𝜇
𝜇
𝜇 𝜇𝑛 = ቊ
𝑛𝜇, 𝑛 < 𝑠
𝑠𝜇, 𝑛 ≥ 𝑠
110Investigación de Operaciones 2
8 M / M / s / DG / 𝑴 / ∞
Los clientes llegan con tasa media 𝜆 cte. Pero entran con tasa 𝜆𝑛 que
depende del estado del sistema (como en sec. d.)
𝜆𝑛 = 𝜆, si 𝑛 = 0, 1, 2, … ,𝑀 – 1
𝜆𝑛 = 0, si 𝑛 = 𝑀
La tasa media de entrada será entonces
ҧ𝜆 = ෍
𝑛=0
∞
𝜆𝑛𝑃𝑛 = ෍
𝑛=0
𝑀−1
𝜆𝑃𝑛 = 𝜆 ෍
𝑛=0
𝑀−1
𝑃𝑛 = 𝜆 1 − 𝑃𝑀
y la tasa media clientes que se rechazan es 𝜆𝑅 = 𝜆𝑃𝑀
Si 𝑛 < 𝑠 ⇒ 𝜇𝑛 = 𝑛𝜇
Si 𝑛 ≥ 𝑠 ⇒ 𝜇𝑛 = 𝑠𝜇
La tasa media de salida es: 
111Investigación de Operaciones 2
8 M / M / s / DG / 𝑴 / ∞
Se utilizan entonces las fórmulas generales (no se produce ninguna
simplificación, salvo el número de estados)
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
𝑀 𝑐𝑛
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0; 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
𝐿 = ෍
𝑛=0
𝑀
𝑛𝑃𝑛 𝐿𝑞 = ෍
𝑛=𝑠+1
𝑀
(𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
;𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
ҧ𝜆
n 0 1 2 … s s + 1 … M
n    …   … 0
n 0  2 … s s … s
Tabla para facilitar los cálculos de probabilidades:
112
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/M
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
113Investigación de Operaciones 2
9 M / M / s / DG / 𝑴 / 𝑴
Sistema 1
Cola
Disciplina 
de la cola
Proceso 
de 
llegadas
Proceso 
de 
servicio o 
salida
• Hay 𝑀 clientes que entran y salen del sistema.
• Cada uno acude al sistema con tasa media de 𝜆 entradas/u.t.
• Por tanto, en media, cada 1/𝜆 u.t. regresan al sistema.
• Cada uno entra de forma independiente de los demás.
• Si en el sistema hay 𝑛 clientes fuera habrá (𝑀 − 𝑛).
• La tasa media de entradas cuando el estado es 𝐸𝑛 será entonces 𝜆𝑛 =
𝑀 − 𝑛 𝜆 clientes por u.t.
2
3
s
⋮ ⋮
𝜇
𝜇
𝜇
𝜇
114Investigación de Operaciones 2
9 M / M / s / DG / 𝑴 / 𝑴
Sistema 1
Cola
Disciplinade la cola
Proceso 
de 
llegadas
Proceso 
de 
servicio o 
salida2
3
s
⋮ ⋮
𝜇
𝜇
𝜇
𝜇
Si 𝑛 < 𝑠 ⇒ 𝜇𝑛 = 𝑛𝜇 Si 𝑛 ≥ 𝑠 ⇒ 𝜇𝑛 = 𝑠𝜇La tasa media de salida es: 
n 0 1 2 … s s + 1 … M
n M (M – 1) (M – 2)
… (M – s) (M – s – 1) … 0
n 0  2 … s s … s
115Investigación de Operaciones 2
Se introducen estos parámetros en las fórmulas generales (en este caso,
tampoco se produce ninguna simplificación, salvo el número de estados)
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
𝑀 𝑐𝑛
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0; 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
𝐿 = ෍
𝑛=0
𝑀
𝑛𝑃𝑛 𝐿𝑞 = ෍
𝑛=𝑠+1
𝑀
(𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛
𝑊 =
𝐿
ҧ𝜆
;𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
ҧ𝜆
9 M / M / s / DG / 𝑴 / 𝑴
ҧ𝜆 = 𝑀 − 𝐿 𝜆
116
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
117Investigación de Operaciones 2
𝒏 0 1 2 ⋯ s s + 1 ⋯
𝒓(𝒏) 0 𝑟(1) 𝑟(2) ⋯ 𝑟(𝑠) 𝑟(𝑠 + 1) ⋯
𝝀𝒏 𝜆 𝜆(1 − 𝑟 1 ) 𝜆(1 − 𝑟 2 ) ⋯ 𝜆(1 − 𝑟 𝑠 )
𝜆(1
