Apuntes CN - Anette Rachel Pinacho Matías (1)

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Curso de conjuntos y números.
Apuntes
Juan Jacobo Simón Pinero
Curso 2016/2017
2
Índice general
I Conjuntos 5
1. Conjuntos y elementos 7
1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Pertenencia, contenido e igualdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Operaciones con subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Pares, producto y relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Aplicaciones 19
2.1. Relaciones y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Aplicaciones iny., supray. y biy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Imágenes directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1. Inversa de una aplicación biyectiva . . . . . . . . . . . . . 27
3. Órdenes en conjuntos 31
3.1. Conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Elementos notables en un COPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Conjuntos bien ordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Relaciones de equivalencia 39
4.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. El conjunto cociente y la proyección canónica . . . . . . . . . . . 41
4.4. Relaciones de equivalencia y particiones . . . . . . . . . . . . . . 42
5. Conjuntos numéricos 45
5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1. Orden y operaciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2. Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1. Escritura decimal de números racionales. . . . . . . . . . 56
5.4. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4 ÍNDICE GENERAL
5.5.1. Forma exponencial de un número complejo. . . . . . . . . 64
5.6. Conjuntos numerables y no numerables . . . . . . . . . . . . . . 65
6. Análisis combinatorio. 67
6.1. Variaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1. Número de variaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2. Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3. Combinaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
II Números y polinomios 71
7. El anillo de los números enteros. 73
7.1. Artimética de los enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1.1. División entera y máximo común divisor. . . . . . . . . . 73
7.1.2. Mı́nimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.3. La ecuación diofántica lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.4. Números primos. Teorema Fundamental dela Aritmética . 82
7.2. Congruencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.1. Propiedades aritméticas de las congruencias . . . . . . . . 85
7.2.2. Estructuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2.3. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3. Teorema chino de los restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8. Polinomios 97
8.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. . . . . . . . . . . . . . 97
8.2. Ráıces de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.3. Factorización y ráıces de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4. Polinomios irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.5. Polinomios irreducibles en Q[X ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.6. Factores múltiples en cuerpos numéricos. . . . . . . . . . . . . . . 111
A. Apéndice 113
A.1. La función sucesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.2. Operaciones en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Parte I
Conjuntos
5
Caṕıtulo 1
Conjuntos y elementos
1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento.
Comenzamos con la definición de conjunto de G. Cantor [INCLUIR BIO-
GRAFIA]:
Un conjunto es una colección (dentro de un todo) de distintos objetos
definidos por nuestra intuición o pensamiento
Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepción intuitiva de los
conjuntos.
La noción formal de conjunto corresponde con fundamentos de la matemática
que quedan fuera del alcance de este texto. También queda fuera del alcance
de este texto el concepto de pertenencia. Vamos a asumir entonces que hay
unos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamos
elementos.
1.2. Pertenencia, contenido e igualdad.
Las colecciones a las que llamaremos conjuntos serán construidas de las si-
guientes dos formas principales.
1. Por extensión: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo
A = {X1, . . . , Xn, . . . } o A = {a, b, c, . . .}.
2. Por comprehensión: a través de una fórmula proposicional que siempre
tendrá, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, si B es un con-
junto,
A = {X ∈ B | p(X) (es verdadera) } .
Cuando sea obvio quién es el conjuntoB por el contexto, podemos omitirlo.
7
8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anteriores
determina un único conjunto.
1.2.1. Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos.
1. A = {a, e, i, o, u} o A = {x | x es una vocal }.
2. A = {0, 2, 4, . . .} o A = {x ∈ N | x es par }.
1.2.2. Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehensión y extensión,
los siguientes conjuntos:
1. Los números naturales que son impares y menores que 20.
2. Las vocales de la palabra “murciélago”.
3. Los números impares positivos.
1.2.3. Observación. La exigencia del conjunto de referencia en la escritura de
comprehensión es importante. El “todo” de donde tomamos los elementos debe
ser, de antemano, un conjunto. De no ser aśı, podemos tener problemas, como
se muestra a continuación.
Sea U la colección de todos los conjuntos y definimos
A = {x ∈ U | x 6∈ x} .
Si U fuese conjunto entonces A también lo seŕıa y entonces es inmediata la
siguiente proposición: A ∈ A si y solo si A 6∈ A, conocida como la paradoja de
Russell.
Lo que ocurre aqúı es que U no es un conjunto y por tanto, no podemos
formar el conjunto A por comprehensión.
1.2.4. Notación. Si a es un elemento del conjunto A, escribiremos a ∈ A. En
caso contrario escribimos a /∈ A.
1.2.5. Inclusión. Sean A y B conjuntos. Decimos que A está contenido en B,
o que A es subconjuntos de B si para todo elemento a ∈ A se tiene que a ∈ B.
Se denota A ⊂ B y se expresa a ∈ A ⇒ a ∈ B
Si A no está contenido en B entonces escribimos A 6⊂ B.
1.2.6. Observación. Es claro que A 6⊂ B si y solo si existe a ∈ A tal que
a 6∈ B.
1.2.7. Ejemplo. Sea I = {x ∈ N | x es impar } = {x ∈ N | x =
2n+ 1, con n ∈ N}, que a veces, para abreviar, escribimos {2n+1 | n ∈ N}.1
Entonces I ⊂ N.
1.2.8. Notación. Sean A y B conjuntos, tales que A ⊂ B. Si queremos destacar
la posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A ⊆ B. Cuando
queremos poner énfasis en justo lo contrario, escribimos A ( B; lo expresamos
como a ∈ A ⇒ a ∈ B pero ∃ b ∈ B tal que b 6∈ A.
1 Aunque esta escritura no estaba contemplada y no es rigurosa, se usa mucho y se entiende
perfectamente, aśı que podemos introducirla.
1.2. PERTENENCIA, CONTENIDO E IGUALDAD. 9
1.2.9. Igualdad. Diremos que dos conjuntos A y B son iguales cuando tengan
exactamente los mismos elementos. Lo expresamos a ∈ A ⇔ a ∈ B.
1.2.10. Proposición. Sean A y B conjuntos. A = B si y sólo si A ⊂ B y
B ⊂ A
Demostración. Inmediata.
Conjunto vaćıo.
1.2.11. Definición. Un conjunto vaćıo es aquel que no tiene elementos.
1.2.12. Proposición. Sean A y B conjuntos.Si A es vaćıo entonces A ⊂ B.
Demostración. Procederemos por reducción al absurdo. Sea A un conjunto vaćıo
y supongamos que existe un conjunto B, tal que A * B. Entonces existe a ∈ A
tal que a 6∈ B. Luego A no es vaćıo, lo cual es imposible.
1.2.13. Corolario. Solo hay un conjunto vaćıo.
Demostración. Inmediata de la proposición anterior.
Notación. El (único) conjunto vaćıo se denota ∅
1.2.14. Ejercicio. Decidir razonadamente si la siguiente afirmación es verda-
dera o falsa:
A = ∅ ⇐⇒ ∀x, x 6∈ A.
1.2.15. Partes de un conjunto. Sea A un conjunto. La colección
P(A) = {B | B ⊂ A}
se conoce como el conjunto de las partes de A o el conjunto potencia de A.
1.2.16. Ejercicios.
1. Determinar P(∅).
2. Sea A = {x1, x2, x3}. Escribir P(A) y comprobar que tiene 23 elementos.
3. Probar que A 6= P(A).
Solución. Solo veremos el ejercicio del taller. Supongamos que A = P(A). Se
tendrá entonces que X ⊂ A implica que X ∈ A. Vamos a formar el conjunto
B = {X ∈ A | X 6∈ X}. Como B ⊆ A entonces B ∈ A; además, ocurre una de
dos:
1. B ∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B ∈ B y por tanto B 6∈ B, lo cual es
absurdo.
2. B 6∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B 6∈ B y por tanto B ∈ B, lo cual es
absurdo.
Aśı que la suposición de que A = P(A) reduce al absurdo y por tanto es falsa.
Luego lo contrario es verdadero.
10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
1.3. Operaciones con subconjuntos
1.3.1. Unión. Sean A y B conjuntos. El conjunto
A ∪B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
se conoce como la unión de A y B.
Se escribe x ∈ A ∪B si y sólo si x ∈ A o x ∈ B.
Lo contrario es x /∈ A ∪B si y sólo si x /∈ A y x /∈ B.
1.3.2. Ejercicio. Sea A un conjunto arbitrario. Probar que para cualquier con-
junto B se tiene que A ⊂ A ∪B.
1.3.3. Intersección. Sean A y B conjuntos. El conjunto
A ∩B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
se conoce como la intersección de A y B.
Se escribe x ∈ A ∩B si y sólo si x ∈ A y x ∈ B.
Lo contrario es x /∈ A ∩B si y sólo si x /∈ A o x /∈ B.
Diagramas de Venn
En 1880 John Venn introdujo los diagramas para una mejor comprensión de
los conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas representan la unión
e intersección de dos conjuntos A y B contenidos en otro conjunto, digamos U .
U
A B
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✬✩
✫✪
✬✩
Unión
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U
A B
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Intersección
1.3.4. Ejercicio. Para los conjuntos A, B y C, probar las siguientes propieda-
des:
1. Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces (A ∪B) ⊂ C.
2. (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
3. A ⊂ B si y sólo si A ∪B = B si y solo si A ∩B = A
4. Como consecuencia, A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅.
1.3.5. Ejemplos. 1) Vamos a comenzar abordando un caso muy concreto hasta
otener la máxima generalidad, en el uso de la escritura comprehensiva.
Sea U = R2, el plano eucĺıdeo, A = {(x, y) ∈ U | x+ y ≤ 3}, B = {(x, y) ∈
U | x + y ≤ 7} y C = {(x, y) ∈ U | x − y = 0}. Probar que A ⊂ B y que
A 6⊂ C.
1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 11
Más en general, si P (r) = {(x, y) ∈ U | x + y ≤ r}, con r ∈ R, probar que
P (r) ⊂ P (s) si y solo si r ≤ s.
Finalmente, probar que si U es un conjunto arbitrario, A = {x ∈ U | p(x) }
y B = {x ∈ U | q(x) }, entonces A ⊆ B si y solo si [p(x) ⇒ q(x)].
2) Vamos a ver un caso donde podemos comparar el uso de escritura com-
prehensiva y el de listas. Para cualquier a ∈ N, se define N ·a = {0, a, 2a, . . .} =
{x ∈ N | x = na, con n ∈ N}. En este caso, la escritura con lista parece más
elegante que la comprehensiva. También puede comprobar fácilmente el lector,
a partir de la escritura de listas que N · a ∩ N · b = N ·mcm(a, b); sin embargo,
la unión N · a ∪N · b se escribe mal como lista.
Leyes distributivas.
1.3.6. Proposición. Sean A, B y C conjuntos. Entonces
1. A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
2. A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
Demostración. Comenzamos con la primera.
⊆] Sea x ∈ A ∩ (B ∪ C). Entonces x ∈ A y x ∈ B ∪ C; es decir, x ∈ A y
además x ∈ B o x ∈ C. Ahora separamos en dos casos. Primero, x ∈ A y x ∈ B,
de donde x ∈ A ∩ B. El otro es x ∈ A y x ∈ C, de donde x ∈ A ∩ C. No hay
más casos y por tanto x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
⊇] Si x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C) entonces x ∈ A y x ∈ B o bien x ∈ A y x ∈ C.
