S06 s1 - Material - Claudio F Velásquez

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SESIÓN 6
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
Y PROBABILIDADES
MEDIDAS DE POSICIÓN Y 
FORMA
Las medidas de posición, son bastante útiles, porque
permiten dividir a conjunto de datos o muestra en partes
iguales. Se utilizan para clasificar a un individuo o elemento
dentro de dicha muestra o población. Ejemplos: el peso de
las personas tomando en cuenta su edad, al momento de
caminar en línea recta, al lanzar una pelota de baloncesto,
etc.
Al finalizar la sesión de clase, el
estudiante calcula e interpreta
las medidas de posición y de
forma para un conjunto de datos.
LOGRO DE LA SESIÓN
Las medidas de posición, son bastante útiles, porque
permiten dividir a conjunto de datos o muestra en partes
iguales. Se utilizan para clasificar a un individuo o elemento
dentro de dicha muestra o población. Ejemplos: el peso de
las personas tomando en cuenta su edad, al momento de
caminar en línea recta, al lanzar una pelota de baloncesto,
etc.
MEDIDAS DE 
POSICIÓN
MEDIDAS DE FORMA: 
ASIMETRÍA Y 
CURTOSIS
TEMARIO
MEDIDAS DE POSICIÓN
Si el peso del bebé es inferior al percentil
10 para su edad gestacional (lo que
significa que el 90% de los bebés de la
misma edad gestacional pesan más), al
bebé también se le denomina "pequeño
para su edad gestacional".
MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de posición son los valores
que determinan la posición de un dato
respecto a todos los demás datos
previamente ordenados. También se les
conoce con el nombre de cuantiles.
Cuartiles (Qk)
Los cuartiles son tres valores que dividen al
conjunto de datos en cuatro partes iguales.
Deciles	(Dk)
Los	deciles	son	nuevevalores que	dividen al		
conjunto	de	datos	en	diez partes	iguales.
Percentiles (Pk)
Los percentiles son noventa y nueve valores
que dividen al conjunto de datos en cien
partes iguales.
MEDIDAS DE POSICIÓN
Equivalencias:
0% 25% 50% 75% 100%
Q1 Q2 Q3
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Equivalencias:
ü Q2	=	D5	=	P50	= Me
ü Q3	= P75
ü D7	= P70
PERCENTIL
Son 99 valores que dividen al conjunto de datos
ordenados en 100 partes iguales. Cada parte
representa el 1 % del total. Se denotan con:
𝑷𝟏 = primer percentil
𝑷𝟐𝟓=	𝑸𝟏 = percentil 25
𝑷𝟓𝟎=	𝑸𝟐=	𝑴𝒆 = percentil 50
𝑷𝟕𝟓=	𝑸𝟑 = percentil 75
𝑷𝟗𝟗 = percentil 99
1% 𝟏% …… …… 𝟏% 𝟏%
𝑴𝒊𝒏 𝑷𝟏 𝑷𝟐 𝑷𝟓𝟎 𝑷𝟗𝟖 𝑷𝟗𝟗 𝑴𝒂𝒙
si el puntaje alcanzado es 19, entonces se encuentra en el percentil 
67, esto significa que este examinado está mejor posicionado que el 
66% de los examinados
PERCENTIL (Pi)
𝑥
Cálculo	de	percentiles	para	datos	no	agrupados (Pk)
Procedimiento	a seguir:
1.	Ordenar	los	datos	en		
forma	ascendente
2. Calcular la posición del
percentil k-ésimo mediante
la siguienteexpresión:
Posición	=	k	(n	+ 1)
100
3. Ubicar el percentil buscado en
la posición calculada si éste es
un número entero, de lo
contrario dicho valor se calcula
en forma proporcional en base a
la siguiente fórmula:
Pk	=	Li	+	parte	decimal	x	(Ld– Li)
Donde:
Pk:	Percentil k-ésimo.
Li:	Valor	del	dato ubicado en	la	posición	con	el	valor	de	k	aproximado a	entero.		
