Ensayo Cpech 054 - Matemáticas (2016) (S) - Antonia Salinas

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SOLUCIONARIO 
ENSAYO MT- 054 
S
E
N
S
C
E
S
M
T
0
5
4
-A
1
6
V
1
 
 
1. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
Si k, m y n son números naturales, entonces: 
 
A) Verdadera, ya que 12m + 18n = 6(2m + 3n) = 6k (múltiplo de 6) 
B) Verdadera, ya que 15m · 15n = 225mn = 9(25mn) = 9k (múltiplo de 9) 
C) NO siempre verdadera, ya que 7m + 7n = 7(m + n) = 7k (no siempre múltiplo de 14) 
D) Verdadera, ya que (8m)² = 64m² = 4(16m²) = 4k (múltiplo de 4) 
E) Verdadera, ya que 5m · 16n = 80mn = 10(8mn) = 10k (múltiplo de 10) 
 
Por lo tanto, la afirmación C no siempre es verdadera. 
 
 
 
2. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Comprensión 
 
Multiplicando cruzado y aplicando propiedades de raíces, se tiene 
1x
x
x
x
x 2
22
22
22
2
1
2
1





 
 
Por lo tanto, la expresión 






2
1
2
1
x
 es siempre equivalente a 
1x
x
2
22


. 
 
 
 
3. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad Aplicación 
 
Para calcular los metros recorridos, se calcula el perímetro rectangular de la pista: 
2 ∙ (80 + 60) = 2 ∙ 140 = 280 metros. 
Luego, como al atleta le faltaron 20 metros para recorrer las 4 vueltas, la distancia total es: 
(4 ∙ 280) – 20 = 1.120 – 20 = 1.100 metros. 
 
 
4. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
64
5
 + 64
5
 = 2 · 64
5 
(Factorizando por 2) 
 = 2 · (2
6
)
5 
(Transformando el 64 a potencia) 
 = 2 · 2
30 
(Resolviendo potencia de una potencia) 
 = 2
31 
(Multiplicando potencias de igual base) 
 
 
 
5. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
En la secuencia 5, 9, 17, 33, …, podemos reconocer que: 
 
 + 4 +8 + 16 
 
5 9 17 33 
 
Como cada vez sumamos el doble del valor anterior, tenemos: 
 
 
 + 4 +8 + 16 + 32 
 
5 9 17 33 65 
 
Por lo tanto, el valor del quinto término es 65. 
 
 
 
6. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
 
I) Verdadera, ya que la suma de dos números pares consecutivos puede escribirse 
 como 2n + (2n + 2) = 4n + 2 = 2 ∙ (2n + 1), lo que indica que esta suma siempre es 
divisible por 2. 
 
II) Falsa, ya que la diferencia positiva de 2 números impares consecutivos puede 
escribirse como 2n + 1 – (2n – 1) = 2n + 1 – 2n + 1 = 2, por lo tanto esta expresión 
no es divisible por 3, ya que el 2 no es múltiplo de él. 
 
III) Verdadera, ya que si un número es divisible por 4, implica que este siempre sea par, 
por lo tanto también será divisible por 2. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son siempre verdaderas. 
 
 
 
7. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números racionales 
Habilidad ASE 
Se quiere determinar la paridad de la siguiente expresión algebraica 




 
3
ba
 
1) a es el quíntuple de b. Con esta información es posible determinar la paridad de la 
expresión, ya que el numerador queda como 6b y al dividir se obtiene 2b, lo cual 
independiente del valor del entero b, corresponde siempre a un número par. 
 
(2) (a + b) es múltiplo de 3. Con esta información, no es posible determinar la paridad 
de la expresión, ya que de ser un múltiplo de 3 en el numerador al dividir por 3 no 
siempre será un número par. 
Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola. 
 
 
 
8. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
 
2
2
log 2 (Logaritmo de una división) 
  2log2log 22 (Logaritmo de una raíz) 
 2log2log
2
1
22 (Logaritmo de la base) 
 1
2
1
 (Calculando) 
 
2
1
 
 
 
 
 
 
 
9. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad Aplicación 
 
100)m100log( = 100 log(100m) 
 = 100(log 100 + log m) 
 = 100(2 + log m) 
 
 
 
10. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
Construyendo la expresión buscada: 
 
3
8
7
7
18
 (Restando 2) 
2
3
8
272
7
18
 
 
3
2
27
7
4
 (Invirtiendo) 
 
2
3
27
1
4
7


 (Multiplicando por 4) 
 6
27
4
7 

 
 
Por lo tanto, el valor de 
27
4

 se encuentra entre 6 y 7. 
 
 
 
11. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad ASE 
 
Según la igualdad  baxbxa  
 
I) Verdadera, ya que si x = 0, entonces la igualdad queda  baba  . 
 
II) Falsa, ya que si x = a + b, entonces la igualdad queda 
   bab2abba)ba(b)ba(a  . 
 
