Parcial_O2_2018_II_solución

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FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2018-II 
PARCIAL 
LUNES, 1 DE OCTUBRE DE 2018 
3 HORAS 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
 
Cuando se solicite reclamo, deberá adjuntarse copia de la solución publicada (sólo del ejercicio sobre el que se reclame). El 
reclamo deberá basarse en errores de corrección en base a esa solución. Si simplemente se alega que se merece más 
puntaje, el reclamo no va a prosperar. 
 
1. (5p) Para la generación de energía eléctrica se cuenta con una central hidroeléctrica con una potencia instalada de 100 
MW (es decir, no puede generar más de 100 MWh -megavatios hora-), y una central térmica de gas con una potencia 
instalada de 120 MW (es decir, no puede generar más de 120 MWh). Generar un MW hora en la central hidroeléctrica 
cuesta 50 dólares, y en la térmica 40 dólares. Se quiere saber cuál debe ser la producción óptima (horaria) de cada central 
si se han puesto las siguientes metas, en orden de prioridad: 
Meta 1: Entre ambas deben suministrar al menos 80 MW hora 
Meta 2: Deben producir lo mismo en ambas centrales 
Meta 3: El costo del MW hora producido debe ser inferior a los 48 dólares 
 
Resuelve este problema usando el método gráfico, especificando claramente en cada etapa de la modelización por metas 
qué modelo se está resolviendo y cómo se cumple cada una de las metas. 
 
SOLUCIÓN 
 
𝑥1: MWh generados por la central hidroeléctrica 
𝑥2: MWh generados por la central de gas 
 
Restricciones fuertes: 
𝑥1 ≤ 100 
𝑥2 ≤ 120 
 
Metas 
M1: 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 80 ⇒ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑑1 ≥ 80 
M2: 𝑥1 = 𝑥2 ⇒ 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑑2 − 𝑒2 = 0 
M3: 50𝑥1 + 40𝑥2 ≤ 48(𝑥1 + 𝑥2) ⇒ 2𝑥1 − 8𝑥2 − 𝑒3 ≤ 0 
 
El modelo queda: (2p) 
 
min 𝑍 =𝑃1𝑑1 + 𝑃2(𝑑2 + 𝑒2) + 𝑃3𝑒3 
s.a: 
𝑥1 ≤ 100 
𝑥2 ≤ 120 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑑1 ≥ 80 
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑑2 − 𝑒2 = 0 
2𝑥1 − 8𝑥2 − 𝑒3 ≤ 0 
𝑥𝑖 , 𝑑𝑖𝑒𝑖 ≥ 0 
 
2 
 
 
Etapa 1: (0.5p modelo, 0.5 solución) 
 
min 𝑍 =𝑑1 
s.a: 
𝑥1 ≤ 100 
𝑥2 ≤ 120 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑑1 ≥ 80 
 
la región factible para el caso más favorable, con 𝑑1 = 0 , se muestra en la 
figura. La solución es factible, por lo que la Meta 1 se cumple. 
 
 
 
 
Etapa 2: (0.5p modelo, 0.5 solución) 
min 𝑍 =𝑑2 + 𝑒2 
s.a: 
𝑥1 ≤ 100 
𝑥2 ≤ 120 
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 80 
𝑥1 − 𝑥2 + 𝑑2 − 𝑒2 = 0 
 
Para el caso más favorable, con 𝑑2 = 𝑒2 = 0, la región factible es el 
segmento AB, por lo que la Meta 2 también se cumple. 
 
 
 
 
Etapa 3: (0.5p modelo, 0.5 solución) 
 
min 𝑍 =𝑒3 
s.a: 
𝑥1 ≤ 100 
𝑥2 ≤ 120 
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 80 
𝑥1 − 𝑥2 = 0 
2𝑥1 − 8𝑥2 − 𝑒3 ≤ 0 
 
La región que delimita la restricción 2𝑥1 − 8𝑥2 ≤ 0 intercepta con 
el segmento AB, por lo que la solución 𝑒3 = 0 es factible. La Meta 
3 también se cumple. 
 
La solución óptima es el segmento AB. 
 
 
 
 
3 
 
 
 
2. (5p) Un fabricante de muebles recibe un pedido de 10 unidades que debe entregar dentro de 3 semanas. La fabricación 
se inicia al comienzo de la semana 1, y la entrega será al finalizar la semana 3. El fabricante tiene una capacidad máxima 
de producción de 4 muebles semanales. Los costes de fabricación dependen del volumen fabricado semanalmente. Si 
fabrica 3 o 4 unidades semanales, el coste es de 200 dólares por unidad fabricada. Si fabrica menos, el coste es de 250 
dólares por unidad fabricada. Además, las cantidades fabricadas las semanas 1 ó 2 incurren en un coste de 
almacenamiento de 10 dólares por unidad cada semana que el mueble está almacenado; es decir, una semana si se 
fabrica en la semana 2, y dos semanas si se fabrica en la semana 1. Utilizando programación dinámica, encuentra el plan 
de producción semanal de mínimo costo. Haz la representación gráfica de este problema y de su solución óptima. 
 
