Práctica_2 - Mazami Leon

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Cálculo de medidas en objetos regulares con propagación de
incertidumbre para obtener sus áreas y volúmenes
Autores:
Diego Alanys Garćıa Godoy
Celia Alondra Guzmán May
Williams Bonifacio Carreón
José Emmanuel Santos Barbosa
Angel Aldahir Fernandez Gallegos
Propagación de incertidumbre
Se puede decir que es el efecto de las variables de incertidumbre en funciones matemáticas aqúı les
mostraremos como obtener el error relativo y el error absoluto en las operaciones mas importantes
que ocuparemos.
1 Sumas
Para sumar dos cantidades o valores medidos es necesario tener en cuenta el error del instrumento
de medición y esto se hace dividiendo entre dos la mı́nima unidad de medida del instrumento que se
utilizo.Aśı podemos sumar de acuerdo a la formula:
Z ±∆Z = (X ±∆X) + (Y ±∆Y )
Z = X + Y
∆Z = ∆X + ∆Y
Donde las variables X Y representan las medidas obtenidas y ∆X junto con ∆Y pueden ser el error
del instrumento o la desviación estándar.Con esto se puede decir que el error absoluto de esta suma
con dos o mas magnitudes es la suma de los errores absolutos de estas magnitudes. Se puede decir que
es el efecto de las variables de incertidumbre en funciones matemáticas aqúı les mostraremos como
obtener el error relativo y el error absoluto en las operaciones mas importantes que ocuparemos.
2 Restas
Por otro lado, en el caso de las restas, igualmente debemos tener en cuenta el error de incertidumbre
de nuestros instrumentos. Aśı, nuestra incertidumbre estará dada por:
Z ±∆Z
Donde Z la obtenemos por:
Z = (X − Y )
Sin embargo, para obtener ∆Z, no restamos estos valores, sino que tomamos el peor de los casos, esto
es, sumar ambas incertidumbres:
Z = ∆X + ∆Y
1
3 Multiplicación
En el caso de las multiplicaciones de magnitudes es importante conocer de nueva cuenta los errores
de los instrumentos de medicion para que nuestro error absoluto sea coherente y el desarrollo de estas
salga bien. Una vez medidos y sacados los errores ocuparemos la siguiente manera:
Z ±∆Z = (X ±∆X) + (Y ±∆Y )
De igual manera obtendŕıamos que:
Z = X ∗ Y
∆Z =?
¿Cómo obtenemos ∆Z ?
Para esto es necesario realizar el producto
Z ±∆Z = (X ±∆X) + (Y ±∆Y )
que seria:
Z ±∆Z = X ∗ Y ± Y ∗∆X ±X ∗∆Y ±∆X ∗∆Y
Al saber que Z = X ∗ Y y simplificando obtendŕıamos:
∆Z
Z
=
Y ∗∆X ±X ∗∆Y
X ∗ Y
Reordenando obtendŕıamos el error relativo ∆ZZ =
∆X
X +
∆Y
Y
Despejando ∆Z se llegaŕıa a:
∆Z = (
∆X
X
+
∆Y
Y
) ∗ Z
Que seria el error absoluto
4 División
Para obtener los valores de
Z ±∆Z
en una división tenemos lo siguiente:
Z ±∆Z = X ±∆X
Y ±∆Y
Para desarrollar el resultado, primero tomamos en cuenta que el error se contara como en el peor
de los casos:
X ±∆X
Y ±∆Y
⇒ X + ∆X
Y −∆Y
Ahora multiplicamos por 1, tomando el conjugado del denominador:
Z ±∆Z = (X + ∆X
Y −∆Y
) · (Y + ∆Y
Y + ∆Y
)
2
Realizamos esta operación:
(X + ∆X)(Y + ∆Y )
(Y −∆Y )(Y + ∆Y )
El denominador puede ser expresado como una diferencia de cuadrados:
(X + ∆X)(Y + ∆Y )
(Y 2 −∆Y 2)
Desarrollamos:
XY + X∆Y + Y ∆X + ∆X∆Y
(Y 2 −∆Y 2)
Ahora, el producto ∆X∆Y y la potencia ∆Y 2 tiende a ser igual a 0, ya que un error multiplicado
por otro error se hace algo muy pequeño, despreciable.
