S08 s1-Material - Claudio F Velásquez

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

SESIÓN 8
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
Y PROBABILIDADES
INTRODUCCIÓN A LAS 
PROBABILIDADES
La utilidad del tema referido a la introducción a las
probabilidades, es fundamental, porque hace posible ajustar
de la manera más exacta, los imponderables debidos al azar
en los más variados campos tanto de la ciencia como de la
vida cotidiana. Por ejemplo: juegos de mesa, estados del
tiempo, esperanzas de vida, apuestas en los deportes, etc.
Al finalizar la sesión de
clase, aplica los conceptos
de probabilidad clásica y
probabilidad condicional
en diferentes situaciones.
LOGRO DE LA SESIÓN
INTRODUCCIÓN A 
LAS 
PROBABILIDADES 
PROBABILIDAD 
CONDICIONAL
TEMARIO
TÉCNICAS DE CONTEO
TÉCNICAS DE CONTEO
Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo
que facilitarán el cálculo señalado estas son:
Principio
de		
adición
Principio
de							
multiplicación
Diagrama
de		árbol Análisiscombinatorio
Permutación, 
Combinación
A	xBA+B
El	evento	A	o	el	evento	B	se	realizarán	de	(m	+	n)maneras.
Un	evento	A	se	puede	realizar	de	“m”	maneras diferentes
Un	evento	B	se	puede	realizar de “n” maneras diferentes
Entonces:
PRINCIPIO DE ADICIÓN
Donde, no es
posible que
ambos eventos se
realicen juntos
𝐴 ∩	𝐵 =	∅
Regla	de	la adición
EJERCICIO EXPLICATIVO 1
Caso: Compra de un disco externo
Un Ingeniero de Sistemas desea comprar un disco duro externo de marca Toshiba.
Dicho dispositivo es vendido en 5 tiendas de computo en Lince, 10 tiendas de
computo en San Isidro y 12 tiendas de computo en Miraflores. ¿De cuántas
maneras el Ingenierode Sistemas puede comprar el disco externo?
Solución
N°maneras	=	N° tiendas	(Lince)	+	N° tiendas	(San	Isidro)	+	N° tiendas	
(Miraflores)		N°maneras	=	5	+	10	+	12	=	27
EJERCICIO EXPLICATIVO 2
Caso:	Formas	de	viajar
Dennis desea viajar de Chiclayo a Tumbes y tiene a su disposición 3
líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede
realizar su viaje?
Solución
Viajar por aire O Viajar por tierra
3 5+ = 8
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Un	evento	“A”	puede	ocurrir	,	en	forma	independiente,	de	“m”	manerasdiferentes
Un	evento	“B”	puede	ocurrir,	 en	forma	independiente,	de	“n”	maneras diferentes
Entonces:
El evento	A y	el	evento	B	se	realizarán	de	(m	.	n)maneras.
Regla	de	la multiplicación
EJERCICIO EXPLICATIVO 3
Caso: Selección de personal
Para el desarrollo de un sistema de información el Ministerio de la Producción ha
realizado una convocatoria de personal y para ello requiere 2 analistas de
sistemas. Luego de una serie de etapas en el proceso de selección han quedado
5 postulantes. ¿De cuántas maneras diferentes estos postulantes pueden ubicarse
en el primer y segundo puesto de orden de mérito? Teniendo en cuenta que los
dos primeros lugares serán aceptados para dicho proyecto.
Solución
El	segundo	lugar	puede
ser	ocupado	por		
cualquiera	de	los	
otros	 	cuatro	
postulantes	 	restantes.
5 4× = 20
El primer lugar
puede	ser	ocupado		
por cualquiera de
los cinco
postulantes.