Luego x ∈ A en ambos casos y aśı, x ∈ A y además x ∈ B o x ∈ C, de donde
x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Vamos ahora con la segunda.
⊆] Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C). Tenemos dos casos. Primero, si x ∈ A entonces
x ∈ A ∪ B y además x ∈ A ∪ C (Ejercicio 1.3.2) luego x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Ahora, si x 6∈ A entonces x ∈ B ∩ C entonces x ∈ A ∪B y x ∈ A ∪ C (otra vez
Ejercicio 1.3.2) y por tanto x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪C).
⊇] Sea x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Consideramos dos casos. Primero, si x ∈ A
entonces x ∈ A∪ (B ∩C) (otra vez Ejercicio 1.3.2). Segundo, si x 6∈ A entonces
x ∈ B y además x ∈ C por lo que x ∈ B ∩ C, de donde x ∈ A ∪ (B ∩ C).
1.3.7. Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia de
conjuntos es la colección
A \B = {x | x ∈ A y x 6∈ B}.
Expresado como diagrama de Venn
12 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
U
A B
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✬✩
✫✪
✬✩
��
�
��
���
Diferencia
1.3.8. Ejercicio. Considérense los conjuntos A = {x ∈ R | 0 ≤ x2 ≤ 6} y
B = {x ∈ R | x22 < 8}. Se pide:
1. Representar estos conjuntos en la recta real.
2. Determinar los conjuntos A∪B, A∩B, A \B y B \A, escribiéndolos de
forma comprehensiva y gráficamente en la recta real.
1.3.9. Complemento. Sean A y U conjuntos, con A ⊂ U . Se conoce como
complemento de A en U a la colección
A∁ = U \A = {x ∈ U | x 6∈ A}.
Leyes de De Morgan.
Augustus De Morgan 1806 (Madras, India)-1871(Londres). Fue hijo de un
militar británico. Hizo contribuciones importantes en álgebra, geometŕıa y además
fue cofundador de la London Mathematical Society, aśı como su primer presi-
dente.
1.3.10. Proposición. Sean A y B conjuntos.
1. (A ∩B)∁ = A∁ ∪B∁.
2. (A ∪B)∁ = A∁ ∩B∁.
Demostración.
1. x ∈ (A ∩B)∁ ⇔ x 6∈ A ∩B ⇔ x 6∈ A o x 6∈ B ⇔ x ∈ A∁ o x ∈ B∁
⇔ x ∈ A∁ ∪B∁.
2. x ∈ (A ∪B)∁ ⇔ x 6∈ A ∪B ⇔ x 6∈ A y x 6∈ B ⇔ x ∈ A∁ y x ∈ B∁
⇔ x ∈ A∁ ∩B∁.
Expresado como diagrama de Venn
1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 13
U
A B
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✬✩
✫✪
✬✩
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(A ∩B)∁ = A∁ ∪B∁
U
A B
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(A ∪B)∁ = A∁ ∩B∁
1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones
Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o no
nos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par de
ejemplos.
Sean N el conjunto de los números naturales y P el conjunto de los núme-
ros pares positivos. Definimos, para cada n ∈ N, An como el conjunto de los
múltiplos pares de n; es decir An = {x ∈ P | xn ∈ N}.
Entonces, la colección C = {An}n∈N no es conjunto porque, por ejemplo,
Ap = A2p, para todo primo impar. En este caso, decimos que C es una familia
(de conjuntos).
Aún aśı, es claro que podemos considerar su unión e intersección y respetará
las leyes habituales de conjuntos.
Otro ejemplo es el siguiente. Considérese p1(X) = X
3 − X2 + X − 1 y
p2 = X
3 + X2 − 2. Sean R1 y R2 los conjuntos de ráıces reales de p1(X) y
p2(X) respectivamente, y R = {R1, R2}. En principio, no podemos asegurar
que R sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia
1 ∈ R1 ∪R2.
1.3.11. Definición. Una familia de conjuntos es una colección {Ai | i ∈ I},
donde I es un conjunto y Ai son conjuntos.
Si todos los objetos son diferentes, tendremos un conjunto.
14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias
Comenzamos con la unión. Al ser una operación binaria y asociativa, po-
demos extenderla a una colección finita de uniendos. Aśı, si A1, . . . , An son
conjuntos se tiene que
n⋃
i=1
Ai = {x | x ∈ Ai para alguna i ∈ {1, . . . , n}} .
Cuando la colección sea infinita, también habrá unión, pero ya no es una
consecuencia de propiedades de operaciones binarias. Será una nueva definición.
Veamos la versión más general. Nos viene a decir que las uniones más gene-
rales serán conjuntos, siempre y cuandolos uniendos pertenezcan a su vez, a un
conjunto.
1.3.12. Unión arbitraria. Sea C un conjunto cuyos elementos son, a su vez,
conjuntos. La unión arbitraria es el conjunto
∪C = {x | x ∈ A, para algún A ∈ C} .
En el caso de las familias, si I es un conjunto de ı́ndices y C = {Ai | i ∈ I} =
{Ai}i∈I , entonces escribimos
∪C =
⋃
i∈I
Ai = {x | x ∈ Ai para algún i ∈ I} .
Al igual que sucede con la unión, podemos definir la intersección finita en
conjuntos y familias. Si A1, . . . , An son conjuntos entonces la intersección es el
conjunto
n⋂
i=1
Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ {1, . . . , n}} .
1.3.13. Intersección arbitraria. Sea C un conjunto, cuyos elementos son, a
su vez, conjuntos. La intersección arbitraria es el conjunto
∩C = {x | x ∈ A, para todo A ∈ C} .
En el caso de las familias, si I es un conjunto de ı́ndices y C = {Ai | i ∈ I} =
{Ai}i∈I , entonces escribimos
∩C =
⋂
i∈I
Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ I} .
1.3.14. Ejemplo. Sea A = {a, b, c} y consideramos el conjunto de las partes
de A, que denotamos P(A). Sea C = {{a, b}, {b, c}}. Entonces
1.
⋃
C = A.
2.
⋂
C = {b}.
1.4. PARES, PRODUCTO Y RELACIONES 15
1.3.15. Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los números primos positivos.
Para cada primo, p ∈ P, definimos el conjunto N · p = {0, p, 2p, . . .}, o sea, los
múltiplos naturales de p. Entonces:
1. La familia {N · p}p∈P es un conjunto.
2.
⋃
p∈P N · p = N \ {1}.
3. Si p1, . . . , pn son primos positivos distintos cualesquiera entonces se tiene
que
⋂n
i=1N · pi = {0, p1 · · · pn, 2(p1 · · · pn), . . . }
4.
⋂
p∈P N · p = {0}.
1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y re-
laciones binarias
En ocasiones queremos hacer corresponder dos objetos, ya sea para compa-
rarlos, sustituirlos o con algún otro interés. Una herramienta matemática por
excelencia para estudiar las correspondencias es el concepto de pareja ordenada o
par ordenado. En los estudios preuniversitarios invocamos las parejas ordenadas
escribiendo (a, b). Vamos interpretar este concepto en términos de conjuntos.
1.4.1. Definición. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada por
a ∈ A y b ∈ B es el conjunto
(a, b) = {{a}, {a, b}} .
1.4.2. Observación. La escritura de la definición anterior puede reducirse mu-
cho según el caso. Por ejemplo (a, a) = {{a}}.
1.4.3. Proposición. Sean A y B conjuntos. Para cualesquiera elementos a, c ∈
A y b, d ∈ B se tiene que (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.
Demostración. Se deduce de la igualdad {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.
Ahora vamos a considerar el conjunto de las parejas ordenadas. Nótese que
una vez que hemos dado fundamento a la definición de pareja ordenada en
términos de conjuntos, podemos volver a las expresiones anteriores que son
más familiares y de ser necesario, como en la proposición anterior, recurrir a la
definición formal para asegurar el rigor en los argumentos.
1.4.4. Producto cartesiano. Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano
de A y B es el conjunto
A×B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B} .
1.4.5. Observación. Es claro que siendo el producto cartesiano un operación
binaria, podemos extender el concepto a un número finito de factores. En este
caso, es inmediato comprobar que el producto cartesiano de tres conjuntos no es
16 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
asociativo; sin embargo, la identificación (a, (b, c)) con ((a, b), c) es demasiado
clara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos,
teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripción en
términos de conjuntos para la expresión (a, b, c). Más adelante le daremos sen-
tido, con un concepto más general, el de producto directo.
1.4.6. Proposición. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces
A× ∅ = ∅ ×A = ∅.
Demostración. Supongamos que A× ∅ 6= ∅. Entonces existe una pareja (a, b) ∈
A × ∅, con b ∈ ∅. Pero eso es imposible. El otro producto es completamente
análogo.
1.4.7. Observación. De la propia definición de pareja ordenada se desprende
que si A y B son conjuntos puede ocurrir que A×B 6= B ×A.
1.4.8. Ejercicios.
1. Sea A = 1, 2, 3 y B = a, b. Formar el producto cartesiano.
2. comprobar que A× (B ∪C) = (A×B) ∪ (A× C)
3. comprobar que A× (B ∩C) = (A×B) ∩ (A× C)
Ahora vamos expresar en términos de conjuntos la noción de relación (o
correspondencia) entre dos objetos.
1.4.9. Definición. Sean A y B conjuntos. Una relación binaria (o correspon-
dencia) entre elementos de A y de B es un subconjunto R ⊆ A×B.
Cuando (a, b) ∈ R decimos que a está relacionado con b (dicho en ese orden)
y escribimos aRb, para la fórmula o regla de comprehensión.
Cuando ocurra A = B, diremos simplemente que R es una relación en A.
Entonces, para referirnos a una relación, podemos usar dos formas. La pri-
mera es describiendo el conjunto R ⊆ A×B y la otra es utilizando una fórmula
o regla para determinar R por comprehensión. Vamos a ver ejemplos de ambas
formas.
1.4.10. Observación. Algunos autores obligan a que las relaciones sean con-
juntos no vaćıos. Otros reservan el término relación para correspondencias en
un solo conjunto.
Si no causa confusión, diremos relación en vez de relación binaria.
1.4.11. Observación. Nótese que puede ser que un elemento a esté relacionado
con otro b, pero no rećıprocamente.
1.4.12. Ejemplos. 1. Si A = ∅ y B es arbitrario, entonces A×B = ∅ y por
lo tanto, la única posible relación entre A y B es la vaćıa.
2. Sean A y B conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (que
pueden coincidir), una es el vaćıo y la otra es la total.
1.4. PARES, PRODUCTO Y RELACIONES 17
3. Sean A = B = R. El conjunto
R =
{
(x, y) ∈ R2 | x ≤ y
}
;
es una relación con regla xRy ⇔ x ≤ y.
4. Sean A = B = Z2. La regla (a, b)R(a′, b′) ⇔ ab′ = a′b determina una
relación.
5. Sea A un conjunto. La “diagonal” de A2; es decir, (a, b) ∈ R ⇔ a = b, es
una relación (la igualdad).
6. Sean A = B = Z. La regla aRb ⇔ a | b (a divide a b; o bien, b es múltiplo
de a, véase la Definición 7.1.5) determina una relación.
