POTENCIAL ELECTRICO

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ELECTROMAGNETISMO Y 
ELECTROTECNIA.
CLASE MARTES 8 DE MAYO DE 
2022
POTENCIAL ELÉCTRICO
DEFINICIÓN DE POTENCIAL ELÉCTRICO. Supongamos que tenemos un conjunto de
cargas y que deseamos determinar su potencial eléctrico en un punto particular P.
Situamos una carga de prueba qo positiva a una distancia infinita del conjunto de cargas
donde el campo eléctrico es cero. Luego desplazamos la carga de prueba desde el infinito
hasta la posición P y en el proceso la energía potencial eléctrica cambia de 0 a Up. El
potencial eléctrico VP en el punto P debido al conjunto de cargas se define como
𝑉𝑃 =
𝑈𝑃
𝑞𝑜
(1) 
Definido de esta manera el potencial eléctrico es independiente de la magnitud de
la carga de prueba.
El potencial eléctrico se mide en Volt = Joule/Coulomb.
Dependiendo de la distribución de cargas el potencial VP puede ser positivo, cero o
negativo.
Supongamos que el potencial es positivo en un cierto punto, de acuerdo a la
ecuación (1) la energía potencial es positiva en ese punto. Si fuésemos a mover una
carga de prueba positiva desde el infinito hasta ese punto, el campo eléctrico realizaría
un trabajo negativo, lo cual indica que, en promedio, la carga de prueba ha
experimentado una fuerza de repulsión. Por tanto el potencial cerca de una carga
positiva aislada es positivo.
Si el potencial en un punto es negativo, sucede lo contrario: cuando traemos a
una carga de prueba positiva desde el infinito, el campo eléctrico realiza un trabajo
positivo y en promedio la fuerza es de atracción. Por tanto el potencial eléctrico cerca
de una carga negativa aislada es negativo.
Si el potencial es cero en algún punto, el campo eléctrico no realiza trabajo
neto al traer la carga de prueba desde el infinito, aunque la carga halla pasado por
regiones donde halla experimentado fuerzas de atracción o repulsión. El potencial
cero en algún punto no necesariamente significa que el campo eléctrico sea cero en
dicho punto.
En lugar de hacer referencia a un punto en el infinito, a menudo deseamos
determinar la diferencia de potencial entre dos puntos a y b en un campo eléctrico. Para
hacerlo movemos una carga de prueba qo desde a hasta b. La diferencia de potencial
eléctrico se define por una extensión de la ecuación (1) como
∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =
𝑈𝑏−𝑈𝑎
𝑞𝑜
(2)
El potencial en b puede ser mayor que, menor que o igual que el potencial en a,
dependiendo de la diferencia de energía potencial entre esos dos puntos o,
equivalentemente, del negativo del trabajo realizado por el campo eléctrico conforme una
carga de prueba se mueve entre los puntos. Por ejemplo si el punto b está a potencial mas
elevado que a (Vb > Va) el campo eléctrico realiza un trabajo negativo conforme la carga
de prueba se mueve de a hacia b.
La ecuación (2) puede escribirse así
∆𝑈 = 𝑞∆𝑉 (3)
lo que afirma que cualquier carga q que se mueva entre dos puntos cuya diferencia de
potencial sea V, el sistema experimenta un cambio de energía potencial U dado por la
ecuación (3). La diferencia de potencial V se genera por otras cargas que se mantienen
en reposo, de modo que el movimiento de la carga q no modifica la diferencia de
potencial V.
Ya hemos explicado que el campo eléctrico es conservativo y por lo mismo la
diferencia de energía potencial entre dos puntos a y b depende solamente de las
posiciones de esos puntos y no depende de la trayectoria seguida para moverse desde
uno de los puntos hacia el otro. La ecuación (2) sugiere entonces que la diferencia de
potencial es similarmente independiente de la trayectoria, la diferencia de potencial
eléctrico entre dos puntos cualesquiera de un campo eléctrico es independiente de la
trayectoria por la que se mueve la carga de prueba cuando viaja de un punto a otro.