EJERCICIO EXPLICATIVO 4
=	11	232	000 placas
Caso: Placa de auto
¿Cuántas placas para automóviles pueden fabricarse si cada placa
consta de tres letras diferentes seguidas de tres dígitos
diferentes? (Considerar 26 letras del alfabeto)
Solución
Placa
Letras Dígitos
26 × 25 × 24 × 10 × 9 × 8
ANÁLISIS COMBINATORIO
En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus
elementos o todos ellos, para formar diferentes
agrupaciones, que se van a distinguirpor el orden de sus
elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los
elementos que forman una agrupación son diferentes entre
si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de
ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con
repetición. Entre los métodos de conteo más conocidos
tenemos :
•Permutaciones
•Combinaciones
Permutaciones
Combinaciones
PERMUTACIÓN LINEAL
El número de permutaciones de “n”
objetos diferentes, tomados en grupos
de k elementos (siendo 𝑘 ≤ 𝑛 ) y
denotado por P esta dado por:
Ejemplo
En un maratón, donde participan
8 atletas, se premiará con trofeos
de oro, plata y bronce. ¿De
cuántas formas pueden ser		
distribuidos	los	trofeos?
Solución
6× = 3368 7 ×
NOTA: Es importante resaltar que el
orden es una característica importante
en la permutación.
COMBINACIONES
El número de combinaciones de “n”
objetos diferentes, tomados en grupos
de k elementos (siendo 𝑘 ≤ 𝑛 ) y
denotado por C está dado por:
Ejemplo
Se cuenta con 8 estudiantes, y se
desea escoger una comisión de 3
integrantes. ¿De cuántas formas s e
puede formar dicha comisión?
Solución
NOTA: Es importante resaltar
que no considerar el orden
en su ubicación 𝐶7
8 =
8!
8 − 3 ! 		3!
=
8!
5! 		3!
=
8𝑥7𝑥6𝑥5!
5!	 3𝑥2𝑥1
= 56
ANÁLISIS COMBINATORIO
Recuerda que:
Si se desea que se realicen
los eventos A y B, entonces
se utiliza el principio de
multiplicación (x).
Si se desea que se
realicen los eventos
A o B, entonces se
utiliza el principio de
adición (+).
En las combinaciones no
interesa el orden, se
buscan agrupaciones.
En las	permutaciones		
interesa el orden, se	
buscan	ordenación
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
Experimento	aleatorio 𝜺 :
§Es	todo	proceso	que	consiste	en	la	ejecución	de	un	acto,	una	prueba	y	el		
resultado	de	cada	prueba	depende	del	azar.
§Se	conoce	a	priori	el	conjunto	de	posibles	resultados,	aunque	no	el	resultado	del		
experimento,	ser	distinto	en	cada	vez,	generando	un	conjunto	de	resultados.
§Es	posible	repetir	el	experimento	bajo	las	mismas	condiciones.
Espacio	Muestral	(Ω)
• Conjunto	de	posibles	resultados	de	un	experimento	aleatorio.
𝑛(Ω	):	𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
Ejemplo:
Sea	los	siguientes	experimentos	aleatorios
𝜀1:	Observar	el	resultado	cuando	se	lanza	un	dado
Ω	=		1;	2;	3;	4;	5;	6
Ω#		= 𝑡:	𝑡 ≥	0
𝑛(Ω)	=	6
𝜀2:	Registrar	el	numero	de	artículos	defectuosos	en	un	lote	de	8.	
Ω= 0;	1;2;	3;	4;	5;	6;	7;	8		 𝑛(Ω)	=	9
𝜀3:	Observar	el	tiempo	de	duración	de	un	foco(horas).
𝑛(Ω#)	=	∞
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
A:	Los	tres	bebes	son	del	mismo sexo:
B:	Exactamente	un	bebe	es	de	sexo masculino:
𝐴 = 𝑀𝑀𝑀; 𝐹𝐹𝐹
𝐵 = 𝑀𝐹𝐹;	𝐹𝑀𝐹;𝐹𝐹𝑀
𝐄𝐯𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬
Un	evento	es	cualquier	subconjunto	de	un	espacio	muestral
𝜀1:	Si	se	observa	los	sexos	de	3	niños	recién	nacidos
Ω = 𝑀𝑀𝑀;	𝑀𝑀𝐹;	𝑀𝐹𝑀;	𝐹𝑀𝑀;	𝑀𝐹𝐹;	𝐹𝑀𝐹;	𝐹𝐹𝑀;	𝐹𝐹𝐹
Se	definen	los	siguientes	eventos:		Ejemplo:	sean	los	siguientes	eventos
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
• 𝑃(φ)=0,	donde	φ	es	el	evento	imposible.
