Ensayo Cpech 044 - Matemáticas (2016) (S) - Antonia Salinas

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SOLUCIONARIO 
ENSAYO MT- 044 
S
E
N
S
C
E
S
M
T
0
3
4
-A
1
6
V
1
 
S
E
N
S
C
E
S
M
T
0
4
4
-A
1
6
V
1
 
 
1. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Aplicación 
 







6
5
:
3
2
3
5
 = 






5
6
3
2
3
5
 = 






15
12
3
5
 = 






15
12
15
25
 = 
15
13
 
 
Al desarrollar las alternativas resulta: 
 
A) 
3
2
21
14
5
14
21
5
 
B) 
6
5
6
61
1
6
1 


 
C) 
18
31
18
16
18
15
9
8
6
5
 
D) 
13
15
13
3
5
3
13
:5  
E) 
15
13
15
1730
15
17
2 

 
 
Por lo tanto, el resultado de 






6
5
:
3
2
3
5
 es igual al resultado de 
15
17
2  . 
 
 
 
2. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Comprensión 
 
Si de los 90 dulces se comió la tercera parte, entonces se comió 90
3
1
 , quedando 90
3
2
 . 
De ellos, los repartió en tres grupos iguales, quedando cada grupo con 90
3
2
3
1
 . 
 
Luego, a uno de los grupos le sacó 5 dulces y los puso en otro, es decir el grupo menor 
queda con 590
3
2
3
1
 y el grupo mayor queda con 590
3
2
3
1
 . 
 
Por lo tanto, la expresión que representa la cantidad de dulces que tiene el grupo mayor 
es 590
3
2
3
1
 . 
 
3. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Comprensión 
 
Al revisar las alternativas se observa: 
 
A) q· r < p · q . Falsa, porque al simplificar por q, siendo éste es negativo, invierte 
el signo de la desigualdad, quedando (r > p), lo cual del enunciado no puede ser. 
 
B) p· r < q . Falsa, ya que tanto p como q son positivos, luego p· r > 0 , y q < 0 
 
C) q· r < -1 . No siempre verdadera, por ejemplo si r = 0,5 y q = -1, q· r = -0,5 > -1 
 
D) q· r < r . Verdadera, pues q < 0 y p > 0, luego p· q < 0 < r  p· q < r. 
 
E) p· r > 1. No siempre verdadera, por ejemplo para r = 0,25 y p = 2, p· r = 0,5< 1. 
 
 
Por lo tanto, solo la afirmación q· r < r es siempre verdadera. 
 
 
 
4. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Aplicación 
 
El valor de 
6
1
 es 0,166666… Luego, 
6
1
 truncado a la décima es 0,1. 
 
Es decir, 
10
1
0,1
6
1
T 





. 
 
Entonces, 
6
1
6
1
T 





 = 
6
1
10
1
 = 
60
106 
 = 
60
16
 = 
15
4
 
 
Por lo tanto, el valor de 
6
1
6
1
T 





 es 
15
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
5. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Potencias 
Habilidad Aplicación 
 
La masa inicial del líquido es 1,4·10
–2 
kilogramos, o sea 0,014 kilogramos. Luego, al 
evaporarse la mitad queda 0,007 kilogramos de líquido. 
 
La masa final del líquido más la masa del frasco vacío es: 
(0,007 + 0,0035) = 0,0105 = 10,5·10
–3 
 kilogramos. 
 
Por lo tanto, después de evaporarse la mitad del líquido, la balanza marca 10,5·10
–3 
 
kilogramos. 
 
 
 
 
6. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
Al traspasar cada alternativa a decimal resulta: 
8
3
 = 0,375 
5
2
 = 0,4 
9
4
 ≈ 0,444 
2
1
 = 0,5 
7
4
≈ 0,571 
 
El número 
7
3
 vale aproximadamente 0,429. Luego, los más cercanos son 
5
2
 y 
9
4
. 
 
Al hacer la diferencia positiva, resulta 
35
1
35
1415
5
2
7
3


 y 
63
1
63
2728
7
3
9
4


 . 
Como 
35
1
63
1
 , entonces 
9
4
 está más cerca que 
5
2
. 
 
Por lo tanto, de los números propuestos, el que está más cerca de 
7
3
 en la recta 
numérica es 
9
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
7. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad ASE 
 
I) Falsa, para a = 1 = b, porque 111  nn . 
II) Verdadera, pues si a es el doble de b, entonces 
1 nn ba (Al reemplazar a) 
1)2(  nn bb (Descomponiendo potencias) 
bbb nnn  2 (Al simplificar por nb ) 
bn  2 
III) Verdadera, ya que si a es un número impar, entonces cualquier potencia de a 
será impar, en particular la potencia 1nb . 
 
 
8. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
El enunciado plantea que nba  , entonces       2logloglog nbnnbnb bba  , aplicando 
la propiedad de la potencia para el logaritmo resulta:     2222 1loglog nnbnb bnb  
Por lo tanto,   2log nanb  . 
 
 
9. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Comprensión 
 
Analizando cada alternativa, con m, n, p y q números naturales distintos de 1, resulta: 
 
A) Falsa, ya que m qm p nn  = m qpn  
B) Falsa, ya que n npq = qpn  
C) Falsa, ya que 
pm nn  = 
mp pmn  
D) Falsa, ya que 
q
q
q
q
q
q
q
1
q
1
p n
p p
p n
p n
p n
p npp np


 
E) Verdadera, ya que 
n
q
p
p
 = 
qn q
qn n
p
p
 = qn
q
n
p
p
 = qn qnp  
 
Por lo tanto, la afirmación siempre verdadera corresponde a la alternativa E. 
10. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
El punto medio del segmento PQ corresponde al promedio entre P y Q. Es decir: 
M = 
2
QP 
 = 
2
b loga log 
 
 
Aplicando propiedades de logaritmos se tiene: 
M = 
2
b loga log 
 = 
2
b)log(a 
 = b)log(a
2
1
 = log ba  
 
Por lo tanto, el valor de M es log ba  . 
 