III) Verdadera, ya que si x = a – b, entonces la igualdad queda 
   baabba)ba(b)ba(a  . 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 
 
 
 
12. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Potenciación 
Habilidad ASE 
 
La distancia entre dos puntos en la recta numérica corresponde a la diferencia entre el 
número mayor y el número menor. Luego, 
GH
FG
 = 
222
22
GH
FG





 
 
Racionalizando, resulta 
2
2
4
22
48
224424
222
222
222
22









. 
 
Por lo tanto, la razón 
GH
FG
 es igual a 
2
2
. 
 
 
13. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
Aplicando propiedades de logaritmos: 
 
 80log16 (Descomponiendo) 
  )516(log16 (Logaritmo de un producto) 
 5log16log 1616 (Logaritmo de la base / Reemplazando) 
 
5
3
1 (Calculando) 
 

5
35
 
 
5
8
 
 
14. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Números irracionales 
Habilidad ASE 
 
Si un cuadrado de lado m tiene una diagonal de medida p, entonces se cumple que 
p = m 2 . Entonces: 
 
A) Podría representar un número racional, ya que (m + p) = (m + 2 m) = m · (1 + 2 ). 
Luego, si m = ( 2 – 1), entonces m · (1 + 2 ) = ( 2 – 1) · (1 + 2 ) = 1 
B) Podría representar un número racional, ya que (m² + p) = (m² + 2 m). Luego, si 
m = 2 , entonces (m² + 2 m) = (2 + 22  ) = (2 + 2) = 4. 
C) NO podría representar un número racional, ya que 
2
1
m2
m
p
m
 , que es siempre un 
número irracional. 
D) Podría representar un número racional, ya que m · p = m · 2 m = 2 m². Luego, si m 
= 4 2 , entonces 2 m² = 2 ·  24 2 = 2 · 2 = 2. 
E) Podría representar un número racional, ya que (m + p²) = (m + 2m)2( ) = (m + 2m²). 
Luego, para cualquier valor racional de m, el valor de (m + 2m²) es racional. 
 
Por lo tanto, solo la expresión 
p
m
 representa siempre a un número irracional. 
 
 
 
15. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad Comprensión 
 
Sea z = a + bi, entonces el conjugado de z es (a – bi) y el inverso aditivo de z es (– a – bi). 
 
Entonces, al multiplicar el conjugado de z por el inverso aditivo de z es: 
(a – bi)·(– a – bi) = – a² – abi + abi + b²·i² = – a² – b² = – (a² + b²) 
 
Como el módulo de z es 
22 ba  , entonces el cuadrado del módulo de z es (a² + b²). 
 
Entonces, al multiplicar el conjugado de z por el inverso aditivo de z, resulta – (a² + b²), 
que es el inverso aditivo del cuadrado del módulo de z. 
 
 
 
16. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad Aplicación 
 
Si p = 4 – 3i, entonces: 
 
2p·(1 – p) = 2·(4 – 3i)·(1 – (4 – 3i))= 2·(4 – 3i)·(1 – 4 + 3i) 
 = 2·(4 – 3i)·(– 3 + 3i) 
 = 2·(4 – 3i)·3·(– 1 + i) 
 = 6·(4 – 3i)·(– 1 + i) 
 = 6·(– 4 + 4i + 3i – 3·i²) 
 = 6·(– 4 + 4i + 3i + 3) 
 = 6·(– 1 + 7i) 
 = – 6 + 42i 
 
 
 
17. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Números complejos 
Habilidad ASE 
 
Para que 5 + 3i
n
 sea igual a 2, debe cumplirse que 
 
5 + 3i
n
 = 2 (Restando 5) 
3i
n
 = 2 – 5 
3i
n
 = - 3 (Dividiendo por 3) 
i
n
 = -1 
 
Es decir, buscamos alguna condición que permita establecer que i
n
 = -1 
 
(1) in corresponde a un número real negativo. Con esta información es posible saber que 
la expresión es igual a 2, ya que las potencias de i solo pueden tomar cuatro valores: 
i, -i, 1 y -1; de los cuales solo el -1 es un número real negativo. Por ello, al decirnos 
que i
n
 corresponde a un número real negativo, podemos establecer que i
n
 = -1. 
 
(2) n es múltiplo de 2. Con esta información no es posible saber que la expresión es 
igual a 2, pues si n es múltiplo de 2, puede ser múltiplo de 4, con lo que la potencia 
i
n
 sería igual a 1. 
 
Por lo tanto, la respuesta correcta es (1) por sí sola. 
 
 
 
18. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Transformaciones algebraicas 
Habilidad Comprensión 
 
2(a + b)(a – b) = (Resolviendo la suma por su diferencia). 
2(a
2
 – b
2
) = (Aplicando propiedad distributiva). 
2a
2
 – 2b
2
 
 
 
 
19. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformaciones algebraicas 
Habilidad Comprensión 
 
(a + 2b) · (2b – a) = (Conmutando) 
(2b + a) · (2b – a) = (Suma por su diferencia) 
 4b
2
 – a
2
 
 
 
 
20. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad Aplicación 
 
El antecesor de (n + a) es igual a (n + a – 1), mientras que el sucesor de (n + a) es (n + a 1). 
Por lo tanto, el enunciado se traduce como: 
 