• 𝑃(𝐴𝑐)=1	– 𝑃(𝐴)
• Si	A	y	B	son	eventos	cualesquiera
𝑃(𝐴 ∪	𝐵)=	𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)	– 𝑃(𝐴 ∩	𝐵)
Si un experimento aleatorio tiene 𝑛(Ω) y si 𝑛(𝐴) de tales resultados corresponden a
un evento A, entonces, en eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que
ocurra A es:
Axiomas	de	probabilidad
Axioma	1:
0≤𝑃(𝐴)≤1
Axioma	2:
𝑃(Ω)=1
Teoremas	de probabilidad
𝑃 𝐴 =	
𝑛(𝐴)	=	Números	de	casos	favorables
𝑛(Ω) Números	de	casos	totales
EJERCICIO EXPLICATIVO 5
c. Calcular	la	probabilidad	de	obtener	un	valor	menor	o	igual	a 2
Caso:	Lanzamiento	de	dados
Thais	realiza	el	experimento	de	lanzar	al	aire	un	dado
Ω	= 1;	2;	3;	4;	5;	6 𝑛(Ω)	=	6
a. Calcular	la	probabilidad	de	obtener	el	valor	de 4
𝐴 = 4
b. Calcular	la	probabilidad	de	obtener	un	valor impar
𝐵 = 1;	3 ;5
𝐶 = 1; 2
1
𝑃 𝐴 = 6
3
𝑃 𝐵 = 6
𝑃 𝐶 =
2
6
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos son independientes, si la probabilidad de que ocurra
ambos eventos simultáneamente es igual al producto de las
probabilidadesde que ocurra cada uno de ellos.
𝑃 𝐴 ∩	𝐵 =	𝑃(𝐴)	x	𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴c			∩	𝐵c =	𝑃(𝐴c)	x	𝑃(𝐵c)
Si	los	eventos	son	independientes	sus	complementostambién.
Por ejemplo
Los resultados de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del
resultado de ninguno de los lanzamientos anteriores. Por lo tanto, cada lanzamiento es
un evento independiente.
EJERCICIO EXPLICATIVO 1
El éxito de un proyecto de inversión
depende del trabajo de
un Ingeniero de Software, un administrador y un contador.
Se sabe que la probabilidad de que el Ingeniero de Software
falle en su labor es de 2%, la probabilidad de que el
administrador falle es de 5% y la probabilidad de que el
contador falle es de 7%. Para que el proyecto sea exitoso,
ninguno de los 3 debe fallar. Asuma que las labores de los
tres integrantes son independientesentre sí.
1.¿Cuál es la probabilidadde que el proyecto tenga éxito?
2.¿Cuál es la probabilidadde que el proyecto no tenga éxito?
Solución
A:	El	Ingeniero	falle	en	su labor
B:	El	administrador	falle	en	su labor
C:	El	contador	falle	en	su	labor		
D:	El	proyecto	no	tenga	éxito
EJERCICIO EXPLICATIVO 1
𝑃 𝐴
𝑃 𝐵
𝑃 𝐶
=	2%	= 0.02
=	5%	= 0.05
=	7%	= 0.07
𝑃 𝐴+
𝑃 𝐵+
𝑃 𝐶+
=	1	−	0.02	=	0.98
=	1	−	0.05	=	0.95
=	1	−	0.07	=	0.93
Se	definen	los	siguientes	eventos:		
A:	El	Ingeniero	falle	en	su	labor
B:	El	administrador	falle	en	su	labor
C:	El	contador	falle	en	su	labor		
D:	El	proyecto	no	tenga	éxito
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Para	los	eventos	A	y	B	de	un	espacio	muestral,	la	probabilidad	condicional	de		
ocurrencia	del	evento	A,	dado	que	el	evento	B	ha	ocurrido,	está	definidapor:
Se	dice	que	A	y	B	son	independiente,	si	la	ocurrencia	de	uno	de	ellos	no	afecta	la		
ocurrencia	del otro.