CÁLCULO DEL POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO. Dado el campo eléctrico 𝐸 podemos
calcular el potencial eléctrico V y dado el potencial eléctrico V podemos calcular el campo
eléctrico 𝐸. Estudiaremos primero el cálculo de V a partir del campo eléctrico.
Digamos que a y b son dos puntos separados la distancia L y que el campo electrico
creado por una distribución de carga no mostrada es uniforme y vertical hacia abajo.
Suponga que una carga de prueba positiva qo se mueve de a hacia b en línea recta.
El trabajo Wab realizado por el campo es
𝑊𝑎→𝑏 = 𝑎׬
𝑏 Ԧ𝐹 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑎׬
𝑏
𝑞𝐸𝑑𝑙 cos 180° = −𝑞𝐸𝐿
Puesto que 𝑊𝑎→𝑏 = −∆𝑈 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 y usando la ecuación (3) se
obtiene 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =
𝑈𝑏− 𝑈𝑎
𝑞
= EL (4)
Esta ecuación muestra la relación entre el potencial y el campo
para un caso muy sencillo, campo uniforme.
b
𝐸
L Ԧ𝐹 = 𝑞𝐸
qo
a
La relación entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico obtenida anteriormente se
obtuvo para el caso especial en que el campo es uniforme. Esta relación se puede
generalizar para el caso en que el campo no es uniforme. Sean a, b dos puntos
arbitrarios en un campo eléctrico no uniforme. El trabajo efectuado por el campo
eléctrico cuando una carga de prueba se mueve desde el punto a al punto b es
𝑊𝑎→𝑏 = න
𝑎
𝑏
Ԧ𝐹 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = න
𝑎
𝑏
𝑞𝑜𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑞𝑜න
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙
Por otro lado 𝑊𝑎→𝑏 = −∆𝑈 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 ; ∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =
𝑈𝑏− 𝑈𝑎
𝑞𝑜
De esta manera 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = −
𝑊𝑎→𝑏
𝑞𝑜
= 𝑎׬−
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 (5)
Frecuentemente conviene elegir el punto a en el infinito donde el potencial se elige con
valor cero. De esta manera el potencial en cualquier punto P se calcula con la relación
𝑉𝑃 = ∞׬−
𝑃
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 (6)
POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL. Aplicamos ahora lo anterior al caso del campo 
eléctrico de una carga puntual Q.
𝑉𝑏 − 𝑣𝑎 = −න
𝑎
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −න
𝑎
𝑏 1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑟2
Ƹ𝑟 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
න
𝑎
𝑏 𝑑𝑙 cos 𝜃
𝑟2
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = −
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
𝑟𝑎׬
𝑟𝑏 𝑑𝑟
𝑟2
=
𝑄
4𝜋𝜀𝑜
1
𝑟𝑏
−
1
𝑟𝑎
(7)
Podemos calcular el potencial eléctrico en cualquier punto
y para ello basta elegir el punto a en el infinito con Va =0.
De este modo el potencial eléctrico a una distancia r de la 
carga Q es 
𝑉 𝑟 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑟
(8)
𝐸
b
dr 
𝑑Ԧ𝑙
rb
r
a
ra
Q
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES.
El potencial eléctrico en un punto Ԧ𝑟 de la región donde existe un campo eléctrico
creado por un conjunto de cargas puntuales se obtiene aplicando el potencial de carga
puntual y superposición.
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 +  𝑉𝑁
𝑉 =
1
4𝜋𝜀𝑜
σ1
𝑁 𝑄𝑖
Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟𝑖
(9)
En la ecuación (9) Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟𝑖 representa
la distancia desde la carga Qi al punto
donde estamos calculando potencial.
EJEMPLO 1. Considere dos cargas puntuales 𝑞1 = 10 𝜇𝐶, 𝑞2 = −5 𝜇𝐶 , localizadas en los
puntos (0, 0) y (4 m, 0) respectivamente.
A)Calcule VA – VB siendo A =(0, 3 m) y B =(2 m, 0)
B)Calcule el trabajo para llevar una carga q = 2 C desde A hasta B.
SOLUCIÓN.
