CAMPO ELECTROSTATICO II

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ELECTROMAGNETISMO Y ELECTROTECNIA
CAMPO ELÉC TRICO 11
CLASE 4
VIERNES 25 DE AGOSTO DE 2022
APRENDIZAJES ESPERADOS
1) Calcular campo eléctrico de distribuciones continuas de carga con densidades de carga 
uniforme y no uniforme.
CONTENIDOS
1) Campo eléctrico de hilos rectos (largo finito y muy largo) provistos de densidades de 
carga constante o variable.
2) Campo eléctrico en el eje de un anillo con densidad de carga uniforme
3) Campo eléctrico en el eje de un disco delgado con densidad de carga uniforme.
4) Campo eléctrico de un plano infinito con densidad de carga uniforme. 
CAMPO ELÉCTRICO DE DISTRIBUCIONES DE CARGA NO PUNTUALES. Hasta el momento
hemos visto campos eléctricos de cargas puntuales. Nos extenderemos ahora al problema
de calcular campos eléctricos para distribuciones de carga no puntuales, tales como hilos,
anillos, discos y plan. Usualmente la carga distribuida en el cuerpo cargado se caracteriza
mediante un función escalar llamada densidad de carga.
CAMPO ELÉCTRICO DE HILO RECTO Y FINITO. Asumamos el hilo en el eje Z con extremos
en (0,0,a) y en (0,0,b). La distribución de carga en el hilo la describimos mediante una
densidad de carga lineal  definida como
𝜆 =
𝑑𝑞
𝑑𝑙
(𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑) (1)
Si la carga está distribuida uniformemente, entonces  es constante y en este caso 𝜆 =
𝑄
𝐿
. Q 
carga total del hilo, L largo del hilo, L = b-a. Para el cálculo del campo usamos:
1) Campo eléctrico de carga puntual
2) Principio de superposición
Z
z  𝑑𝐸

b P
Ԧ𝑟 − 𝑟´
dq =dz´ Ԧ𝑟 z
𝑟´ = 𝑧´෠𝑘
a
Y
 
X
Calculamos el campo en el punto P de coordenadas (,
, z). Elegimos en el hilo un elemento de diferencial
de carga dq. El campo eléctrico en el punto P debido al
elemento diferencial de carga dq es
𝑑𝐸 = 𝑘
𝑑𝑞(Ԧ𝑟 − 𝑟´)
Ԧ𝑟 − 𝑟´
3
Ԧ𝑟 = 𝜌 ො𝜌 + 𝑧෠𝑘; Ԧ𝑟´ = z´෠𝑘 ; 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑧´ ; 𝑧 − 𝑧´ = 𝜌 tan𝛼
Ԧ𝑟 − 𝑟´ = 𝜌 ො𝜌 + (𝑧 − 𝑧´)෠𝑘
Ԧ𝑟 − 𝑟´
3
= 𝜌2 + (𝑧 − 𝑧´)2 3/2 = 𝜌2 + 𝜌2𝑡𝑎𝑛2𝛼 3/2
Ԧ𝑟 − 𝑟´
3
= 𝜌3𝑠𝑒𝑐3𝛼
Cambio de variable: 𝑧´ = 𝑧 − 𝜌 tan𝛼 ; 𝑑𝑧´ = − 𝜌𝑠𝑒𝑐2𝛼𝑑𝛼
𝐸 = 𝑘 𝑎׬
𝑏 Ԧ𝑟 − 𝑟´ 𝑑𝑞
Ԧ𝑟 − 𝑟´
3 = 𝑘𝜆 𝑎׬
𝑏 𝜌(ෝ𝜌+෠𝑘 tan 𝛼)(−𝜌𝑠𝑒𝑐2𝛼𝑑𝛼)
𝜌3𝑠𝑒𝑐3𝛼
𝐸 = −
𝑘𝜆
𝜌
න
𝛼1
𝛼2
ො𝜌 cos 𝛼 + ෠𝑘 sin 𝛼 𝑑𝛼
𝐸 =
𝑘𝜆
𝜌
𝑠𝑒𝑛𝛼1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼2 ො𝜌 − (𝑐𝑜𝑠𝛼1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼2 )෠𝑘 (2)
El campo admite dos componentes. La componente según ො𝜌 es
perpendicular al hilo y la componente según ෠𝑘 es paralela al hilo.