 
 
11. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad Aplicación 
 
  38,124log2410241024100024log46,0 38,146,0346,01000  
 
 
 
12. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
9,0
8,0
6,02,1
64,0
36,044,1




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
Para todo a, b, c números reales mayores que 1 se cumple que a < b < c  a² < b² < c². 
Luego: 
 
I) Se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 < 32  < 3 y 
elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 · 3 < 9  4 < 6 < 9, lo que es 
correcto. 
 
II) NO se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 < 32  < 3 y 
elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 + 62 + 3 < 9  4 < 5 + 62 < 
9. La primera parte es correcta, pero si tomamos la segunda parte de la 
desigualdad queda: 
5 + 62 < 9 (Restando 5)  62 < 4 (Elevando al cuadrado)  24 < 16, 
lo que NO es correcto. 
 
III) Se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 < 32  < 3 y 
elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 + 3 < 9  4 < 5 < 9, lo que es 
correcto. 
 
Por lo tanto, la desigualdad solo se cumple para I y III. 
 
 
 
14. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
(1) 
a
1
 es un número irracional. Con esta información, se puede determinar que a es un 
número irracional, ya que el inverso multiplicativo (recíproco) de un número 
irracional también es un número irracional. 
 
(2) (1 – a) es un número irracional. Con esta información, se puede determinar que a es 
un número irracional, ya que si (1 – a) = b  a = (1 – b), y la resta entre un número 
racional y un número irracional es siempre un número irracional. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 
 
 
 
 
15. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad Aplicación 
 
 2 • (7 – 3i) – 5 • (2 – i) 
= 14 – 6i – 10 + 5i 
= 4 – i 
 
 
 
16. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad ASE 
 
Desde la figura se observa que w = a + bi, y que z = -a – bi. Entonces: 
I) Falsa, ya que el conjugado de z es: a – bi ≠ w. 
II) Verdadera, puesto que     2222 babaz  , mientras que 
    2222 babaw  , es decir, 22 bawz  . 
III) Verdadera, pues 
)(
1
)(
)(
1
)(
11
bia
bia
bia
bia
w
zwz


  , 
simplificando queda 1
1
1


. Por lo que 11  wz . 
Por lo tanto, son siempre verdaderas solo II y III. 
 
 
 
17. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad ASE 
 
(1) La suma entre z y su conjugado es 4. Con esta información no es posible 
determinar el cuadrante donde se ubica z, pues solo sabríamos que z + z = 
(a + bi) + (a – bi) = 4 
2a = 4 
 a = 2. 
 
(2) a = – b. Con esta información no es posible determinar el cuadrante donde se 
ubica z, ya que solo se tendría que z = a – ai. 
 
Con ambas informaciones juntas, sí es posible determinar el cuadrante donde se 
ubica z, ya que si la suma entre z y su conjugado es 4, entonces a = 2. Si además 
a = – b, luego z = a – ai, por lo que combinando ambas informaciones, z = 2 – 2i, 
complejo que se ubica en el IV cuadrante del plano complejo. 
 
Por lo tanto la respuesta es: Ambas juntas. 
 
 
 
18. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad Aplicación 
 
Al interpretar matemáticamente el enunciado resulta: 
 
 2a – b = 3(a + b) (Eliminando paréntesis) 
 2a – b = 3a + 3b (Ordenando) 
– 3b – b = 3a – 2a (Reduciendo) 
 – 4b = a 
 
Por lo tanto, el valor de a en términos de b es – 4b. 
 
 
 
19. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad Aplicación 
 
Al factorizar la expresión resulta: 
 x³ + x² – 2x 
Factorizando por x  x  (x² + x – 2) 
Factorizando el trinomio  x  (x – 1)  (x + 2) 
 
Si bien ninguno de estos términos está en las alternativas, el producto de dos factores 
también es un factor de la expresión. Luego, también son factores: 
x  (x – 1) = x² – x 
x  (x + 2) = x² + 2x 
(x – 1)  (x + 2) = x² + x – 2 
 
Por lo tanto, la opción que es un factor de la expresión (x³ + x² – 2x) es (x² – x). 
 
 
 
 
 
 
 
20. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad ASE 
 
I) Falsa, ya que AH = DG = 
4
3x
 y GH = DA = 
4
5x
. 
Entonces, el perímetro del rectángulo AHGD es (AH + GH + DG + DA) = 
4
16x
4
5x
4
3x
4
5x
4
3x






 = 4x. 
 
II) Verdadera, ya que el área del polígono ABCGFE se puede calcular como la 
diferencia entre el área del cuadrado ABCD y el área del cuadrado DEFG. 
Entonces, el área del polígono ABCGFE es 
16
16x
16
9x
16
25x
4
3x
4
5x 222
22












 = x². 
 
III) Verdadera, ya que EA = FH = GC = (DC – DG) = 
4
2x
4
3x
4
5x






 y AH = EF 
= 
4
3x
, entonces el perímetro del rectángulo AHFE es (AH + FH + EF + EA) = 
4
10x
4
2x
4
3x
4
2x
4
3x






 . Por otro lado, como HB = GC = 
4
2x
 y GH = CB = 
4
5x
, entonces el perímetro del rectángulo HBCG es (HB + CB + GC + GH) = 
4
14x
4
5x
4
2x
4
5x
4
2x






 . Luego, la diferencia entre ambos perímetros es 
4
4x
4
10x
4
14x






 = x. Es decir, el perímetro del rectángulo AHFE es x 
unidades menor que el perímetro del rectángulo HBCG. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 
 
 
 
21. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad Comprensión 
 
Si el costo de una polera es $ x y el de un pantalón es $ y, entonces: 
El comprar un pantalón y tres poleras por $25.000 se puede escribir (y + 3x = 25.000) 
Adquirir un pantalón y una polera con $12.000 se puede escribir (y + x = 12.000) 
 
Luego, la primera ecuación se puede reescribir como (3x = 25.000 – y ) que junto a la 
segunda ecuación generan el sistema presente en la alternativa E. 
 