A) 𝑉𝐴= 9 × 10
9 𝑁𝑚
2
𝐶2
10×10−6𝐶
3𝑚
−
5×10−6𝐶
5𝑚
= 21 × 103 𝑉𝑜𝑙𝑡
𝑉𝐵 = 9 × 10
9
𝑁𝑚2
𝐶2
10 × 10−6𝐶
2 𝑚
−
5 × 10−6𝐶
2 𝑚
= 22.5 × 103 𝑉𝑜𝑙𝑡
V = VA – VB = -1.510
3 Volt
B) W = Vq; W = -1.5103 Volt 2 C = -3 mJ.
Y
3 A
q1 B q2
0 2 4 X
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN HILO RECTO INFINITO Y DENSIDAD DE CARGA CONSTANTE.
Asumimos el hilo recto en el eje Z con densidad de carga lineal  constante. Sean a, b 
dos puntos arbitrarios y C una trayectoria arbitraria
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝐸׬− ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑎׬−
𝑏
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = ׬−
𝑎
𝑏 1
2𝜋𝜀𝑜
𝜆
𝜌
ො𝜌 ∙ 𝑑Ԧ𝑙
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = ׬−

2𝜋𝜀𝑜
𝑑𝜌
𝜌
= −

2𝜋𝜀𝑜
ln
𝜌𝑏
𝑎
Elegimos el punto a como referencia.
𝑉(𝜌) = 𝑉𝑟𝑒𝑓 +

2𝜋𝜀𝑜
ln
𝑟𝑒𝑓

(10)
ො𝜌 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑑𝑙 cos 𝜃 = 𝑑𝜌
 es la coordenada polar medida desde el hilo, 𝜌𝑟𝑒𝑓 es una distancia elegida como
referencia, 𝑉𝑟𝑒𝑓 es un valor de V elegido arbitrariamente.
Hilo b 
ො𝜌 𝑑Ԧ𝑙
 
𝐸
a
ESFERA NO CONDCUTORA MACIZA DE RADIO R Y DENSIDAD DE CARGA UNIFORME 
Establecimos anteriormente que el campoeléctrico para esta distribución de carga viene dada
por
𝐸 =
𝜌
3𝜀𝑜
𝑟 Ƹ𝑟 si r < R 𝐸 =
𝜌
3𝜀𝑜
𝑅3
𝑟2
Ƹ𝑟 si r > R
Para calcular el potencial eléctrico fuera de la esfera cargada, elegimos los puntos A y B fuera
de la esfera y usamos
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝐴׬−
𝐵
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙
Usando 𝐸 para puntos exteriores a la esfera
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝐴׬−
𝐵 𝜌
3𝜀𝑜
𝑅3
𝑟2
Ƹ𝑟 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 =
𝜌𝑅3
3𝜀𝑜
1
𝑟𝐵
−
1
𝑟𝐴
La carga está localizada en un volumen finito. 
Elegimos el punto de referencia A en el infinito 𝑟𝐴 → ∞ con 𝑉𝐴 = 0.
𝑉(𝑟) =
𝜌
3𝜀𝑜
𝑅3
𝑟
, 𝑟 > 𝑅 (11)
B
𝑑Ԧ𝑙

r
𝐸
A
R 
o
Para puntos interiores a la esfera elegimos A y B dentro de la esfera de radio R
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝐴׬−
𝐵 𝜌𝑟
3𝜀𝑜
Ƹ𝑟 ∙ 𝑑Ԧ𝑙=−
𝜌
3𝜀𝑜
𝐴׬
𝐵
𝑟𝑑𝑟 ; 𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 −
𝜌
3𝜀𝑜
𝑟𝐵
2
2
−
𝑟𝐴
2
2
(*)
Ahora no podemos elegir el punto A en el infinito pues debe estar dentro de la esfera de
radio R y tampoco sabemos el valor del potencial en el punto A. Sin embargo podemos
usar el hecho que el potencial V debe ser una función continua. Es decir en la superficie r
= R el potencial debe estar unívocamente definido. El punto A lo elegimos en la superficie
r = R y el punto B a una distancia r < R, dentro de la esfera. Con esto la ecuación (*)
queda
𝑉(𝑟) = 𝑉(𝑟=𝑅) −
𝜌
3𝜀𝑜
𝑟2
2
−
𝑅2
2
El valor de V(r = R) lo obtenemos usando la ecuación (11): 𝑉(𝑟=𝑅) =
𝜌𝑅2
3𝜀𝑜
;
𝑉(𝑟) =
𝜌
6𝜀𝑜
3𝑅2 − 𝑟2 r < R (12)
ESFERA CONDUCTORA DE RADIO R Y CARGA Q
El campo eléctrico de la esfera cargada uniforme y de radio R es
𝐸(𝑟) = 0 si r < R; 𝐸(𝑟) =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑟2
Ƹ𝑟 si r > R
Naturalmente que para puntos interiores el potencial es constante ya que el
campo eléctrico es cero (el potencial no es necesariamente cero) De este modo el interior
de la esfera conductora es un volumen equipotencial. Para puntos exteriores el campo
eléctrico es igual al de una carga puntual de modo que el potencial eléctrico corresponde
al caso de una carga puntual.