7. Sean A = B = R. La regla xRy ⇔ y = x2 + 1 determina una relación.
En este caso R = {(x, y) ∈ R2 | y = x2 + 1} y podemos dibujarla en el
plano.
1.4.13. Definición. Sean A y B, conjuntos, y R una relación entre A y B.
1. Al conjunto A se le llama conjunto inicial.
2. Al conjunto B se le llama conjunto final.
3. Se conoce como dominio de la relación, al conjunto
DomR = {a ∈ A | ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R} .
4. Se conoce como imagen de la relación, al conjunto
ImR = {b ∈ B | ∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R} .
1.4.14. Ejemplo. Sea R ⊂ R2 tal que
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y
2 − x
y
.
Se puede comprobar que DomR = R \ (−4, 0] y que ImR = R \ {−1}, ya que
b ∈ ImR si y solo si existe a ∈ R tal que a = b2−ab si y solo si a = b
2
b+1 y de aqúı
se desprende el resultado.
Se sugiere al lector que considere la relación
(x, y) ∈ R ⇐⇒ xy + x = y2
y examine el dominio y la imagen.
18 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
Podemos representar las relaciones en gráficas planas, como se hace en el
cálculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} y
considérese la relación R = {(a, b′), (a, c′), (b, c′)}. La gráfica es
a′
b′
c′
d′
a b c
•
••
Un ejercicio interesante es estudiar la relación entre la forma de las gráficas
y las propiedades de las relaciones.
Caṕıtulo 2
Aplicaciones
2.1. Relaciones y aplicaciones
En cursos previos hemos visto que una aplicación es una correspondencia
entre los elementos de dos conjuntos. Más actualmente, en caṕıtulos anterio-
res hemos expresado el concepto de correspondencia en términos de conjuntos.
Vamos a trabajar ahora el concepto de aplicación en términos de conjuntos.
2.1.1. Definición. Sean A y B conjuntos. Una aplicación entre A y B es una
relación f ⊂ A×B que cumple la siguiente propiedad:
Para todo a ∈ A, existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ f .
O bien, para todo a ∈ A, existe un b ∈ B tal que (a, b) ∈ f y si (a, b)
y (a, c) pertenecen a f , entonces b = c.
Nótese queesta definición en realidad no difiere de la que hemos visto en
estudios previos. Estamos diciendo, en términos de conjuntos, que una aplicación
es una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B,
que satisfacen que para todo a ∈ A existe un único elemento b ∈ B que le
corresponde.
2.1.2. Notación. Sean A y B conjuntos y f una aplicación de A a B. Escri-
bimos entonces
f : A → B o A f−−→ B.
Además, si a ∈ A y (a, b) ∈ f , como b es único podemos escribir
b = f(a).
En ocasiones expresamos la igualdad anterior b = f(a), que también lla-
mamos regla de corespondencia, a través de igualdades. Por ejemplo, podemos
definir f : N→ N tal que f(n) = n2; es decir, f =
{
(n, n2) | n ∈ N
}
.
Cuando partimos de una igualdad como por ejemplo y = x2 +1 y queremos
interpretarla como la regla de una aplicación, la llamamos función1 y tenemos
1Algunos autores no distinguen estos conceptos y a todo le llaman funciones.
19
20 CAPÍTULO 2. APLICACIONES
que determinar su “dominio de definición” es decir, el mayor conjunto que puede
ser el dominio con el que podemos interpretar y = x2 + 1 como la regla de
correspondencia de una aplicación.
Existen diversas maneras de representar gráficamente a las aplicaciones. Va-
mos a ver dos de ellas. La primera es t́ıpica:
Sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} conjuntos. Representamos la aplica-
ción f : A → B tal que f = {(a, a′), (b, c′), (c, d′)} como
A B
a •
b •
c •
• a′
• b′
• c′
• d′
f
La siguiente es la gráfica habitual de las coordenadas, que ya hemos visto
para relaciones.
a′
b′
c′
d′
a b c
•
•
•
Otra gráfica habitual es la de la función y = x2 + 1
2.1.3. Observación. En ocasiones, sobre todo en el cálculo y la topoloǵıa,
se suele identificar la aplicación con la regla de correspondencia y a la propia
aplicación con la gráfica (o grafo).
2.1.4. Observación. Como hemos dicho, una aplicación es una relación, que
escribimos f : A → B. De este modo tenemos
1. El dominio de f , que es Domf = A. Es decir, el dominio coincide con el
conjunto inicial, aśı que éste último término ya no se usa.
2. La imagen (o imagen directa) de f , que es Imf = f(A) ⊆ B.
Además, tenemos otras definiciones.
2.1.5. Definición. Sean A y B conjuntos y f : A → B.
1. Al conjunto final B se le llama el codominio de f .
2.2. APLICACIONES INY., SUPRAY. Y BIY. 21
2. A la igualdad b = f(a) se le llama la regla de correspondencia de f , y
tiene especial sentido cuando se establece por fórmula.
3. Si (a, b) ∈ f , decimos que a es una preimagen de b y que b es la imagen
de a.
2.1.6. Observación. Nótese que hablamos de “la” imagen de a ∈ A (puesto
que esta imagen es única, por la Definición 2.1.1) y de “una” preimagen de
b ∈ B, porque en este caso no tiene por qué haber unicidad.
2.1.7. Ejemplos.
1. Sea A un conjunto. La relación “diagonal” es una aplicación que llamamos
la identidad.
2. Sea f : Z→ N, tal que f(a) = a2. Entonces f es una aplicación.
3. La relación xRy ⇔ x2 + y2 = 1 no es una aplicación. Sin embargo, y =√
1− x2 śı lo es.
2.1.8. Ejemplo. Operaciones binarias. Sean A y B conjuntos no vaćıos. Una
ley de composición externa es una aplicación
B ×A ◦−−→ A
cuya imagen habitualmente denotamos b◦a en vez de ◦(b, a). Un ejemplo t́ıpico
de esto es el producto por un escalar en espacios vectoriales.
Otra operación binaria es la ley de composición interna. Sea A un conjunto.
Una operación binaria en A es una aplicación
A×A ◦−−→ A
cuya imagen habitualmente denotamos a ◦ a′ en vez de ◦(a, a′). Un ejemplo
t́ıpico de esto es la suma en los números naturales.
2.2. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y bi-
yectivas
2.2.1. Definición. Sea f : A → B una aplicación.
1. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si para cada elemento de la
imagen, la preimagen es única. Escribimos
f(a) = f(b) ⇒ a = b o a 6= b ⇒ f(a) 6= f(b)
2. Decimos que f es suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva) si cubre todo
el codominio. Escribimos
∀ b ∈ B, ∃ a ∈ A tal que f(a) = b.
22 CAPÍTULO 2. APLICACIONES
3. Decimos que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
2.2.2. Ejemplos. Se pueden comprobar fácilmente las siguientes afirmaciones:
1. La aplicación f : N→ N tal que f(x) = 2x es inyectiva, pero no suprayec-
tiva.
2. La aplicación f : N → N tal que f(x) = E
(
x
2
)
(la parte entera de x2 ) es
suprayectiva pero no es inyectiva.
3. La aplicación f : N → N con f(0) = 0 y f(x) = x − 1 para x 6= 0 es
suprayectiva pero no es inyectiva.
4. La aplicación f : [1,∞) → (0, 1] tal que f(x) = 1x es biyectiva.
5. La aplicación f : R→ R tal que f(x) = x2 no es inyectiva ni suprayectiva.
6. Siguiendo el apartado anterior, vamos a ver que, cuando una función viene
definida por una regla o fórmula, esta regla por śı sola no es suficiente para
decidir si la aplicación es inyectiva o suprayectiva, puesto que hay que tener
en cuenta también el dominio y el codominio de la aplicación. Por ejemplo:
a) La aplicación f : Z → Z dada por f(x) = x2 no es ni inyectiva ni
suprayectiva.
b) La aplicación f : N→ N dada por f(x) = x2 es inyectiva pero no es
suprayectiva.
c) La aplicación f : R → [0,+∞) dada por f(x) = x2 es suprayectiva
pero no es inyectiva.
d) La aplicación f : [0,+∞) → [0,+∞) dada por f(x) = x2 es biyectiva.
e) La aplicación f : R → R dada por f(x) = x2 no es ni inyectiva ni
suprayectiva.
7. Sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′}. Entonces
a) La aplicación f = {(a, b′), (b, b′), (c, b′)} no es inyectiva ni suprayec-
tiva (es constante).
b) La aplicación f = {(a, b′), (b, c′), (c, d′)} es inyectiva pero no supra-
yectiva.
c) Ninguna aplicación f : A → B puede ser suprayectiva.
8. Sean A = {a, b, c, d} y B = {a′, b′, c′}. Entonces
a) La aplicación f = {(a, a′), (b, b′), (c, a′), (d, b′)} no es inyectiva ni su-
prayectiva.
b) La aplicación f = {(a, a′), (b, b′), (c, c′), (d, c′)} no es inyectiva pero śı
suprayectiva.
c) Ninguna aplicación f : A → B puede ser inyectiva.
2.3. IMÁGENES DIRECTAS E INVERSAS 23
9. Dada cualquier aplicación f : A → B, podemos considerar la aplicación
f̂ : A → Imf dada por f̂(a) = f(a) para cada a ∈ A (se dice que f̂ “actúa
igual” que f , y de hecho es común denotarla con la propia letra f).
Claramente, f̂ (que se suele llamar “la restricción de f a su imagen”)
siempre es suprayectiva, y si f es inyectiva entonces f̂ es biyectiva.
2.3. Imágenes directas e inversas
2.3.1. Definición. Sea f : A → B una aplicación.
1. Para X ⊆ A, definimos la imagen (directa) de X como
f(X) = {f(x) | x ∈ X} = {b ∈ B | ∃x ∈ X, b = f(x)}.
2. Para Y ⊆ B, definimos la imagen inversa como
f(Y )−1 = {a ∈ A | f(a) ∈ Y }
que también podemos escribir f−1(Y ) teniendo cuidado de no confundirla
con la aplicación inversa que se definirá más tarde.
En el caso de las imágenes inversas, cuando el conjunto Y solo tiene un
elemento, digamos Y = {y} se suele denotar f(y)−1 y por el contexto podremos
distinguir del inverso en aritmética.
2.3.2. Proposición. Sea f : A → B una aplicación. La imagen directa verifica
las siguientes propiedades.
1. f(∅) = ∅.
2. Si X ⊂ Y entonces f(X) ⊂ f(Y ).
3. Si X,Y ⊂ A entonces f (X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).
4. Si X,Y ⊂ A entonces f (X ∩ Y ) ⊆ f(X) ∩ f(Y ).
Más en general, si I es un conjunto y {Xα}α∈I una familia de subconjuntos de
A entonces
f
(
⋃
α∈I
Xα
)
=
⋃
α∈I
f (Xα) y f
(
⋂
α∈I
Xα
)
⊆
⋂
α∈I
f (Xα)
Demostración. 1. Es inmediata de la Proposición 1.4.6.
