Apuntes de circuitos electricos en corriente continua

Vista previa del material en texto

CAPÍTULO4
Corriente eléctrica
El circuito de la figura 4.1 tiene una batería la cual establece una
diferencia de potencial entre sus terminales (bornes). Cuando se cierra el
circuito para encender la ampolleta, la batería invierte energía (química)
para mover carga desde el terminal negativo (potencial bajo) hasta el
terminal positivo (potencial alto). Este movimiento de cargas se hace
en el circuito interno de la batería. Si la batería se mantiene conectada
entonces habrá un flujo constante de carga a través del circuito interno y
las cargas saldrán por el terminal positivo hacia el circuito externo para
pasar a través de la ampolleta. Después de eso, las cargas habrán perdido
energía y volverán a pasar por el terminal negativo. A este flujo de cargas
la llamaremos corriente eléctrica.
Potencial
bajo
Potencial
alto
Corr
iente
C
orriente
Corrie
nte
Figura 4.1: Al conectar la ampolleta,
la batería gastará energía química pa-
ra mover cargas de un potencial bajo a
uno más alto.
Al establecer esta diferencia de potencial, se hace posible que la carga
fluya a través del circuito externo. Este movimiento de carga es natural y
no requiere energía. La figura 4.2 muestra una analogía con el caso gravi-
tacional, donde para elevar un objeto se necesita hacer un trabajo contra
las fuerza de gravedad, es decir hay que aumentar la energía potencial
gravitacional. Para que el objeto vuelva a bajar no se necesita invertir
energía, pues el proceso es espontáneo.
Por otro lado, los cargas (electrones) no fluirán si ambos bornes de
la batería tienen el mismo potencial; las cargas fluirán desde un punto a
otro solamente si existe una diferencia de potencial (voltaje) entre esos
dos puntos. Un voltaje alto resulta en una mayor tasa de flujo de carga
(ver ley de Ohm en sección 4.3). Como ya mencionamos anteriormente
este flujo se llama corriente. La figura 4.3 muestra una analogía con el
caso gravitacional; una persona no se deslizará hacia abajo si no hay
una diferencia de altura; la persona se deslizará solamente si existe una
diferencia de alturas (diferencia de energía potencial gravitatoria) entre
dos puntos. A mayor diferencia de altura resultará en una mayor rapidez
de deslizamiento y esto es equivalente a una mayor cantidad de corriente
fluyendo por el circuito.
106 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)
Potencial
bajo
Potencial
alto
Se requiere energía para mover
un objeto desde un potencial
bajo a un potencial más alto
No se requiere energía para que
el objeto se mueva hacia abajo
Potencial
bajo
Se requiere energía para mover
la carga desde un potencial
bajo a un potencial más alto
No se requiere energía para que
la carga se mueva hacia un
un potencial más bajo.
Borne
negativo.
Potencial bajo.
Borne
positivo.
Potencial alto.
Borne
negativo.
Potencial bajo.
Flu
jo 
al 
int
eri
or 
de
 la
 ba
ter
ía
Flujo a través del circuito
Figura 4.2: Analogía gravitacional: Se
necesita energía para elevar un objeto.
Para que el objeto caiga no es necesario
invertir energía; el proceso es espontá-
neo.
Alto voltaje Bajo voltaje
Alta elevación Baja elevación
Figura 4.3: Otra analogía con el caso
gravitacional. Mayor diferencia de al-
turas es análogo a mayor diferencia de
potencial.
corriente eléctrica 107
4.1 Corriente eléctrica
Vamos a suponer un alambre conductor de sección transversal A (Fig.
4.4). Se define corriente eléctrica como la velocidad o razón con que pasan
las cargas a través de esta superficie. Si ∆Q es la carga que pasa a través
de esta superficie un un intervalo de tiempo ∆t, la corriente promedio es:
Figura 4.4: La corriente tiene que ver
con el número de coulombs de carga que
pasan a través de un punto del circuito
por unidad de tiempo.
Iprom =
∆Q
∆t
Si la carga que fluye a través de A varía en el tiempo, definimos la
corriente instantánea I
I ≡ dQ
dt
La unidad de corriente es el ampere (A)
1A = 1C/s
convención para la dirección de la corriente: Las partícu-
las que transportan carga a través del alambre son los electrones móviles.