 
 
22. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad Aplicación 
 
Al amplificar la primera ecuación por -6, resulta el sistema 
-3x + -12y = -42 
 3x + 5y = 9 
 
Al sumar ambas ecuaciones queda la ecuación 
-7y = -33 (Dividiendo por -7 a ambos lados) 
 y =
7
33
 
 
Luego, reemplazando el valor de y en la primera ecuación resulta 
2
x
 + 2· 





7
33
 = 7 (Multiplicando) 
2
x
 + 
7
66
 = 7 (Restando 
7
66
) 
2
x
 = 7 – 
7
66
 
2
x
 = 
7
6649 
 
2
x
 = 
7
17
 (Multiplicando por 2) 
 x = 
7
34
 
 
Luego, al sumar (x + y) = 
7
1
7
33
7
34 








 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Transformación algebraica 
Habilidad Aplicación 
 
Para obtener (1 ∆ w), se reemplaza m =1 y p = w. Luego, 
1 ∆ w = 
w
1
1w
w
w1
1w
1
1
w
1







 
 
 
 
24. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática 
Habilidad 
 
Recordemos que la suma de las soluciones de una ecuación cuadrática x
2
 + bx + c = 0 
corresponde a 
a
b
. 
Entonces, la ecuación x(ax – 3) = 7 puede ser escrita como ax
2
 + -3x – 7 = 0, luego la 
suma de las raíces será: 
aa
b 3
 , es decir, 
1
3
3
3
3
3
3






a
a
a
a
 
 
 
 
25. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Comprensión 
 
Como las soluciones de la ecuación son iguales, su discriminante es igual a cero. Luego, 
a = m
4
, b = k y c = n
2
, entonces: 
 
b
2
 – 4ac = 0 (Reemplazando los valores de a, b y c) 
k
2
 – 4 ∙ m
4
 ∙ n
2
 = 0 (Despejando k) 
k
2
 = 4 ∙ m
4
 ∙ n
2
 (Aplicando raíz cuadrada) 
k1 = 2m
2
n y k2 = – 2m
2
n 
 
Elegimos k1, puesto que m, n y k son números reales positivos. 
 
 
 
26. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad ASE 
 
I) Falsa, ya que por ejemplo si a = 5 y b = 0, entonces a – b = 5. 
II) Falsa, ya que por ejemplo si a = 4 y b = 1, entonces 
b
a
 = 4. 
III) Verdadera, ya que para p, q, r y s números reales, se cumple que si p < q y r < s, 
entonces p + r < q + s. 
 
Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera. 
 
 
 
27. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad ASE 
 
 
(1) b es el triple de a. Con esta información sí se puede determinar el intervalo al 
cual pertenece a, ya que quedaría una inecuación para una sola variable; es 
decir, 
– 5 ≤ b – a ≤ 9 (Reemplazando b) 
– 5 ≤ 3a – a ≤ 9 
– 5 ≤ 2a ≤ 9 (Dividiendo por 2) 
– 2,5 ≤ a ≤ 4,5 
 
(2) a es menor que b. Con esta información no es posible determinar el intervalo al 
cual pertenece a, pues dada la condición – 5 ≤ b – a ≤ 9, al despejar a de la 
inecuación queda de la siguiente manera 
 
– 5 ≤ b – a ≤ 9 (Restando b) 
–5 – b ≤ -a ≤ 9 – b (Multiplicando por -1, se cambia la desigualdad) 
5 + b ≥ a ≥ -9 + b (Reordenando la desigualdad) 
b – 9 ≤ a ≤ b + 5 
 
Luego, con la información a < b, no se podría resolver dicha inecuación, pues 
solo se agregaría otra inecuación a la del enunciado. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 
 
 
 
28. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Función afín y función lineal 
Habilidad Aplicación 
 
- A las 9 AM, la temperatura es de 18º C, punto (9, 18) = (x1, y1) 
- A las 11 AM la temperatura es de 22º C, punto (11, 22) = (x2, y2) 
 
La ecuación de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es: 
y = 
12
12
xx
yy


(x – x1) + y1 
y = 
911
1822


(x – 9) + 18 
y = 
2
4
(x – 9) + 18 
y = 2x – 18 + 18 
y = 2x 
 
Por último, evaluamos en x = 15  y = 2·15 = 30 
 
Por lo tanto, a las 15 horas la temperatura será de 30º C. 
 
 
 
29. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz 
cuadrada 
Habilidad Comprensión 
 
Analicemos el comportamiento de la sustancia radiactiva conel paso del tiempo con al 
siguiente tabla 
Tiempo [horas] Cantidad de sustancia [gramos] 
0 500 
1 500
2
1
 
2 500
2
1
500
2
1
2
1
2












 
3 500
2
1
500
2
1
2
1
32












 
… … 
n 500
2
1
500
2
1
2
1
1













 nn
 
 
Por lo tanto, la cantidad, en gramos, que habrá de sustancia radiactiva al paso de x 
horas es 500
2
1







x
 
 
 
 
30. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz 
cuadrada 
Habilidad Comprensión 
 
La expresión 3
g(x)
 = 5x, se puede reescribir como )()5(log3 xgx  , por lo tanto la 
función g corresponde a una función logaritmo. Una función logaritmo tiene como 
dominio el conjunto de los números reales positivos (IR
+
) y como recorrido el conjunto 
de todos los reales (IR). 
Por lo tanto, el dominio y recorrido de g son, respectivamente, IR
+
 y IR. 
 
 
 
 
 
 
 
31. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz 
cuadrada 
Habilidad Aplicación 
 
 2x = 1)(xx  (Eliminando paréntesis) 
 2x = xx 2  (Elevando al cuadrado) 
 4x² = x² + x (Ordenando) 
4x² – x² – x = 0 (Reduciendo) 
 3x² – x = 0 (Factorizando) 
 x·(3x – 1) = 0 
 
Dicha igualdad se cumple para x = 0 y x = 
3
1
. Reemplazando cada una de ellas en la 
ecuación resulta: 
x = 0  2·0 = 1)(00   0 = 0  0 = 0 
x = 
3
1
  2·
3
1
 = 





 1
3
1
3
1
  
3
2
 = 
3
4
3
1
  
3
2
 = 
3
2
 
Dado que en ambos casos se cumple la igualdad, entonces ambos valores de x son 
solución de la ecuación. 
 