2. Si X = ∅ el resultado se sigue de lo anterior, y del hecho de que el vaćıo
está contenido en todo conjunto (véase la Proposición 1.2.12). En otro caso, sea
y ∈ f(X). Entonces existe x ∈ X tal que f(x) = y. Como X ⊆ Y entonces
x ∈ Y , luego y = f(x) ∈ f(Y ).
Finalmente haremos la primera de las generales y los apartados restantes los
dejaremos como ejercicio.
24 CAPÍTULO 2. APLICACIONES
⊆] Sea y ∈ f (∪α∈IXα). Entonces existe x ∈ ∪α∈IXα tal que f(x) = y.
Como x ∈ ∪α∈IXα entonces x ∈ Xα para alguna α ∈ I. Luego y ∈f (Xα) ⊂
∪α∈If (Xα).
⊇] Considérese y ∈ ∪α∈If (Xα). Entonces y ∈ f (Xα) para alguna α ∈ I,
aśı que existe x ∈ Xα tal que f(x) = y. De hecho x ∈
⋃
α∈I Xα, aśı que
y = f(x) ∈ f (∪α∈IXα).
2.3.3. Ejercicio. En la situación de la Proposición 2.3.2(4) anterior, dar un
ejemplo en el que se tenga la igualdad y otro el que se tenga un contenido
estricto.
Ahora vamos a ver propiedades similares de la imagen inversa. Como se verá,
resultan “un poco mejores” que las de la imagen directa.
2.3.4. Proposición. Sea f : A → B una aplicación. La imagen inversa verifica
las siguientes propiedades.
1. f(∅)−1 = ∅.
2. f(B)−1 = A.
3. Si X ⊂ B entonces
(
f(X)−1
)∁
= f
(
X∁
)−1
.
4. Si X ⊂ Y ⊂ B entonces f(X)−1 ⊂ f(Y )−1.
5. Si X,Y ⊂ B entonces f(X ∪ Y )−1 = f(X)−1 ∪ f(Y )−1.
6. Si X,Y ⊂ B entonces f(X ∩ Y )−1 = f(X)−1 ∩ f(Y )−1.
Más en general, si I es un conjunto y {Xα}α∈I es una familia de subconjuntos
de B, entonces
f
(
⋃
α∈I
Xα
)−1
=
⋃
α∈I
f(Xα)
−1 y f
(
⋂
α∈I
Xα
)−1
=
⋂
α∈I
f(Xα)
−1
Demostración. Probaremos la última afirmación. El resto se deja como ejercicio.
⊆] Sea x ∈ f (∩α∈IYα)−1. Entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα, entonces f(x) ∈ Yα para
todo α ∈ I luego x ∈ f (Yα)−1 para todo α ∈ I, aśı que x ∈ ∩α∈If (Yα)−1.
⊇] Sea x ∈ ∩α∈If (Yα)−1. Entonces x ∈ f (Yα)−1 para todo α ∈ I, lue-
go f(x) ∈ Yα para todo α ∈ I, entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα. Por lo tanto x ∈
f
(⋂
α∈I Yα
)−1
.
2.3.5. Ejemplo. Sea f : R→ R dada por f(x) = x2. Sea X = [1,
√
2] ⊂ R. Se
puede comprobar que:
1. f(X) = [1, 2].
2. f (f(X))
−1
= [−
√
2,−1] ∪ [1,
√
2].
3. f(X)−1 =
[
− 4
√
2,−1
]
∪
[
1, 4
√
2
]
2.4. COMPOSICIÓN 25
4. f
(
f(X)−1
)
= [1,
√
2].
Como ejercicio se puede hacer lo mismo para la aplicación dada por g(x) =
senx, e Y = [−2, 2].
2.3.6. Ejercicio. Sea f : A → B una aplicación. Para todo subconjunto X ⊂ A
se tiene X ⊂ f (f(X))−1, y para todo subconjunto Y ⊂ B se tiene f
(
f(Y )−1
)
⊂
Y , y ambos contenidos pueden ser estrictos (por ejemplo con f(x) = x2, X =
{1} e Y = {−4, 4}).
2.4. Composición
Permı́tasenos comenzar este párrafo con el siguiente ejercicio.
2.4.1. Ejercicio. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Definimos la
relación g ◦ f ⊂ A× C tal que (a, c) ∈ (g ◦ f) si y sólo si, existe b ∈ B tal que
(a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g.
Probar que g ◦ f es una aplicación.
Entonces podemos introducir el siguiente concepto.
2.4.2. Definición. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Se conoce como
la composición de f seguida de g a la aplicación g ◦ f : A → C tal que
(g ◦ f)(a) = g(f(a)).
Entonces, en la composición ocurre que Dom(g ◦ f) = Domf y el codominio
de la composición es igual al codominio de g.
2.4.3. Ejemplos.
1. Sean f : N → N y g : N → Z, dadas por f(n) = 2n + 1 y g(n) = n2.
Entonces la composición de f seguida de g es
(g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(2n+ 1) = (2n+ 1)2.
Nótese que la composición de g seguida de f no puede definirse, porque no
coinciden la imagen de g y el dominio de f . También notemos que a efectos
prácticos, eso podŕıa corregirse. Una manera de hacerlo es la siguiente.
2. Al hilo del apartado anterior, sean f : N → N y g′ : N → N, dadas por
f(n) = 2n+ 1 y g′(n) = n2. Ahora podemos hacer ambas composiciones
y queda
(g ◦ f)(n) = (2n+ 1)2 y (f ◦ g)(n) = 2n2 + 1.
Nótese que (g ◦ f) 6= (f ◦ g).
En vista del siguiente resultado, podemos decir que la composición de apli-
caciones es asociativa.
2.4.4. Teorema. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D aplicaciones.
Entonces h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .
26 CAPÍTULO 2. APLICACIONES
Demostración. La coincidencia de los dominios y codominios es clara, luego las
composiciones pueden considerarse. Sea a ∈ A. Calculamos
(h ◦ (g ◦ f))(a) = h ([g ◦ f ](a)) = h (g(f(a))) = (h ◦ g)(f(a)) = ((h ◦ g) ◦ f)(a)
2.4.5. Proposición. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva.
Demostración. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones inyectivas. Sean
a, a′ ∈ A tales que (g ◦ f)(a) = (g ◦ f)(a′). Entonces g(f(a)) = g(f(a′)) y como
g es inyectiva f(a) = f(a′), y como f es inyectiva a = a′.
2.4.6. Proposición. La composición de aplicaciones suprayectivas es supra-
yectiva.
Demostración. Sea c ∈ C. Entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c y, a su vez,
existe a ∈ A tal que f(a) = b. Luego (g ◦ f)(a) = c.
2.4.7. Corolario. La composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva.
Demostración. Inmediata de las dos anteriores.
2.4.8. Proposición. Sean f : A → B y g : B → C. Entonces
1. Si g ◦ f es inyectiva entonces f es inyectiva.
2. Si g ◦ f es suprayectiva entonces g es suprayectiva.
Demostración. Ejercicio.
Restricción de una aplicación a un subconjunto del dominio
Si f : A → B es una aplicación y X es un subconjunto de A, la restricción
de f a X es la aplicación f |X : X → B dada por f |X(x) = f(x). Es decir, una
restricción f |X actúa igual que la aplicación original f , pero solo actúa sobre
los elementos del subconjunto X .
Una interpretación alternativa es f |X = f ◦ u, donde u : X → A es la
“aplicación inclusión” dada por u(x) = x.
Al restringir una aplicación pueden variar sus propiedades. Aśı, por ejemplo,
la aplicación f : R→ [0,+∞) dada por f(x) = x2 es suprayectiva y no inyectiva,
mientras que a su restricción al intervalo [1,+∞) le pasa justo lo contrario.
2.4. COMPOSICIÓN 27
2.4.1. Inversa de una aplicación biyectiva
2.4.9. Notación. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicación
identidad en A, como 1A : A → A; es decir, 1A(a) = a, para todo a ∈ A.
2.4.10. Definición. Sea f : A → B una aplicación. Decimos que f tiene
inversa si existe g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B.
En este caso, decimos que f es una aplicación invertible.
2.4.11. Proposición. Sea f : A → B una aplicación invertible. Entonces la
inversa es única.
Demostración. Supongamos que g y h son inversas. Entonces
g = g ◦ 1B = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = 1A ◦ h = h.
2.4.12. Notación. Para una aplicación invertible f : A → B, denotamos la
inversa como f−1.
2.4.13. Teorema. Sea f : A → B una aplicación. Entonces f es invertible si
y sólo si es biyectiva.
Demostración. Supongamos primero que f es invertible y veamos que es biyec-
tiva. Sean a, a′ ∈ A. Si f(a) = f(a′) entonces f−1(f(a)) = f−1(f(a′)), luego
a = a′. Ahora, sea b ∈ B. Hacemos a = f−1(b) y se tiene que f(a) = b. Por
tanto es biyectiva.
Rećıprocamente, supongamos que f es biyectiva y queremos definir la in-
versa. Para cada b ∈ B consideremos la imagen inversa f({b})−1. Se afirma
que la imagen inversa tiene exactamente un elemento. Como f es sobre, en-
tonces f({b})−1 6= ∅. Si a, a′ ∈ f({b})−1 entonces b = f(a) y b = f(a′), de
donde f(a) = f(a′) y como es inyectiva a = a′. Definimos g : B → A tal que
g(b) ∈ f(b)−1, el único elemento. Es inmediato comprobar que g es inversa de
f y por tanto g = f−1.
2.4.14. Proposición. Si f : A → B y g : B → C son aplicaciones invertibles
entonces la composición es invertible y su inversa es
(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
Demostración. Es un cálculo directo.
2.4.15. Ejemplo. Las permutaciones. Sea 0 6= n ∈ N y A = {a1, . . . , an} un
conjunto (con n elementos). Una permutación del conjunto A es una biyección
σ : A → A. Las permutaciones se denotan
σ =
(
a1 . . . an
σ(a1) . . . σ(an)
)
.
Como ejemplo más concreto, si A = {1, 2, 3, 4, 5} entonces una permutación
puede ser
σ =
(
1 2 3 4 5
3 4 5 1 2
)
.
28 CAPÍTULO 2. APLICACIONES
Dado un conjunto no vaćıo A con n elementos, se denota S(A) el conjunto
de las permutaciones de A. En el caso A = {1, . . . , n}, por convención se escribe
Sn.
Producto directo
Vamos a ver una extensión de la definición de producto cartesiano (1.4.4)
que llamaremos el producto directo. A diferencia del producto cartesiano, el
producto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjunto
de ı́ndices está ordenado, los identificamos, con la idea de extensión del producto
cartesiano a un número finito de factores (véase la Observación 1.4.5).
2.4.16. Definición. Sea I un conjunto y F = {Ai}i∈Iuna familia de conjun-
tos. Se conoce como producto directo de la familia F al conjunto
∏
i∈I
Ai = {f : I → ∪i∈IAi | f(i) ∈ Ai, ∀i ∈ I} .
2.4.17. Notación. Los elementos se denotan imitando la escritura de las pa-
rejas ordenadas; es decir, si f ∈ ∏i∈I Ai, escribimos f = (xi)i∈I .
Cuando I es finito y se escribe como una lista, escribimos sus elementos
repitiendo la lista en los ı́ndices. No tenemos que seguir el orden de la lista,
pero es conveniente y se acostumbra.
