examen 4 - Diego Mandujano (1)

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Diego Antonio Mandujano González D08 C. U de CS. Exactas e Ing. 
 
Examen Final Métodos Matemáticos I 
 
 
1. Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y además se sabe que (A∩ B) 
tiene dos elementos. ¿Cuál es la cardinalidad de A ∪ B? 
 
 
n (𝐴 ∪ 𝐵) = 8 
2. Escribe por extensión o por comprensión los siguientes conjuntos. 
 
a) {x|x es un número entero positivo menor que 11} 
 
x = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 
 
b) {Luna} 
 
B = {𝑥|𝑥 es luna} 
 
c) {x|x es un número primo menor que 15} 
x = {2,3,5,7} 
 
d) ) {} 
D = ∅ 
3. Simboliza las siguientes proposiciones. 
a) No vi la peĺıcula, pero léı la novela. 
P = Vi la película 
N = Leí la novela 
~P ∧ N 
 
b) No me gusta madrugar ni trasnochar. 
M = me gusta Madrugar 
T = Me gusta trasnochar 
~M ∧ ∼ T 
 
 
 
Diego Antonio Mandujano González D08 C. U de CS. Exactas e Ing. 
 
 
c) Si no estuvieras loca, no habría venido hasta aquí. 
L = estoy Loca 
V = vine hasta aqui 
 
~L → ∼ V 
 
 
d) ) Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de de las 
seis. 
Luego, tanto si viene en tren como en coche , llegará antes de las seis. 
 
T = viene en Tren 
S = llega antes de las Seis 
C = viene en Coche 
 
 
[(T → S) ∧ (C → S)] → [(T ∨ C) → S] 
 
 
4. Construye las tablas de verdad e indica si es tautoloǵıa, contigencia o contradicción. 
a) ∼ p ∨ q 
P Q ~P ∨ Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Contingencia 
 
b) (p ∧ q) → p 
 
P Q (P ∧ Q) → P 
V V V 
V F V 
F V V 
F F V 
 
Tautología 
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c) (p ↔∼ q) ∨ (p∨ ∼ q) 
 
P Q (P ↔ ~Q) ∨ ( P ∨ ~Q) 
V V V 
V F V 
F V V 
F F V 
 
 
Tautología 
 
 
d ) (p ↔∼ q) ∧ (p∨ ∼ q) 
 
P Q (P ↔ ~Q) ∧ ( P ∨ ~Q) 
V V F 
V F V 
F V F 
F F F 
 
 
Contingencia 
 
 
5. Utiliza las leyes de inferencia para demostrar la validez del siguiente argumento. 
a) 1. A → S 
2. D → F 
3. (G → F ) ∧ (H → S) 
4. (∼ F ∨ ∼ S) ∧ (∼ D∨ ∼ G) 
∴ (∼ G∨ ∼ H) ∧ (∼ D∨ ∼ A) 
5. (~G ∨ ~H) ∧ (∼ 𝐷 ∨ ∼ 𝐺) 3,4 Dilema destructivo 
6. 
 
 
 
 
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6. Demuestra de manera formal los siguientes argumentos. 
a) 1.(D ∧ E) →∼ F 
2. F ∨ (G ∧ H) 
3. D ↔ E 
∴ D → G 
 
 
7. En el dominio de los libros, traduce del lenguaje simbólico al ordinario los siguientes argumentos. 
Considera P (x) = es pesado, C(x) = es confuso 
a) (∀x)(P (x) → C(x)) 
Si todos los libros son pesados entonces son confusos 
 
b) (∃x)(C(x) ∧ P (x)) 
Algunos libros son confusos y pesados 
 
c) (∀x)(C(x) ∨ P (x)) 
Todos los libros son confusos o pesados 
 
d ) (∃x)(P (x)∧ ∼ C(x)) 
Existe un libro pesado que no es confuso 
 
8. Escribe la negación de las proposiciones del problema 7 y escribe al lenguaje simbólico. 
 
A) Algunos libros son pesados y no son confusos 
 
(∃x)(P(x) ∧ C(x)) 
 
B) Todos los libros no son confusos o son pesados 
 
(∀x)(~C(x) ∨ P(x)) 
 
 
C) Existe un libro que no es pesado y no es confuso 
 
(∃x)(~P(x) ∧ C(x)) 
 
 
D) Todos los libros no son pesados o todos los libros no son confusos 
 
 (∀x)(~P(x) ∨ ~C(x)) 
 
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9. Prueba de manera formal la validez del siguiente argumento con cuantificadores. 
a) 1. (∀x)(P (x) → H(x)) 
2.(∀x)(R(x) →∼ H(x)) ∴ (∀x)(R(x) →∼ P (x)) 
 
P(x) = 1 
H(x) = 1 
R(x) = 1 
 
Tautologia