CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

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ELECTROMAGNETISMO Y 
ELECTROTECNIA
CLASE 15
VIERNES 27 DE MAYO DE 2022
LA NECESIDAD DE UNA FUENTE DE FUERZA ELECTROMOTRÍZ.
Los circuitos forman parte esencial de los dispositivos,
instrumentos, equipos y otras tecnologías eléctricas o eléctrico mecánicas
y cumplen funciones específicas para los cuales son diseñados. Todo
circuito requiere de una fuente de alimentación que genere energía
eléctrica y es esta energía eléctrica por unidad de carga la responsable del
funcionamiento de los circuitos.
Estas fuentes conocidas desde hace mucho tiempo como
fuentes de FEM (FEM es la sigla de FUERZA ELECTROMOTRIZ) son
dispositivos que pueden generar voltajes. Por ejemplo las baterías, pilas
generan voltajes constantes de valor pequeño y proporcionan corrientes
continuas, otras fuentes generan voltajes de mayor valor pero que no son
constantes, sino mas bien variables y son responsables de proporcionar
corrientes alternas. Aún cuando, el fenómeno físico o químico involucrado
en la generación de un voltaje es diferente para los casos citados
anteriormente, el concepto de FEM que introduciremos es general y cubre
los casos mencionados anteriormente.
FUERZA ELECTROMOTRÍZ. Un campo eléctrico (electrostático y
conservativo) no es suficiente para mantener una corriente estacionaria
en un conductor. Examinaremos un par de situaciones que nos muestra
esta situación.
a) Supongamos un hilo metálico recto de largo L y que en el interior de
este hilo existe un campo eléctrico uniforme que apunta de izquierda a
derecha. El campo empuja las cargas positivas hacia el extremo
derecho del hilo y las cargas negativas hacia el extremo izquierdo. La
acumulación de cargas positivas en el extremo derecho y de cargas
negativas en el extremo izquierdo genera otro campo eléctrico que es
opuesto al que generó y de esta manera el campo neto es cero y no
hay corriente eléctrica.
Ԧ𝑣𝑑 -q 𝐸 +q Ԧ𝑣𝑑
b) Supongamos ahora que tenemos una espira de corriente, un alambre
conductor formado un bucle. Sea 𝐸 el campo eléctrico en el interior del
conductor, la circulación de este campo a lo largo del conductor es cero (el
campo es conservativo), de este modo el campo no hace trabajo para
hacer circular la carga a lo largo del conductor y por tanto no hay
movimiento de carga.
𝐸
𝐸ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 0 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑊 = ර Ԧ𝐹 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = ර𝑞𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑞ර𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 0
Los ejemplos anteriores no son los únicos, podríamos mostrar
muchos otros casos diferentes con el mismo resultado, un
campo eléctrico no basta por sí solo para mantener una
corriente en un circuito.
De acuerdo con lo anterior para mantener una corriente en un
conductor necesitamos un campo eléctrico no conservativo, es
decir un campo eléctrico 𝐸𝑓 tal que
𝐸𝑓ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 ≠ 0
Supongamos entonces que en cada punto del conductor hay dos
campos uno conservativo 𝐸𝑒 y otro no conservativo 𝐸𝑓, de este
modo el campo total en cada punto del conductor es
𝐸 = 𝐸𝑒 + 𝐸𝑓
La circulación ahora a lo largo del conductor en forma es ahora
𝐸ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = ׯ 𝐸𝑒 + 𝐸𝑓 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐸𝑒ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 + 𝐸𝑓ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 0 + 𝜀 = 𝜀
𝐸𝑒
𝐸𝑓
Como se ve, la circulación del campo total a lo largo del circuito ya no
es cero debido a que no lo es la circulación del campo no conservativo. El
valor de la circulación del campo total, que coincide con el valor de la
circulación del campo no conservativo, se llama fuerza electromotriz .
𝜀 = 𝐸ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐸𝑓ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 (1)
Una fuerza electromotriz es pues un concepto que está asociado a un
camino cerrado, cualquiera que este sea, en un conductor u otro tipo de
material, y es la circulación del campo eléctrico en ese camino.
Lo importante es que ahora el campo realiza un trabajo no nulo a lo
largo del circuito. Por tanto puede hacer recorrer a la carga q todo el
circuito, y el trabajo que realiza entonces es
𝑊 = ׯ Ԧ𝐹 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = ׯ 𝑞𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑞 𝐸ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑞𝜀 (2)
Esta expresión nos permite enunciar una definición de fuerza
electromotriz en un camino cerrado como el trabajo que realiza el campo
no conservativo por unidad de carga a lo largo del camino cerrado. La
unidad en que se mide la fuerza electromotriz es Joule/Coulomb = Volt.