Por ejemplo si I = {1, . . . , n}, escribimos
A1 × · · · ×An = {(x1, . . . , xn) | xi ∈ Ai, i = 1, . . . , n} .
En caso de que no se quiera escribir una familia con ı́ndices, simplemente
se presupone; es decir, a la familia {A,B,C} la vemos como {A1, A2, A3} o
usando cualquier otro conjunto de ı́ndices con tres elementos.
2.4.18. Observación. Es importante hacer notar que el producto cartesiano
es utilizado como fundamento en la definción de relación y aplicación, aśı que
el producto directo requiere de la definción de producto cartesiano y no puede
sustituirlo ni identificarse como tal, aunque exista una biyección entre ellos en
el caso de un número finito de factores y usemos la misma escritura, por abuso
de notación.
2.4.19. Ejemplos.
1. R2 = {f : {1, 2} → R | f(i) ∈ R, i = 1, 2} = {(x1, x2) | xi ∈ R}, el
plano habitual.
2. Rn = {f : {1, . . . , n} → R | f(i) ∈ R, i = 1, . . . , n}.
3.
∏
n∈N An = {f : N→ ∪n∈NAn | f(n) ∈ An}, es un producto infinito. De-
notamos sus elementos también como f = (x1, x2, . . . ).
Ya hemos comentado en la Observación 1.4.5 que el producto cartesiano con
más de dos factores no es asociativo. El producto directo tampoco lo es, pero
2.4. COMPOSICIÓN 29
como conjuntos pueden identificarse. Por ejemplo, existe una biyección entre
A × (B × C) y (A × B) × C que nos permite escribir A × B × C, e identificar
(a, (b, c)) ↔ ((a, b), c) ↔ (a, b, c).
La comprobación es demasiado laboriosa como para ocuparnos de ella, pero
en general depende del siguiente resultado que es mucho más simple. Esta parte
la dejamos para los lectores más curiosos.
2.4.20. Proposición. Sean I y J conjuntos y F = {Ai}i∈I y G = {Bj}j∈J
familias de conjuntos. Si existe una biyección σ : I → J , junto con un conjunto
de biyecciones {fi : Ai → Bσ(i)}i∈I entonces existe una biyección f :
∏
i∈I Ai →∏
j∈J Bj, dada por f(x)(j) = fσ−1(j)
(
x(σ−1(j))
)
, para x ∈ ∏i∈I Ai.
Demostración. Nótese que para cada x ∈ ∏i∈I Ai y cada j ∈ J , se tiene un
único elemento fσ−1(j)
(
x(σ−1(j))
)
, aśı que la relación es aplicación. Vamos a
ver que es biyectiva. Considérese g :
∏
j∈J Bi →
∏
i∈I Ai, dada por g(y)(i) =
f−1i (y(σ(i))) (nótese que f
−1
i : Bσ(i) → Ai). Es claro que también es aplicación.
Se afirma que son inversas. Sea x ∈ ∏i∈I Ai. Entonces
g(f(x))(i) = f−1i (f(x)(σ(i))) = f
−1
i
(
fσ−1(σ(i))(x(σ
−1(σ(i))))
)
=
= f−1i (fi(x(i))) = x(i).
De forma completamente análoga se tiene que f(g(y)) = y. Como tiene inversa,
el Teorema 2.4.13 nos asegura que f es biyectiva.
Respecto de la demostración anterior, uno puede comprobar que demostrar,
como hicimos, que la aplicación f es biyectiva exhibiendo directamente la inversa
tiene la misma dificultad que probando que es inyectiva y sobre. La elección ha
sido simplemente cuestión de gustos.
Producto directo arbitrario y Axioma de Elección
Como acabamos de ver, el producto directo de dos conjuntos puede rela-
cionarse con el producto cartesiano de conjuntos. De aqúı se desprende que si
tengo una familia finita de conjuntos no vaćıos, el producto de conjuntos es no
vaćıo. Sin embargo, no podemos establecer directamente del primer caṕıtulo que
el producto arbitrario de una familia de conjuntos no vaćıos sea no vaćıo.
Los enunciados que veremos a continuación, son equivalentes. Es fácil com-
probarlo.
2.4.21. Axioma de Elección.
1. Sea I un conjunto arbitrario y {Ai}i∈I una familia. Si cada Ai es no vaćıo
entonces se puede elegir un elemento de cada conjunto.
O, equivalentemente
2. Sea I un conjunto no vaćıo y {Ai}i∈I una familia de conjuntos no vaćıos.
Entonces el producto directo
∏
i∈I Ai es no vaćıo.
Más adelante veremos conexiones muy interesantes entre esta y otras pro-
piedades.
30 CAPÍTULO 2. APLICACIONES
Caṕıtulo 3
Órdenes en conjuntos
3.1. Conjuntos ordenados
Recordemos que una relación binaria o correspondencia o simplemente rela-
ción (1.4.9 y 1.4.10) es un subconjunto del producto cartesiano entre dos con-
juntos. En este caṕıtulo nos vamos a referir a cierto tipo de relaciones donde el
conjunto inicial y el final, coinciden. Comenzamos con una lista de propiedades
que utilizaremos durante todo el texto.
3.1.1. Definición. Sea A un conjunto y R una relación en A.
1. Decimos que R es reflexiva si (a, a) ∈ R, para todo a ∈ A.
2. Decimos que R es simétrica si para a, b ∈ A, cada vez que (a, b) ∈ R se
tiene que (b, a) ∈ R.
3. Decimos que R es antisimétrica si dados a, b ∈ A tales que (a, b) ∈ R y
(b, a) ∈ R, se tiene que a = b.
4. Decimos que R es transitiva si, dados a, b, c ∈ A, cada vez que (a, b) ∈ R
y (b, c) ∈ R se tiene que (a, c) ∈ R.
3.1.2. Ejemplo. Se pide que como ejemplo se clasifiquen las siguientes relacio-
nes.
1. Se puede comprobar que si A = {a, b} entonces existen 16 relaciones en
A. Un ejercicio puede ser clasificarlas todas.
2. Sea A = N. Definimos aRb si y solo si a+ b es par.
3. Sea A = Z. Definimos aRb si y solo si a y b tienen distinta paridad.
4. Sea A = R. Definimos aRb si y solo si
a) a ≤ b.
b) a 6= b.
31
32 CAPÍTULO 3. ÓRDENES EN CONJUNTOS
c) |a+ b| ≤ 1.
5. Sea A = N. Definimos aRb si y solo si a divide a b (recordemos la notación
a | b, que hemos comentado en el Ejemplo 1.4.12(6).
6. Sea C un conjunto arbitrario y A = P(C). Definimos
a) aRb si y solo si a \ b = b \ a.
b) aRb si y solo si a ⊆ b.
7. Sea A = R2. Definimos (x1, x2)R(y1, y2) si y sólo si x1 < x2 o bien, si
x1 = x2 se tiene que x2 ≤ y2.
3.1.3. Ejercicio. La relación que hemos visto en el ejemplo anterior (3.1.2[7])
es un orden parcial y se conoce como “orden lexicográfico”. Se pide extender la
idea de orden lexicográfico en dos direcciones. La primera a cualquier número de
coordenadas. La segunda sustituyendo R por un conjunto ordenado arbitrario.
3.1.4. Definición. Sea A un conjunto.
1. Una relación “≤” en A se dice que es una relación de orden parcial (o un
orden parcial) si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
2. Un par (A,≤), donde A es un conjunto y “≤” es una relación de orden en
A, se dice que es un conjunto parcialmente ordenado (abreviamos COPO).
Si el contexto no deja dudas sobre la relación de orden, sólo escribiremos
que A es un conjunto parcialmente ordenado o COPO.
En algunos textos se dice simplemente conjunto ordenado, omitiendo el
término “parcialmente”.
3.1.5. Notación. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Para a, b ∈
A, escribimos a < b si a ≤ b y además a 6= b (también se escribe a � b).
3.1.6. Ejemplos.
1. A = R con la relación “menor o igual” usual es un conjunto parcialmente
ordenado.
2. A = N con la relación dada en el Ejemplo 3.1.2(5) es un conjunto parcial-
mente ordenado.
3. Sea B un conjunto no vaćıo. Entonces A = P(B) con la relación del
Ejemplo 3.1.2(6.b) es un conjunto parcialmente ordenado.
Una propiedad notable de la relación de orden parcial “menor o igual de
siempre” en todos los conjuntos de números es que dados dos números, siempre
podemos distinguir entre tres posibilidades. Que sean iguales, que uno sea mayor
que el otro o viceversa. Vamos a formalizar este concepto en la llamada ley de
tricotomı́a.
3.1. CONJUNTOS ORDENADOS 33
3.1.7. Definición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado.
Decimos que A satisface la ley de tricotomı́a si, dados a, b ∈ A, ocurre una
y solo una de las tres condiciones siguientes:
1) a = b. 2) a < b. 3) b < a.
3.1.8. Definición. Sea (≤, A) un conjunto parcialmente ordenado.
1. Decimos el orden parcial ≤ es un orden total o lineal, si satisface la ley
de tricotomı́a.2. En el caso anterior, diremos además que A es un conjunto totalmente o
linealmente ordenado.
3.1.9. Ejercicio. Considérense los conjuntos parcialmente ordenados (A,≤)
dados en los Ejemplos 3.1.6. Se pide decidir cuáles de ellos son conjuntos total-
mente ordenados, razonando la respuesta.
Vamos a ver dos representaciones gráficas para conjuntos ordenados. La pri-
mera es conocida como los diagramas de Hasse o “upward drawing”, o simple-
mente diagrama de grafo de un orden parcial.
Consideremos a, b ∈ (A,≤), tales que a ≤ b, pero a 6= b; es decir, a < b.
Entonces dibujamos una ĺınea hacia arriba que conecte a con b. Lo hacemos
con todos los elementos de A (escritos en lista si es finito o en caso infinito, con
fórmula cuando sea posible) con la condición de no repetir ningún elemento de A.
Además, no escribimos bucles; es decir, no conectamos ningún elemento consigo
mismo ni escribimos relaciones que se deduzcan de otras por transitividad.
3.1.10. Ejemplo. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relación de orden
parcial dada por la inclusion (que ya vimos). El diagrama de Hasse asociado es:
{1, 2, 3}
{1, 2} {1, 3} {2, 3}
{1} {2} {3}
∅
✟✟
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✟✟
❍❍
❍❍
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✟✟
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✟✟
❍❍
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❍❍
❍❍
❍❍
❍❍
✟✟
✟✟
✟✟
La otra representación, también bastante conocida se llama las “ζ-matrices”
o matrices de adyacencia. Si tenemos un conjunto (parcialmente) ordenado, se
construye entonces la matriz ζA con ı́ndices en A, tal que
ζa,b =
{
1 si a < b
0 otro caso
34 CAPÍTULO 3. ÓRDENES EN CONJUNTOS
3.1.11. Ejemplo. Sea, otra vez, C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relación
dada por la inclusion. La matriz de adyacencia es
∅ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}
∅
{1}
{2}
{3}
{1, 2}
{1, 3}
{2, 3}
{1, 2, 3}












0 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0












3.2. Elementos notables en un COPO
Vamos a ocuparnos de algunos elementos notables.