La expresión (2) se puede usar para calcular el campo en todo el
espacio salvo en los puntos donde está el hilo.
Z
𝐸𝑧
z  𝐸
2 P 
𝐸𝜌
1
b
a
o
¿Qué sucede si el punto P es un punto del eje Z?
Cuando el punto P se aproxima al eje z, los ángulos 1 y 2 tienden 
a /2 y la coordenada  tiende a cero, con esto en la expresión
𝑠𝑒𝑛𝛼1−𝑠𝑒𝑛𝛼2
𝜌
tanto el numerador como el denominador tienden a cero y el límite
está indeterminado. Mediante la regla de L´hopital vemos que la
expresión tiende a cero.
Para la componente paralela al eje Z, escogemos el punto a en el
origen y el punto b en z = L
𝑐𝑜𝑠𝛼1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼2
𝜌
=
1
𝜌
𝜌
𝑧2 + 𝜌2
−
𝜌
𝜌2 + 𝑧 − 𝐿 2
Aplicamos ahora el limite cuando  tiende a cero. Se obtiene
𝐸𝑧 = 𝑘𝜆
1
𝑧−𝐿
−
1
𝑍
෠𝑘 (3)
Z
z 
P 
2
1
L
0
¿Qué sucede si P es un punto de la simetral del hilo recto de largo L.?
La figura muestra la situación cuando p es un punto de la simetral de hilo recto de largo 
L.
𝐸 =
𝑘𝜆
𝜌
𝑠𝑒𝑛𝛼1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼2 ො𝜌 − (𝑐𝑜𝑠𝛼1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼2 )෠𝑘
Los ángulos 1 y 2 se miden desde la simetral tal como
se muestra en la figura. Son del mismo valor de signos 
diferentes 1 = ; 2 =-. 
Reemplazando en la ecuación de más arriba 
𝐸 =
𝑘𝜆
𝜌
2 sin𝛼 ො𝜌 = 2kλ
𝐿
2
𝜌 𝜌2+
𝐿
2
2
ො𝜌 =
𝑘𝜆𝐿
𝜌 𝜌2+
𝐿
2
2
ො𝜌 (4)
b
L/2
2 = -
 P 
1 =  𝐸
L/2
a
Observemos que si el largo L del hilo tiende a infinito
( a→ - y b→ +) los ángulos tienden a +/2 y -/2.
El campo resulta ser
𝐸 = 2
𝑘𝜆
𝜌
ො𝜌 (5)
El campo es radial, perpendicular al hilo, las líneas de campo
son rectas que divergen desde el hilo al infinito y
perpendiculares al hilo.
Z
b=L
2 𝐸

1
a = 0
EJERCICIO 1. Considere un hilo recto de largo L con un extremo en el origen de
coordenadas y el otro en el punto z = L ( el hilo está en el eje Z). La densidad del hilo
cargado es  (constante). En el punto z = 2L hay una carga puntual –Q. determine la
fuerza ejercida por el hilo sobre esta carga puntual –Q.
Z
z = 2L 𝐸
-Q
L
SOLUCIÓN. Usamos la ecuación (3) que nos da el campo en puntos
del eje Z.
𝐸𝑧 = 𝑘𝜆
1
𝑧−𝐿
−
1
𝑍
෠𝑘
La coordenada z tiene al valor z = 2L, reemplazando en la
ecuación anterior se obtiene
𝐸 =
𝑘𝜆
2𝐿
෠𝑘
La fuerza sobre –Q es Ԧ𝐹 = −𝑄𝐸 = −
𝑘𝜆𝑄
2𝐿
෠𝑘
EJERCICIO 2. Considere un cuadrado de lado L, donde cada lado es un alambre con
densidad de carga . Determine la magnitud del campo en puntos de la recta
perpendicular al plano que contiene el cuadrado y que pasa por su punto medio.