𝑃 𝐴/𝐵 =	
𝑃(𝐴 ∩	𝐵)
𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴/𝐵 = 𝑃(𝐴)
EJERCICIO EXPLICATIVO
Los	colaboradores	de	una	empresa	en	el	área	de	calidad	se	distribuyenasí:
17	chicas	(M) y	13	chicos	(H),	de	donde	se	sabe	que	hay	3	damas	y	4	varones zurdos.
a. Halle	la	probabilidad	de	que	sea zurdo
b. Halle	la	probabilidad	de	que	sea	zurdo,	sabiendo	que	es varón
c. Halle	la	probabilidad	de	que	sea	varón,	sabiendo	que	es zurdo.
d. Halle	la	probabilidad	de	que	sea	chico	o	zurdo.
e. ¿qué	sea	varón	y	sea	zurdo	son	eventos	independientes?
Solución
Zurdos	(Z) Diestros	(D) Total
Chicos	(H) 4 9 13
Chicas(M) 3 14 17
Total 7 23 30
EJERCICIO EXPLICATIVO 2
e.	¿qué	sea	chico y	sea	zurdo	son	eventos independientes?
a.	Halle	la	probabilidad	de	que	sea zurdo
c.	Halle	la	probabilidad	de	que	sea	chico,	sabiendo	que	es zurdo.
d.	Halle	la	probabilidad	de	que	sea	chico	o zurdo
30
b.	Halle	la	probabilidad	de	que	sea	zurdo,	sabiendo	que	es chico
𝑃 𝑍 =	7 = 0.233
𝑃 𝑍/H =	
𝑃(𝑍 ∩	H)	= 4/30 = 4
𝑃(H) 13/30 13
𝑃 H /𝑍 =	
𝑃(H	∩	𝑍)	=	4/30	=		4
𝑃(𝑍)													7/30						7
𝑃 H	∪	𝑍 =	𝑃 H +	𝑃 𝑍 −	𝑃 𝑉 ∩	𝑍 =	
13	+ 7 − 4 =	16
30 30 30					30
𝑃 H	∩	𝑍 =	𝑃 H			𝑃(𝑍) 4 ≠	13	 . 7
30					30			30
No	son independiente
LISTO PARA MIS EJERCICIOS
INTRODUCCIÓN A LAS 
PROBABILIDADES Y 
PROBABILIDAD CONDICIONAL
1 Propuesto
Un grupo de 500 ejecutivos es clasificado de acuerdo a las características del peso y a la incidencia del
peso en la hipertensión. Se da la siguiente tabla:
1. ¿Cuál es la probabilidaddequeuna persona elegida al azar sea hipertensa?
2. Una persona elegida al azar tiene sobrepeso. ¿Cuál es la probabilidadque también sea hipertensa?
3. Una persona elegida al azar no es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad deque tenga peso normal?
2 Propuesto
La probabilidad de que la industria MNS S.A.C se ubique en la ciudad A es de 0,7; de
que se localice en la cuidad B es de 0,4 y de que se encuentre en A o en B, o en
ambas es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidadde que la industria se localice:
a) en ambas ciudades?
b) en ningunade ellas?
Y ahora nos toca interactuar en CANVAS. Usaremos el
foro de consulta para estar en comunicación
permanente, también tendrás que completar algunas
actividades programadas.
¿Qué es una probabilidad?
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO HOY?
¿Qué es una probabilidad Condicional ?
FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Técnicas de conteo:
Principio de adicional,
principio de la
multiplicación, diagrama
del árbol y análisis
combinatorio.
2.Introducción a la
probabilidad.
Excelente tu 
participación
Desaprende tus 
limitaciones y estate 
listo para aprender.
J
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.
C
PARA TI
1.Realiza los 
ejercicios 
propuestos de 
ésta sesión y 
práctica con la 
tarea 
domiciliaria.
2.Consulta en 
el FORO tus 
dudas.
INDICACIONES A TENER EN CUENTE EN ESTA SESIÓN
P
3
T
2
U
1
Video
La clase queda 
grabada para que 
puedas repasar
Materiales
Consulta la 
diapositiva y lista 
de ejercicios
Foro-Tarea
Resolución de 
ejercicios y 
comentarios