4 · (n + a – 1) = 3 · (n + a + 1) (Desarrollando) 
 4n + 4a – 4 = 3n + 3a + 3 (Despejando n) 
 4n – 3n = 3a + 3 – 4a + 4 
 n = – a + 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Transformaciones algebraicas 
Habilidad Aplicación 
 
 
En la expresión 







272
3
bc
ba
podemos reemplazar los valores de a, b y c para luego reducir 
términos semejantes, quedando 
 
   
   
 
  



































27
729
2744
87298
2724
27298
27 3
6
223
336
223
336
2
3
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
bc
ba
 
 
Al factorizar el numerador como una diferencia de cuadrados, y luego simplificar se 
obtiene 
  
27
27
2727
27
729 3
3
33
3
6











x
x
xx
x
x
 
 
Por lo que la expresión 







272
3
bc
ba
 es equivalente a 273 x 
 
 
 
22. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado 
Habilidad ASE 
 
Si x + y = 12, se desea obtener el valor numérico de y. 
 
1) 3x + 3y = 36. Con esta información, no es posible obtener el valor numérico de y, 
ya que esta información al simplificarla por 3 corresponde a la misma recta del 
enunciado, por lo cual existirán infinitos valores para y. 
 
(2) 2x – 3y = – 21. Con esta información, es posible obtener el valor numérico de y, ya 
que con estas dos ecuaciones distintas, se puede dar respuesta a las dos incógnitas. 
 
Por lo tanto la respuesta correcta es (2) por sí sola. 
 
 
 
 
 
23. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Comprensión 
 
Si m · n = – 5 y m + n = 2, siendo m y n las raíces de una ecuación de segundo grado. 
Dentro de las propiedades de las raíces se tiene que: 
La suma de las raíces es 
a
b
 y la multiplicación de las raíces es 
a
c
. Según las alternativas 
el valor de a = 1, por lo tanto, b = – 2 y c = – 5. Luego, la ecuación cuadrática que tiene 
como raíces a m y n es x
2
 – 2x – 5 = 0. 
 
 
24. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Aplicación 
 
En una ecuación cuadrática cuya forma es ax
2
 + bx + c = 0, el producto entre las raíces 
siempre es igual al cociente entre los coeficientes c y a. 
 
En la ecuación del enunciado, a = 1, b = – (k + 10) y c = 10k – 2. Por lo tanto: 
660105821058
1
210


kkk
k
 
 
Por lo tanto, k debe ser igual a 6. 
 
 
25. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad ASE 
 
A partir de la figura podemos que el área de la vivienda está representada por la expresión 
x(x + 8), mientras que el área del estacionamiento se puede escribir como x(x – 4). 
 
I) Verdadera, ya que si el estacionamiento tiene un área de 21 m2, entonces 
podemos establecer que x(x – 4) = 21, al resolver la ecuación cuadrática queda 
 
x(x – 4) = 21 (Multiplicando) 
 
x
2
 – 4x = 21 (Restando 21) 
 
x
2
 – 4x – 21 = 0 (Factorizando) 
 
(x – 7)(x + 3) = 0 
 
Las soluciones son x = 7 y x = -3, por lo que elegimos aquella que es positiva, pues 
estamos hablando de medidas. Por ende, x = 7. Con este valor, calculamos el área de 
la vivienda, reemplazándolo en la expresión x(x + 8): 
x(x + 8) = 7•(7 + 8) = 7•15 = 105 
 
 
II) Verdadera, porque si la vivienda tiene un área de 240 metros cuadrados, 
entonces podemos establecer que x(x + 8) = 240, al resolver la ecuación 
cuadrática queda 
 
x(x + 8) = 240 (Multiplicando) 
 
x
2
 + 8x = 240 (Restando 240) 
 
x
2
 + 8x – 240 = 0 (Factorizando) 
 
(x – 12)(x + 20) = 0 
 
Las soluciones son x = 12 y x = -20, por lo que elegimos aquella que es positiva, 
pues estamos hablando de medidas. Por ende, x = 12. Con este valor, calculamos el 
área del estacionamiento, reemplazándolo en la expresión x(x – 4): 
x(x – 4) = 12•(12 – 4) = 12•8 = 96 
 
 
III) Verdadera, ya que para que el área de la vivienda y del estacionamiento fueran 
iguales, debería cumplirse que x(x – 4) = x(x + 8), luego al resolver: 
 
x(x – 4) = x(x + 8) (Dividiendo por x, dado que x ≠0) 
 
x – 4 = x + 8 (Restando x) 
 
- 4 = 8 
 
Esta igualdad es falsa, por lo que el supuesto inicial de que las áreas son iguales 
es incorrecto. Por ende, el área de la vivienda y el área del estacionamiento no 
pueden ser iguales. 
 
Por lo tanto, son verdaderas I, II y III. 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad Aplicación 
 
Sea M = 4 – 2b, si 1b7  
 
El mayor valor que puede alcanzar b es 1, por lo cual el menor valor que puede alcanzar M 
es: 4 – 2 · (1) = 2 
 
El menor valor que puede alcanzar b es –7, por lo cual el mayor valor que puede alcanzar 
M es: 4 – 2 · (–7) = 18 
 
Por lo tanto, los valores que puede tomar M son solo los valores entre 2 y el 18, ambos 
incluidos. 
 