𝑉(𝑟) =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑟
si r > R; 
𝑉 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑅
si r < R
V(r)
1
4𝜋𝜀𝑂
𝑄
𝑅
R r
Una consecuencia inmediata del resultado obtenido anteriormente para el caso de
una esfera conductora con carga Q es el siguiente. El potencial de la esfera depende de dos
factores: el radio de la esfera y su carga Q. La pregunta que nos hacemos es si podemos
dotar a la esfera con toda la carga que queramos. La respuesta es no. Ello depende del
material que la rodea. Veamos por ejemplo de una esfera cargada en el aire. El campo
eléctrico de la esfera actúa sobre las moléculas de aire provocando una polarización de
ellas. Si el campo es lo bastante intenso puede provocar la formación de iones (+) y (-) lo
que termina por neutralizar la carga de la esfera.
El valor máximo para la ruptura del dieléctrico 
(ionización del medio) para el caso del aire es 
E = 3×106 Volt/m. 
En la superficie de la esfera 𝐸 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑅2
; 𝑉 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑅
, 
de modo que V = ER.
Para una esfera de radio R = 0,01 m; V = 30000 Volt.
EJEMPLO 2. Considere dos esferas de radios a y b y con cargas Q y q respectivamente. Las
esferas están separadas una distancia de modo que la influencia del campo eléctrico de
cada esfera sobre la otra es despreciable. Las esferas se conectan mediante un hilo fino
conductor. Determine la carga transferida y el potencial de equilibrio.
SOLUCIÓN. Al conectar las esferas se produce una transferencia de carga desde la esfera
de potencial mayor a la esfera de potencial menor.
Los potenciales iniciales son: 𝑉 𝑎 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄
𝑎
; 𝑉 𝑏 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑞
𝑏
Supongamos que la esfera de radio a está a potencial mayor y que la carga transferida es
q´. Después de transferir la carga q’ los potenciales de las esferas son iguales.
𝑄 −𝑞′
𝑎
=
𝑞+𝑞′
𝑏
La carga transferida es 𝑞´ =
𝑄𝑏 −𝑞𝑎
𝑎+𝑏
El potencial de equilibrio es 𝑉 =
1
4𝜋𝜀𝑜
𝑄+𝑞
𝑎+𝑏
Q hilo q
a b
POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN PLANO INFINITO CON DENSIDAD DE CARGA UNIFORME.
Admitiendo que el plano cargado es el plano XY con densidad de carga uniforme , el
campo eléctrico es uniforme y viene dado por la expresión 𝐸 =
𝜎
2𝜀𝑂
𝑧
𝑧
෠𝑘
El campo presenta una discontinuidad finita en z = 0. 
Sin pérdida de generalidad, elegimos los puntos A y B 
en el semi espacio z > 0. 