 
SOLUCIÓN: 
• Las etapas son las semanas. 
• La variable de decisión es: 𝑥𝑛 =cantidad de aparatos que hay que fabricar la semana n (𝑥𝑛 ≤ 4). 
• La variable de estado es la cantidad de pedido que falta por fabricar al inicio de la semana n 
 
La representación gráfica de este problema de programación dinámica, teniendo en cuenta la restricción de la capacidad 
de producción, es la siguiente: 
(Correcto hasta aquí: 1p) 
 
 
 
 
 
 
 
Veamos las tablas de cada etapa 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 1 
Semana 3 
(1p) 
x1 
s1 2 3 4 f1* x1* 
 2 500 500 2 
 3 600 600 3 
 4 800 800 4 
 
4 × 200 = 800 
 
 
ETAPA 2 
Semana 2 
(1p) 
x2 
s2 2 3 4 f2* x2* 
 6 1320 1230 1340 1230 3 
 7 1430 1440 1430 3 
 8 1640 1640 4 
 
 
 
4 × (200 + 10) + 800 
 
 
ETAPA 3 
Semana 1 
(1p) 
x2 
s2 2 3 4 f3* x2* 
 10 2180 2090 2110 2090 3 
 
 
 
 3 × (200 + 20) + 840 
 
La solución óptima es fabricar 3-3-4, y tiene un costo de 2090. (1p) 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
3. (10p) Una empresa necesita alquilar un auto para uno de sus empleados, para ser utilizado durante 4 días consecutivos. 
Al finalizar cada día, la empresa debe decidir si devolver el auto, o continuar con el mismo auto al día siguiente. Se puede 
tener alquilado un mismo auto hasta 3 días seguidos. Si decide continuar con el auto al día siguiente deberá guardarlo esa 
noche en un aparcamiento, que habrá que pagar. Si, por el contrario, decide devolverlo al final del día y necesitase un 
auto para el día siguiente, tendrá que firmar un nuevo contrato de alquiler, con los costes que ello conlleva. Los costes en 
los que se puede incurrir con este servicio son los siguientes: 
 
• Gastos de contratación: Cada vez que se firma un contrato de alquiler, se han de pagar 20 dólares de gasto de 
contratación, independientemente del número de días que se vaya a tener un mismo auto. Por ejemplo, si la 
empresa decide cambiar de auto a los dos días, necesitará firmar dos contratos, pagando un total de 40 dólares de 
gasto de contratación 
• Gastos de aparcamiento: Si la empresa decide mantener un auto de un día para otro, debe gastarse 15 dólares en el 
aparcamiento del vehículo por cada noche. 
• Gastos de seguro: Debe abonarse un seguro que cuesta 9 dólares. El seguro cubre al auto durante un máximo de 2 
días. El seguro está vinculado al auto. Si, por ejemplo, se cambia cada día de auto, habría que abonar un nuevo 
seguro cada día. El seguro que cubriría los dos primeros días se paga en el momento de firmar un contrato. Si un 
mismo auto se mantiene durante un tercer día, debe abonar de nuevo los 9 dólares de un nuevo seguro. 
• Alquiler del auto: Además, está el coste del alquiler del auto propiamente dicho, y que depende del número de días 
seguidos que se tenga el mismo auto. El coste es de 30 dólares el primer día, 28 el segundo y 25 el tercero. 
 
Utiliza programación dinámica para hallar una estrategia óptima de alquiler de este auto. Justifica adecuadamente tu 
respuesta mediante las tablas correspondientes. Haz la representación gráfica de este problema y de su solución óptima. 
 
SOLUCIÓN 
 
Etapas: los días. hay entonces 4 etapas 
Variable de decisión 𝑥𝑛 = 1 si al finalizar la etapa conservamos el auto para el día siguiente, 0 si lo devolvemos. 
Variable de estado: número de días que llevamos con el mismo auto al inicio de la etapa 
 
La representación gráfica de este problema de programación dinámica, teniendo en cuenta la restricción de la capacidad 
de producción, es la siguiente: 
(Correcto hasta aquí: 4p) 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
Las tablas de cada etapa son las siguientes: 
ETAPA 1-Día 4 x1 
 s1 0=devolver 1-mantener f1* x1* 
 0 20+9+30= 59 59 0=devolver 
 1 28= 28 28 0=devolver 
 2 9+25= 34 34 0=devolver 
 
 
ETAPA 2-Día 3 x2 
 s2 0=devolver 1=mantener f2* x2* 
 0 20+9+30+59= 118 20+15+9+30+28= 102 102 1=mantener 
 1 28+59= 87 15+28+34= 77 77 1=mantener 
 2 9+25+59= 93 93 0=devolver 
 
ETAPA 3-Día 2 x3 
 s3 0=devolver 1=mantener f2* x2*0 20+9+30+102= 161 20+15+9+30+77= 151 151 1=mantener 
 1 28+102= 130 15+28+93= 136 130 0=devolver 
 
ETAPA 4-Día 1 x4 
 s4 0=devolver 1=mantener f2* x2* 
 0 20+9+30+151= 210 20+15+9+30+130= 204 204 1=mantener 
 
 
La estrategia óptima tiene un coste de 204 dólares. 
 
El primer día contrato un auto, que mantengo el segundo día. Al finalizar el segundo día devuelvo el auto. El tercer día 
contrato un nuevo auto que mantengo también el cuarto día.