Entonces solo queda:
XY + X∆Y + Y ∆Y
Y 2
=
XY
Y 2
+
X∆Y
Y 2
+
Y ∆X
Y 2
=
X
Y
+
X
Y 2
∆Y +
∆X
Y
Y multiplicamos a
∆X
Y
por
X
X
:
=
X
Y
+
X
Y 2
∆Y +
∆X
Y
· X
X
Podemos separar todos los términos con
X
Y
:
X
Y
+
X
Y
∆Y
Y
+
X
Y
∆X
X
:
Y factorizando nuevamente
X
Y
:
3
X
Y
+
X
Y
(
∆Y
X
+
∆X
X
)
Este resultado corresponderá a la forma en que se hacen las divisiones en medidas con incertidum-
bre:
Z ⇒ X
Y
∆Z ⇒ X
Y
(
∆Y
Y
+
∆X
X
)
Que correspondeŕıa al error relativo y el error absoluto
5 Radicación
En el caso que se necesite elevar una magnitud a una potencia y queramos saber el error relativo y
absoluto basta con multiplicar ese exponenente con el cociente entre el error de medición y la medida
obtenida, para entender mejor esto se realizará lo siguiente:
Z ±∆Z = (X ±∆X)n
de acuerdo con esto significaŕıa multiplicar la misma cantidad por el número de veces que el exponente
lo indique:
Z±∆Z = (X ±∆X)(X ±∆X).....(X ±∆X)n veces y aśı las formulas a ocupar serian:
Z = Xn
∆Z
Z
= n ∗ ∆X
X
∆Z = n ∗ ∆X
X
∗ Z
4
Toma de medidas en diferentes poĺıgonos con aplicación
de incertidumbre
Para esta práctica utilizamos una simple regla de 30 cent́ımetros para medir una pequeña caja, una
alcanćıa con forma ciĺındrica y una pirámide triangular de juguete; tomamos su incertidumbre como
la mitad de la menor medida de la regla (.05 cent́ımetros), a partir de esto medimos los lados de todos
los poĺıgonos para aśı calcular las áreas y volúmenes de las figuras agregando la incertidumbre.
Para medir los objetos con medidas más grandes se utilizó un flexómetro, en el cual su medida más
pequeña eran dos cent́ımetros, por lo que su incertidumbre resulta ser de 1 cent́ımetro, ya que es la
medida más pequeña que se puede medir entre dos. Se midió lo ancho, largo y alto de los tres objetos;
los cuales fueron el pizarrón, un locker y una mesa. Al medirlos no se tuvo ninguna complicación ya
que el flexómetro utilizado alcanzaba los 5 metros y ningún objeto rebasaba esta medida. Se anotaron
los datos y ya que todos eran objetos rectangulares era la misma fórmula para cada uno, que es la
base por la altura por el ancho, y con esto elaboramos los siguientes diagramas:
5
6
7
8
Conclusión
Se obtuvieron las medidas de diversos objetos, tanto con regla como con flexómetro, obteniendo
medidas que para un procedimiento cient́ıfico son insuficientes y con un margen de error inaceptable
debido a la falta de equipo más preciso, pero que para la finalidad del experimento cumpĺıan con su
objetivo. Los procedimientos matemáticos para encontrar las medidas que no pod́ıamos medir de
forma directa fueron problemáticos debido a la falta de experiencia y de comunicación, pero
finalmente, todos los problemas fueron solucionados y el experimento se logró realizar con éxito,
obteniendo resultados favorables.
La recopilación de datos dio pie a la obtención de áreas y volúmenes de diversas figuras y cuerpos
geométricos con margen de error incluido, haciéndolos más aceptables en el ámbito cient́ıfico.
El resultado fue el predicho: el equipo aprendió a realizar operaciones matemáticas con margen de
error incluido, lo que eventualmente les servirá en su vida laboral como f́ısicos.
References
[1] Universitat de Palencia, ”Propagación de errores”, 2015. [Online]. Avaliable:
https://www.uv.es/zuniga/3.2P ropagaciondeerrores.pdf
[2] Laboratorio de Mecánica y fluidos. introducción al estudio de las
mediciones., Introducción al estudio de las mediciones., 2016. [Online]. Avaliable:
http://www.fisica.uson.mx/manuales/mecyfluidos/mecyflu− lab001.pdf
[3] Universidad Complutense de Madrid., Cálculo de incertidumbres y expresión de los resulta-
dos de las prácticas. [Online]. Avaliable: http://webs.ucm.es/info/Geofis/practicas/errores.pdf
[4] Departamento de F́ısico - Qúımica UNAM, Práctica 1 Me-
didas y su incertidumbre . Diciembre 2010. [Online]. Avaliable:
http://depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/ManualdeF isica26426.pdf
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