Ld:	Valor	del	dato superior	o	inmediato a	Li
PERCENTIL
𝑥
Cálculo de percentiles para datos no agrupados (Pk)
Caso: Duración de una batería
Un fabricante de componentes electrónicos se interesa en determinar el tiempo de vida útil
de cierto tipo de batería. Se presenta a continuación una muestra de 24 horas de vida
registradas:
134 122 122 125 126 172 131 180
134 120 136 161 140 140 140 145
146 153 155 159 139 162 128 132
¿Cuál es el valor a partir del cuál se encuentra el 30% superior de los tiempos en
horas de vida útil de las baterías?
PERCENTIL
Cálculo	de	percentiles	para	datos	no	agrupados (Pk)
Caso: Duración de una batería
Solución
1.	Ordenando	los	datos	en	forma ascendente
120 122 122 125 126 128 131 132
134 134 136 139 140 140 140 145
146 153 155 159 161 162 172 180
n=24
2.	Cálculo	de	la	posición	del	percentil	70: (k=70)
Posición = 70 (24+1) =17.5
100
Pidenhallar:
Posición	= 17.5
Nota:	Partedecimal=0.5
PERCENTIL
Cálculo	de	percentiles	para	datos	no	agrupados (Pk)
El	valor	de	17.5	se	encuentra	entre	las	posiciones	 17	y	18	de	los	datos	ordenados	en	forma ascendente:
X17	=	146,	entonces:	Li	=146
X18	=	153,	entonces:	Ld	=153
3.	Cálculo	de P70:
Pk	=	Li	+	parte	decimal	x	(Ld	– Li)		P70	=	146	
+	0.5	x	(153	– 146)
P70	=	149.5	horas
120 122 122 125 126 128 131 132
134 134 136 139 140 140 140 145
146 153 155 159 161 162 172 180
Interpretación:
El	70%	de	los	tiempos	de	vida	útil		registrados	son	
menores	iguales	a	149.5	horas.
PERCENTIL
Caso: Tiempo de espera de clientes
Solución
Se presentan los tiempos de espera (en
minutos) de 11 clientes para ser atendidos en la
ventanilla de un banco:
1.	Ordenando	los	datos	en	forma	ascendente
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏
15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏
8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20
3.	Cálculo	de P30:
2.	Cálculo	de	la	posición	del	percentil	30: (k=30)
Pk	=	Li	+	parte	decimal	x	(Ld	– Li)		P70	=	10 +	
0.6 x	(11 – 10)
P70	=	10.6 minutos
PERCENTIL
Cálculo	de	percentiles	para	datos	agrupados (Pk)
Procedimiento	a seguir:
Paso1:	Calcular	frecuencia	absoluta	acumulada (F)
Paso2:	Ubicar	posición	del percentil
Paso3:	Reemplazar	en	la fórmula
Recuerda!
Donde:
k:	Valor	k-ésimo	según	el	cuantil		Ck:	k-ésimo	valor	del	cuantil.
Li:	Límite	inferior	del	intervalo	donde	se	encuentra	el	valor	del	cuantil	Ck:
c:	Amplitud	de	la	clase
Fi-1:	Frecuencia	acumulada.
fi:	Frecuencia	absoluta	del	intervalo	donde	se	encuentra	el	valor	del	cuantil	Ck:
PERCENTIL
Cálculo	de	percentiles	para	datos	agrupados	(Pk):	Caso	aplicativo
Si	se	ha	registrado		en	el	siguiente	cuadro	los	pagos	adicionales	(soles)	por	concepto	de	horas	
extras	durante	una	semana	de	todos	los	trabajadores	de	una	empresa	constructora
X	(S/.hora	extra)	 fi	(obrero)
[50	– 70> 30
[70	– 90> 50
[90	– 110> 65
[110	– 130> 30
[130	– 150> 25
¿Cuál es el valor a partir del cuál se encuentra el 55% de los obreros con
menores o inferioresmontos por horas extras en semana?
PERCENTIL
Cálculo	de	percentiles	para	datos	agrupados	(Pk):	Caso	aplicativo	empresa	construya
X	(S/.hora	extra)	 fi	(obrero) Fi
[50	– 70> 30 30
[70	– 90> 50
[90	– 110>
[110	– 130> 30 175
[130	– 150> 25 200
Para	el	55%	inferior	de	los	datos	corresponde	k	=	55.