La dirección del campo eléctrico dentro del circuito es, por definición, la
dirección que tomaría una carga de prueba positiva. Entonces, los elec-
trones se mueven en la dirección contraria al campo eléctrico. Decimos
que los electrones son los portadores de carga en alambres metálicos. Convención: La dirección de la corrien-
te es opuesta al movimiento de los elec-
trones. Esta convención ha permaneci-
do así sólo por razones históricas.
Dentro de la batería la corriente va desde el terminal negativo al posi-
tivo, mientras que en el circuito externo, la corriente va desde el terminal
positivo al negativo.
4.2 Densidad de corriente
Vamos a introducir este concepto de la forma más sencilla posible.
La densidad de corriente J se define como la cantidad de corriente por
unidad de área. Si tomamos como referencia la figura 4.4
J ≡ I
A
[
A/m2
]
Esta definición sólo es válida si la densidad de corriente es uniforme y
la corriente es perpendicular a la superficie. En realidad la densidad de
corriente es un vector ~J . Si el flujo de carga es a través de cualquier
superficie S, la corriente se puede calcular:
I =
ˆ
S
~J · d ~A
108 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)
4.3 La ley de Ohm
Para muchos conductores de electricidad, la corriente eléctrica que
fluye a través de ellos es directamente proporcional al voltaje aplicado
a ellos. Eso lo ilustramos en la figura 4.3 y se puede expresar matemá-
ticamente por medio de lay de Ohm. Esta ley se puede expresar de dos
formas: forma puntual y forma macroscópica.
4.3.1 Forma puntual de la ley de Ohm
Experimentalmente se encuentra que en un metal, a temperatura cons-
tante, la densidad de corriente ~J es directamente proporcional al campo
eléctrico ~E, es decir Forma puntual de la Ley de Ohm.
~J = g ~E
La constante de proporcionalidad g se llama conductividad.1 Esta ecua- 1 En algunos libros se usa el símbolo σ
que es el mismo símbolo para expresar
la densidad superficial de carga. Aquí
usaremos el símbolo g para evitar con-
fusiones.
ción se llama forma puntual de la ley de Ohm y es una muy buena apro-
ximación para una gran cantidad de materiales conductores. Nosotros
trataremos con medios lineales isotrópicos, donde la conductividad g se
mantiene constante.2 Sin embargo en el caso general g puede depender 2 Materiales óhmicos.
del campo eléctrico g = g( ~E).
También se acostumbra a definir la resistividad µ como el recíproco de
la conductividad3 3 En algunos libros se usa el símbolo ρ
que es el mismo símbolo para expresar
la densidad volumétrica de carga. Aquí
usaremos el símbolo µ para evitar con-
fusiones.
µ =
1
g
que tiene unidades de ohm.metro donde
1 ohm = 1 Ω ≡ 1 volt1 ampere
Consideremos ahora un alambre homogéneo de sección A y largo L
que obedezca a la ley de Ohm con conductividad g (Fig. 4.5).
Figura 4.5: Alambre homogéneo que
obedece la ley de Ohm.
Asumiremos que ~E y ~J son uniformes, bajo estas condiciones ~E y ~J
son perpendiculares a la sección de área A del del cilindro. La corriente
se calcula de la definición básica
J =
I
A
(∗)
Por otro lado notemos que el punto 1 está a mayor potencial que el
punto 2. De esto la diferencia de potencial (positiva) entre los extremos
del alambre es (ver sección 3.7)
V = V21 = EL (∗)
Combinando la ley de Ohm J = gE con (*) y (**)
J =
I
A
= gE = g
V
L
es decir
I
A
= g
V
L
⇒ V = L
gA
I =
µL
A
I
corriente eléctrica 109
Resistividad Coeficiente de
Material µ (Ω.m) temperatura, α (°C−1)
Plata 1.59× 10−8 3.8× 10−3
Cobre 1.7× 10−8 3.9× 10−3
Oro 2.44× 10−8 3.4× 10−3
Aluminio 2.82× 10−8 3.9× 10−3
Tungsteno 5.6× 10−8 4.5× 10−3
Hierro 10× 10−8 5.0× 10−3
Platino 11× 10−8 3.92× 10−3
Plomo 22× 10−8 3.9× 10−3
Aleación nicromoa 1.50× 10−8 0.4× 10−3
Carbono 3.5× 10−8 −0.5× 10−3
Germanio 0.46 −48× 10−3
Siliciob 2.3× 103 −75× 10−3
Vidrio 1010 a 1024
Hule vulcanizado ∼ 1013
Azufre 1015
Cuarzo fundido 75× 1016
Tabla 4.1: Resistividades y coeficientes
de temperatura para diversos materia-
les. Todoslos valores están a 20°C.
aEl nicromo es una aleación de níquel
y cromo usada comúnmente en elemen-
tos calefactores.
bLa resistividad del silicio es muy sensi-
ble a la pureza. El valor puede cambiar
en varios órdenes de magnitud cuando
es dopado con otros átomos.