El sentido que se asigna a la fuerza electromotriz es el sentido de la
circulación del campo. Si el campo no conservativo solo tiene un sentido
en el circuito, el sentido de la fuerza electromotriz es el de este campo,
que coincide con el sentido de la corriente que produce, el sentido hacia
donde el campo empuja las cargas positivas. Cabe hacer notar que esta
magnitud es escalar y el nombre se mantiene por razones históricas, de
modo que la asignación de un sentido es una mera cuestión de
conveniencia.

El sentido de la fem en un circuito
es el de la circulación del campo,
es decir, el del campo no
conservativo si este tuviera un solo
sentido en el circuito.
Supongamos un circuito eléctrico formado por un
hilo conductor de resistividad ρ, sección transversal
A y longitud L, que es asiento de fuerza
electromotriz, es decir, que en cada punto del
conductor existe, además del posible campo
electrostático, un campo eléctrico no conservativo.
Entonces el campo eléctrico en cada punto del
conductor es 𝑬 = 𝑬𝒆 + 𝑬𝒇
Por otra parte supondremos que se cumple la ley de
Ohm: 𝑬 = Ԧ𝑱 de forma que la circulación del campo
a lo largo del circuito es ahora
𝜀 = 𝐸ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝜌ׯ Ԧ𝐽 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = ׯ
𝜌
𝐴
𝐴𝐽𝑑𝑙 = 𝐼 ׯ
𝜌
𝐴
𝑑𝑙 = 𝐼
𝜌
𝐴
𝐿 = 𝐼 ∙ 𝑅𝑡
𝑅𝑡 = 𝜌
𝐿
𝐴
es la resistencia total del circuito.
Ԧ𝐽 
𝐸 = 𝐸𝑒 + 𝐸𝑓 = 𝜌Ԧ𝐽
Largo de todo el 
circuito L
Sección A
𝐸𝑒 𝐸𝑓
Se ha supuesto que la densidad de corriente Ԧ𝐽 es la misma en todos los
puntos de cualquier sección recta del hilo y que tiene en cada punto
dirección tangente al camino de la integral, al circuito; por eso Ԧ𝑗 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐽𝑑𝑙 .
Además Ԧ𝐽 𝑦 Ԧ𝐴 son paralelos, de modo que Ԧ𝐽 ∙ Ԧ𝐴 = 𝐽𝐴. Resulta por tanto que,
en un circuito con fuerza electromotriz , se cumple que
𝜀 = 𝐼𝑅𝑡 (3)
La ecuación (3) es una de las formas de la ecuación de circuito.
GENERADORES. El campo no conservativo 𝐸𝑓 puede ser no nulo en todos
los puntos del circuito o, por el contrario, puede ser no nulo solo en alguna
o algunas partes de él. Esta última situación es muy común en los circuitos
eléctricos. Por ejemplo, en la figura de más abajo el campo no
conservativo solo es no nulo en la parte inferior del circuito entre los
puntos A y B y, por tanto
𝜀 = ׯ 𝐸𝑐 + 𝐸𝑓 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐸𝑓ׯ ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐴׬
𝐵
𝐸𝑓 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 + 𝐵׬
𝐴
𝐸𝑓 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐴׬
𝐵
𝐸𝑓 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 (4)
B A

La fuerza electromotriz coincide con la
integral curvilínea del campo no
conservativo en la parte de circuito
donde este campo es no nulo. Se dice
que esa parte de circuito es un
generador
La figura muestra un esquema usual de un circuito provisto de un
generador. Se asume que el generador y el conductor obedecen la ley de
Ohm. I
B D A 
𝐴׬
𝐵
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐴׬
𝐵
𝐸𝑒 + 𝐸𝑓 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐴׬
𝐵
𝐸𝑒 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 + 𝐴׬
𝐵
𝐸𝑓 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 + 𝜀 (5)
Por otro lado
𝐴׬
𝐵
𝐸 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐴׬
𝐵
𝜌Ԧ𝐽 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐴׬
𝐵 𝜌
𝐴
𝐴Ԧ𝐽 ∙ 𝑑Ԧ𝑙 = 𝐼 𝐴׬
𝐵 𝜌
𝐴
𝑑𝑙 = 𝐼𝜌
𝐷
𝐴
= 𝐼𝑟 (6)
𝑟 = 𝜌
𝐷
𝐴
es la resistencia entre A y B llamada resistencia interna del
generador.