Paso1:	Calcular	(F)
Paso2:	Ubicar	posición	del	percentil	:	K=55
Paso3:	Reemplazar	en	la	fórmula
el	55%	de	los	obreros	tienen	un	tiempo	de	extra	menor	a	99.23	soles
Y	el	otro	45%	de	los	obreros	tiene	un	tiempo	extra	mayor	a	45%
PERCENTIL
Cálculo	de	percentiles	para	datos	agrupados	(Pk):	Caso	aplicativo	en	Android
La empresa SYSTEM S.A.C. se dedica al desarrollo de aplicativos desarrollados en ANDROID para
dispositivos móviles. A la empresa le interesa desarrollar aplicaciones de calidad que tengan el menor
tamaño en MB posible para que los usuarios puedan hacer las descarga más rápidamente en sus
dispositivos móviles. A continuación se presentan los tamaños registrados en MB de 40 aplicaciones
desarrolladas:
Tamaño	del	aplicativo (MB) N° de aplicativos
[0;	10> 8
[10;	20> 12
[20;	30> 7
[30;	40> 10
[40;	50] 3
Total 40
El área de calidad de software de la empresa indicó que si el promedio del tamaño registrado de las
aplicaciones desarrolladas pertenece al 45% inferior de los datos, se le dará un bono a los programadores
a fin de mes. ¿Cuál es la decisión final que tomará el gerentede la empresa?
PERCENTIL
Cálculo	de	percentiles	para	datos	agrupados	(Pk):	Caso	aplicativo	en	Android
Solución:
1.	Cálculo	de	la	marca	de	clase	y	de	la	media:	(condición	del gerente)
Tamaño	del	aplicativo
(MB)
N° de
aplicativos (fi)
Marca de
clase (Xi) Xi. fi
[0; 10> 8 5 40
[10; 20> 12 15 180
[20; 30> 7 25 175
[30; 40> 10 35 350
[40; 50] 3 45 135
Total 40 880
+
𝑋9 =
∑𝑋;𝑓;
𝑛 =
880
40 = 22	𝑀𝑏
PERCENTIL
Cálculo	de	percentiles	para	datos	agrupados	(Pk):	Caso	aplicativo	en	Android
Solución:
2.	Cálculo	de	la	posición	del	percentil:
(k=45)
Tamaño	del	aplicativo		
(MB)
N° de		
aplicativos (fi)
Frecuencia		
acumulada (Fi)
[0; 10> 8 8
[10; 20> 12 20
[20; 30> 7 27
[30; 40> 10 37
[40; 50] 3 40
Total n=40
Para	el	45%	inferior	de	los	datos	corresponde	k	=45.
Paso1:	Calcular (F)
Paso2:	Ubicar	posición	del	percentil	: K=45
𝑘 𝑖𝑛
𝑓
𝑃 = 𝐿 + 𝐶
𝐾𝑛
100	− 𝐹𝑖−1
𝑓𝑖
Paso3:	Reemplazar	en	la fórmula
100
45(40)
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 = = 18
PERCENTIL
Tamaño	del aplicativo		
(MB)
N° de		
aplicativos (fi)
Frecuencia		
acumulada (Fi)
[0; 10> 8 Fi-1		= 8
[10; 20> fi	= 12 Fi		= 20
[20; 30> 7 27
[30; 40> 10 37
[40; 50] 3 40
Total n=40
45𝑃 =	10	+ 10
18	− 8
12
Cálculo	de	percentiles	para	datos	agrupados	(Pk):	Caso:	Aplicativos	en Android
Ubicamos	la	posición	calculada	(Posición	=	18)	en	la	columna	de	frecuencias	acumuladas(Fi).
Reemplazando
𝑃45	=	18.3 MB
Conclusión: Como el valor de la media ( 𝑋 = 22 MB) es mayor que el valor de P45= 18.3 MB,
no se entregará el bono a los programadores a fin de mes; teniendo en cuenta las
indicaciones del área de calidad del software de la empresa.