Tal como muestra la tabla 4.1, la resistividad es una propiedad del ma-
terial. En la práctica, es más conveniente trabajar con el concepto de
resistencia (R). Resistencia es una cantidad numérica que puede ser me-
dida y expresada matemáticamente.
4.3.2 Resistencia
De la expresión V = µLA I definimos la resistencia
4, R 4 Resistividad no es lo mismo que resis-
tencia.
R =
L
gA
=
µL
A
[Ω]
La unidad estándar en el sistema SI es el ohm, representado por la letra
griega omega (Ω). La ecuación R = µL/A muestra que la resistencia
es proporcional a la longitud del alambre e inversamente proporcional al
área transversal del alambre. La figura 4.6 ilustra lo anterior.
(a) Largo constante (b) Área constante
Figura 4.6: Variación de la resistencia
con respecto a la geometría del conduc-
tor, manteniendo la resistividad µ cons-
tante. Si se duplica la longitud de un
alambre, su resistencia se duplica. Si se
duplica su área de sección transversal,
su resistencia disminuye a la mitad.
110 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)
4.3.3 Forma macroscópica de la ley de Ohm
Habiendo definido el concepto de resistencia, ahora podemos expresar
la ley de Ohm de una forma más familiar:
V = IR
Esta es una ecuación predominante en el estudio de circuitos eléctricos.
En la mayoría de los libros se llama a esta ecuación “ley de Ohm”, aunque
algunos autores difieren de este nombre pues esta ecuación simplemente
define resistencia R y sólo provee una relación entre voltaje, corriente y
resistencia.
Figura 4.7: Georg Simon Ohm (1789-
1854) fue un físico y matemático ale-
mán. Ohm empezó a investigar con
celdas electroquímicas (inventadas por
el científico italiano Alessandro Volta).
Ohm descubrió que existe una relación
de proporcionalidad directa entre la di-
ferencia de potencial aplicada y la co-
rriente eléctrica resultante.
Esta ley indica que una diferencia de potencial de 1 volt establecida a
través de un circuito cuya resistencia es 1 ohm, producirá una corriente
de 1 ampere. Si en vez de 1 volt aplicamos 12 volts, la corriente será de
I = 12V/1 Ω = 12A.
La ley de Ohm indica las dos variables que afectan la corriente en
un circuito. Mientras más grande sea el voltaje (diferencia de potencial),
mayor será la corriente. Por otro lado a mayor resistencia menor será la
corriente. La tabla siguiente ilustra esto con algunos valores numéricos:
Voltaje Resistencia Corriente
1.5V 3 Ω 0.50A
3.0V 3 Ω 1.00A
4.5V 3 Ω 1.50A
1.5V 6 Ω 0.25A
3.0V 6 Ω 0.50A
4.5V 6 Ω 0.75A
4.5V 9 Ω 0.50A
La filas 1, 2 y 3 ilustran que al doblar y triplicar el voltaje tiene como
consecuencia doblar y triplicar la corriente en el circuito. Al comparar
las filas 1 y 4 o las filas 2 y 5 se ilustra que al doblar la resistencia, al
corriente se reduce a la mitad.
EJEMPLO 4.1
A B El diagrama muestra un par de circuitos conectado
a una fuente de voltaje, una resistencia (ampolleta).
En cada caso se muestra la corriente que circula por
el circuito. ¿Cuál circuito tiene la mayor resistencia?
Solución: Calculamos la resistencia en cada caso
RA =
V
I
=
6V
1A = 6 Ω RB =
V
I
=
6V
2A = 3 Ω
es decir, el circuito A tiene mayor resistencia.
corriente eléctrica 111
4.4 Conexión de resistencias
en serie: En el circuito de la figura 4.8 tenemos dos resistencias co-
nectadas en serie, donde la corriente I es la misma que pasa por ambas
resistencias.
La diferencia de potencial aplicada a través de las resistencias se dividirá
entre las resistencias:
Figura 4.8: Resistencia equivalente de
dos resistencias en serie.