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝐴׬−
𝐵
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −
𝜎
2𝜀𝑜
𝐴׬
𝐵 𝑧
𝑧
෠𝑘 ∙ 𝑑Ԧ𝑙
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −
𝜎
2𝜀𝑜
𝐴׬
𝐵
𝑑𝑧 = −
𝜎
2𝜀𝑜
(𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)
Elegimos el punto A en el plano XY y ponemos 𝑉𝐴 = 𝑉𝑜
𝑉(𝑧) = 𝑉𝑜 −
𝜎
2𝜀𝑜
𝑧 para todo z.
Se asume que el plano tiene un potencial de referencia igual a VO. 
PLANO CARGADO
B
𝑑Ԧ𝑙

z 𝐸
A
Z
RELACIÓN ENTRE CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO. El campo eléctrico y el
potencial eléctrico no son independientes, ellos están relacionados y esta relación está
implícita en la expresión 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝐴׬−
𝐵
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙
La relación anterior se puede escribir en forma diferencial de la siguiente forma 𝑑Ԧ𝑙
𝑑𝑉 = −𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −Edl cos 𝜃 
 es el ángulo entre el campo y el vector desplazamiento. 𝐸
De esta manera 
𝑑𝑉
𝑑𝑙
= −𝐸 cos 𝜃
La tasa de cambio del potencial (derivada del potencial eléctrico respecto a la distancia) es
igual a la componente escalar del campo en la dirección del desplazamiento con el signo
cambiado. Observemos que esta componente depende del valor del ángulo y que para  =
0° la tasa de cambio del potencial (dV/dl) es igual a –E mientras que para  = 180° la tasa
de cambio es +E. Así para desplazamientos paralelos u opuestos al campo eléctrico la tasa
de cambio del potencial admite valores extremos.
En otras palabras, decimos que la derivada direccional del potencial en la dirección del campo
eléctrico, tiene valores extremos y se dice igual al gradiente del potencial V con el signo cambiado
𝐸 = −𝐺𝑟𝑎𝑑 𝑉 = −𝛻V
El símbolo 𝛻 recibe el nombre de operador NABLA, es un operador diferencial que actúa tanto sobre
funciones escalares como escalares. Por el momento veremos la acción de este operador sobre
funciones escalares como el potencial eléctrico. La forma explícita del operador nabla depende del
conjunto de coordenadas que se utilice. Para el caso de coordenadas cartesianas tiene la forma
𝛻 = (
𝜕
ð𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕
ð𝑦
Ƹ𝑗 +
ð
ð𝑧
෠𝑘);
con esto
𝐸 = −𝛻𝑉 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
෠𝑘 ; por tanto 𝐸𝑥 = −
𝑉
𝑥
; 𝐸𝑦 = −
𝑉
𝑦
; 𝐸𝑧 = −
𝑉
𝑧
EJEMPLO. El campo eléctrico correspondiente al potencial eléctrico 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3𝑦2 − 𝑥𝑦3 es
𝐸 = −𝛻𝑉 = −3𝑥2𝑦2 + 𝑦3 Ƹ𝑖 + (−2𝑥3𝑦 + 3𝑥𝑦2) Ƹ𝑗
EJEMPLO 3. Considere tres planos paralelos. El plano central ( lámina central muy
delgada) dista a y b de los otros dos planos y posee densidades de carga 𝜎1 y 𝜎2 en sus
caras tales que 𝜎1 + 𝜎2 = 𝜎𝑜, medidas en C/m
2. Los planos exteriores están conectados por
un hilo fino conductor. Determine las densidades 𝜎1 y 𝜎2.
SOLUCIÓN. Usamos la expresión 𝑉(𝑧) = 𝑉𝑜 −
𝜎
2𝜀𝑜
𝑧 , con la lámina central localizada en z = 
0.
Para el plano localizado en z = a: 𝑉(𝑧=𝑎) = 𝑉𝑜 −
𝜎1
2𝜀𝑜
𝑎.
Para el plano localizado en z = -b: 𝑉(𝑧=−𝑏) = 𝑉𝑜 −
𝜎2
2𝜀𝑜
b.