SOLUCIÓN. EL cuadrado lo consideramos en el plano XY con su
centro en el origen de coordenadas y calculamos el campo en
el punto P del eje Z. Sea  la distancia del punto medio del
lado AB al punto P. Por simetría el campo en P debido al lado
AB tiene solo componente radial, la componente paralela al
lado AB es cero. De la figura se desprende que 2 = -1. Con
esto la ecuación (2) queda
𝐸 =
𝑘𝜆
𝜌
𝑠𝑒𝑛𝛼1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼2 ො𝜌 =
2𝑘𝜆
𝜌
𝑠𝑒𝑛𝛼1 ො𝜌 (*)
𝜌 = 𝑧2 +
𝐿
2
2
; sin 𝛼1 =
𝐿
2
𝜌2+
𝐿
2
2
. Reemplazamos en (*)
𝐸 =
𝑘𝜆𝐿 ො𝜌
𝑧2 +
𝐿
2
2
𝜌2 +
𝐿
2
2
 Z
𝐸
P
2
1 
B
Y
A
X
Si calculamos los campos en el punto P de los otros lados obtendremos expresiones
similares para cada lado que difieren solamente en orientación. Cada uno de estos campos
se descompone en dos componentes (una paralela al eje Z y otra perpendicular al eje Z).
𝐸 = 𝐸∥ + 𝐸⊥; 𝐸∥ = 𝐸 cos 𝛽; 𝐸⊥ = 𝐸 sin𝛽
Al sumar los campos creados por cada lado, las componentes perpendiculares se anulan,
no así las componentes paralelas al eje Z. De esta manera
𝐸𝑛𝑒𝑡𝑜 = 4𝐸∥ ෠𝑘 = 4𝐸 cos𝛽 ෠𝑘 =
4𝑘𝜆𝐿 cos 𝛽
𝑧2+
𝐿
2
2
𝜌2+
𝐿
2
2
෠𝑘 cos 𝛽 =
𝑧
𝑧2+
𝐿
2
2
𝐸𝑛𝑒𝑡𝑜 =
4𝑘𝜆𝐿𝑧
𝑧2+
𝐿
2
2
𝑧2+
𝐿2
2
෠𝑘
Observemos que en el centro del cuadrado el campo es nulo.
CAMPO ELÉCTRICO DE UN ANILLO CARGADO UNIFORMEMENTE.
La matemática para el cálculo del campo en cualquier punto del espacio escapa al
nivel del curso, de modo que veremos el caso particular de cálculo del campo en puntos
del eje Z, eje que pasa por el centro del anillo y que es perpendicular al plano del anillo.
Sea P (0,0,z) punto del eje Z donde calculamos el campo.
Elegimos un elemento diferencial de carga en el anillo dq =
Rd, donde  es la densidad lineal de carga. El elemento
diferencial de campo en P debido a este elemento de carga es
𝑑𝐸 = 𝑘
𝑑𝑞( Ԧ𝑟 − 𝑟´)
Ԧ𝑟 − 𝑟´
3 ;; 𝑟´ = 𝑅 ො𝜌; Ԧ𝑟 = 𝑧෠𝑘 ; 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙 = 𝜆𝑅𝑑𝜃
Ԧ𝑟 − 𝑟´
3
= 𝑅2 + 𝑧2 3/2 ; 𝑑𝐸 = 𝑘
𝜆𝑅(𝑧෠𝑘 − 𝑅 ො𝜌)𝑑𝜃
𝑅2 + 𝑧2 3/2
𝐸 = 𝑘𝑅න
0
2𝜋 𝑧෠𝑘 − 𝑅 ො𝜌 𝑑𝜃
𝑅2 + 𝑧2 3/2
= 𝑘
𝜆𝑅𝑧෠𝑘
𝑅2 + 𝑧2 3/2
න
0
2𝜋
𝑑𝜃
Z
P
Ԧ𝑟 Ԧ𝑟 − 𝑟´
Y
dq=Rd
X
R d
En la expresión anterior la integral sobre la parte radial se anula ya que ො𝜌 = cos 𝜃 Ƹ𝑖 + sin 𝜃 Ƹ𝑗
De este modo 0׬
2𝜋
ො𝜌𝑑𝜃 = 0׬
2𝜋
(cos 𝜃 Ƹ𝑖 + sin 𝜃 Ƹ𝑗)𝑑𝜃 = 0
Por otro lado 2R = Q es la carga del anillo.