∆V = V1 + V2
Aplicando V = IR:
∆V = IR1 + IR2 = I(R1 +R2)
vemos que podemos definir una resistencia equivalente
Req = R1 +R2
La generalización para varias resistencias en serie es
Req = R1 +R2 +R3 + · · ·+RN
en paralelo: En el circuito de la figura 4.9 tenemos dos resistencias
conectadas en paralelo, donde ambas están a la misma diferencia de po-
tencial. Además la corriente I de bifurca en I1 y I2 y como la carga debe
conservarse
I = I1 + I2
De la expresión I = V /R obtenemos
I = I1 + I2 =
∆V
R1
+
∆V
R2
= ∆V
(
1
R1
+
1
R2
)
=
∆V
Req
112 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)
Figura 4.9: Resistencia equivalente de
dos resistencias en paralelo.
donde Req es la resistencia equivalente del circuito
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
La generalización para varias resistencias en paralelo es
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
+ · · · 1
RN
4.5 Potencia eléctrica y energía disipada
La mayor parte de la energía que usamos, es la energía eléctrica la
cual es enviada hacia nuestras casas y lugares de trabajo. El transporte y
entrega eficiente de esa energía es de gran importancia. Aquí vamos a ver
el rol de la resistencia eléctrica en el transporte de la energía eléctrica.
Figura 4.10: Efecto Joule: cuando la co-
rriente pasa por la resistencia se produ-
ce una caída de potencial.
Cuando por conductor circula una corriente eléctrica, parte de la ener-
gía cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques
que sufren con los átomos del material, en consecuencia la temperatura
del conductor aumenta.5
5 ”efecto Joule”De acuerdo a la figura 4.10 las cargas eléctricas que atraviesan una
resistencia entran con una energía qV1 mayor que con la que salen qV2.
La diferencia de energía es:
∆U = qV2 − qV1 = q(V2 − V1) = qIR
Esta diferencia de energía, ∆U , es entregada a la resistencia en forma de
calor el cual se disipa y sale del circuito por radiación y por convección.
corriente eléctrica 113
Más que la energía disipada, en los circuitos eléctricos, estamos más in-
teresados en la rapidez con que se disipa esa energía. La rapidez con la
que las cargas pierden la energía es la potencia disipada en la resistencia
R6 6 Potencia es energía por unidad de
tiempo. En estricto rigor se define como
P =
dU
dt
P =
∆U
∆t
=
∆
∆t
(qIR) = IR
∆q
∆t
y como I = ∆q/∆t, la potencia se expresa como:
P = I2R [W]
La unidad de potencia es el Watt (1W = 1 J/s).
Considerando que V = IR podemos expresar la potencia de tres for-
mas:
P = I2R = V I =
V 2
R
EJEMPLO 4.2
En el circuito de la figura, clasifique los valores de corriente de los puntos a a f ,
de mayor a menor.
Solución: La corriente que sale de la batería pasa por a, llega al nodo y se
divide en Ic y Ie, es decir Ia = Ic + Ie, por lo tanto Ia > Ic y Ia > Ie, además
es fácil ver que Ia = Ib y Ic = Id y Ie = If . Puesto que las dos ampolletas están
sometidas a la misma diferencia de potencial ∆V , de la expresión de potencia
P = V I, vemos que
Ie =
30W
∆V
y Ic =
60W
∆V
entonces podemos concluir que Ic > Ie. Finalmente podemos expresar todo como
Ia = Ib > Ic = Id > Ie = If
EJEMPLO 4.3: Caída de potencial en un circuito
A
H
B C
D
E
FG
A
H
B
C D
E F
G
Un diagrama de potencial eléctrico es una manera conveniente para representar las diferencias de potencial
en diferentes puntos de un circuito. La figura (izquierda) muestra un circuito simple con una fuente de voltaje
de 12V y tres resistencias en serie. Cuando la carga ha atravesado todo el circuito externo habrá perdido
12V de potencial eléctrico. Esta pérdida en potencial eléctrico se llama caída de potencial. Esta caída de
potencial ocurre porque la energía eléctrica de la carga es transformada en otras formas de energía (térmica,
114 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)
luz, mecánica, etc) cuando pasa por las resistencias. Por cada resistencia en la figura , ocurre una pérdida
de potencial (∆V < 0) y la la suma de estos voltajes debe ser 12V
12V = 3V+7V+2V
El diagrama de la derecha ilustra lo anterior.