 
 
27. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Teoría de funciones 
Habilidad Aplicación 
 
f(a) = 
a1
1a


 ⟹ f(f(a)) = f 







a1
1a
 
Evaluando: 
 
f 







a1
1a
 = 
a1
1a
1
1
a1
1a






 (Desarrollando) 
 = 
a1
1)(a a)(1
a1
a)(11a




 
 = 
a1
a2
a1
2


 
 = 
a2
a1
a1
2




 
 = 
a
1
 
 
28. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Función afín y función lineal 
Habilidad Aplicación 
 
Los dos puntos representados en el gráfico son (0, a) y (a, 0). Luego, la ecuación de la recta 
que pasa por dos puntos se determina como: 
 
y = 
12
12
xx
yy


(x – x1) + y1 = 
0a
a0


(x – 0) + a = – 1x + a = – x+ a 
 
Por lo tanto, la función que corresponde a la recta de la figura es m(x) = – x + a 
 
 
 
29. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad Aplicación 
 
Para hallar los valores de x donde
2x100  es real se hace lo siguiente: 
 
0x100 2  
2x100  
2x100  
x10  10x10  
 
 
 
30. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad ASE 
 
Del gráfico de f(x) = log 





x4
1
, se tiene que: 
 
I) Verdadera, ya que en la medida en que x sea un valor mayor, el valor de la función 
se hace menor. 
 
II) Verdadera, ya que la intersección con el eje de las abscisas ocurre cuando y = 0, lo 
que sucede cuando x = 
4
1
. 
 
III) Verdadera, ya que al remplazar en la función x = 
2
5
, resulta y = – 1. 
 
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 
 
 
31. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada 
Habilidad Comprensión 
 
Del enunciado se puede determinar: la población inicial, la tasa de crecimiento y el periodo 
en que lo hace. Luego, 
 
I) Verdadera, ya que luego de 3 minutos se realiza una duplicación y de 5.000 
bacterias se pasa a 10.000. 
 
II) Falsa, ya que en 6 minutos habrán dos duplicaciones, o sea, deben haber 20.000 
bacterias. 
 
III) Verdadera, ya que luego de media hora habrán sucedido 10 duplicaciones, las cuales 
se ven reflejada en el exponente de 2. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 
 
 
32. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad Aplicación 
 
Si se tiene una función f (x) = ax² + bx + c, en los reales, el máximo valor que alcanza f(x) 
corresponde a f 




 
2a
b
. 
 
Luego, g(x) = (m – x)·x = mx – x²  a = – 1, b = m y c = 0. Entonces, el máximo valor 
que alcanza g(x) corresponde a g 







1)(2
m
 = g 





2
m
 = 
2
2
m
2
m
m 





 = 
4
m
4
m
2
m 222
 
Por lo tanto, el máximo valor que alcanza la función real g(x) es 
4
m 2
. 
33. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática 
Habilidad ASE 
 
Dada la función cuadrática con coeficientes 1, m y n, se espera determinar la intersección 
de la parábola con los ejes. 
 
1) m = 4. Con esta información, no es posible determinar la intersección con los ejes, 
ya que para la intersección con el eje X e Y se necesitan los valores de m y n. 
 
(2) n = –5. Con esta información, no es posible determinar la intersección con los ejes, 
ya que con esta información solo se conoce la intersección con el eje Y. 
 
Con ambas afirmaciones, es posible determinar los puntos de intersección de la parábola 
con ejes ya que se conocen los valores de m y n. 
 
Por lo tanto la respuesta es ambas juntas, (1) y (2). 
 
 
 
34. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad Compresión 
 
Tenemos que el monto acumulado se puede expresar de la siguiente manera 
 nf iCC %10  . Además, sabemos que el monto inicial es C0 = $100.000, el interés es 
compuesto anual: i = 0,05; es un período de 72 meses, es decir, 6 años (n = 6). Al 
reemplazar estos valores en la expresión queda 
     660 05,110000005,01100000%1 
n
f iCC 
 
 
 
35. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Función afín y función lineal 
Habilidad Compresión 
 
I) Verdadera, ya que la función g(x) = ax3, representa a una función cúbica, la cual 
es biyectiva en los reales. 
 
II) Verdadera, pues la función h(x) =ax + b, representa a una función afín, la cual es 
biyectiva en los reales, es decir tanto sobreyectiva como inyectiva. 
 
III) Verdadera, pues la j(x) = alogx, es una función logaritmo, la cual es biyectiva en 
los reales, es decir tanto sobreyectiva como inyectiva. 
 
Por lo tanto, son verdaderas I, II y III. 
 