3.2.1. Definición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado y a ∈ A.
1. Decimos que a es máximo de A, cuando b ≤ a para todo b ∈ A
2. Decimos que a es el primer elemento o mı́nimo de A, cuando a ≤ b, para
todo b ∈ A
En el Ejemplo 3.1.10 podemos ver que el máximo {1, 2, 3} es el que ocupa
el extremo superior, mientras que el primer elemento ocupa el extremo inferior.
En cambio en el Ejemplo 3.1.11, el máximo tiene toda su columna 1 menos la
entrada de él mismo, mientras que el primer elemento es el que tiene toda su
fila 1 excepto la entrada de él mismo.
3.2.2. Proposición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Entonces
1. Si A tiene máximo entonces éste es único.
2. Si A tiene primer elemento o mı́nimo entonces éste es único.
Demostración. Se deja como ejercicio.
3.2.3. Definición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado y a ∈ A.
1. Decimos que a es un elemento maximal de A cuando se verifica que si
a ≤ b entonces b = a
2. Decimos que a es un elemento minimal de A cuando se verifica que si
b ≤ a entonces b = a
3.2.4. Ejemplos. Sobre los siguientes conjuntos, vamos a establecer los ele-
mentos notables, cuando los haya.
1. A =
{
1
n | n ∈ N \ {0}
}
, junto con el orden parcial “menor o igual” habi-
tual. El máximo es 1 y no tiene primer elemento.
3.2. ELEMENTOS NOTABLES EN UN COPO 35
2. A = {n ∈ N | n es par} junto con el orden parcial habitual. No tiene
máximo. Tiene primer elemento 0.
3. A = N×N junto con el orden lexicográfico. No tiene maximales y el primer
elemento es el (0, 0).
4. Un intervalo abierto en R con el orden habitual. No tiene máximo, mı́nimo,
maximales ni minimales.
5. Un intervalo cerrado en R con el orden habitual. El extremo de la izquierda
es el minimo y el de la derecha es el máximo.
6. A = {a · N | 1 6= a ∈ N}, junto con la inclusión. Si a es primo positivo
entonces a ·N es maximal. No hay minimales si se considera a 6= 0; en otro
caso, A = {0} es mı́nimo.
7. A = N \ {0, 1}, junto con la divisibilidad. No tiene maximales. Tiene
minimales: todos los primos.
8. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C) \ {C}, junto con la inclusión. Entonces A
tiene primer elemento y tiene maximales, pero no tiene máximo.
3.2.5. Definición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado, B ⊆ A un
subconjunto y c ∈ A.
1. Decimos que c es una cota superior de B en A si b ≤ c, para todo b ∈ B
2. Decimos que c es una cota inferior de B en A si c ≤ b, para todo b ∈ B
En los ejemplos de (3.2.4) se tiene: En (1), A puede verse contenido en Q y
aśı, 0 es cota inferior y todo racional q ≥ 1 es cota superior. En (2), A puede
verse contenido en N y aśı, el 0 es cota inferior (y primer elemento). En (3)
(0, 0) es cota inferior y primer elemento, también. En (4) y (5) A puede verse
contenido en R y aśı, todos los menores o iguales que el extremo izquierdo del
intervalo son cotas inferiores, mientras que los mayores o iguales al extremo
derecho del intervalo son cotas superiores. En (6) A puede verse contenido en
A ∪ {N, ∅} y aśı, se tiene que N es cota superior y ∅ es cota inferior. En (7), A
puede verse contenido en N y aśı, el 1 es cota inferior y el 0 es cota superior. En
(8), A puede verse contenido en P(C) y aśı, el {1, 2, 3} es cota superior.
3.2.6. Definición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado, B ⊆ A un
subconjunto y c ∈ A.
1. Decimos que c ∈ A es el supremo (o extremo superior) de B en A si es el
mı́nimo del las cotas superiores de B en A.
2. Decimos que c ∈ A es ı́nfimo (o extremo inferior) de B en A si es el
máximo de las cotas inferiores de B en A.
3.2.7. Ejemplos. En los siguientes ejemplos vamos a establecer si existen el
supremo e ı́nfimo de cada uno.
36 CAPÍTULO 3. ÓRDENES EN CONJUNTOS
1. A =
{
1
n | n ∈ N
}
⊂ Q, junto con el orden habitual. El máximo y el
supremo es 1. El ı́nfimo es 0.
2. A = {n ∈ N | n es par} ⊂ N junto con el orden habitual. El ı́nfimo y
primer elemento 0.
3. El intervalo (a, b) ⊂ R. Supremo b e ı́nfimo a.
4. El intervalo [a, b] ⊂ R. Supremo b e ı́nfimo a y además son máximo y
mı́nimo, respectivamente.
El siguiente resultado nos muestra por qué podemos decir el supremo e
ı́nfimo, en vez de un supremo o ı́nfimo.
3.2.8. Proposición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado y B ⊆ A
un subconjunto, con el orden de A. Si B tiene supremo (o ı́nfimo) en A éste es
único.
Demostración. Se deja como ejercicio.
3.2.9. Proposición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado y B ⊆ A
un subconjunto, con el orden de A.
1. Si b ∈ B es un máximo (o mı́nimo) entonces b es también el supremo (o
ı́nfimo) de B en A.
2. Si a ∈ A es supremo (́ınfimo) de B en A y a ∈ B, entonces a es máximo
(mı́nimo) de A.
Demostración. Se deja como ejercicio.
3.3. Conjuntos bien ordenados.
Es inmediato comprobar que los números naturales, enteros, racionales y
reales son conjuntos con orden total o lineal. Sin embargo, existe una gran
diferencia entre el orden de los números naturales y los enteros y los otros dos;
a saber, que podemos establecer el antecesor y el sucesor de cualquier número
entero (excepto el antecesor del 0 en los naturales). Vamos a describir este
fenómeno en el lenguaje de los conjuntos ordenados, estableciendo el concepto
de conjunto bien ordenado.
3.3.1. Definición. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos
que es bien ordenado si todo subconjunto no vaćıo de A tiene un mı́nimo
3.3.2. Proposición. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. El
rećıproco no se verifica.
Demostración. Supongamos que un conjunto A es bien ordenado y considero
dos elementos a y b, de A. Consideramos el subconjunto B = {a, b} de A.
Como B no es vaćıo, tiene primer elemento. De ah́ı se desprende la tricotomı́a
trivialmente.
3.3. CONJUNTOS BIEN ORDENADOS. 37
3.3.3. Ejemplo. Considérense N× N junto con el orden lexicográfico.
(0, 0) < (0, 1) < (0, 2) < · · · < (0, n) < · · ·
(1, 0) < (1, 1) < (1, 2) < . . . < (1, n) < . . .
(2, 0) < (2, 1) < (2, 2) < . .. < (2, n) < . . .
...
Este conjunto está bien ordenado.
Demostración. Sea A ⊆ N×N no vaćıo y A1 = {x ∈ N | (x, y) ∈ A p.a. y ∈ N}.
Claramente A1 6= ∅ y A1 ⊆ N, por tanto, tiene primer elemento. Sea x0 ∈ A1,
dicho primer elemento. Sea ahora A2 = {y ∈ N | (x0, y) ∈ A}. Como antes, A2
también tiene primer elemento, digamos y0 ∈ A2.
Se afirma que (x0, y0) es el primer elemento de A. Sea (a, b) ∈ A, arbitrario.
Como a ∈ A1 entonces x0 ≤ a. Si x0 < a ya terminamos, si no, entonces x0 = a,
aśı que b ∈ A2 y aśı y0 ≤ b.
Es claro que si tenemos un conjunto, digamos A, que (de alguna manera
sabemos que) tiene n ∈ N elementos entonces existe (al menos) una biyección
entre el conjunto {1, . . . , n} y nuestro conjunto A. De esta manera podemos
enumerar sus elementos, como A = {a1, . . . , an} y establecer un orden, digamos
ai ≤ aj si y solo si i ≤ j, por ejemplo. En el caso de conjuntos arbitrarios,
eso ha de ser un axioma. Se conoce como el Principio de la Buena Ordena-
ción. Es interesante hacer notar que este axioma es equivalente al Axioma de
Elección (2.4.21) aunque la demostración excede los alcances de estos apuntes.
Terminamos entonces con el enunciado.
3.3.4. Principio de la Buena Ordenación. Si A es un conjunto no vaćıo,
entonces existe una relación de orden ≤ en A tal que (A,≤) es un conjunto bien
ordenado.
38 CAPÍTULO 3. ÓRDENES EN CONJUNTOS
Caṕıtulo 4
Relaciones de equivalencia
4.1. Conceptos básicos
Como hemos comentado, un método importante de las matemáticas consiste
en relacionar los elementos de un conjunto. En el caṕıtulo anterior nos ocupamos
de las relaciones de orden. Ahora vamos a ver otro tipo especial de relación que
se construye a partir de otras propiedades de la Definición 3.1.1.
4.1.1. Definición. Sea A un conjunto y R una relación en A × A. Decimos
que R es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
4.1.2. Notación. Si R es una relación de equivalencia en A y a, b ∈ A están
relacionados, entonces podemos escribir cualquiera de las tres siguientes formas
1. La tradicional: aRb, que también usamos para relaciones en general.
2. También, a ∼R b
3. O la anterior, pero más corta si no causa confusión, a ∼ b.
4.1.3. Ejemplos.
1. La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto.
2. En Z, la relación a ∼5 b si y sólo si 5 | (a− b).
3. En R, la relación a ∼ b si y sólo si a− b ∈ Z.
4. En los triángulos, la semejanza; es decir, triángulos cuyos angulos coinci-
den.
5. ¿Cuándo una relación de orden es relación de equivalencia?
6. Sea A = {a, b, c} y R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a)}. De-
terminar si es relación de equivalencia.
Otro ejemplo que puede resultar muy interesante es el siguiente.
39
40 CAPÍTULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
4.1.4. Ejemplo. Sea f : A → B una aplicación. Definimos la relación
a ∼ a′ ⇔ f(a) = f(a′).
Se puede comprobar que es relación de equivalencia.
4.2. Clases de equivalencia
Sea A un conjunto no vaćıo y R una relación de equivalencia en A. Para cada
elemento a ∈ A, podemos considerar el conjunto de todos aquellos elementos
de A que estén relacionados con a. Estas colecciones son una herramienta de
trabajo importante en matemáticas.
4.2.1. Definición. Sea A 6= ∅ un conjunto y R una relación de equivalencia en
A. Para cada a ∈ A, su clase de equivalencia es el conjunto
[a] = {b ∈ A | a ∼ b }.
Las siguientes propiedades son muy fáciles de verificar:
4.2.2. Proposición. Sea A 6= ∅ un conjunto y R una relación de equivalencia
en A. Las siguientes condiciones son equivalentes, para a, b ∈ A:
1. [a] ∩ [b] 6= ∅.
2. a ∼R b.
3. [a] = [b].
Demostración. (1 ⇒ 2) Si x ∈ [a] ∩ [b] entonces a ∼ x y x ∼ b, luego a ∼ b.
(2 ⇒ 3) Por hipótesis, a ∼ b. Si x ∈ [a] entonces x ∼ a y como a ∼ b se tiene
que x ∼ b, luego x ∈ [b]. Análogamente se tiene que cualquier y ∈ [b] verifica
y ∈ [a].