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 2x = 1)(xx  es 






3
1
,0 . 
 
 
 
32. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Compresión 
 
A partir de la gráfica se puede observar que el coeficiente de posición de la parábola es 
1, por lo tanto se pueden descartar las alternativas: C, D y E. Luego, para discriminar 
entra las alternativas A y B, se puede determinar la primera componente del vértice de 
la parábola 




 
a
b
2
 en cada caso: 
A) f(x) = – 3x2 + 2x + 1  a = -3, b = 2, entonces 
3
1
6
2
32
2
2





a
b
 
B) g(x) = – 3x2 – 2x + 1 a = -3, b = -2, entonces 
3
1
6
2
32
2
2







a
b
 
 
Luego, de la figura se observa que el vértice de la parábola se encuentra en el primer 
cuadrante, por lo que la primera componente es positiva, y eso no ocurre en la 
alternativa B. 
33. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad ASE 
 
Sea la función f(x) = px
2
 + 2pqx, con p y q números naturales. 
 
I) Verdadera, ya que (0, 0) y (–2q, 0) pertenecen a la función. De hecho, 
 f(0) = p·0
2 
+ 2pq·0 = 0 
f(–2q) = p· (–2q)2 + 2pq·(–2q) = 4pq2 – 4pq2 = 0 
También factorizando la función podemos llegar a la misma conclusión. 
f(x) = px
2
 + 2pqx = px·(x + 2q) 
 Los ceros de la función se obtienen para x = 0 y para x = –2q. 
 
II) Falsa, ya que el vértice de la función cuadrática es (– q, – pq
2
). De hecho, el vértice 
de una función cuadrática de la forma f(x) = ax
2
 + bx + c, es igual a 










 
2a
b
f,
2a
b
. En este caso, a = p, b= 2pq. Reemplazando, tenemos que el vértice es 













 
2p
2pq
f,
2p
2pq
= (– q, – pq
2
). 
 
III) Falsa, ya que (0, 0) pertenece a la gráfica de la función. De hecho, 
 f(0) = p·0
2
 + 2pq·0 = 0. 
 
Por lo tanto solo la afirmación I es verdadera. 
 
 
 
34. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad Comprensión 
 
La función f(x) = x
3 
corresponde a una función cúbica con vértice en el origen. Si la 
función está multiplicada por un factor negativo, entonces la gráfica sufre una simetría 
con respecto al eje X, o sea las ramas invierten su sentido de crecimiento. En este caso 
como la función m(x) = – 3x
3
 es una función cúbica con vértice en el origen 
multiplicada por un factor negativo, la gráfica que mejor representa a la función es la 
correspondiente a la alternativa C. 
 
 
 
 
 
 
35. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Teoría de funciones 
Habilidad Aplicación 
 
Dada la función
x
x
xf
4
)(

 , para encontrar la función inversa, se debe despejar x 
x
x
y
4
 (Se multiplica por x a ambos lados) 
4 xyx (Restando) 
4 xyx (Factorizando) 
4)1( yx (Dividiendo por y – 1) 
1
4



y
x (Amplificando el lado derecho por -1) 
y
x


1
4
 
 
Luego, la función para la variable y (reemplazar x por y) es: 
x
xf


1
4
)(1 
 
 
 
36. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad ASE 
 
(1) La gráfica de h(x) pasa por el punto (1, 1). Con esta información, no se puede 
determinar que n es un número impar, ya que significa que h(1) = 1, lo que se 
cumple para todo n en los naturales. 
 
(2) h(– 1) = – 1. Con esta información, se puede determinar que n es un número impar, 
ya que h(– 1) = (– 1)
n
 = – 1 se cumple solo para los n impares, ya que si n fuera par 
el resultado sería 1. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola. 
 
 
 
 
 
 
 
37. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Comprensión 
 
I) Falsa, ya que P y Q son simétricos con respecto al eje X. 
 
II) Falsa, ya que P está debajo de Q, luego para obtener P se puede aplicar a Q el 
vector de traslación (0, – 2a). 
 
III) Falsa, ya que el sentido positivo de giro es en contra de las manecillas del reloj. 
Luego, para obtener Q se puede aplicar a P una rotación negativa de 90º con 
respecto al origen. 
 
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera. 
 
 
 
38. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Comprensión 
 
Como el triángulo ABE es isósceles en E y  ABE   EDB   DCB, entonces la 
única afirmación que no se cumple es la C, ya que si llamamos AE = EB = BD = BC = a 
y AB = ED = DC = b, entonces: 
 
Perímetro ABCDE = (AB + BC + DC + ED + AE) = (b + a + b + b + a) = 2a + 3b 
 
Perímetro EBD = (EB + BD + ED) = (a + a + b) = 2a + b 
 
Luego, Perímetro ABCDE = 2a + 3b ≠ 3·Perímetro EBD = 3·(2a + b) = 6a + 3b 
 
O sea, en general, el perímetro del polígono ABCDE NO es igual al triple del perímetro 
del triángulo EBD. 
 
Por lo tanto, la afirmación que no siempre es verdadera corresponde a la alternativa C. 
 
 
 
39. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Comprensión 
 
A partir de la figura, piden  qp  que equivale a la suma  qp  , es decir la suma entre 
el vector p y el opuesto al vector q. 
Gráficamente, esto es 
 
Luego, la suma queda expresada por el vector r como se observa en la siguiente figura 
 
Por lo tanto, la alternativa B es la que mejor representa dicha situación. 
 