 
 
36. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia 
Habilidad ASE 
 
Para verificar la desigualdad, primero se deben determinar las intersecciones entre las 
funciones: 
 
p(x) = h(x) (Reemplazando) 
 – x² = x³ (Dos de las soluciones son x = 0. Si x ≠ 0, se simplifica por x²) 
 – 1 = x 
 
O sea, las funciones se intersectan en x = – 1 y x = 0. Significa que los intervalos de interés 
son –, – 1, – 1, 0 y 0, +. Luego: 
 
* –, – 1  – 1 > x  – x² > x³  p(x) > h(x) 
 
* – 1, 0  – 1 < x < 0  – x² < x³ < 0  p(x) < h(x) 
 
* 0, +  0 < x  – x² < 0 < x³  p(x) < h(x) 
 
Por lo tanto, el intervalo de todos los valores de x donde se cumple que p(x) > h(x) es 
–, – 1. 
 
 
 
37. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Comprensión 
 
 
Si a un punto (x, y) se le aplica una rotación de 90° en torno al origen, resulta el punto (– y, x). 
Por lo tanto, si a un punto (– m, p) se le aplica una rotación de 90° en torno al origen, queda en 
la posición (– p, – m). 
 
 
 
 
38. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad ASE 
 
 
Una figura tiene simetría central si, al girarla en 180° con respecto a un punto, la figura 
resultante es congruente (con la misma posición y orientación) a la original. Luego: 
 
 
I) Sí tiene simetría central, ya que al girarla en 180° resulta 
 
 
 
 
II) No tiene simetría central, ya que al girarla en 180° resulta 
 
 
 
 
 
III) No tiene simetría central, ya que al girarla en 180° resulta 
 
 
 
 
Por lo tanto, solo la figura I tiene simetría central. 
 
 
 
39. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Comprensión 
 
Un punto en el segundo cuadrante tiene abscisa negativa y ordenada positiva, o sea es de la 
forma (–, +). Luego: 
 
A) (– a, c – b)  a > 0 y b < c  – a < 0 y (c – b) > 0  (–, +) 
B) (– c, b)  c < 0 y b < 0  – c > 0 y b < 0  (+, –) 
C) (b – c, – a)  b < c y a > 0  (b – c) < 0 y – a < 0  (–, –) 
D) (b, c – a)  b < 0 y c < a  b < 0 y (c – a) < 0  (–, –) 
E) (– b, a)  b < 0 y a > 0  – b > 0 y a > 0  (+, +) 
 
Por lo tanto, el punto que se encuentra en el segundo cuadrante del plano cartesiano es 
(– a, c – b). 
40. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Comprensión 
 
Según los contenidos de congruencia la alternativa que explica mejor la relación de 
congruencia entre dos triángulos es: “tienen sus tres lados respectivamente congruentes”. 
 
 
 
41. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad ASE 
 
Para trasladar al punto (– 2, – 3) hasta las coordenadas (1, – 4), fue necesario desplazarlo 
tres unidades a la derecha y una hacia abajo, es decir, se le aplicó un vector traslación T(3, 
– 1). 
 
Luego, al aplicar la misma traslación al punto (– 4, 1), se obtiene: 
(– 4 + 3, 1 + (– 1)) = (– 1, 0) 
 
 
 
42. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Transformaciones isométricas 
Habilidad Aplicación 
 
A continuación se debe deducir información acerca del punto (1, – 7), respondiendo solo 
aquellas que son verdaderas. 
 
I) Falsa, ya que como si al punto (1, – 7) se le aplica una traslación según el vector T(– 
4, 3), se tiene (1, – 7) + (– 4, 3) = (– 3, – 4). 
 
II) Verdadera, ya que según la tabla de rotaciones, cuando se rota un punto en 270º con 
respecto al origen, se obtiene el punto (y, – x), por lo tanto para el punto 
(1, – 7) se obtiene (– 7, – 1). 
 
III) Verdadera, ya que en una simetría con respecto al eje de las ordenadas,solo hay 
cambio de signo en la abscisa, obteniéndose el punto (– 1, – 7). 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 
 
 
 
43. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Aplicando el teorema de la tangente con la secante, obtenemos 
 
QPRPSP 
2
 (Para que Q sea el punto medio, entonces 
2
RP
QPRQ  ) 
 
2
2 RP
RPSP  (Multiplicando) 
 
2
2
2 RP
SP  (Aplicando raíz cuadrada) 
 
2
RP
SP  (Racionalizando) 
 
2
2
2
2
2
RPRP
SP  
RPSP
2
2
 
 
Entonces, Para que Q sea el punto medio del segmento RP , la medida de SP debe ser igual 
a RP por 
2
2
. 
 
 
 
44. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Circunferencia 
Habilidad Comprensión 
 
En una circunferencia, un ángulo del centro mide lo mismo que el arco que subtiende. 
Como el arco DA mide 120°, entonces  DOA = 120°. Dado que  DOA y  AOB son 
adyacentes, entonces  AOB = (180° – 120°) = 60°. 
 
Por lo tanto, la medida del ángulo x es 60°. 
 
 
 
45. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Como DE y AB son paralelas, se puede utilizar el teorema de Thales. Luego, 
AB
CA
DE
CD
 . 
Reemplazando los valores correspondientes, se obtiene: 
5
56
5
14 · 4
AB14 · 4AB · 5
AB
14
4
5
 
 
 
 
46. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Aplicación 
 
Como el triángulo ABC es rectángulo en C y CD es altura, se puede utilizar el teorema de 
Pitágoras y el de Euclides. 
 