CAPÍTULO6
Circuitos
Entre las aplicaciones prácticas más útiles de la electricidad está el
flujo de corriente eléctrica en un circuito cerrado bajo la influencia de
una fuente de voltaje. Un circuito completo involucrael uso de alambres
conductores y elementos del circuito tales como resistencias, condensado-
res e inductores. En este capítulo recordaremos algunas ideas acerca de
campo eléctrico y potencial para el análisis de circuitos eléctricos.
6.1 Leyes de Kirchhoff
Uno de los objetivos principales de la teoría de circuitos es saber cuales
son las corrientes que circulan por un circuito determinado. Ahora vamos
a ocuparnos de corrientes estacionarias, es decir corrientes en circuitos de
corriente continua.
Vamos a comenzar por definir el concepto de fem (fuerza electromo-
triz)1 de una batería, que el es máximo voltaje que la batería puede 1 Por razones históricas se usa este tér-
mino desafortunado; no es una fuer-
za sino una diferencia de potencial en
volts.
suministrar entre sus terminales.
En una batería real que está hecha de materiales conductores hay una
resistencia al paso de las cargas dentro de la batería. Esta resistencia
se llama resistencia interna r. Si miramos la figura 6.1, podemos esque-
matizar la batería internamente. Si hay una corriente circulando por el
circuito (circuito cerrado), la diferencia de potencial entre los puntos a y
d no es igual a la fem ε. Si una carga pasa desde a hasta b su potencial se
ve incrementado en ε y cuando pasa por la resistencia interna el potencial
disminuye en Ir por lo tanto Estructura interna de la batería
Figura 6.1: Estructura interna de una
batería.
∆V = Vd − Va = ε− Ir
Pero ∆V debe ser también la diferencia de potencial entre e y f de la
resistencia R (resistencia de carga) que está dada por IR
IR = ε− Ir
de aquí se tiene que
ε = I(R+ r) ó I = ε
R+ r
En un circuito cerrado como el de la figura 6.1, si medimos con un
instrumento (voltímetro), la diferencia de potencial ∆V = Vd − Va,
lo que estaremos midiendo, en realidad, es la tensión de la batería (el
154 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)
valor práctico) menos la caída de tensión Ir debido a la resistencia
interna.
En un circuito abierto (no existe ningún circuito conectado a
la batería) no circula corriente, por lo tanto el voltímetro mediría
∆V = Vd− Va ≈ ε. Ponemos el signo de aproximación (≈) porque el
voltímetro también tiene una pequeña resistencia interna.
Un circuito puede consistir de varias ramas o mallas cada una con
una fem distinta. El problema central del análisis de circuitos consiste en
que dadas las resistencias y las fems de cada rama, se pide encontrar las
corrientes que circulan por cada una de las ramas. Por ejemplo la figura
6.2 muestra un circuito donde las cinco resistencias y las dos fems son
conocidas. El problema consiste en determinar las seis corrientes.
Figura 6.2: Un circuito ejemplo donde
las incógnitas son las seis corrientes.
Para resolver este problema necesitamos formular las dos leyes de
Kirchhoff
1. la suma algebraica de las corrientes que fluyen ha-
cia un nodo es cero, es decir
∑
Ij = 0
Esta ley es una manifestación de que la carga no se acumula en un
nodo del circuito debido al régimen estacionario de la corriente.
Dirección de recorrido del circuito
Figura 6.3: Reglas para determinar las
diferencias de potencial a través de una
resistencia y una batería. (Se supone
una batería sin resistencia interna) Ca-
da elemento de circuito es atravesado
de izquierda a derecha como indica la
flecha de arriba.
2. La suma algebraica de las fems en cualquier malla del circuito es igual
a la suma algebraica de los productos IR en esa malla, es decir
∑
εi =
∑
IjRj ⇐⇒
∑
εi −
∑
IjRj = 0
Esta ley es una generalización de la expresión ε = IR+ Ir que obtu-
vimos para una batería.
circuitos 155
Con estas dos leyes estamos en condiciones de resolver el problema de
la figura 6.2. Se pueden establecer seis ecuaciones para determinar las
corrientes que son las seis incógnitas. Por ejemplo:
−I1 + I3 + I5 = 0
ε1 = I6R6 + I5R5 + I1R1 etc
Para aplicar la segunda ley, podemos imaginarnos moviéndonos alre-
dedor de una malla y considerando cargas en un potencial eléctrico en
vez de cambios en energía potencial. La figura 6.3 ilustra cuatro casos de
la convención de signos para determinar las diferencias de potenciales a
través de una resistencia y una batería.