DECIL (Di )
Son valores que dividen al conjunto en diez 
partes iguales son los deciles y se denotan
𝑫𝟏,	𝑫𝟐,	𝑫𝟑,	…	,	𝑫𝟗
𝑫𝟓=	𝑴𝒆 = quinto decil o decil medio
El histograma muestra la distribución de calificaciones en una
prueba (de 60 puntos) que intentaron 600 estudiantes. El puntaje
de cada alumno está representada por un cuadrado en el
histograma.
El primer decil es 17.5, por lo que la décima parte más débil
de los estudiantes en la clase tenía una marca debajo de esto.
Por lo tanto, este decil resume el desempeño de los
estudiantes más débiles.
Se dice que los estudiantes con calificaciones inferiores a 17.5
están en el decil 1. Aquellos con calificaciones entre 17.5 y 26.5
están en el decil 2, y así sucesivamente, hasta los estudiantes con
calificaciones superiores a 54.5 que están en el decil 10.
DECIL		(Di	)
Cálculo	del	decil para	datos	agrupados (Dk)
Procedimiento a seguir:
Paso1:	Calcular	frecuencia	absoluta	acumulada (F)
Paso2:	Ubicar	posición	del Decil
Paso3:	Reemplazar	en	la fórmula
Recuerda!
Donde:
k:	Valor	k-ésimo	según	el	decil		Dk:	k-ésimo	valor	del	decil.
Li:	Límite	inferior	del	intervalo	donde	se	encuentra	el	valor	del	decil	Dk:
c:	Amplitud	de	la	clase
Fi-1:	Frecuencia	acumulada.
fi:	Frecuencia	absoluta	del	intervalo	donde	se	encuentra	el	valor	del	decil	Dk:
Ubicar la posición calculada en los
valores de la frecuencia acumulada
Fi. (Se sigue el mismo procedimiento
que el percentil)
Cálculo de deciles con datos agrupados
𝑫𝒌=	𝑳𝒊 + 𝑪
𝒌𝒏 −	𝑭𝒊0𝟏𝟏𝟎
𝒇𝒊
, 𝒌 = 𝟏,𝟐, … , 𝟗
Ejemplo:
Paralos salarios de 65 empleados de la empresa P&R 
determinar e interpretar 𝑫𝟑
Cuadro 1. Salarios de empleados de P&R
𝑺𝒂𝒍𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒇𝒊 𝑭𝒊
[𝟐𝟓𝟎;	𝟐𝟔𝟎 > 8 8
[𝟐𝟔𝟎;	𝟐𝟕𝟎 > 10 18
[𝟐𝟕𝟎;	𝟐𝟖𝟎 > 16 34
[𝟐𝟖𝟎;	𝟐𝟗𝟎 > 14 48
[𝟐𝟗𝟎;	𝟑𝟎𝟎 > 10 58
[𝟑𝟎𝟎;	𝟑𝟏𝟎 > 5 63
[𝟑𝟏𝟎;	𝟑𝟐𝟎 > 2 65
𝑫𝟑=	𝟐𝟕𝟎 + 𝟏𝟎
𝟑×𝟔𝟓 −	𝟏𝟖𝟏𝟎
𝟏𝟔 ⇒	𝑫𝟑=	𝟐𝟕𝟎.	𝟗𝟒
𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟑
𝒌𝒏 =	𝟑×𝟔𝟓 =	𝟏𝟗.	𝟓 ⇒	𝑭 =	𝟑𝟒 >	𝟏𝟗.	𝟓
El 3𝟎% de los empleados tiene un salario inferior a
$ 270.94
El 7𝟎% de los empleados tiene un salario superior a
$ 270.94
DECIL (Di )
DECIL		(Di	)
Cálculo	del	deciles	para	datos	agrupados	(Dk):	Caso	aplicativo
La	siguiente	tabla	muestra	el	tiempo	requerido	para	auditor	saldos	de	cuentas.