𝐸𝑒
𝐸𝑒
𝐸𝑓
De las ecuaciones (5) y (6) se obtiene
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 + 𝜀 = 𝑟𝐼
𝜀 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 + 𝐼𝑟 (7)
La última ecuación se llama ecuación fundamental de los circuitos
eléctricos. La fuerza electromotriz  puede ser función del tiempo. Un
generador cuya fuerza electromotriz es constante suele representarse, por
dos segmentos uno delgado mas largo y otro mas grueso y mas corto; el
mayor es hacia donde se dirige el campo no conservativo.
Como desde B hasta A por la parte exterior del generador no existe
campo no conservativo, la intensidad de corriente se debe a la diferencia
de potencial 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 , es decir, al campo electrostático, y como desde B
hasta A por afuera del generadorse mueven las cargas positivas por una
resistencia R (la del hilo entre B y A por arriba), quiere decir que el punto
B tiene mayor potencial que el A, o sea, (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴) > 0
Es decir, en un circuito con un generador de fuerza electromotriz
constante, el terminal hacia donde se dirige la fuerza electromotriz,
repre4sentado por el segmento mayor, tiene mayor potencial que el otro
terminal representado por el segmento menor; el primero se llama
terminal ( o borne) positivo y el segundo terminal ( o borne) negativo. 𝑉 =
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 se llama diferencia de potencial del generador. Si es R la
resistencia del conductor desde B a A por la parte superior, según la ley de
Ohm
𝑉 = 𝐼𝑅; 𝜀 = 𝑉 + 𝐼𝑟 = 𝐼 𝑅 + 𝑟 = 𝐼𝑅𝑡 (8)
R I
B A
+ -

Como r es un número real positivo e I tiene el mismo signo
que , si en la ecuación
𝜀 = 𝑉 + 𝑖𝑟,
 es positiva, todos los términos son positivos, por lo que  > V.
Solo en el caso de que i = 0,  = V. Precisamente es así como se
mide la fuerza electromotriz de los generadores: con sus dos
terminales abiertos, es decir, sin conductor exterior entre ellos
para que no exista circuito y no pueda circular corriente alguna,
de manera que i = 0; se mide entonces con un dispositivo
llamado voltímetro la diferencia de potencial entre sus bornes y
el resultado de esa medida es la fuerza electromotriz.
Obsérvese también que, en el caso que la resistencia r del
generador sea nula (generador ideal), la diferencia de potencial
coincide siempre con la fuerza electromotriz, aún cuando i ≠ 0.
ECUACIÓN DE POTENCIAS. La ecuación fundamental 𝜀 = 𝑉 + 𝐼𝑟 sugiere también
una interpretación energética: la fuerza electromotriz  es el trabajo que realiza el
campo no conservativo cuando traslada la unidad de carga positiva desde A hasta
B por el generador. Pero este trabajo se realiza en contra del campo
electrostático, pues se traslada la carga desde un punto A de menor potencial a
otro B de mayor potencial. Cuando la carga llega a B, queda sometida solo a la
diferencia de potencial V, por lo que se dirige por el conductor de resistencia R
hacia el punto A de menor potencial.
Resulta pues que el generador comunica a cada unidad de carga positiva que
sitúa en B una energía V. Esta unidad de carga “decae" después hasta A y realiza
un trabajo por unidad de carga igual a V. Si en vez de uno el generador mueve q
Coulomb, el trabajo que realiza para llevar la carga de A a B es qV, que es el que
la carga cede a R al caer hasta A. Se realiza una transferencia de energía del
generador a la resistencia eléctrica.
VB VA
B A
𝐸𝑒
𝐸𝑓
Si se multiplica la ecuación 𝜀 = 𝑉 + 𝐼𝑟 por la intensidad I
resultan las potencias del circuito:
𝜀𝐼 = 𝑉𝐼 + 𝑟𝐼2 (9)
Como  es la energía que el generador entrega a cada unidad
de carga que coloca en el terminal positivo,  I es la potencia del
generador, o sea, energía que entrega cada segundo, pues I es
la carga que coloca en el terminal positivo cada segundo. VI es
la potencia que absorbe la resistencia R. En efecto, como I =
V/R, esta potencia es
𝑉𝐼 = 𝐼2R =
𝑉2
𝑅
(10)
Por último 𝐼2𝑟 es la potencia que absorbe la resistencia del
generador. La potencia que genera la fuente de fem es disipada
en la resistencia interna y la resistencia externa.