EJEMPLO 6.1
En el circuito de la figura, la batería tiene una resistencia interna despre-
ciable. Encontrar:
(a) La corriente en cada resistencia
(b) La diferencia de potencial entre los puntos a y b.
(c) La potencia suministrada por cada batería.
Solución: Asignamos tres corrientes como muestra la figura de abajo.
(a) En el nodo a aplicamos la primera ley de Kirchhoff
I1 + I2 = I3
Con el nodo b obtenemos la misma información así que no nos sirve. En la malla de la izquierda aplicamos
la segunda ley (recorrido horario �):
+12− 4I1 − 6I3 = 0
Si hacemos lo mismo para la malla exterior del circuito
12− 4I1 + 3I2 − 12 = 0 ⇒ −4I1 + 3I2 = 0
De estas tres ecuaciones se obtiene
I1 = 0.667A I2 = 0.889A I3 = 1.56A
(b) Aplicamos la ley de Ohm para obtener la diferencia de potencial entre
los puntos a y b
∆Vab = (6 Ω)I3 = (6 Ω)(1.56A) = 9.36V
(c) La potencia en cada batería se calcula con P = V I
Pizq = (12V)I1 = (12V)(0.667A) = 8.00W
Pder = (12V)I2 = (12V)(0.889A) = 10.7W
156 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)
EJEMPLO 6.2
En el circuito de la figura se pide determinar las tres corrientes.
Solución: Aplicando la primera regla de Kirchhoff en cualquiera de
los dos nodos (b) o (c)
I1 + I2 = I3
Ahora aplicamos la segunda regla de Kirchhoff a la malla (abcda)
10.0V− (6.0 Ω)I1 − (2.0 Ω)I3 = 0
Para la malla (befce)
−14.0V+ (6.0 Ω)I1 − 10.0V− (4.0 Ω)I2 = 0
Tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, las cuales forman un sistema de tres ecuaciones lineales:
I1 + I2 − I3 = 0
3I1 + I3 = 5
3I1 − 2I2 = 12

Aunque este sistema de ecuaciones es sencillo de resolver, una forma cómoda de resolverlo es usar el método
de eliminación gaussiana, que consiste en transformar este sistema de ecuaciones en una matriz aumentada
y luego efectuar operaciones entre filas:
1 1 −1 0
3 0 1 5
3 −2 0 12
 (1) + (2)−−−−−−→

1 1 −1 0
4 1 0 5
3 −2 0 12
 2× (2) + (3)−−−−−−−−−→

1 1 −1 0
4 1 0 5
11 0 0 22

De aquí se desprende fácilmente que 11I1 = 22⇒ I1 = 2.0. También de la fila (2): 4(2)+ I2 = 5⇒ I2 = −3.0.
De la primera fila: 2− 3− I3 = 0⇒ I3 = −1.0
I1 = 2.0A I2 = −3.0A I3 = −1.0A
Las corrientes I2 e I3 son negativas, indicando en realidad que estas corrientes van en el sentido contrario
en la figura.
circuitos 157
EJEMPLO 6.3
En el circuito de la figura, si está en condiciones estacionarias, encontrar las corrientes.
Solución:
En primer lugar hay que notar que en la figura de la izquierda solo se han dibujado sólo tres corrientes, pero
ninguna en el trazo (ah). La razón es que estamos en condiciones estacionarias donde el condensador ya se
ha cargado completamente y ya no recibe más carga, por lo tanto Iah = 0. Entonces el circuito se reduce a
la figura del lado derecho donde la corriente Ibg = I1.
En el nodo (c) o (f) se cumple
I1 + I2 = I3
En la malla (defcd) hacemos el recorrido horario �
4− 3I2 − 5I3 = 0
En la malla (cfgbc) �
+3I2 − 5I1 + 8 = 0
Con estas tres ecuaciones construimos la matriz aumentada:
1 1 −1 0
0 3 5 4
5 −3 0 8
−5× (1) + (3)−−−−−−−−−−→

1 1 −1 0
0 3 5 4
0 −8 5 8
−1× (2) + (3)−−−−−−−−−−→

1 1 −1 0
0 3 5 4
0 −11 0 4

De esto se ve de inmediato que −11I2 = 4 ⇒ I2 = −4/11 = −0.364. Los otros dos valores se obtienen
sustituyendo I2.