Por teorema de Pitágoras AB mide 10, ya que 6, 8 y 10 forman el trío pitagórico 3k, 4k y 
5k, con k = 2. 
Por teorema de Euclides 
5
24
10
8 · 6
CD  
Por lo tanto, el valor de CD es 
5
24
. 
 
 
 
47. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Circunferencia 
Habilidad Aplicación 
 
El arco completo de una circunferencia mide 360°. Entonces, al sumar los tres arcos de la 
figura: 
 
(2p + 30°) + (p + 10°) + p = 360° (Despejando) 
 4p + 40° = 360° 
 4p = 320° 
 p = 80° 
 
En una circunferencia, un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende. Como x 
subtiende al arco (p + 10°), entonces x = 




 





 





 
2
90
2
1080
2
10p
 = 45°. 
 
Por lo tanto, el ángulo x mide 45°. 
 
 
 
48. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad Comprensión 
 
 
I) Verdadera, ya que el teorema de Euclides establece esta afirmación. 
 
II) Verdadera, ya que corresponde a un criterio de semejanza. 
 
III) Verdadera, ya que la razón entre sus áreas corresponde al cuadrado de la razón de 
semejanza entre dos triángulos semejantes. 
 
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 
 
 
 
49. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Geometría de proporción 
Habilidad ASE 
 
(1) El triángulo PQR es equilátero. Con esta información, se puede afirmar que el triángulo 
ABC es semejante con el triángulo PQR, ya que dos triángulos equiláteros siempre son 
semejantes entre sí. 
 
(2) El segmento AR es paralelo con el segmento QP. Con esta información, no se puede 
afirmar que el triángulo ABC es semejante con el triángulo PQR, ya que no quedan 
determinados los ángulos del triángulo PQR. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 
 
 
 
 
 
 
 
50. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
Sea R el punto (-2, 0). Podemos notar que se forma un triángulo rectángulo entre los puntos 
P, Q y R. Acorde a la figura, podemos ver las medidas de los segmentos RP = (a + 2), QR = 
a, PQ = 6 .Luego, utilizando el teorema de Pitágoras, se puede plantear 
 
222
PQQRRP  (Reemplazando los valores de los segmentos) 
 
2
22 62  aa (Desarrollando las potencias) 
644 22  aaa (Reduciendo términos semejantes y reordenando) 
0242 2  aa (Dividiendo por 2) 
0122  aa (Buscando las soluciones a la ecuación cuadrática) 
 
21
2
222
2
82
12
)1(14)2(2 2
2,1 






 x 
Por lo que las soluciones a la ecuación son 21 y 21 . Desde la gráfica, vemos 
que a > 0, por lo que tomamos la solución positiva, es decir 21 . 
 
Por lo tanto, el valor de a es 12  . 
 
 
 
51. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
La pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) se calcula como 
12
12
xx
yy
m


 . Luego, la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3, 7) y B(– 3, – 5) es 
2
6
12
33
75






m 
Por lo tanto, la recta que pasa por dichos puntos tiene pendiente 2. 
 
 
 
 
 
52. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
Si el punto (2, – 1) pertenece a la recta, se debe reemplazar en la ecuación y mantenerse la 
igualdad. Luego, 
nx – 3y = 7 (Reemplazando x = 2 e y = – 1 ) 
n · 2 – 3 · (– 1) = 7 
2n + 3 = 7 
2n = 4 
n = 2 
 
 
 
53. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
I) Falsa, ya que si p = 0, entonces L1 queda 1 = x, que corresponde a una recta vertical, o 
sea paralela al eje Y. 
 
II) Verdadera, ya que si p = 1, entonces L1 queda y + 1 = x + 1, que al despejar resulta 
y = x. Al despejar L2 resulta y = – x + 1. Luego, como el producto de sus pendientes es 
igual a – 1, entonces L1  L2. 
 
III) Verdadera, ya que si p = – 1, entonces L1 queda – y + 1 = x – 1, que al despejar resulta 
y = – x + 2. Al despejar L2 resulta y = – x + 1. Luego, como tienen igual pendiente y 
distinto coeficiente de posición, entonces L1 // L2. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 
 
 
 
 
54. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
(1) P y Q pertenecen a una recta que es paralela al eje Y. Con esta información, no se puede 
calcular las coordenadas del punto Q, ya que solo se puede saber que ambos puntos 
tienen la misma abscisa. 
 
(2) P y Q están a dos unidades de distancia. Con esta información, no se puede calcular las 
coordenadas del punto Q, ya que podría corresponder a cualquier punto de la 
circunferencia de centro P y radio 2. 
 
Con ambas informaciones, no se puede calcular las coordenadas del punto Q, ya que hay 
dos puntos, (3, 5) y (3, 9), que cumplen con ambas condiciones. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 
 
 
 
55. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad Aplicación 
 
El volumen de un cubo se calcula como el cubo de su arista. Luego, la arista de un cubo es 
igual a la raíz cúbica de su volumen. Entonces, la arista del cubo 62163  m. 
La diagonal de una cara de un cubo es igual a su arista multiplicada por 2 . 
Por lo tanto, la diagonal de una de sus caras mide 26 m. 
 