Los planos están conectados por un hilo conductor, 
de modo que 𝑉(𝑧=𝑎) = 𝑉(𝑧=−𝑏) implica que 𝜎1𝑎 − 𝜎2𝑏 = 0
Se obtiene 𝜎1 =
𝜎𝑜𝑏
𝑎+𝑏
; 𝜎2 =
𝜎𝑜𝑎
𝑎+𝑏
2 1
+ +
+ +
+ +
+ +
b 0 a Z
EJEMPLO 4. Considere un cascarón esférico delgado, aislado y conductor que se carga
uniformemente a una densidad  (C/m2) constante de carga. ¿Cuánto trabajo cuesta mover
una pequeña carga qo
a) Desde la superficie de la esfera al interior a través de un pequeño orifico?
b) Desde un punto a otro sobre la superficie independiente de la trayectoria?
c) Desde un punto a otrodentro de la esfera?
d) Desde cualquier punto P fuera de la esfera hasta un punto de la superficie de la esfera?
SOLUCIÓN.
a) 𝑊𝐴→𝐵 = −𝑞 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 . Tomamos el punto A en la superficie esférica y B dentro de la esfera.
𝑊 = −𝑞𝑜
𝑄
4𝜋𝜀𝑜𝑅
−
𝑄
4𝜋𝜀𝑜𝑅
= 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 = 4𝜋𝜎𝑅2; b) Cero; c) Cero
d) Desde un punto situado a la distancia r > R, a la superficie (R radio de la esfera). 
𝑊 𝑟 → 𝑅 = −𝑞𝑜 𝑟׬
𝑅
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = −
𝑄𝑞𝑜
4𝜋𝜀𝑜
𝑟׬
𝑅 𝑑𝑟
𝑟2
=
𝑞𝑜𝜎𝑅
2
𝜀𝑜
1
𝑅
−
1
𝑟
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 = 4𝜋𝜎𝑅2
EJEMPLO 5. En cierta región existe una distribución de carga esféricamente simétrica pero no
uniforme. Es decir la densidad de carga  depende de la coordenada radial r medida desde el
centro de la distribución de carga. El potencial eléctrico debido a esta distribución de carga es
𝑉(𝑟) =
𝜌𝑜𝑎
2
18𝜀𝑜
1 − 3
𝑟
𝑎
2
+ 2
𝑟
𝑎
3
si r ≤ 𝑎; 𝑉 𝑟 = 0 𝑠𝑖 𝑟 > 𝑎
a) Determine el campo eléctrico en todo el espacio.
b) Determine la distribución de carga que genera este campo eléctrico.
SOLUCIÓN.
a) Para hallar el campo eléctrico usamos la relación entre campo y potencial cuando la
distribución presenta simetría esférica.
𝐸 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝐸(𝑟) = −
𝜌𝑜
3𝜀𝑜
−𝑟 +
𝑟2
𝑎
Ƹ𝑟 𝑠𝑖 𝑟 ≤ 𝑎; 𝐸 = 0 𝑠𝑖 𝑟 > 𝑎
b) Para hallar la distribución de carga que crea el potencial dado, es decir para determinar la
densidad de carga 𝜌(𝑟), elegimos una capa esférica de radio r y espesor dr con centro en el
centro de la distribución de carga. La cantidad de carga dq contenida en esta capa esférica es
𝑑𝑞 = 𝜌(𝑟)𝑑𝑉 = 𝜌(𝑟) × 4𝜋𝑟
2𝑑𝑟
Ahora usamos la ley de Gauss calculamos el flujo a través de esta capa esférica de
espesor dr.
Φ = Φ𝑟 + Φ𝑟+𝑑𝑟 = 𝐸1׭ ∙ ො𝑛𝑑𝑎 + 𝐸2׭ ∙ ො𝑛𝑑𝑎
𝐸1 = 𝐸(𝑟) 𝑦 𝐸2 = 𝐸(𝑟+𝑑𝑟)
Φ = ඵ−
𝜌𝑜
3𝜀𝑜
−
𝑟
𝑎2
+
𝑟2
𝑎3
Ƹ𝑟 ∙ − Ƹ𝑟 𝑑𝑎 +ඵ−
𝜌𝑜
3𝜀𝑜
−
𝑟 + 𝑑𝑟
𝑎2
+
(𝑟 + 𝑑𝑟)2
𝑎3
Ƹ𝑟 ∙ Ƹ𝑟𝑑𝑎
La primera integral es sobre la superficie esférica de radio r mientras que la segunda
integral es sobre la superficie de radio r + dr. En la primera integral el vector unitario normal
apunta hacia el centro O mientras que en la segunda integral apunta hacia afuera.