Tiempo	de	
Auditoria	
Número	de	
Registros				
(fi	)	
[10	– 19> 3
[19	– 28> 5
[28	– 37> 10
[37	– 46> 12
[46	– 55> 20
¿Cuál es el primer decil?
DECIL		(Di	)
Cálculo	del	deciles	para	datos	agrupados	(Pk):	Caso	aplicativo	empresa	construya
X	(S/.hora	extra)	 fi	(obrero) Fi
[10	– 19> 3 3
[19	– 28> 5 8
[28	– 37> 10 18
[37	– 46> 12 30
[46	– 55> 20 50
Paso1:	Calcular	(F)
Paso2:	Ubicar	posición	del	decil :	K=	1
Paso3:	Reemplazar	en	la	fórmula
19	es	el	límite	inferior	de	la	clase	que	contiene	 la	medición	
Kn/10	ó	5,	por	 tanto	el	decil	1	se	encuentra	en	el	segundo	
intervalo	y	su	valor	es	22.6	min.
Son 3 valores que dividen al conjunto de datos 
ordenados en 4 partes iguales. Cada parte 
representa el 25 % del total (un cuarto). Se 
denotan con:
𝑸𝟏 = primer cuartil o cuartil inferior
𝑸𝟐=	𝑴𝒆 = segundo cuartil o cuartil medio
𝑸𝟑 = tercer cuartil o cuartil superior
Cuarto 
inferior
𝟐𝟓%
Cuarto medio 
Inferior
𝟐𝟓%
Cuarto medio 
superior
𝟐𝟓%
Cuarto 
superior
𝟐𝟓%
𝑴𝒊𝒏 𝑸𝟏 𝑸𝟐= 𝑴𝒆 𝑸𝟑 𝑴𝒂𝒙
CUARTIL (Qi )
CUARTIL		(Qi )
Cálculo	de	cuartiles	(Qi)	para	datos	agrupados
Procedimiento	a	seguir:
Paso1:	Calcular	frecuencia	absoluta	acumulada	(F)
Paso2:	Ubicar	posición:		según	el	cuartil	
Paso3:	Reemplazar	en	la	fórmula
Recuerda:
Ubicar la posición calculada en los
valores de la frecuencia acumulada
Fi. (Se sigue el mismo procedimiento
que el percentil)
Cálculo de cuartiles con datos agrupados
𝟐.	Para calcular el cuartil 𝑸𝒌
𝑸𝒌=	𝑳𝒊 + 𝑪 𝟒
𝒌𝒏 −	𝑭𝒊0𝟏
𝒇𝒊
,	𝒌 =	𝟏,	𝟐,𝟑
S𝐞 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐳ó 𝐮𝐧 𝐞𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐨 𝐜𝐨𝐧 𝐥𝐚 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐨𝐜𝐞𝐫 𝐥𝐚
𝐞𝐝𝐚𝐝 𝐞𝐧 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐭𝐫𝐚𝐛𝐚𝐣𝐚𝐝𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐮𝐧 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐭𝐨 𝐩𝐢𝐝𝐢𝐞𝐫𝐨
𝐧 𝐬𝐮 𝐣𝐮𝐛𝐢𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧. 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐩𝐫𝐞𝐭𝐚𝐫 𝑸𝟑
Ejemplo:
Cuadro 2. Edad de Jubilación
𝑬𝒅𝒂𝒅 𝒇𝒊 𝑭𝒊
[𝟔𝟑;	𝟔𝟖 > 71 71
[𝟔𝟖;	𝟕𝟑 > 162 233
[𝟕𝟑;	𝟕𝟖 > 91 324
[𝟕𝟖;	𝟖𝟑 > 79 403
[𝟖𝟑;	𝟖𝟖 > 47 450
𝑸𝟑=	𝟕𝟖 + 𝟓
𝟑×𝟒𝟓𝟎 −	𝟑𝟐𝟒𝟒
𝟕𝟗 ⇒	𝑸𝟑=	𝟕𝟖.	𝟖𝟓
𝒌𝒏 𝟑×𝟒𝟓𝟎
𝟏𝟎 = 𝟒 =	𝟑𝟑𝟕.	𝟓 ⇒	𝑭𝟒=	𝟒𝟎𝟑 >	𝟑𝟑𝟕.	𝟓
El 75%	de los trabajadores se jubiló con una edad 
inferior a 78.85 años
CUARTIL (Qi )
CUARTIL		(Qi )
Cálculo	del	cuartil	para	datos	agrupados	(Qk):	Caso	aplicativo
La	siguiente	tabla	muestra	el	tiempo	requerido	para	auditor	saldos	de	cuentas.