Un generador se caracteriza por su fuerza electromotriz y
por su resistencia interna. Además, como debido a la potencia
que absorbe su resistencia interna, 𝐼2𝑟 , se elevará su
temperatura, ha de limitarse la intensidad para que la
temperatura no alcance valores peligrosos para los
componentes del generador. Esta limitación de la intensidad se
enuncia a veces de forma indirecta expresando la potencia
máxima I que el generador puede suministrar. Así se dice por
ejemplo: un generador de 100 V, 500 W y 0,1Ω de resistencia
interna. Aunque no se enuncie explícitamente, se deduce que
la intensidad máxima es 500/100=5A.
EJEMPLO 1. En la figura se representa una batería de fuerza electromotriz
12 Volt y 1 Ω de resistencia interna conectada a una resistencia exterior de
2 Ω. Calcular la intensidad del circuito, la tensión de la batería, la potencia
que absorbe la resistencia exterior y la que absorbe la resistencia interna
de la batería. ¿En qué sentido circulan los electrones libres por el interior
de la batería? ¿Cuántos electrones atraviesan una sección del conductor en
cada unidad de tiempo? Si se toma como origen de potenciales el punto A,
¿cuál es el potencial del punto B?
SOLUCIÓN. 2 Ohm I
I = 4 A
V = 8 Volt
PR = 32 Watt
Pr = 16 Watt
N = 2.500×10 19 electrones 12 V, 1 Ohm
VB = 8 Volt
B AB
COMBINACIÓN DE RESISTENCIAS. Por lo general en los circuitos hay mas de una
resistencia combinadas de diferentes maneras. La pregunta que nos hacemos es la
siguiente ¿ es posible reemplazar todas las resistencias por una sola llamada resistencia
equivalente, de modo que los efectos sean los mismos? Veremos dos modos básicos de
combinar resistencias: combinación serie y la combinación paralela.
COMBINACIÓN SERIE. La figura muestra una combinación serie de tres resistencias.
Supondremos qu entre los extremos a y b hay una diferencia de potencial V. En esta
combinación la intensidad de corriente es la misma en cada una de ellas y en cada una de
ellas se produce (en general) una caída de potencial diferente.
Si el voltaje entre los puntos a y b es V, entonces
V = V1 + V2 + V3
Donde V1 = IR1; V2 = IR2 ; V3 = IR3
V = IR1 + IR2 + IR3=I(R1+R2 + R3) = IReq
Req = R1+R2 + R3 es la resistencia equivalente.
𝑅𝑒𝑞 = σ1
𝑁𝑅𝐽 (11)
En la combinación serie la resistencia equivalente es mayor que cada una de las
resistencias componentes.
COMBINACIÓN PARALELO. La figura muestra tres resistencias combinadas en
paralelo. En esta combinación en cada resistencia el voltaje es el mismo. Sea V
el voltaje aplicado a estas resistencias entre los puntos a y b.
Naturalmente que la corriente i = i1 + i2 + i3.
Para cada resistencia: V = i1R1; V = i2R2; V = i3R3.
𝑖 =
𝑉
𝑅1
+
𝑉
𝑅2
+
𝑉
𝑅3
= 𝑉
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
= 𝑉
1
𝑅𝑒𝑞
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
;
1
𝑅𝑒𝑞
= σ1
𝑁 1
𝑅𝑗
(12)
Req es la resistencia equivalente. En esta combinación la resistencia equivalente
es menor que la mas pequeña de las resistencias componentes. Además si una
de las resistencias se quema entonces la corriente eléctrica disminuye pero no se
reduce a cero.
EJEMPLO 2. En una línea de transmisión de corriente continua, que tiene
1500 m de largo, una resistividad de 1,78×10-8 m y una sección recta
de 2 mm2 se produce una desviación a tierra por mal aislamiento. Las
lecturas de corriente y de voltaje a la entrada y a la salida son 6 A, 380
Volt y a la salida de 5 A, 310 Volt. Determine el punto donde se produce
la desviación y la resistencia de la misma.
SOLUCIÓN. A 640 m de la entrada, R = 347 
ENTRADA C SALIDA
A B
V= 380V I = 6 A I = 5 A V = 310 V
desviación
EJEMPLO 3. Calcule la resistencia equivalente entre los puntos a y b, para
las combinaciones mostradas en las figuras.
EJEMPLO 4. Determine la resistencia equivalente para la combinación
infinita de resistencias todas iguales de valor r.