− 𝑟 𝑠 + 1 )
⋯
𝒂(𝒏) 0 𝑎(𝑛) 𝑎(𝑛) ⋯ 𝑎(𝑛) 𝑎(𝑠 + 1) ⋯
𝝁𝒏 0 𝜇 + 𝑎(1) 2𝜇 + 𝑎(2) ⋯ 𝑠𝜇 + 𝑎(𝑠) 𝑠𝜇 + 𝑎(𝑠 + 1) ⋯
Con rechazo y/o abandono
10 M / M / s / DG / 𝑴′ / ∞
Sistema con n clientes
Llegadas
Tasa 𝜆
Rechazan entrar 
Tasa 𝜆 × 𝑟(𝑛)
Entran
Tasa 𝜆 × (1 − 𝑟(𝑛))
Abandonan sin ser atendidos
Tasa 𝑎(𝑛)
Salen tras ser 
atendidos1
2
3
s
......
𝜇
𝜇
𝜇
𝜇
Se resuelve igual que el caso con s=1
𝜇𝑛 = ቊ
𝑛𝜇, 𝑛 < 𝑠
𝑠𝜇, 𝑛 ≥ 𝑠
118Investigación de Operaciones 2
Ejemplo
Juan tiene una casa de cambio en una gran zona comercial de Lima, que
cuenta con tres ventanillas para atender a los clientes. En cada ventanilla, los
clientes son atendidos por un empleado, en un tiempo que sigue una
distribución exponencial, con un promedio de un minuto y 25 segundos. Frente
a cada ventanilla se forma una cola, pero como los clientes se cambian de cola
cuando ven otra más pequeña, se puede asumir que el sistema de colas se
comporta igual que si hubiera una sola cola. En las horas punta, los clientes
llegan a la casa de cambio con una distribución de Poisson, a razón de 2
clientes por minuto. En promedio, cada cliente que es atendido en la casa de
cambio, reporta una utilidad de S/.3,90.
a) ¿Cuál es la utilidad promedio por hora de la casa de cambio en las horas
punta?
b) ¿Cuántos clientes suelen haber, en promedio, en las horas punta?
10 M / M / s / DG / 𝑴′ / ∞
119Investigación de Operaciones 2
Ejemplo
Supóngase que la demanda de cambio (de soles o moneda extranjera)
aumenta a 4 clientes por minuto en las horas punta; pero la mitad de los
clientes que, al llegar, se tendrían que ubicar en tercera posición frente a
la ventanilla menos congestionada, prefieren irse a otra casa de cambio
vecina. Y si algún cliente que se tuviera que ubicar en cuarta posición
frente a la ventanilla menos congestionada, prefiere irse a otra casa de
cambio vecina.
c) ¿Cuál es la utilidad promedio por hora de la casa de cambio en las
horas punta?
d) ¿Cuántos clientes suelen haber, en promedio, en las horas punta?
e) ¿Cuánto tiempo se pasa un cliente en la casa de cambio, en
promedio, en las horas punta?
f) ¿Cuánto pierde en promedio, por hora, por clientes que se van a una
casa de cambio vecina, en las horas punta?
10 M / M / s / DG / 𝑴′ / ∞
120Investigación de Operaciones 2
Ejemplo
Supóngase que, cuando en la casa de cambio hay por lo menos 6 clientes,
hay abandono de la cola (se van a una casa de cambio vecina), a razón de
un cliente cada 4 minutos.
g) ¿Cuál es la utilidad promedio por hora de la casa de cambio en las
horas punta?
h) ¿Cuántos clientes suelen haber, en promedio, en las horas punta?
i) ¿Cuánto tiempo se pasa un cliente en la casa de cambio, en promedio,
en las horas punta?
j) ¿Cuánto pierde en promedio, por hora, por clientes que se van a una
casa de cambio vecina, en las horas punta?