Tiempo	de	
Auditoria	
Número	de	
Registros				
(fi	)	
[10	– 19> 3
[19	– 28> 5
[28	– 37> 10
[37	– 46> 12
[46	– 55> 20
¿Cuál es el segundo cuartil?
CUARTIL		(Qi )
Cálculo	del	cuartil	para	datos	agrupados	(Qk):	Caso	aplicativo	empresa	construya
X	(S/.hora	extra)	 fi	(obrero) Fi
[10	– 19> 3 3
[19	– 28> 5 8
[28	– 37> 10 18
[37	– 46> 12 30
[46	– 55> 20 50
Paso1:	Calcular	(F)
Paso2:	Ubicar	posición	del	cuartil	:	K=2
Paso3:	Reemplazar	en	la	fórmula
37	es	el	límite	inferior	de	la	clase	que	contiene	 la	medición	
Kn/4	ó	25,	por	 tanto	el	cuartil	2	se	encuentra	en	el	cuarto	
intervalo	y	su	valor	es	42.25	min.
MEDIDAS DE FORMA
Las medidas de forma permiten conocer si una distribución de frecuencias tiene
características como: simetría, asimetría, nivel de concentración de datos y nivel de
apuntamiento que la clasifiquen en un tipo particular de distribución. Son medidas de forma
la asimetría y la curtosis.
Asimetría Curtosis
MEDIDAS DE FORMA
Asimetría:
• Son medidas que permiten conocer la formaque tiene la curva que representa al conjunto de
datos.	Nos	brindan	información	sobre	la	dirección	de	la	dispersión	de	los datos.
• Si	esta	dispersión	tiende	hacia	el	lado	derecho,	diremos	que	la	curva	tiene	asimetría	positiva,		
en	caso	contrario	diremos	que	tiene	asimetría negativa.
• Si	las	dispersiones	de	la	curva	son	iguales	diremos	que	la	curva	es simétrica.
negativa Positiva
MEDIDAS DE FORMA
Si	Ak	<	0,	la	distribución	tiene	asimetría	negativa.		
Si	Ak	=	0,	la	distribución	es simétrica.
Si	Ak	>	0,	la	distribución	tiene	asimetría positiva.
Coeficiente	de	asimetría	de	Pearson (Ak)
: media muestral
Me: mediana
S:	desviación estándar
Ak	< 0 Ak	> 0
kA	= 0
𝑥− 𝑀𝑒
𝐴𝑘 = 3 𝑠
MEDIDAS DE FORMA
Tiempo	de	vida	útil (Horas) N° de	componentes (fi)
[500;	700> 6
[700;	900> 12
[900;	1100> 10
[1100;	1300> 8
[1300;	1500] 4
Total 40
Calcular	e	interpretar	el	coeficiente	de	asimetría	correspondiente	a	los	tiempos	en	horas	de	vida	útil		
de	la	muestra	de	40	componentes electrónicos.