 
 
40. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Aplicación 
 
Al esquematizar la situación resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando como referencia el centro de la circunferencia, que se traslada del punto O(3, 
5) al punto P(4, – 3), es posible determinar el vector de traslación T(a, b): 
O(3, 5) + T(a, b) = P(4, – 3)  T(a, b) = P(4, – 3) – O(3, 5) = (4 – 3, – 3 – 5) = (1, – 8) 
 
Por lo tanto, el vector de traslación T es (1, – 8). 
•
•
O
P
– 2 
1 2 3
– 3 
1
2
– 1 
x
y
4
3
45
41. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Aplicación 
 
Si dos puntos son simétricos con respecto a una recta, entonces dicha recta es 
perpendicular en el punto medio al segmento formado por los dos puntos. 
 
Luego, como los puntos A(– 1, – 2) y B(3, – 2) son simétricos con respecto a la recta L 
y forman un segmento horizontal, entonces la recta L es vertical y pasa por el punto 
medio del segmento AB, que es (1, – 2). Entonces, la ecuación de la recta de L es x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, como indica la figura, si al punto P(– 2, 1) se le aplica una simetría axial 
con respecto a la misma recta L se obtiene el punto Q(4, 1). 
 
 
 
42. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Comprensión 
 
Al extender los lados del hexágono hasta el punto P, es posible verificar que se forma 
un triángulo equilátero entre los vértices del hexágono y el punto de rotación. Luego, 
para efectuar la rotación pedida, basta con girar dicho triángulo en 60° con respecto a P, 
“arrastrando” al hexágono con él como muestra la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•
– 2 
1 2
3
– 2 
– 1 
1
2
– 1 
x
y
4
•
• •
L
A B
P Q
1– 1 
1
x
y
P •
60 
Por lo tanto, la opción que representa mejor la figura obtenida es la que se encuentra en 
la alternativa E. 
 
 
 
43. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Circunferencia 
Habilidad Comprensión 
 
En la figura, PQes tangente a la circunferencia en Q y QR es diámetro, por lo que el 
triángulo PQR es rectángulo en Q. 
Sea PRQ . Entonces, por suma de ángulos interiores en un triángulo podemos 
afirmar que   90 . Además, el arco SQ es el doble del respectivo ángulo inscrito, 
es decir, arco SQ mide 2 . 
Luego, si llamamos x al arco RS y como el arco RQ es semicircunferencia, se tiene que 
arco RS + arco SQ = 180°, entonces 
1802  x (Reemplazando  ) 
  180902  x (Desarrollando) 
1802180  x (Despejando x) 
2x . 
 
Por lo tanto, la medida del arco RS siempre equivale a 2 . 
 
 
 
44. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Como L3 // L4, entonces se puede plantear el teorema de Thales 2b
ab
1b
x


. 
Al despejar resulta: x·b
2 
= ab·(b + 1)  xb
2
 = ab² + ab  x =  
2
2
b
abab 
 
x = 
b
aab
b
a)b(ab
2



 
Por lo tanto, la expresión que representa siempre el valor de x es 
b
aab 
. 
 
 
 
45. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Según el teorema de Euclides, en un triángulo rectángulo, si p y q son las proyecciones 
respectivas de los catetos a y b sobre la hipotenusa c, entonces se cumple que a² = p·c y 
b² = q·c. Al reemplazar en este caso resulta: 
 
3² = 1 · c  c = 9  q = 8 
 
x² = 8 · 9  x² = 72  x = 72 
 
Por lo tanto, el valor de x es 72 . 
 
 
 
46. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
Como los triángulos USP y QRP son rectángulos con un ángulo en común, entonces son 
semejantes. 
 
Al plantear la proporcionalidad de lados homólogos resulta 
PR
PS
PQ
PU
RQ
US
 . 
 
Como S y T son los puntos medios de PQ y RQ , PQ = 4 y RQ = 3, entonces: 
* PR = 5 (por trío pitagórico) y ST es mediana del triángulo, por lo cual mide la mitad 
de PR , o sea ST = 2,5. 
* PS = 2 y RT = 1,5 
 
Luego, al reemplazar en la proporcionalidad: 
 
5
2
4
PU
3
US
  US = 
5
23 
 = 1,2 y PU = 
5
24 
 = 1,6 
 
Además, UR = (PR – PU) = (5 – 1,6) = 3,4. 
 
 Perímetro STRU = (ST + RT + UR + US) = (2,5 + 1,5 + 3,4 + 1,2) = 8,6 
 
Por lo tanto, el perímetro del cuadrilátero STRU es 8,6. 
 
 
 
 
47. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Si MQ mide una unidad más que MR , PM mide el doble de MQ, entonces se puede 
plantear: MR = x MQ = x + 1 PM = 2(x + 1) 
 
Según el teorema de las cuerdas, en este caso se cumple que MRPMMQSM  . 
Luego, reemplazando las expresiones anteriores: 
6·(x + 1) = 2(x + 1)·x  6 = 2x  x = 3  MQ = (3 + 1) = 4 
 
Por lo tanto, el valor del segmento MQ es 4. 
 
 
 
48. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
(1) Ambos triángulos tienen un ángulo de 100º. Con esta información, se puede afirmar 
que los triángulos son semejantes, ya que este ángulo necesariamente será el 
contrario a la base en ambos triángulos, y los otros dos ángulos serán congruentes de 
40º. Luego, por definición, los triángulos serán semejantes. 
 
(2) La razón entre las bases de los triángulos es 2:5. Con esta información, no se puede 
afirmar que los triángulos son semejantes, ya que no se cumple ninguno de los 
criterios de congruencia. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 
 
 
 
49. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Circunferencia 
Habilidad ASE 
 
(1) CBDCAD  . Con esta información no es posible determinar si el arco CD 
es congruente con el arco AB, ya que no aporta información, puesto que esto se 
puede deducir por el hecho de que ambos son ángulos inscritos que comprender 
el mismo arco. 
(2) BCAD  . Con esta información no es posible determinar si el arco CD es 
congruente con el arco AB, pues solo podríamos establecer que los arcos AD y 
BC son congruentes. Con esto tendríamos que la igualdad de la suma de los 
arcos AB + BC + CD + DA = 360°, se reduciría a AB + 2BC + CD = 360°, 
quedando una ecuación con infinitas soluciones. 
 