10 M / M / s / DG / 𝑴′ / ∞
121
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
122Investigación de Operaciones 2
▪ Existen algunos sistemas, denominados autoservicios, donde los clientes se
atienden a sí mismos y, por lo tanto, no hacen cola.
▪ Se considera entonces que el sistema tiene infinitos servidores: s = .
▪ Si no hay cola, se deduce que: 
11 M/G/∞/DG/∞/∞
𝐿𝑞 = 0 ;𝑊𝑞 = 0;
Como no hay cola, los clientes estarán en el sistema únicamente el tiempo 
que les estén atendiendo. Por tanto, el tiempo medio de permanencia es el 
tiempo medio de atención.
𝑊 =
1
𝜇
⇒
𝐿
𝜆
=
1
𝜇
⇒ 𝐿 =
𝜆
𝜇
Como en cualquier sistema con varios servidores, la tasa de salida es 
𝜇𝑛 = 𝑛𝜇 si 𝑛 ≤ 𝑠. En este caso, como 𝑠 = ∞ se tiene entonces que
𝜇𝑛 = 𝑛𝜇
123Investigación de Operaciones 2
11 M/G/∞/DG/∞/∞
Por tanto: 
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
=
𝜆𝑛
𝜇 × 2𝜇 × 3𝜇 × ⋯× 𝑛𝜇
=
𝜆𝑛
𝑛! 𝜇𝑛
⇒ 𝑐𝑛 =
𝜆
𝜇
𝑛
𝑛!
Además, utilizando el desarrollo en serie de Taylor de la exponencial se cumple que 
𝑒
𝜆
𝜇 = ෍
𝑛=0
∞ 𝜆
𝜇
𝑛
𝑛!
= ෍
𝑛=0
∞
𝑐𝑛 ⇒ 𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
∞ 𝑐𝑛
= 𝑒
−
𝜆
𝜇
y, por tanto, 
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0 =
𝜆
𝜇
𝑛
𝑛!
𝑒
−
𝜆
𝜇;
El número de clientes que
hay en cada unidad de
tiempo sigue entonces una
distribución de Poisson de
media 𝐿 = 𝜆/𝜇
124Investigación de Operaciones 2
11 M/G/∞/DG/∞/∞
Ejemplo
A un supermercado llegan los clientes a una tasa media de 5 cada minuto.
Los clientes pasan una media de 30 minutos recorriendo la tienda y
cogiendo los productos que deseen. Posteriormente, pasan a la zona de
cajas a pagar.
¿Cuántos clientes habrá, por término medio, recorriendo los pasillos del 
supermercado ?
𝜆 = 5 clientes/minuto
𝜇 =
1
30
clientes/ minuto
𝐿 =
𝜆
𝜇
= 150 clientes
125
Tema 4 
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones - 2
CASOS particulares estado estable
1 M/M/1/DG/∞/∞
2 M/ G/1/DG/ ∞/∞
3 M/𝐸𝑘/1/DG/ ∞/∞
4 M/M/1/DG/M/∞
5 M/M/1/DG/M’/∞
6 M/M/1/DG/M/M
7 M/M/s/DG/∞/∞
8 M/M/s/DG/M/∞
9 M/M/s/DG/M/𝑀
10 M/M/s/DG/M’/∞
11 M/G/∞/DG/∞/∞
12 M/M/s /DG/s / ∞
126Investigación de Operaciones 2
▪ Existen muchos sistemas en los que, ya sea por voluntad de los
clientes o por decisión de quienes controlan el sistema, no se
forman colas.
▪ Es un caso especial del sistema M/M/s/DG/M/∞ con M=s
▪ Es decir, que el número de clientes que pueden entrar al sistema
está limitado al número de servidores del sistema.
▪ A estos sistemas se les denomina sistemas depurados.