Coeficiente de asimetría de Pearson (Ak)
Caso: Componenteelectrónico
Se realiza un estudio sobre el tiempo de vida útil de un componente electrónico. A continuación
se presenta la tabla de datos agrupados por intervalos para una muestra de 40 tiempos en horas
de vida
útil de los componentes electrónicos en estudio:
MEDIDAS DE FORMA
1.	Completando	la	tabla	de frecuencias
Tiempo	de vida
útil (Horas)
N° de
componentes(fi)
Marca	de clase
(Xi)
Frecuencia
acumulada(Fi)
𝒇𝒊 .𝑿𝒊 𝑥𝑖2𝑓𝑖
[500; 700> 6 600 6 3600 2160000
[700; 900> 12 800 18 9600 7680000
[900; 1100> 10 1000 28 10000 10000000
[1100; 1300> 8 1200 36 9600 11520000
[1300; 1500] 4 1400 40 5600 7840000
Total 40 38400 39200000
Coeficiente	de	asimetría	de	Pearson (Ak)
Solución:	Caso:	Componente electrónico
+
Media
Varianza
Desviación estándar
S = 244.74Mediana: Paso1: F
Paso2:	
Paso3:
2.	Calculando	los estadísticos:
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑛
2 =
40
2 = 20
𝑀� = 900 + 200
20− 18
10 = 940
𝑋9 =
∑𝑋;𝑓;
𝑛 =
38400
40 = 960
𝑆� =
∑𝑋;𝑓; − 𝑛𝑋9�
𝑛 − 1
𝑆� =
39200000 − 40 960 �
40 − 1
𝑆� = 59897.44
𝑆 = 59897.44
MEDIDAS DE FORMA
Coeficiente	de	asimetría	de	Pearson (Ak)
Caso:	Componente electrónico
3.	Reemplazando	en	la	fórmula	deAsimetría:
4.	Interpretación:	La	distribución	de	los	datos	presenta	una	asimetría positiva.
𝑥− 𝑀𝑒
𝐴𝑘 = 3 𝑠
𝐴𝑘= 3
960	− 940
244.74
= 0.245
MEDIDAS DE FORMA
P10,	P25,	P75, P90: percentiles𝑢
𝑃75	−	𝑃25
𝐾 =
2(𝑃90	− 𝑃10)
Curtosis
Estas medidas nos brindan información sobre el grado de deformación vertical
de	una		distribución	de	frecuencias	en	comparación	con	la	curva	normal	que	le
corresponde.	Tipos	de	distribuciones	según	su	grado	de curtosis:
MEDIDAS DE FORMA
a)	Si	Ku	<	0.263,	la	distribución	es	Platicúrtica.
b)	Si	Ku	=	0.263,	la	distribución	es Mesocúrtica.
c)	Si	Ku	>	0.263,	la	distribución	es Leptocúrtica.
Coeficiente	de curtosis
Si el grado de apuntamiento es
menor que el de la distribución
normal.
Si el grado de apuntamiento es
igual que el de la distribución
normal.
Si el grado de apuntamiento es
mayor que el de la distribución
normal.
MEDIDAS DE FORMA
Caso:	Casa prefabricada
La resistencia es una característica importante de los materiales utilizados en casas prefabricadas.
Cada uno de los 50 elementos de placa prefabricados se sometieron a prueba de esfuerzo severo
y se registró el ancho máximo (mm) de las grietas resultantes. Los datos registrados para la
muestra en estudio fue la siguiente:
Ancho	máximo	de	la	grieta (mm) N° de	elementos	de	placa (fi)
[0.4;	0.5> 6
[0.5;	0.6> 14
[0.6;	0.7> 10
[0.7;	0.8> 9
[0.8;	0.9] 4
[0.9;	1] 7
Total 50
Calcular	e	interpretar	el	coeficiente	de	curtosis	correspondiente	a	los	anchos	máximos	(mm)	de	las			
grietas	resultantes	para	la	muestra	de	50	elementos	de	placa prefabricados.
Coeficiente	de curtosis
MEDIDAS DE FORMA
2.	Cálculo	de	las	medidas	de posición:
Ancho	máximo de		
la	grieta (mm)
N° de
elementos		de	
placa (fi)
Frecuencia		
acumulada
(Fi)
[0.4; 0.5> 6 6
[0.5; 0.6> 14 20
[0.6; 0.7> 10 30
[0.7; 0.8> 9 39
[0.8; 0.9] 4 43
[0.9; 1] 7 50
Total 50
Percentil Posición Fórmula Valor
P75 37.5 = 0.7+0.1x(37.5-30)/9 0.78
P25 12.5 = 0.5+0.1x(12.5-6)/14 0.55
P90 45 = 0.9+0.1x(45-43)/7 0.93
P10 5 = 0.4+0.1x(5-0)/6 0.48
Recuerde:	paraP75
Paso1:	F
Paso2: Posición 𝐾𝑛100 =
75(50)
100
=	37.5	(4𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣)
Paso3:
𝑃75	=	0.7	+ 0.1.