Si usamos ambas informaciones juntas, no es posible determinar si el arco CD es 
congruente con el arco AB, ya que se estableció que la información (2) no es suficiente 
y la información (1) no aporta información nueva. 
 
Por lo tanto, la respuesta es Se requiere información adicional. 
 
 
50. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Comprensión 
 
Dada la recta L: y = – ax + b, creciente y que pasa por el origen se cumple que: 
–a > 0, pues la recta es creciente, eso implica que a < 0. 
b = 0, pues la recta pasa por el origen, por lo que su coeficiente de posición es 0. 
 
Es decir, siempre se cumple que a < 0 y b = 0. 
 
 
51. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
La recta y = px + p intersecta al eje X en el punto T, eso quiere decir que el punto T(x, 0) 
pertenece a la recta. Al reemplazar en la ecuación se obtiene 
y = px + p (Reemplazando por y por 0) 
0 = px + p (Restando p) 
-p = px (Dividiendo por p) 
-1 = x 
 
Es decir, la abscisa del punto T es -1. 
52. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
Como la razón de homotecia es 2,5, el triángulo PQR es rectángulo isósceles en Q y sus 
catetos miden 4 cm, entonces el triángulo QST es rectángulo isósceles en S y sus catetos 
miden (4 · 2,5) = 10 cm. 
Por el teorema de Thales se puede plantear 
TS
OS
RQ
OQ
 . Si llamamos x a la medida de 
OP queda 
10
104x
4
4x 


, y al resolver resulta: 
10·(x + 4) = 4·(x + 14)  10x + 40 = 4x + 56  6x = 16  x = 
3
8
6
16
 
Por lo tanto, la medida de OP es 
3
8
 cm. 
 
 
 
53. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
La distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se calcula como 
2
21
2
21 )y(y)x(x  . Entonces, la distancia entre un punto cualquiera (a, b) y el 
origen (0, 0) es 22 )0(b0)(a  = 
22 ba  . Luego, calculando la distancia entre 
el origen y cada uno de los puntos: 
 
A) (– 7, 1)  501491)7( 22  
B) (3, 5)  3425953
22  
C) (2, – 6)  40364)6(2 22  
D) (– 4, – 4)  321616)4()4( 22 E) (8, 0)  6406408
22  
 
Como todas son raíces cuadradas, entonces la menor es la que tiene menor cantidad 
subradical, o sea 32 . 
 
Por lo tanto, de los puntos propuestos, el que está más cerca del origen es (– 4, – 4). 
 
 
 
 
54. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
Dado que la recta L tiene como ecuación y = ax + b, quiere decir que su pendiente es a. Por otro 
lado, como las rectas L y M son perpendiculares, entonces la recta M tiene pendiente 
a
1
 , 
Además, puesto que intersecta al eje Y en el mismo punto que la recta L, el coeficiente 
de posición de la recta M también es b. Así la ecuación de la recta M es y = 
a
1
 x + b. 
 
Buscamos la intersección de la recta L con el eje X: 
 
y = ax + b (Reemplazando y = 0) 
0 = ax + b (Restando b) 
- b = ax (Dividiendo por a) 
a
b
 = x 
 
Buscamos la intersección de la recta M con el eje X: 
 
y = 
a
1
 x + b (Reemplazando y = 0) 
0 = 
a
1
 x + b (Restando b) 
- b = 
a
1
 x (Multiplicando por -a) 
ab = x 
 
 
Dado que el triángulo de la figura es isósceles, entonces es simétrico respecto al eje Y, 
por lo que la intersección de las rectas L y M están a la misma distancia del eje Y, por 
ende, podemos concluir que 
a
b
= ab (Dividiendo por b) 
a
1
= a (Multiplicando por a) 
 
1 = a
2
 (Debido a que la pendiente de la recta L es positiva, entonces a > 0) 
 
a = 1 
 
Finalmente, el área del triángulo es 
2
2
2
2
ab
babalturabase




 
Debido a que a =1, queda 
22 bab  . 
 
 
 
55. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Comprensión 
 
Un punto en el espacio se puede representar mediante un trío ordenado (x, y, z), donde x 
es la abscisa, y es la ordenada y z es la cota. 
 
Como en este caso se pide que la cota sea el doble de la ordenada, entonces la tercera 
componente debe ser el doble de la segunda, condición que solo se cumple en la 
alternativa D. 
 
Por lo tanto, de los puntos propuestos, se cumple que la cota es igual al doble de la 
ordenada en el punto (3, – 2, – 4). 
 
 
 
56. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Cuerpos geométricos 
Habilidad ASE 
 
Al realizar la rotación, se forma un cilindro de radio 2a y altura 3a, al cual hay que 
restarle dos cilindros de radio a y altura a. 
 
Como el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura, entonces el 
volumen generado es ·(2a)²·3a – 2·(·a²·a) = 12a³ – 2a³ = 10a³ 
 
Por lo tanto, se forma un sólido cuyo volumen se puede expresar como 10a³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L
57. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
Para que el punto (4, – 1, 7) pertenezca a la recta asociada a la ecuación vectorial v(t), 
debe cumplirse que (– 2, 3, – 5) + t(1, a, 2) = (4, – 1, 7). Luego, operando componente a 
componente: 
 
– 2 + 1·t = 4 
 3 + at = – 1 
 – 5 + 2t = 7 
 
Con la primera y tercera ecuación se puede determinar que t = 6. Entonces, 
reemplazando en la segunda resulta 3 + 6a = – 1  6a = – 1 – 3 = – 4  a = 
3
2
6
4 


 
Por lo tanto, el valor de a es 
3
2
. 
 
 
58. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Cuerpos geométricos 
Habilidad Comprensión 
 
Una pirámide está conformada por una base y caras laterales. Si el total de caras es n, quiere 
decir que hay (n – 1) caras laterales, por lo que la base tiene (n – 1) lados. 
 