I1 = 1.38A I2 = −0.364A I3 = 1.02A
¿Cual es la carga en el condensador?
Solución: Si aplicamos la segunda regla en la malla (bghab) nos estamos moviendo en el sentido horario
−8 + ∆VC − 3 = 0 ⇒ ∆VC = 11.0V
y la carga se obtiene de Q = C∆VC , luego
Q = 66.0µC
158 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)
EJEMPLO 6.4
En el circuito de la figura calcular la diferencia de potencial entre los
puntos a y b e identificar el punto que está a mayor potencial.
Solución: En la malla asignamos una corriente I y aplicamos la segunda
regla de Kirchhoff (�)+12− 2I − 4I = 0 ⇒ I = 2.0A
Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la malla de la derecha, en sentido
antihorario (	), teniendo en cuenta que por la resistencia 10.0 Ω no hay corriente
(Va − Vb) + 4.0V− (2.0A)(4.0 Ω)− (0.0A)(10.0 Ω) ⇒ Vb − Va = −4.0V
El signo negativo indica que el punto a está a mayor potencial.
EJEMPLO 6.5
Considere el circuito de la figura con un condensador descarga-
do. Use sus conocimientos de como se comportan los conden-
sadores en los circuitos para encontrar:
(a) La corriente inicial a través de la batería justo después que
se cierra el interruptor.
(b) La corriente estacionaria (continua) a través de la batería
cuando ha pasado mucho tiempo después que se ha cerrado el
interruptor.
(c) El voltaje máximo a través del condensador.
Solución:
(a) Aplicamos Kirchhoff a la malla exterior del circuito, asignando una corriente en sentido horario.
+120V− I0R− VC = 0
El signo menos en el voltaje del condensador es porque estamos recorriendo la malla (�) en la dirección de la
placa positiva a la placa negativa del condensador. Como el condensador está descargado al inicio, entonces
VC = 0, luego
120V− I0(1.2× 106 Ω) = 0 ⇒ I0 = 0.100mA
Notar que por la resistencia de 600 kΩ no hay corriente, pues el condensador actúa como un cortocircuito.
(b) Cuando ha pasado mucho tiempo (t = ∞), el condensador está car-
gado y ya no circula corriente por la rama donde está el condensador; el
circuito se reduce a una fuente voltaje con dos resistencias en serie. La
corriente se calcula
I∞ =
120V
1.2× 106 Ω + 600× 103 Ω = 66.7µA
(c) El máximo voltaje a través del condensador es igual a la diferencia de potencial entre los puntos a y b
circuitos 163
PROBLEMAS
6.1 En el circuito, las baterías ideales tienen fems ε1 = 150V y ε2 = 50V. Las resistencias son R1 = 3.0 Ω y
R2 = 2.0 Ω. Si el potencial en P es 100V, ¿Cuál es el potencial en Q?
Sol.: –10V.
6.2 En el circuito de la figura:
(a) Encontrar la corriente en cada parte del circuito. Después de eso, dibujar en el diagrama la magnitud y
dirección correcta de la corriente en cada parte del circuito.
(b) Asignar V = 0 al punto c y calcular el potencial en todos los puntos (a hasta f).
Sol.: (a) I12Ω = 2A, I3Ω = 3A, I6Ω = 1A, I3Ωp = 2A, I6Ωp = 1A; (b) Vd = 21V, Ve = 15V, Vf = 15V,
Va = 33V, Vb = 9V.
6.3 En el circuito de la figura:
(a) Encontrar la corriente en cada rama.
(b) Encontrar la energía disipada en la resistencia de 4 Ω en 3 s.
Sol.: (a) I4Ω = 1.5A, I3Ω = 2.0A, I2Ω = 0.5A; (b) 27 J.
6.4 El interruptor S ha estado cerrado por un largo tiempo y el circuito lleva una corriente constante. Suponer
que C1 = 3.00µF, C2 = 6.00µF, R1 = 4.00 kΩ y R2 = 7.00 kΩ. La potencia disipada en R2 es de 2.40W.
(a) Encontrar la carga final en C1.
(b) Ahora se abre el interruptor. Después de muchos milisegundos, ¿Cuánto ha cambiado la carga en C2?