𝐸 = 𝑘
𝑄𝑧
𝑅2+𝑧2 3/2
෠𝑘 (4)
El campo solo tiene componente a lo largo del eje Z.
La figura muestra la dependencia de E con z.
Para 𝑧 = ±𝑅
2
2
el campo es máximo, mientras que en el
centro del anillo el campo es nulo.
𝐸𝑚𝑎𝑥 =
2𝑘𝑄
33/2𝑅2
NOTA. La figura superior muestra las líneas de campo
para todo el espacio.
2𝑘𝑄
33/2𝑅2
−
2𝑘𝑄
33/2𝑅2
CAMPO ELÉCTRICO DE UN DISCO. Igual que en la situación, anterior nos limitamos a
calcular el campo eléctrico en el eje perpendicularel disco y que pasa por su centro. El
disco posee una densidad de carga superficial constante ( = dq/da = constante).
Calculamos el campo en el punto P (0,0,z) del eje Z. Elegimos
un elemento diferencial de carga dq = da. El elemento
diferencial de campo en el punto P debido a este elemento de
carga dq es
𝑑𝐸 = 𝑘
Ԧ𝑟 − 𝑟´ 𝑑𝑞
Ԧ𝑟 − 𝑟´
3/2 ; Ԧ𝑟 = 𝑧෠𝑘; 𝑟´ = 𝜌 ො𝜌; 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑎 = 𝜎𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃,
Ԧ𝑟 − 𝑟´ = 𝑧෠𝑘 − 𝜌ො𝜌; 𝑑 Ԧ𝐸 = 𝑘𝜎
(𝑧 ෠𝑘 − 𝜌ො𝜌)𝜌𝑑𝜌𝑑𝜃
𝑧2 + 𝜌2 3/2
La integración sobre la componente radial se anula. Nos queda
𝐸 = 2𝜋𝑘𝜎 0׬
𝑅 𝑧𝜌𝑑𝜌
𝑧2+ 𝜌2 3/2
= 2𝜋𝑘𝜎
𝑧
𝑧
−
𝑧
𝑅2+ 𝑧2
෠𝑘 (5)
Z
P
Ԧ𝑟 Ԧ𝑟 − 𝑟´
´
Y
da= dd
X 
 d
𝑟´
CAMPO ELÉCTRICO DE UN PLANO DE GRANDES DIMENSIONES (PLANO INFINITO).
El campo eléctrico del plano infinito se puede obtener a partir de la ecuación (5). Para
ello basta aplicar el límite R→  en la ecuación (4), manteniendo la densidad de carga
superficial constante. Se obtiene:
𝐸 = 2𝜋𝑘𝜎
𝑧
𝑧
෠𝑘 (6)
𝐸 = 2𝜋𝑘𝜎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 > 0; 𝐸 = −2𝜋𝑘𝜎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 < 0
El campo es uniforme y las líneas de
campo son rectas perpendiculares al plano
cargado. Si la densidad de carga es
positiva las líneas se originan en el plano y
van al infinito. El campo presenta una
discontinuidad en el plano z = 0, ya que
en el plano mismo no está determinado.
Z
Y
𝐸
X
EJERCICIO 3. Considere tres planos infinitos y paralelos entre si (paralelos el plano YZ),
localizados en x = -a; x = 0 y x = a. El plano localizado en x = -a tiene densidad de carga
-2; el plano en x = 0 posee densidad +3 y el plano en x = a tiene densidad +2.
Determine el campo eléctrico en las tres regiones del espacio, x < -a, -a < x < 0, 0 < x <
a, x > a.
Usamos la ecuación (6) y superposición. 