 
 
56. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Cuerpos geométricos 
Habilidad Aplicación 
 
Para calcular la diferencia entre los volúmenes de dos cubos, se deben hallar los volúmenes 
por separado. 
 
El volumen del cubo con arista (x + 2) cm, es (x + 2)
3
 = x
3
 + 6x
2
 + 12x + 8. 
 
El volumen del cubo con arista x cm, es x
3
. 
 
Luego, la diferencia entre los volúmenes es 6x
2
 + 12x + 8. 
 
57. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Cuerpos geométricos 
Habilidad Aplicación 
 
Al girar el cuadrado de la forma descrita, se forman dos conos unidos por sus bases, de 
radio 2 y generatriz 2. El área lateral de un cono se calcula como · radio · generatriz, 
por lo cual el área lateral de cada cono es · 2 · 2 = 22  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El área total del cuerpo que se forma correspondea dos áreas laterales, es decir, 2·( 22 ) 
= 24  
Por lo tanto, se forma un cuerpo geométrico cuya área total es 24 . 
 
 
58. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Geometría analítica 
Habilidad ASE 
 
Dadas las coordenadas de los puntos, es posible obtener las medidas de los segmentos: AD 
= 1, DC = 1, AB = 2 y CB = 2 . Luego: 
 
A) Verdadera, ya que AD DC , AB CB y DB es un lado común. Luego, por el criterio 
LLL, se cumple que  DBC   DBA. 
 
B) Verdadera, ya que AB se encuentra en el plano XY y AD es perpendicular con dicho 
plano. 
 
C) Verdadera, ya que ambos ángulos miden 90º. 
 
D) Verdadera, ya que el triángulo ABC es equilátero, por lo cual todos sus ángulos 
interiores miden 60º. 
 
E) Falsa, ya que tienen distinta inclinación con respecto al plano XZ. 
 
Por lo tanto, la afirmación falsa es AB // DC . 
2
2
59. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
Al ordenar una muestra estadística de menor a mayor, y dividirla en quintiles, se forman 
cinco grupos donde cada uno contiene al 20% de los datos. Entonces, el segundo quintil es 
el valor bajo el cual se encuentra el 40% de los datos. Luego: 
 
I) Falsa, ya que el percentil 60 es el valor bajo el cual se encuentra el 60% de los datos. 
 
II) Falsa, ya que el primer cuartil es el valor bajo el cual se encuentra el 25% de los datos. 
 
III) Falsa, ya que la mediana es el valor bajo el cual se encuentra el 50% de los datos. 
 
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera. 
 
 
60. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
I) Verdadera, ya que las marcas de clases de los intervalos son 18 años, 21 años y 24 años. 
Luego, el promedio obtenido a partir de la marca de clase es 
20
30
600
30
144168288
6816
6248211618





x 
 
II) Verdadera, ya que el intervalo modal es aquel que tiene mayor frecuencia, y esta 
corresponde al intervalo [17 – 19[. 
 
III) Falsa, ya que en total la muestra tiene 30 datos, por lo cual la mediana corresponde al 
promedio entre los datos en las posiciones 15 y 16. Como ambos datos están en el 
intervalo [17, 19], entonces en dicho intervalo se encuentra la mediana. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 
 
 
 
61. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
En una tabla de distribución de frecuencias, la frecuencia acumulada de un dato xi 
corresponde a la suma de frecuencias desde el dato x1 hasta el dato xi. Luego: 
 
* La frecuencia acumulada del dato A es igual a la frecuencia del dato A. Entonces, la 
frecuencia del dato A es 14. 
 
* La frecuencia acumulada del dato C es igual a la suma de las frecuencias del dato A, del 
dato B y del dato C. Entonces, (14 + n + 2 + n) = 36, que al despejar resulta 2n = 20. Es 
decir, n = 10. 
 
* La frecuencia acumulada del dato B es igual a la suma de las frecuencias del dato A y del 
dato B, es decir, (14 + n + 2) = (14 + 10 + 2) = 26. 
 
Por lo tanto, la frecuencia acumulada del dato B es 26. 
 
 
 
62. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
 
I) Verdadera, ya que el intervalo con mayor frecuencia es e primero, que corresponde 
a 0 – 2. 
 
II) Verdadera, ya que calculando el promedio, a partir de la marca de case, se obtiene: 
3
12
36
12
14166
12
2 · 74 · 46 ·1




x . 
III) Falsa, ya que no es posible saber cuántas familias tienen 0 niños, puesto que la 
información está agrupada. 
 
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
63. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Para obtener las medidas de posición pedidas, siempre es conveniente agregar la columna 
de frecuencias acumuladas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como en este caso son 100 datos, entonces la posición porcentual de los datos ordenados 
coincide con su posición real. Luego: 
 
I) Falsa, ya que percentil 30 significa el dato en la posición 30. Como el dato 2 
ocupa la posición 21 a la 35, entonces el percentil 30 es 2. 
 
II) Falsa, ya que cuartil 3 significa el dato en la posición 75. Como el dato 4 ocupa 
la posición 71 a la 100, entonces el cuartil 3 es 4. 
 
