Funciones Cálculo Diferencial e Integral

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
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Definición de Función 
Fecha: _______________ 
 
 
Definición de función 
Una función es la relación entre dos conjuntos A y B de tal manera que a cada elemento del conjunto A (llamado dominio de 
la función) le corresponde uno y solamente un elemento del conjunto B (llamado contradominio de la función); y la relación 
de elemento a elemento se llama regla de correspondencia. 
Toda función consta de 3 partes: 
 Dominio 
 Contradominio 
 Regla de correspondencia 
NOTA: el dominio y el contradominio son conjuntos y la regla de correspondencia es una ecuación que relaciona a 2 variables. 
Por definición, una función está bien definida si se conocen las tres partes de la función. 
Ejemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
1 
A 
𝒇 es función 
B 
 
 
𝒇 es función 
a 
b 
1 
2 
A 
B 
 
B 
 
 
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𝒇 no es función porque el elemento 
a está relacionado con dos 
elementos diferentes de B 
 
 
 
𝒇 no es función porque el elemento b no 
está relacionado con ningún elementos de B 
 
 
 
A B 
𝒇 es función 
a 
 
b 
1 
2 
3 
a 
b 
1 
2 
A B 
a 
b 
1 
2 
A B 
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Definición de función real de variable real 
Fecha: _______________ 
 
 
Definición de función real de variable real 
 
Una función real de variable real es una función que tiene como dominio: 
𝑨 ∁ 𝑹 y contra dominio igual a los 𝑹; y la regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = 𝑦. 
 
La notación matemática de una función real de variable real es: 
𝒇: 𝑨 → 𝑹; 𝑨∁𝑹 
𝑓(𝑥) = 𝑦 Se lee 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑦 
La imagen de 𝑥 bajo 𝑓 es 𝑦 
 
De donde: 
𝑥 se llama variable independiente (𝑣𝑖) 
𝑥 se llama variable dependiente (𝑣𝑑) 
Además, 
𝑥 = 𝑣𝑖 toma valores en el Dominio de 𝑓 (𝑥 𝜖 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴 ∁ 𝑹) 
𝑦 = 𝑣𝑑 toma valores en el Contradominio de 𝑓 (𝑦 𝜖 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚 𝑓 = 𝑹) 
Tanto 𝑥 como 𝑦 se llaman variables reales de 𝑓. 
Por otro lado, el conjunto de las imágenes de 𝑓, se llama Rango de la función, en términos de conjuntos: 
Rango de 𝑓 = {𝑦𝜖𝑹| 𝑦 = 𝑓(𝑥)} ⊂ Contradominio de 𝑓 
Grafica de 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝑹2| 𝑓(𝑥) = 𝑦, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓} ⊂ 𝑹2 
Se dice que 𝑓 esta bien definida si se conoce: Dominio, Contradominio y regla de correspondencia. 
Criterio para hallar 𝑫𝒐𝒎 𝒇. 
Encontrar el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 es encontrar el conjunto donde la variable independiente toma valores reales de tal manera que su 
imagen existe y es real. 
 
 
 
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Ejemplos de función real de variable real 
Fecha: _______________ 
 
 
Ejercicios 
 
En los ejercicios 1-3 deja bien definida cada función, emplear la notación correspondiente, decir el tipo de función. Trazar la 
gráfica y hallar el rango. 
 Ejercicio 1 
𝑓(𝑥) = 𝑥 
Solución 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 
Variables reales 
 𝑣𝑖 = 𝑥 𝜖 𝐷𝑜𝑚 𝑓 =? ? 
 𝑣𝑑 = 𝑦 𝜖 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑑 𝑓 = 𝑹 
*Encontrar el 𝐷𝑜𝑚 𝑓. 
Encontrar el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 es encontrar el conjunto donde la variable independiente toma valores reales de tal manera que su 
imagen exista y sea real. 
De acuerdo a la definición anterior: 
∀ 𝑥 ∈ 𝑅, ∃ 𝑦 ý 𝑦 ∈ 𝑅 
Por tanto, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 
 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 𝑅 
 Regla de correspondencia 𝑓(𝑥) = 𝑥 
Podemos decir que 𝑓 es una función real de variable real o bien 
𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 
𝑓(𝑥) = 𝑦 
 