37.5	− 30
9 = 0.78
P90
P10 
P25
P75
Coeficiente	de curtosis
Caso:	Casa	prefabricada		
Solución:
1.	Completando	la	tabla	de frecuencias:
MEDIDAS DE FORMA
4.	Interpretación:	Los	datos	presentan	una	distribuciónPLATICÚRTICA.
Percentil Valor
P75 0.78
P25 0.55
P90 0.93
P10 0.48
75 25
u
90 10
(P -P )K = 2(P -P )
Ku	=0.255556
Coeficiente	de	curtosis		
Caso:	Casa prefabricada
3.	Reemplazando	en	la	fórmula	de curtosis:
LISTO PARA MIS EJERCICIOS
MEDIDAS DE POSICIÓN Y 
DE FORMA
EJERCICIOS PROPUESTOS
Se tiene los tiempos(minutos) en que 32 niños están frente a una computadora en
casa jugando algún juego On-line
[5,2					6,1> 3
[6,1						7> 5
[7								7,9> 9
[7,9				8,8> 7
[8,8				9,7> 5
[9.7			10.6> 3
TOTAL 32
Halle el Percentil 10 e interprete
EJERCICIOS PROPUESTOS
Se tienen las notas obtenidas en el curso de Administración de Empresas ,
de una muestra de n=80 estudiantes del ciclo 2020-2 de la UTP, información
recopilada por los Estudiantes de la FAYN de la UTP en el mes de abril del
presente año que se dan en el Presente cuadro:
Tabla	de	distribución	de	frecuencias	de	80	estudiantes	del	curso	de	Administración	según	sus	notas
[	Li - Ls		) Xi fi Fi
0 - 4 2 5 5
4 - 8 6 15 20
8 - 12 10 20 40
12 - 16 14 35 75
16 - 20 18 5 80
Total 80
Fuente:	Encuesta	realizada	por	los	Estudiantes	de	FAYN	de	UTP.	Abril		2019	.Lima-Perú
Calcular el Percentil 75 e interpretar
EJERCICIOS PROPUESTOS
El gerente General por víspera del aniversario de la empresa decide otorgar un Bono de reconocimiento siempre y
cuando se cumpla algunas condiciones. Se muestra los minutos adicionales que en los últimos 3 meses los
empleados se han quedado trabajando, una vez finalizada la jornada laboral, de manera voluntaria para cumplir las
metas.
X	(minutos adicionales) fi (empleado)
[50	– 70> 30
[70	– 90> 50
[90	– 110> 65
[110	– 130> 30
[130	– 150> 25
Si el 55% de los empleados tiene un tiempo de permanencia adicional menor o igual a aproximadamente a 99.231
minutos, entonces el gerente general otorgara un bono de compras de mil soles a todos los empleados, sino pasa
ello. Todos se quedarán sin Bono este año. ¿Los empleados recibirándicho bono?
Y ahora nos toca interactuar en CANVAS. Usaremos el
foro de consulta para estar en comunicación
permanente, también tendrás que completar algunas
actividades programadas.
1. ¿Cuál es la diferencia de dato agrupado y no agrupado?
2. Ventajas y desventajas de las medidas de posición.
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO HOY?
FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Medidas de posición
2.Medidas de forma:
Asimetria y curtosis.
Excelente tu 
participación
Desaprende tus 
limitaciones y estate 
listo para aprender.
J
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.
C
PARA TI
1.Realiza los 
ejercicios 
propuestos de 
ésta sesión y 
práctica con la 
tarea 
domiciliaria.
2.Consulta en 
el FORO tus 
dudas.
INDICACIONES A TENER EN CUENTE EN ESTASESIÓN
P
3
T
2
U
1
Video
La clase queda 
grabada para que 
puedas repasar
Materiales
Consulta la 
diapositiva y lista 
de ejercicios
Foro-Tarea
Resolución de 
ejercicios y 
comentarios