 
59. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Al completar las frecuencias acumuladas de la tabla queda de la siguiente forma 
Horas N° de estudiantes Frecuencia acumulada 
[5,7[ 17 17 
[7,9[ 8 25 
[9,11[ 7 32 
[11,13[ 6 38 
[13,15] 2 40 
 
Por lo tanto, el total de estudiantes es 40. Luego, la mediana se encuentra entre la posición 20 y 
21; es decir, en el intervalo [7,9[ . 
 
 
 
60. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Al ser muestras sin orden ni reposición, corresponde a una combinatoria. Además, como las 
muestras deben contener a la letra d, entonces se deben elegir dos elementos de una población 
de 4. Por lo que será una combinatoria con n = 4 y k = 2. 
 
6
2
12
1212
1234
)!24(!2
!4
2
4

















k
n
 
 
Por lo tanto, pueden extraerse 6 muestras de tamaño 3 que contengan a la letra d. 
 
 
61. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
La marca de clase se obtiene como el promedio de los extremos de un intervalo. Por ello 
 
Puntajes Marca de 
clase 
Frecuencia 
[0,14] 7 4 
[15, 29] 22 3 
[30, 44] 37 2 
[45, 59[ 52 1 
 
El promedio en función de la marca de clase se obtiene como: 
 
n21
nn2211
f...ff
·fx...·fx·fx
x


 
siendo xi la marca de clase del intervalo i-ésimo y fi la frecuencia absoluta del mismo 
intervalo. 
Reemplazando, obtenemos: 
 
22
10
220
10
52746628
1234
52·137·222·37·4
x 




 
 
Por lo tanto el promedio de los puntajes alcanzados por los jugadores, a partir de la 
marca de clase es igual a 22. 
62. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Al agregar la frecuencia acumulada a la tabla se obtiene 
 
Tiempo (minutos) Frecuencia Frecuencia acumulada 
[0,30[ 17 17 
[30,60[ 15 32 
[60,90[ 30 62 
[90,120[ 27 89 
[120,150] 11 100 
 
I) Falsa, pues el tercer decil está en la posición 30
10
3
100  , y este valor se 
encuentra en el intervalo [30,60[ 
 
II) Falsa, ya que no podemos afirmar nada respecto al 50% de los trabajadores, 
pues la no se informa respecto al valor exacto de la mediana. 
 
III) Falsa, pues el tercer quintil está en la posición 75
4
3
100  y el cuarto quintil 
está en la posición 80
5
4
100  , ambos en el intervalo [90,120[ 
 
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera. 
 
 
63. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
Si llevamos la información del gráfico a una tabla resulta 
Altura (cm) Marca de clase Frecuencia 
[0,2[ 1 4 
[2,4[ 3 8 
[4,6[ 5 7 
[6,8] 7 5 
 
I) Verdadera, ya que la media de la altura de las plantas, a partir de la marca de clase, 
es 308,4
24
98
24
57758341


x , lo cual es superior a 4. 
 
II) Falsa, porque 12 plantas alcanzaron una altura mayor o igual a 4. 
 
III) Falsa, ya que la mayor frecuencia es del intervalo [2,4[, pero no sabemos a 
qué altura exacta corresponde. 
 
Por lo tanto, es verdadera solo la afirmación I. 
 
 
64. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
Notas Marca de clase Alumnos 
[1 , 2,5[ 1,75 5 
[2,5 , 4,0[ 3,25 8 
[4,0 , 5,5[ 4,75 x 
[5,5 , 7,0] 6,25 4 
 
(1) El promedio del curso es 4,05. Con esta información, se puede determinar el valor 
de x, ya que el promedio indicado corresponde a: 
x17
6,25·44,75·x3,25·81,75·5
4,05


 
Despejando x podemos determinar la cantidad de alumnos que obtuvieron nota entre un 
4,0 y un 5,5. Luego podremos obtener el total de estudiantes que rindieron el examen. 
 
 
 
(2) La moda se encuentra en el intervalo 4,0 – 5,5. Con esta información no se puede 
determinar la cantidad de alumnos que rindieron el examen, ya que solo sabemos que la 
cantidad de estudiantes que obtuvieron una nota entre 4,0 y 5,5 fueron más de 8. Luego, 
no podemos determinar exactamente cuántos alumnos rindieron el examen. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 
 
 
 
65. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
El promedio de los puntajes es 20
9
180
9
304201104


x . 
Por lo tanto, la desviación estándar corresponde a 
     
3
220
9
800
9
4000400
9
430201202041020
222




 
 
 
66. La alternativa correctaes D. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
El rango corresponde a la diferencia entre el valor mayor y el menor de la muestra. 
El número menor es 3·4=12 y el mayor es 3·15 = 45. Por ende, el rango es igual a 45 – 12 = 33. 
 
 
 
67. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
Sea el conjunto de datos n – 1 , n – 1, n +1, n +1 . 
 
El promedio es n
4
4n
4
1n1n1n1n
x 

 
La varianza es 
 
       
1
4
41111
2222
1
2
2 






n
nnnnnnnn
n
xx
n
i
i
 
 
La desviación estándar es 12   
 
Luego, se cumple que σ
2 
= σ = 1. 
 
Por lo tanto la afirmación siempre verdadera es que σ
2 
= σ. 
 
 
 
68. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Tenemos que el intervalo de confianza se puede obtener mediante la fórmula 
8,12582,1141
8,5812008,581200
144
36096,1
1200
144
36096,1
1200
22















 
n
z
x
n
z
x
 
 
 
 
69. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
El tamaño de las abejas distribuye de manera normal con 0,8σ  , y como el 87,5% 
mide menos de 3 cm, quiere decir que para una variable aleatoria Z de distribución 
normal tipificada, Z = 1,15. 
Por otro lado, podemos realizar la transformación según 
Z = 
σ
μX 
 (Reemplazando) 
0,8
μ3
15,1

 (Despejando el valor de µ) 
08,2
392,0
38,015,1






 
 
Por lo tanto, la media del tamaño de las abejas es 2,08 cm. 
 
 
70. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Se tienen los conjuntos, según enunciado 
A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24} 
B = {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} 
 
I) Verdadera, ya que la probabilidad de obtener un múltiplo de 6 en la caja A es 
3
1
12
4
 , mientras que en la caja B, la probabilidad es 
2
1
10
5
 . 
 