 
 
 
 
x 
y 
Rango 𝑓 = 𝑹 
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Ejemplos de función real de variable real 
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Ejercicio 2 
Sea 𝑓(𝑥) =
𝑥2−𝑥−2
𝑥−2
 
Solución 
Sea 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥 − 2
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
𝑥 − 2
 
𝑓(𝑥) = ((𝑥 − 2)
1
𝑥 − 2
) (𝑥 + 1) 
𝑓(𝑥) = (1)(𝑥 + 1), 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 2 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 2 
Variables reales 
 𝑣𝑖 = 𝑥 𝜖 𝐷𝑜𝑚 𝑓 =? ? 
 𝑣𝑑 = 𝑦 𝜖 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑑 𝑓 = 𝑹 
*Encontrar el 𝐷𝑜𝑚 𝑓. 
Encontrar el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 es encontrar el conjunto donde la variable independiente toma valores reales de tal manera que su 
imagen exista y sea real 
 ∃ 𝑦 = 𝑥 + 1, si 𝑥 ≠ 2 , 𝑥 𝜖 𝑅 − {2} 
 Por tanto, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 – {2} 
Por tanto, 𝐷𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 – {2} 
 𝐶𝐹 = 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 𝑅 
 𝑅𝐶 =Regla de correspondencia: 𝑦 =
𝑥2−𝑥−2
𝑥−2
 ó bien 𝑦 = 𝑥 + 1, si 𝑥 ≠ 2 
Notación: 𝑓: 𝑅 − {2} → 𝑅 
 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 2 
Gráfica de 𝑓 
𝑦 = 𝑥 + 1 es de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde la pendiente de la recta es 𝑚 = 1 y 𝑏 = 1 y la ordenada al origen es 
 𝑝 = (0,1) 
Se propone 𝑥 = −1, por lo tanto 𝑦 = 0, y se tiene el punto con coordenadas 𝑄 = (−1,0) 
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Ejemplos de función real de variable real 
Fecha: _______________ 
 
 
 
 
Sabemos que la recta pasa por los puntos 𝑝 = (0,1) y 𝑄 = (−1,0), como se muestra en la gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si 𝑥 = 2, entonces 𝑦 = 2 + 1 => 𝑦 = 3 
 
⇒ (2,3) ∉ a la recta 𝑦 = 𝑥 + 1 
 
Rango de 𝑓 = 𝑅 – {3} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
Rango 𝑓 = 𝑹 
3 
2 
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Funciones seccionalmente definidas 
Fecha: _______________ 
 
 
 
Funciones seccionalmente definidas 
 
Son funciones que están definidas con dos o más intervalos (o tramos). 
En los siguientes ejemplos determinar Dominio de la función, Contradominio de la función, Regla de correspondencia, trazar 
la gráfica de la función y obtener el rango: 
Ejemplo 1 
 
ℎ(𝑥) = 𝑦 = {
−1 𝑠𝑖 𝑥 < −1
1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
3 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
 
 
 
De forma equivalente tenemos que: 
 
𝑦 = {
−1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, −1)
1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−1,1]
3 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (1, +∞)
 
 
 
Grafica de la función ℎ(𝑥): 
 
 
 
 
 
 
 Dominio ℎ = (−∞, −1) ∪ [−1,1] ∪ (1, +∞) 
Domino ℎ = 𝑹 
Contradominio ℎ = 𝑹 
La regla de correspondencia es ℎ(𝑥) = {
−1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, −1)
1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−1,1]
3 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (1, +∞)
 
Grafica de ℎ = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑹2|𝑦1 = −1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, −1), ó 𝑦2 = 1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−1,1], ó 𝑦3 = 3 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (1, +∞) } 
 
1 
3 
 
 
 
1-1 
 
 
 
 
-1