Los circuitos pueden ser muy sencillos o muy
complejos todo depende de las funciones que
ellos cumplen. Existen diversos métodos de
análisis de circuitos; uno de los mas conocidos
es el que se basa en las reglas de Kirchhoff.
Para conocer este método necesitamos conocer
algunos elementos de un circuito.
NUDO (n) Punto de concurrencia de tres o más
elementos del circuito.
RAMA (r) Elementos comprendidos entre dos
nudos consecutivos
MALLA (m) Circuito cerrado que se puede
recorrer sin pasar dos veces por un mismo
punto.
Número de mallas independientes m = r – (n-1)
REGLAS DE KIRCHHOFF.
REGLA DE LOS NUDOS. La suma de las intensidadesde corriente que llegan a
un nudo es igual a la suma de las intensidades de corriente que salen del nudo.
Es decir la intensidad de corriente neta en un nudo es cero.
෍𝐼𝑗,𝑛𝑒𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = ෍𝐼𝑗𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
REGLA DE LAS MALLAS. La suma de las fem en una malla es igual a la suma de
los productos de cada resistencia por la intensidad de corriente que pasa por
ella.
෍𝜀𝑗 = ෍𝐼𝑗 ∙ 𝑅𝑗
CONVENIO DE SIGNOS. Antes de aplicar las reglas de Kirchhoff hay que asignar
un sentido de recorrido de las mallas. Una vez elegido el sentido de recorrido, si
se cruza una fuente de fem en el sentido de la fem esta es positiva, en caso
contrario es negativa. Si al cruzar una resistencia esta se cruza en el sentido de
la corriente el producto iR es positivo en caso contrario es negativo
EJEMPLO 5. Se tiene el sistema de 5 resistencias. Entre los extremos de
la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 Volt. Determine
las lecturas del amperímetro y del voltímetro si a) R5 = 25 , b)
determine el valor de R5 para el cual la potencia disipada en la resistencia
central es máxima, c) analice los casos cuando R5 es muy grande
digamos 1M y cuando R5 es muy pequeña digamos 1 m.
a) Usamos las leyes de Kirchhoff y de Ohm para resolver el problema. La 
figura muestra las corrientes para cada una de las ramas del circuito. 
Los nudos son A, B, D y E.
Aplicamos ley de Kirchhoff para el recorrido por la parte superior del 
circuito malla ADBA pasando por la fuente.
48I1 + 24I2 = 7.2 (1) 2I1 + I2 = 0.3 (2)
En el nudo D tenemos I1 = I5 + I2 (3). 
I1 = 0.1 + I5/3 (4) I2 = 0.1 - 2I5/3 (5)
Analogamente por las resistencias inferiores 
12I3 + 36I4 = 7.2; I3 + 3I4 = 0.6 (6)
En el nudo E I4 = I3 + I5 (7)
I3 = 0.15 - 3I5/4 (8) I4 = 0.15 + I5/4 (9)
Ahora aplicando Ohm 
VA – VE = (VA – VD) + (VD – VE) 12I3 = 48I1 + 25I5 (10)
Ahora sustituimos las ecuaciones (4) y (8) en (10)
12(0.15 - 3I5/4) = 48(0.1 + I5/3) + 25I5 (11)
Se obtiene I5 = -0.060 A
De este modo I1= 0.080 A: I2= 0.140 A; I3= 0.195 A: I4= 0.135 A.
La lectura del voltímetro central se obtiene con la ley de Ohm
V5 = I5R5 = - 1.50 Volt
Para hallar el valor de de R5 que maximiza la potencia disipada por ella
usamos la ecuación (11) con R5 en lugar de 25 .
12(0.15 - 3I5/4) = 48(0.1 + I5/3) + R5I5 (12)
Despejamos I5 de la ecuación anterior I5 = -3/(25 + R5)
La potencia disipada en la resistencia R5 es P= R5(I5)
2 
P = 9R5(25 + R5)
2
Derivamos respecto a R5 e igualamos a cero. R5 = 25 .
EJEMPLO 6. Para el circuito mostrado en la figura determine las
intensidades de corriente I1, I2, I3 y el potencial eléctrico en el punto B.
SOLUCIÓN.
EJEMPLO 7. Usando las leyes de Kirchhoff calcule las intensidades de
corriente en las mallas del siguiente circuito.
SOLUCIÓN IAB = -0,5 A
EJEMPLO 8. Para el circuito mostrado en la figura calcule las intensidades de
corriente en cada una de las mallas.
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