En la región x > a. El campo neto es
𝐸𝑛𝑒𝑡𝑜 = −4𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 + 6𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 + 4𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 = 6𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖
En la región 0 < x < a, el campo neto es 
𝐸𝑛𝑒𝑡𝑜 = −4𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 + +6𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 − 4𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 = −2𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖
En la región –a < x <0, el campo neto es
𝐸𝑛𝑒𝑡𝑜 = −4𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 − 6𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 − 4𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 = −14𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖
En la región x < -a, el campo neto es
𝐸𝑛𝑒𝑡𝑜 = +4𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 − 6𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 − 4𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖 = −6𝜋𝑘𝜎 Ƹ𝑖
-2 +3 +2
-a 0 +a x
EJERCICIO 4. La figura muestra una carga puntual q = 2 C
situada en el punto (0,2,3), un hilo recto muy largo con
densidad de carga = -10 C/m paralelo al eje Z que
intercepta el eje Y en el punto (0,-2,0) y un plano cargado
con densidad de carga = -(0.001/4) C/m2 paralelo al
plano XZ y que intercepta al eje Y en el punto (0,6,0). Las
distancias en los ejes se miden en cm.
A) Calcule el campo eléctrico en el punto B.
B) Calcule el campo eléctrico en el origen.
Z


q
A
Y
(0,-2,0) O B(0.2.0) (0.6.0)
SOLUCIÓN. Usamos los campos eléctricos creaos por una carga puntual, un 
hilo recto infinito y un plano infinito.
Carga puntual 𝐸 = 𝑘
𝑄
𝑟2
Ƹ𝑟; Hilo recto infinito 𝐸 = 2𝑘
𝜆
𝜌
ො𝜌; Plano infinito 𝐸 = 2𝜋𝑘𝜎
𝑧
𝑧
Adecuamos estas ecuaciones a esta situación. Debemos calcular el campo
en el punto B
Carga puntual 𝐸 = −9 × 109
2×10−6
9×10−4
෠𝑘 ; Hilo recto infinito 𝐸 = −2 × 9 × 109
10×10−6
4×10−2
Ƹ𝑗
Plano infinito 𝐸 = 2𝜋 × 9 × 109
0.001
4𝜋
Ƹ𝑗 , todos los campos medidos en N/C.
El campo neto en B es 
𝐸 = −2 × 107 ෠𝑘 − 4.5 × 106 Ƹ𝑗 + 4.5 × 106 Ƹ𝑗
𝑁
𝐶
= −2 × 107 ෠𝑘
𝑁
𝐶
EJERCICIO 5. Considere un anillo de radio R en el plano XY centrado en el
origen. El anillo posee una densidad de carga lineal 𝜆 𝜃 = 𝜆𝑜𝑐𝑜𝑠
2 𝜃
2
,
siendo  el ángulo que forma el radio con el eje positivo X. Determine :
a) La carga total del anillo
b) El campo eléctrico en el centro del anillo.
SOLUCIÓN. 
a) Para hallar la carga usamos 
𝜆 =
𝑑𝑞
𝑑𝑙
; 𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜃; 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙 = 𝜆𝑜𝑐𝑜𝑠
2
𝜃
2
𝑅𝑑𝜃.
𝑄 = 𝑅𝜆𝑜 0׬
2𝜋
𝑐𝑜𝑠2
𝜃
2
𝑑𝜃 = 𝑅𝜆𝑜
𝜃
2
+
𝑠𝑒𝑛𝜃
2
= 𝑅𝜆𝑜.
b) Elegimos un elemento diferencial de carga dq en
el anillo. El elemento diferencial de campo en el
origen debido a este elemento de carga es
𝑑𝐸 = 𝑘
Ԧ𝑟 − 𝑟´ 𝑑𝑞
Ԧ𝑟 − 𝑟´
3/2 ; 𝑑𝑞 = 𝜆𝑜𝑅𝑐𝑜𝑠
2 𝜃
2
𝑑𝜃; Ԧ𝑟 = 0; 𝑟´ = 𝑅 ො𝜌
ො𝜌 = cos 𝜃 Ƹ𝑖 + sin 𝜃 Ƹ𝑗
𝐸 = 𝑘න
0
2𝜋−𝑅2 ො𝜌
𝑅3
𝑐𝑜𝑠2
𝜃
2
𝑑𝜃
𝐸 = −
𝑘𝜆𝑜
𝑅
න
𝑜
2𝜋
(cos 𝜃 Ƹ𝑖 + sin 𝜃 Ƹ𝑗)
1 + sin 𝜃
2
𝑑𝜃
𝐸 = −
𝑘𝜋𝜆𝑜
2𝑅
Ƹ𝑖
dq = dl
R
d R

d𝐸
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