(3 ⇒ 1) Inmediato del hecho de que (a, a) ∈ [a].
Si C es una clase de equivalencia cualquiera y a ∈ C entonces [a] = C,
trivialmente. En este caso decimos que a es un representante de C.
Como se verá en los siguientes ejemplos, una correcta elección de los repre-
sentantes puede simplificar mucho la descripción de las clases de equivalencia.
4.2.3. Ejemplos.
1. De las siguientes relaciones se pide determinar si son relaciones de equiva-
lencia (si lo son, hay que probarlo, si no, indicar cuál de las tres condiciones
falla). En caso de que lo sean, determinar las clases de equivalencia.
a) En Z, la relación a ∼ b si y sólo si a+ b es impar.
b) En N× N, la relación (a, b) ∼ (c, d) si y sólo si a+ d = b+ c.
c) En A = {1, 2, 3}, la relación R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
4.3. EL CONJUNTO COCIENTE Y LA PROYECCIÓN CANÓNICA 41
d) En Z× (Z \ {0}), la relación (a, b) ∼ (c, d) si y sólo si ad = bc. ¿Qué
pasaŕıa si incluyésemos al (0, 0)?
e) En Z, la relación a ∼5 b si y sólo si 5 | (a− b) (véase el Ejemplo 2 de
4.1.3).
f ) En el conjunto de todas las rectas en el plano, L, la relación L1 ∼ L2
si y sólo si son paralelas.
2. Determinar las clases de equivalencia del Ejemplo 4.1.4.
4.3. El conjunto cociente y la proyección
canónica
4.3.1. Definición. Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A.
Se conoce como conjunto cociente de A, respecto de la relación R, al conjunto
de las clases de equivalencia de los elementos de A respecto de R.
Se denota A/R, A/∼R o simplemente A/∼.
Vamos a calcular los conjuntos cociente de las relaciones de equivalencia
en los ejemplos de (4.1.3). Calcular los conjuntos cociente consiste en dar un
conjunto de representantes (también llamado un juego completo de represen-
tantes) En el Ejemplo 1 de (4.1.3), la diagonal, se tiene que para todo a ∈ A,
[a] = {a}, aśı que A/∼ = {[a] | a ∈ A}. En el Ejemplo 2 no podemos escribir
Z/∼ = {[a] | a ∈ Z} porque la colección anterior no es un conjunto. Nótese
que [0] = [5] = [10] = [15] = . . . y aśı. De hecho Z/∼ = {[0], [1], [2], [3], [4]}.
Para el Ejemplo 3 tomando en cuenta que todo número real tiene una parte
entera y una parte decimal que tiene valor absoluto menor que 1, se tiene que
R/∼ = {[r] | 0 ≤ r < 1}. Para el Ejemplo 4, asociamos a cada triángulo
la terna sin orden de sus ángulos internos, (α, β, γ), tal que α + β + γ = 180.
Dos triángulos son semejantes si coinciden en sus ternas salvo el orden. Aśı que
A/∼ = {(α, β, γ) | α+ β + γ = 180}.
4.3.2. Proposición. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A
y consideremos el conjunto cociente A/R. La correspondencia dada por a 7→ [a]
es una aplicación que denotamos ηR : A → A/R
Demostración. Se deja como ejercicio.
4.3.3. Definición. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A y
consideremos el conjunto cociente A/R. La aplicación ηR : A → A/R se conoce
como proyección canónica.
4.3.4. Ejemplos.
1. Vamos a continuar analizando la situación del Ejemplo 4.1.4. Recordemos
que se tienen dos conjuntos A,B y una aplicación f : A → B. Se define
una relación a ∼ a′ si y solo si f(a) = f(b).
42 CAPÍTULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Consideremos la correspondencia entre el conjunto cociente g ⊂ A/∼ ×
B, dada por g = {([a], f(a)) | a ∈ A}; o bien, g : A/∼ → B, tal que
g([a]) = f(a). Queremos ver que es aplicación y que, como tal, es inyectiva.
La particularidad que tiene esta correspondencia es que está definida en
términos de representantes y no de clases generales. Esto nos obliga a
comprobar que la correspondencia no depende del representante que se
elija. Es decir que si [a] = [a′] entonces g ([a]) = g ([a′]). En este caso, como
g = f ◦ η, sabemos de antemano que g es aplicación, luego g([a]) = g([a′]).
Decimos entonces que g está bien definida.
Para abreviar, se suele abusar de la notación y definir directamente la pre-
tendida aplicación g : A/∼ → B y luego afirmar y probar que la aplicación
está bien definida. Probar que, de hecho, la aplicación es inyectiva resulta
fácil.
2. El siguiente ejemplo puederesultar vistoso. Se considera la relación de
equivalencia en R, dada por
x ∼ y ⇐⇒ x− y
2π
∈ Z;
es decir, los números reales que distan en un múltiplo de 2π. Podemos
entonces identificar a estas clases con los ángulos, al elegir a los represen-
tantes en el intervalo [0, 2π); es decir, R/∼ = {[r] | 0 ≤ r < 2π}. Ahora,
considérese la circunferencia en el plano real de radio 1, con centro en (0, 0),
que denotamos C(0, 1) o S1. Entonces la aplicación f : R/ ∼ −→ S1 tal
que f [x] = (cosx, senx) está bien definida (en el sentido anterior) y es
biyectiva.
3. Continuamos con el ejemplo anterior y volvemos a considerar los ángulos,
R/∼ = {[x] | 0 ≤ x < 2π}. Queremos comprobar que la correspondencia
suma de ángulos + : R/∼ × R/∼ → R/∼ tal que [x] + [x′] = [x + x′] está
bien definida. Supongamos que x ∼ y y que x′ ∼ y′. Entonces
x+ x′ − (y + y′)
2π
=
x− y
2π
+
x′ − y′
2π
∈ Z
y por tanto [x+ x′] = [y + y′].
4. Ahora vamos a ver un caso en el que las cosas no funcionan. Vamos a ver
qué pasa si queremos definir el producto de ángulos. Queremos ver si la
correspondencia · : R/∼ ×R/∼ → R/∼ tal que [x] · [x′] = [x · x′] está bien
definida. Si uno intenta hacer un argumento como antes las cosas no salen.
Después se comprueba que [ 12 ] = [
4π+1
2 ], pero sus cuadrados no coinciden.
4.4. Relaciones de equivalencia y particiones
En esta sección probaremos que toda relación de equivalencia induce una
partición y viceversa.
4.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y PARTICIONES 43
Sea A un conjunto no vaćıo y R una relación de equivalencia. Consideremos
el conjunto cociente y cualquier elemento en él; es decir, C ∈ A/ ∼. Sabemos
que si a, b ∈ C entonces [a] = C = [b]. Además de esto se tiene el siguiente
resultado.
4.4.1. Proposición. Sea A un conjunto no vaćıo y R una relación de equiva-
lencia. Las clases de equivalencia de R verifican las siguientes propiedades:
1. [a] ∩ [b] = ∅ si y sólo si a 6∼ b.
2.
⋃
[a]∈A/∼[a] = A.
Demostración. 1. Inmediato de la Proposición 4.2.2. 2. Sea b ∈ A. Como b ∼ b
entonces b ∈ [b] ⊂ ∪[a]∈A/∼[a].
Éste es un resultado importante dentro de las matemáticas. De hecho, las
familias de conjuntos que verifican estas propiedades tienen nombre propio.
4.4.2. Definición. Sean A e I conjuntos y P = {Bi}i∈I una familia de sub-
conjuntos. Decimos que la familia P forma una partición para A si se verifican
las siguientes propiedades.
1. Bi ∩Bj = ∅ si y sólo si i 6= j.
2. La unión (disjunta)
⋃
i∈I Bi = A.
4.4.3. Observación. Podemos separar la propiedad (1) en dos, si escribimos
Para cada i ∈ I, el conjunto Bi 6= ∅.
Para i, j ∈ I, si i 6= j entonces Bi ∩Bj = ∅.
Es decir, los elementos de una partición son conjuntos no vaćıos y disjuntos.
Aśı que toda relación de equivalencia induce una partición. El rećıproco
también se verifica. Reuniendo todo se tiene el siguiente resultado.
4.4.4. Proposición. Toda relación de equivalencia induce una partición. Rećıpro-
camente, toda partición determina una relación de equivalencia.
Además, los procesos de pasar de una relación de equivalencia a una partición
son inversos el uno del otro, en el sentido de que si los aplicamos uno detrás de
otro recuperamos la situación inicial.
Demostración. Ya hemos visto en la Proposición 4.4.1 que toda equivalencia
determina una partición (en clases de equivalencia). Vamos entonces a ver el
rećıproco.
Sea {Ci}i∈I una partición en A. Definimos la relación
a ∼ b ⇐⇒ a, b ∈ Ci para alguna i ∈ I.
Se prueba entonces que es relación de equivalencia y que las clases de equiva-
lencia son justo las Ci.
44 CAPÍTULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Caṕıtulo 5
Conjuntos numéricos
En este caṕıtulo vamos a definir y a establecer las propiedades básicas de los
números naturales, enteros, racionales, reales y complejos utilizando del lenguaje
de los conjuntos. La presentación será formal, aunque no totalmente, pues puede
alargarse y complicarse más de lo deseable para un primer curso.
5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos
5.1.1. Definición. Decimos que dos conjuntos X e Y son equipotentes si existe
una aplicación biyectiva entre ellos.
5.1.2. Observación. Nótese que el ser equipotentes es una relación reflexiva,
simétrica y transitiva, y aún cuando sabemos que la colección de todos los
conjuntos no es, a su vez, un conjunto, podemos agrupar a los conjuntos en
“clases de equipotencia”.
5.1.3. Definición. El cardinal de un conjunto es su clase de equipotencia.
Intuitivamente, podemos comprobar que los cardinales son colecciones dis-
juntas y que todo conjunto tiene cardinal.
5.1.4. Notación. Para un conjunto A, denotamos su cardinal con |A|.
Entonces un número cardinal es una clase de equipotencia de conjuntos.
Conjuntos finitos e infinitos
5.1.5. Definición. Decimos que un conjunto A es infinito si existe un sub-
conjunto propio B A que es equipotente a A; es decir, existe una biyección
f : B → A.
5.1.6. Definición. Decimos que un conjunto A es finito si no es infinito.
Aunque no hemos definido formalmente el concepto de número natural o
entero (lo haremos en breve) intuitivamente sabemos trabajar con ellos. Los
siguientes ejemplos nos pueden servir para fijar ideas.
45
46 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS
5.1.7. Ejemplos. Sea P el conjunto de los números enteros pares y P+ el de
los pares positivos.
1. Comprobar que |N| = |P+| a través de la biyección n 7→ 2n, con n ∈ N.
2. Comprobar que |Z| = |P | a través de la biyección m 7→ 2m, con m ∈ Z.
3. Comprobar que |N| = |P | a través de la biyección
n 7−→
{
n si n es par.
−(n+ 1) si n es impar.
4. Por tanto, |N| = |Z|.
5.1.8. Proposición. Si A es un conjunto finito y f : A → A es una aplicación,
entonces son equivalentes:
1. f es inyectiva.