II) Falsa, pues los divisores de 12 son {1,2,3,4,6,12}, por lo que la probabilidad 
de obtener un divisor de 12 en la caja A es 
3
1
12
4
 , mientras que en la caja B 
es 
10
3
. 
 
III) Verdadera, ya que extraer un múltiplo de 3 en la caja A tiene una 
probabilidad de 
3
1
12
4
 , mientras que obtener un múltiplo de 2 en la caja B 
tiene una probabilidad de 
2
1
10
5
 . 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 
 
 
 
 
 
71. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Las combinaciones en que las consonantes quedan juntas son aquellas en que la letra O 
está al comienzo o al final de la palabra. Entonces, se trata de una permutación para 
cada caso. 
Si la O es la primera letra, entonces las permutaciones posibles son en total 3! = 6. 
Mientras que si la O es la última letra, también el total de permutaciones son 3! = 6. Por 
ende, hay un total de 6 + 6 =12 combinaciones en que las tres consonantes quedan 
juntas. 
 
 
 
 
72. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
La probabilidad de un suceso A se puede calcular mediante la expresión 
posibles casos
favorables casos
)(P A 
Además, los eventos extraer primero una tarjeta roja y luego una azul, son 
independientes, por lo que la probabilidad de que ocurran ambas cosas se calcula como 
el producto de cada uno de los eventos. 
n
a
)__(P primerarojatarjeta . 
Considerar que sin reposición, la segunda tarjeta a sacar tiene n – 1 posibilidades 
1-n
b
)__(P segundaazultarjeta 
Entonces, la probabilidad de extraer primero una tarjeta roja y luego una azul es 
1-n
b
n
a
 
 
 
 
73. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
I) Falsa, pues no se puede saber con exactitud qué resultados se obtendrán. 
 
II) Verdadera, ya que la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un 
dado común es 
2
1
, por lo que al lanzarlo 240 millones de veces, 
teóricamente, la mitad se obtiene como resultado un número primo. 
 
III) Falsa, pues la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 al lanzar un dado 
común es 
3
1
 por lo que al lanzarlo 240 millones de veces, teóricamente, 
3
1
de 
las veces se obtiene un múltiplo de 3, es decir 000.000.80000.000.24
3
1
 , 
que no es equivalente a 80.000 millones 
 
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera. 
 
 
 
 
 
74. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Si completamos la tabla entregada con los totales relativos queda 
 
 Televisión Música Total 
Hombres 42 38 80 
Mujeres 23 77 100 
Total 65 115 180 
 
I) Verdadera, ya que los hombres que prefieren ver televisión son 42 de 180 
personas, por lo que la probabilidad pedida es 
30
23
180
138
180
42180
180
42
1 

 
 
II) Falsa, porque la probabilidad de que sea un hombre es 
9
4
180
80
 
 
III) Falsa, pues la probabilidad de que prefiera escuchar música es 
180
115
 
 
Por lo tanto, solo es verdadera la afirmación I. 
 
 
 
75. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Los posibles resultados de este experimento son {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, conformados 
por la suma de los números, de a dos en dos, entre el 1 y el 5. Por ende, el espacio 
muestral tiene 9 elementos 
 
 
76. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
f(1) corresponde a la probabilidad de extraer solo una letra A en el experimento. Esto 
puede ocurrir cuando la primera tarjeta es una A y la segunda no, o cuando la primera 
tarjeta no es una A y la segunda sí. Esta probabilidad se calcula mediante al expresión 
7
4
6
3
7
4
6
4
7
3
)1( f 
77. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
F(2) = P(X = 1) + P(X = 2) 
 
50
19
50
11
50
8
50
523
50
513






 
 
 
78. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
El evento de elegir una pregunta al azar responde a una distribución binomial, con un 
total de n = 5 preguntas, en donde la probabilidad de éxito (correcta) es 
3
1
, por ende la 
de fracaso (incorrecta) es 
3
2
. Por lo tanto, la probabilidad de tener k respuestas correctas 
es 
5
55
3
2
)!5(!
!5
3
2
3
15 k
kk
kkk





















 
 
I) La probabilidad es 
5
4
5
4
5
15
3
2
5
3
2
)1234(1
12345
3
2
)!15(!1
!5






 
 
II) La probabilidad es 
5
4
5
3
5
3
5
25
3
2
5
3
2
2
20
3
2
)123(12
12345
3
2
)!25(!2
!5






 
 
III) La probabilidad es 
5
3
5
2
5
2
5
35
3
2
5
3
2
6
60
3
2
)12(123
12345
3
2
)!35(!3
!5






 
 
Por lo tanto, las más probables de obtener son una y dos respuestas correctas. 
 
 
 
 
 
 
79. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Para sucesos dependientes A y B se cumple que: 
P(A)
B)P(A
P(B/A)

 
Luego, se cumple que: P(A∩B) = P(A)·P(B/A) 
 
(1) P(B) = 0,3. Con esta información, no se puede determinar el valor de P(A∩B), 
ya que no conocemos el valor de P(A). 
(2) P(A) = 0,25. Con esta información se puede determinar el valor de P(A∩B), ya 
que conocemos el valor de P(A) y el valor de P(B/A), con los que podemos 
también calcular el producto, obteniendo el valor correspondiente a P(A∩B). 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola. 
 
 
 
80. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
El lanzamiento de monedas corresponde a un experimento de Bernoulli. En este caso, el 
lanzamiento se repite 6400 veces, por lo que se puede ajustar a una distribución normal 
con media µ = n·p, que en este caso n = 6400 y p = 
2
1
(probabilidad de éxito). Además, 
se puede aproximar qpn  , en este caso q = 
2
1
(probabilidad defracaso). 
Entonces, 
µ = 3200
2
1
6400  
401600
2
1
2
1
6400  
 
Ajustamos a una variable normal tipificada para X = 3246 
15,1
40
46
40
32003246






X
Z  P (Z ≤1,15) = 87,5%