Puesto que las magnitudes de los campos en estas superficies son constantes, las
integrales nos dan los siguientes resultados.
Φ =
4𝜋𝜌𝑜
3𝜀𝑜
𝑟2 −3 +
4𝑟
𝑎
dr
Usando la ley de Gauss.
Φ =
𝑞𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑜
4𝜋𝜌𝑜
3𝜀𝑜
𝑟2
4𝑟
𝑎
− 3 𝑑𝑟 =
𝜌(𝑟)4𝜋𝑟
2𝑑𝑟
𝜀𝑜
𝜌(𝑟) =
𝜌𝑜
3
4𝑟
𝑎
− 3)
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. Las líneas de campo ( o de manera equivalente, las
líneas a las cuales el campo eléctrico es tangente) proporcionan una manera apropiada de
visualizar el campo eléctrico de cualquier distribución de carga. Podemos realizar una
representación similar basados en el potencial eléctrico. En este método trazamos una
familia de superficies que unan puntos que tengan el mismo valor de potencial eléctrico.
Estas superficie se llaman superficies equipotenciales.
Consideremos primero un campo eléctrico uniforme 𝐸 para el cual las líneas de
campo se muestran en la figura. Como vimos en clase anterior la diferencia de potencial
entre dos puntos cualesquiera (como A y B en la figura) separados por una distancia L a
lo largo de la dirección del campo tiene una magnitud igual a EL. Es decir el trabajo
efectuado por el campo eléctrico cuando una carga de prueba positiva qo se mueve desde
A hasta B es igual a qoEL. Si luego movemos la carga de prueba perpendicularmente al
campo, como desde B1 hasta B2 o hasta B3, el campo eléctrico no realiza ningún trabajo y
la diferencia de potencial entre B1 y B2 o B3 es cero. De hecho todos los puntos de la línea
que contengan a B1, B2, B3 tienen el mismo potencial.
Si este dibujo de un campo uniforme lo
extendiéramos a tres dimensiones, los puntos que
tuvieran un valor de potencial dado, formarían una
superficie plana; en un campo uniforme las
superficies equipotenciales son planos. La figura
muestra una familia de superficies equipotenciales.
La magnitud de la diferencia de potencial entre
cualquier punto de un plano y cualquier punto en un
plano vecino es EL, donde L es el espaciamiento
entre planos vecinos( constante).
B1
•
A • • B
• B2
L
•B3
El potencial de una carga puntual
depende de la distancia radial desde la
carga. Así pues todos los puntos de un
radio dado tiene el mismo potencial y las
superficies equipotenciales de una carga
puntual forman una familia de superficies
esféricas concéntricas. Las superficies se
han dibujado de modo que la diferencia
de potencial entre cualquiera superficie
equipotencial y su vecina sea el mismo
(o sea VAB = VBC = VCD). Las
superficies equipotenciales de una carga
puntual no están igualmente espaciadas,
como ocurre en el caso de un plano
cargado.
• D
•CC
•B
A
En un dipolo eléctrico la configuración 
de superficies equipotenciales es más 
complicada.
Cuando una carga de prueba se
mueve a lo largo de una superficie
equipotencial, el campo eléctrico no
realiza trabajo ya que si V = 0
entonces U = 0 y el trabajo W es
cero. Además debido a la
independencia de la trayectoria del
potencial, este resultado se cumple
para dos puntos cualesquiera de una
superficie equipotencial aún cuando la
trayectoria no esté contenida
totalmente en la superficie.
	Diapositiva 1: ELECTROMAGNETISMO Y ELECTROTECNIA. CLASE MARTES 8 DE MAYO DE 2022 POTENCIAL ELÉCTRICO
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25
	Diapositiva 26
	Diapositiva 27
	Diapositiva 28