12 M/M/𝐬/DG/s/∞
𝐿𝑞 = 0 ;𝑊𝑞 = 0;
Como no hay cola:
127Investigación de Operaciones 2
12 M/M/𝐬/DG/s/∞
Entonces, la razón de llegada dependerá del estado del sistema:
n =  ..... si n = 0, 1, 2, ... , s – 1
n = 0 ..... si n = s
La tasa efectiva de entrada es:
ҧ𝜆 = 𝜆(1 − 𝑃𝑠)
La tasa de clientes que llegan pero no ingresan al sistema será: 
𝜆𝑅 = 𝜆𝑃𝑠
n 0 1 2 … s
n    … 0
n 0  2 … s
128Investigación de Operaciones 2
Se tiene entonces que 
𝑊 =
1
𝜇
⇒
𝐿
ҧ𝜆
=
1
𝜇
⇒ 𝐿 =
ҧ𝜆
𝜇
=
𝜆(1 − 𝑃𝑠)
𝜇
Los cálculos de probabilidades siguen la fórmula general con un máximo de 
n=s. Para n=1,2,…,s:
12 M/M/𝐬/DG/s/∞
𝑐𝑛 =
ς𝑖=0
𝑛−1 𝜆𝑖
ς𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖
=
𝜆𝑛
𝜇 × 2𝜇 × 3𝜇 × ⋯× 𝑛𝜇
=
𝜆𝑛
𝑛! 𝜇𝑛
⇒
𝑐𝑛 =
𝜆
𝜇
𝑛
1
𝑛!
𝑃0 =
1
1 + σ𝑛=1
𝑠 𝑐𝑛
= ෍
𝑛=0
𝑠
𝜆
𝜇
𝑛
1
𝑛!
−1
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0 =
𝜆
𝜇
𝑛
1
𝑛!
𝑃0
129Investigación de Operaciones 2
Ejemplos
Dos socios quieren abrir unas cabinas de Internet en una
zona comercial donde hay otras cabinas similares. Así,
cuando un cliente llega a un local de éstos, si encuentra
todas las cabinas ocupadas, se va a otro local. Los socios
han estimado,después de tomar datos suficientes, que los
clientes llegarán a su local con una distribución de Poisson,
a razón de 12 por hora, y que el tiempo que pasan en la
cabina sigue una distribución aproximadamente
exponencial, con un promedio de una hora. ¿Cuántas
cabinas deben tener en su local si quieren captar siempre a
más del 80% de los clientes que lleguen?
130Investigación de Operaciones 2
Gaby, una próspera microempresaria ha iniciado un negocio
de venta y alquiler de disfraces en Piura. Para atender la
demanda de los alumnos de los distintos colegios de Piura,
ha estimado que los disfraces del Zorro tendrán una
demanda promedio de uno al día durante este último mes
del año escolar. Estos disfraces suelen alquilarse durante 3
días, en promedio. Gaby ha estimado, además que, por
cada cliente que llegue a la tienda y no encuentre disponible
un disfraz del Zorro, perderá S/.10, pues éste se irá a otra
tienda. ¿Cuántos disfraces del Zorro le conviene
confeccionar, si cada uno le cuesta S/.50?
Ejemplos
131Investigación de Operaciones 2
Una cebichería atiende a sus clientes en un local con sillas suficientes para atenderlos
a todos sin que tengan que esperar a que se desocupe una. Estas sillas se encuentran
dispuestas frente a cuatro barras.
Los clientes llegan con una distribución de Poisson a razón de 1,5 clientes por minuto y
deben pasar, en primer lugar, por la caja registradora, donde hacen su pedido y pagan.
El dueño del local los atiende en la caja en un tiempo que sigue una distribución
exponencial, con un promedio de 32 segundos. Después de esto, los clientes pasan a
una silla frente a una de las barras. Aquí son atendidos inmediatamente, gracias a que
hay un número de mozos suficiente para que los clientes no tengan que esperar.
Se estima que el tiempo que están los clientes ocupando una silla sigue una
distribución exponencial, con una media de 15 minutos. Este tiempo ya incluye lo que
tarda un mozo en servirle el cebiche.
a) ¿Cuántos clientes hay, en promedio, en esta cebichería?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en las barras haya un máximo de 5 clientes?
c) Si el dueño de la cebichería pierde una buena parte del área donde están las sillas y
se ve obligado a reducir el número de éstas, ¿cuántas le conviene tener si no desea
que el local se congestione indefinidamente?
Ejemplos