2. f es suprayectiva.
3. f es biyectiva.
Demostración. Claramente basta ver que (1) y (2) se implican la una a la otra.
[1 ⇒ 2]. Si f : A → A es inyectiva, sea B = Imf ⊆ A y sea f̂ : A → B la
aplicación que actúa igual que f . Esta aplicación es inyectiva (por actuar igual
que f) y suprayectiva (por cómo hemos elegido el codominio), por lo que es
biyectiva y en consecuencia tiene una inversa que será una aplicación biyectiva
B → A. Como A es finito, el subconjunto B no puede ser propio y por tanto es
B = A, o sea Imf = A, y en consecuencia f es suprayectiva.
[2 ⇒ 1]. Si f : A → A es suprayectiva entonces definimos g : A → A del
siguiente modo: Dado a ∈ A, definimos g(a) como uno cualquiera de los elemen-
tos de A cuya imagen por f es a (existe al menos uno por la suprayectividad
de f). Por tanto tenemos f(g(a)) = a para todo a ∈ A, o sea f ◦ g = 1A y
en consecuencia g es inyectiva por 2.4.8 y en consecuencia es suprayectiva por
la implicación recién demostrada. Veamos ya que f es inyectiva: si a1, a2 ∈ A
verifican f(a1) = f(a2) entonces, por la suprayectividad de g, existen b1, b2 ∈ A
con g(bi) = a1, para i = 1, 2, y por tanto
b1 = 1A(b1) = f(g(b1)) = f(a1) = f(a2) = f(g(b2)) = 1A(b2) = b2
de donde a1 = g(b1) = g(b2) = a2. Esto prueba que f es inyectiva.
5.1.9. Corolario. Si A y B son dos conjuntos finitos del mismo cardinal y
g : A → B es una aplicación, entonces son equivalentes:
1. g es inyectiva.
2. g es suprayectiva.
5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 47
3. g es biyectiva.
Demostración. Por hipótesis existe una biyección h : B → A que nos permite
definir f = h ◦ g : A → A. Si g es inyectiva entonces f es inyectiva por la
Proposición 2.4.5 y en consecuencia es suprayectiva por la proposición anterior,
por lo que g = h−1 ◦ f es suprayectiva por Proposición 2.4.6. De modo similar
se prueba que si g es suprayectiva entonces debe ser inyectiva.
5.1.10. Proposición. Dados dos conjuntos A ⊂ B, se verifican:
Si A es infinito entonces B es infinito.
Si B es finito entonces A es finito (o sea, los subconjuntos de conjuntos
finitos son finitos).
Demostración. Basta con demostrar la primera afirmación, pues la segunda es
su contrarrećıproco.
Si A es infinitoentonces existen un subconjunto propio A0 A y una biyec-
ción f : A → A. Entonces B0 = A0 ∪A∁ (donde A∁ = B \A) es un subconjunto
de B que es propio, pues un elemento de A que no esté en A0 es un elemento
de B que no está en B0. Ahora basta con usar f para construir una biyección
f̂ : B0 → B, lo cual se deja como ejercicio.
5.1.11. Definición. Un cardinal, decimos que es finito si tiene un represen-
tante finito. En otro caso decimos que es infinito.
Por ejemplo,
0 = |∅|.
1 = |{∅}|.
2 = |{∅, {∅}}|.
y aśı, sucesivamente.
Ahora consideramos la colección de los cardinales finitos.
5.1.12. Definición. La colección de los cardinales finitos se conoce como los
números naturales y se denota N.
No se puede demostrar, con los conceptos sobre conjuntos que hemos visto,
que la colección anterior sea conjunto. Lo asumimos como un axioma.
5.1.13. Axioma del infinito. La colección de los números naturales es un
conjunto.
5.1.14. Definición. Sea n un cardinal y considérese un representante, A. Se
conoce como el sucesor de n, al cardinal n∗ = |A ∪ {x}|, donde x es cualquier
objeto que no sea un elemento de A
48 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS
5.1.15. Se puede probar (véase el Apéndice) que si n ∈ N entonces n∗ ∈
N. Denotamos n∗ = n + 1. Esta propiedad nos da lugar a la definición de
la aplicación sucesor, σ : N → N tal que σ(n) = n∗. También se prueba en
el Apéndice que la aplicación σ es inyectiva. Como consecuencia se tiene el
siguiente resultado.
5.1.16. Proposición. El conjunto de los números naturales es infinito.
Demostración. Sea M = Imσ, la imagen de la aplicación sucesor σ : N → N,
que es un subconjunto propio de N puesto que no contiene al 0 (los “sucesores”
son cardinales de conjuntos no vaćıos).
Como σ es inyectiva, la restricción a la imagen σ̂ : N → M es biyectiva
(véanse los ejemplos en [2.2.2]). En consecuencia N y M son equipotentes y por
tanto N es infinito.
(Observación: Intuitivamente M = {1, 2, 3, . . .} y σ̂−1 : M → N es la aplica-
ción “antecesor”.)
5.1.17. Observaciones.
1. El 0 = |∅| no es el sucesor de ningún número natural, pues por definición
un sucesor es el cardinal de un conjunto no vaćıo.
Por contra, todo número natural n distinto del 0 śı es el sucesor de algún
número natural. Intuitivamente, esto corresponde a que n−1 es un número
natural. Una definición formal de esta idea de “antecesor” se desprende
de la Observación 5.1.29.
2. Obviamente se tiene que si n ∈ N entonces n = |{1, . . . , n}|.
El siguiente postulado será asumido sin demostración. El proceso excede con
mucho el objetivo principal de este caṕıtulo que es el conocimiento operativo
del lenguaje de los conjuntos y sus propiedades. Para un estudio detallado véase
por ejemplo [6] o [9].
5.1.18. Principio de inducción en los números naturales. Si A ⊆ N es
tal que
a) 0 ∈ A.
b) n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A
entonces A = N.
5.1.19. Observación. Lo anterior podŕıa llamarse “el principio de inducción
empezando en 0”, y puede modificarse para empezar en cualquier número na-
tural k ∈ N de la siguiente forma:
Si A ⊂ N y k ∈ N son tales que
1. k ∈ A
2. k ≤ n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A.
5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 49
entonces N \ {0, 1, . . . , k − 1} está contenido en A.
Hay una técnica de demostración llamada inducción matemática, que se
deriva directamente del principio de inducción. Vamos a enunciarla.
5.1.20. Inducción matemática. Supongamos que se quiere demostrar una
propiedad P (n) para todos los naturales n a partir de un cierto k ∈ N. Los dos
pasos a continuación son suficientes:
Se demuestra la validez de P (k). Es decir, que la propiedad vale para
n = k.
Se supone que P (n) es válida y a partir de ah́ı, se prueba la validez para
P (n + 1). Es decir, se prueba que si es válida para n entonces lo es para
n+ 1.
Entonces, el principio de inducción nos asegura que el conjunto P = {x ∈
N | P (x) es verdadera} contiene a N \ {0, 1, . . . , k − 1}. Es decir, nos asegura
que la propiedad vale para todos los números naturales excepto tal vez para los
anteriores a k.
Aplicaciones del principio de inducción.
Vamos a ver algunas aplicaciones del principio de inducción. La primera
aplicación es sobre el orden en conjuntos finitos.
5.1.21. Ejercicio. Probar que si A es un conjunto finito con un orden lineal
entonces A está bien ordenado y tiene máximo y mı́nimo.
Aún cuando no hayamos formalizado los conceptos de suma, producto y
orden en los naturales, no quiere decir que no los conozcamos y no podamos
trabajar con ellos.
5.1.22. Ejercicio. Probar por inducción las siguientes afirmaciones:
1. 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2 para todo entero n ≥ 1 (también vale para n = 0
si acordamos que el valor de una “suma vaćıa” como la de la izquierda
debe ser 0).
2. n3 − n es múltiplo de 6 para cada entero n ∈ N.
3. 2n < n! para cada entero n ≥ 4.
El conjunto de los números naturales que hemos construido satisface los
axiomas de Peano; a saber:
El conjunto N tiene un elemento 0 ∈ N.
Existe la función sucesor que es inyectiva.
El 0 no es sucesor de un número natural.
Vale el principio de inducción.
Se puede probar que cualquier conjunto que satisfaga estas condiciones es
esencialmente igual a N. Eso se conoce como la “unicidad del sistema de Peano”.
50 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Orden en los números naturales
5.1.23. Definición. Sean k y r cardinales. Decimos que k ≤ r si existen re-
presentantes k = |A| y r = |B| con una aplicación inyectiva f : A → B.
5.1.24. Ejercicio. Probar que 0 ≤ 1 ≤ n para todo n ∈ N \ {0}.
Recordemos la definición de buen orden en (3.3.1). Los números naturales
junto con el orden definido forman un conjunto bien ordenado. Sobre la demos-
tración del siguiente resultado véase más adelante la Observación 5.1.28
5.1.25. Principio del buen orden en los números naturales. (N,≤) es
un conjunto bien ordenado; es decir, todo subconjunto ∅ 6= A ⊂ N tiene primer
elemento.
Vamos a comprobar que el principio del buen orden está en armońıa con el
concepto de sucesor, como es de esperar.
5.1.26. Proposición. Sea n ∈ N, arbitrario y considérese el conjunto de los
números naturales mayores que n; es decir, Mn = {x ∈ N | n < x}. Entonces
n∗ es el primer elemento de Mn.
En consecuencia, si a, n ∈ N son tales que n ≤ a ≤ n∗ entonces n = a o
a = n∗.
Demostración. Sea a el primer elemento de Mn. Como n
∗ ∈ Mn entonces
a ≤ n∗. Por hipótesis, sabemos que existen A y N representantes de a y n,
respectivamente, junto con una aplicación inyectiva f : N → A, pero no sobre-
yectiva. Aśı, existe x ∈ A tal que x /∈ Imf . Definimos g : N ∪ {N} → A tal que
g(b) = f(b) para todo b ∈ N y g(N) = x. Es inmediato comprobar que g es
aplicación inyectiva y por tanto n∗ ≤ a. Luego n∗ = a.
Una vez establecido el orden en los números naturales podemos introducir
una variante muy útil de la inducción matemática es la llamada inducción fuerte.
Vamos a eunciarla.
5.1.27. Inducción matemática fuerte. Para demostrar que una propiedad
P (n) es cierta para todos los naturales n ≥ k (para un cierto k ∈ N inicial)
basta con hecer lo siguiente:
Se demuestra la validez de P (k). Es decir, que la propiedad es cierta para
el valor inicial n = k.
Para un n genérico, se supone que P (m) es válida para todo entero m con
k ≤ m < n y a partir de ah́ı, se prueba la validez para P (n). Es decir,
se prueba que si la propiedad es válida para los valores menores que n
entonces lo es para n.
5.1.28. Observación. El principio de inducción y el principio del buen orden
son equivalentes; es decir, si se asume uno de ellos el otro se puede demostrar.
La demostración puede hacerse como ejercicio; aunque es un poco larga, no es
dif́ıcil. Pero hay más, se puede probar que, a su vez, los postulados anteriores
son equivalentes al axioma de elección (2.4.21)
5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 51
Nótese que de la definición de orden se desprende de inmediato que si n ∈
N entonces el conjunto Nn