III) Falsa, ya que decil 8 significa el dato en la posición 80. Como el dato 4 ocupa la 
posición 71 a la 100, entonces el decil 8 es 4. 
 
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera. 
 
 
 
64. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
I) No se puede calcular, ya que se necesita la frecuencia de cada dato, lo que se desconoce. 
 
II) No se puede calcular, ya que se necesita la frecuencia de cada dato, lo que se desconoce. 
 
III) Se puede calcular, ya que corresponde a la diferencia entre los valores extremos, que 
son 1 y 2. Luego, el rango del conjunto es 1. 
 
Por lo tanto, solo III se puede calcular solo con los datos entregados. 
 
Dato Frecuencia
Frecuencia
acumulada
1 20 20
2 15 35
3 35 70
4 30 100
65. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
La varianza de un dato en un conjunto es igual al promedio de los cuadrados de las 
diferencias entre cada dato y la media del conjunto. O sea, si el conjunto tiene tres 
elementos la varianza es 
3
)x(x)x(x)x(x
σ
2
3
2
2
2
12  . 
 
El conjunto es {6, 6, 9}, luego el promedio entre los datos del conjunto es 
7
3
21
3
966
x 

 . 
 
Por lo tanto, la varianza es 
2
3
6
3
411
3
2)1()1(
3
)7(9)7(6)7(6
σ
222222
2 





 
 
 
 
66. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
El promedio del conjunto M es p
2
2p
2
1p1p
x 

 . Luego, calculando la varianza 
del conjunto M se tiene: 
1
2
2
2
11
2
1)p(p1)p(p
2
1))(px(1))(px(
σ
222222
2 





 
 
La desviación estándar de M es 112  . Es decir, la varianza y la desviación 
estándar son iguales a 1, y no dependen del valor de p. 
 
Por lo tanto, la afirmación verdadera es “la desviación estándar de M es igual a la varianza 
de M”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
67. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
(1) Las medias de todas las muestras de tamaño 4 que se pueden extraer de la 
población. Con esta información es posible determinar la media de una población de 
n elementos, ya que la media de todas las medias muestrales posibles es igual a la 
media poblacional. 
(2) Las medias de todas las muestras de tamaño 3 que se pueden extraer de la 
población. Con esta información es posible determinar la media de una población de 
n elementos, ya que la media de todas las medias muestrales posibles es igual a la 
media poblacional. 
 
Por lo tanto, la respuesta correcta es cada una por sí sola, (1) o (2). 
 
 
 
68. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Comprensión 
 
 
 
En una distribución asimétrica a la izquierda, como muestra la figura, el orden creciente en 
las medidas de tendencia central es: media aritmética < mediana < moda. La moda 
corresponde al valor donde es máxima la frecuencia, la mediana corresponde al valor que 
divide la figura en dos áreas iguales y la media aritmética es mayormente sensible a los 
datos menores de la “cola” de la gráfica, lo que explica el orden creciente indicado. 
M
ed
ia
 
M
ed
ia
n
a 
 
M
o
d
a 
 
69. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad ASE 
 
La información del enunciado plantea que 
 
La desviación estándar es 50  50 
El intervalo de confianza es [508,08; 515,92] 
Un coeficiente asociado al nivel de confianza igual a 1,96  96,1
2
z 
 
A partir del intervalo de confianza, podemos deducir que el error es: 
92,3
2
08,50892,515


 
 
Por ende, de la fórmula para calcular el errordel intervalo de confianza, podemos 
establecer que 
92,3
2
 

z
n
 (Reemplazando los valores conocidos) 
92,396,1
50

n
 (Despejando la raíz de n queda) 
n 96,1
92,3
50
 (Simplificando) 
n
2
50
 (Dividiendo) 
n25 (Elevando al cuadrado)} 
625 = n 
 
Por lo tanto, se utilizaron 625 para determinar el intervalo de confianza. 
 
 
 
70. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
La probabilidad del suceso contrario se obtiene al restar a 1 la probabilidad del suceso. 
P(no ocurra el suceso) = 1 – a. 
 
71. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
Se puede calcular la probabilidad usando la regla de Laplace, y considerando que no son 
discos de heavy metal los de jazz (15) y los de rock (12): 15 + 12 = 27. 
P(NO escoger un disco de música heavy metal) = 
5
3
45
27
_
_

posiblescasos
favorablescasos
. 
 
 
 
72. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
La probabilidad de extraer al azar una bolita roja de una caja es 
5
2
. Esto indica que por 
cada 5 bolitas que hay en la caja, 2 son rojas. 
 
En la alternativa D), si la caja tiene 30 bolitas blancas y 20 rojas, el total de bolitas serán 
50. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una roja será 
5
2
50
20
 . 
 
 
 
73. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Comprensión 
 
 
Al lanzar un dado común, los números primos que se pueden obtener son 2, 3 y 5. O sea, la 
probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo es 
2
1
6
3
 . Luego: 
I) Tiene la misma probabilidad, ya que al lanzar un dado común, los números 
pares que se pueden obtener son 2, 4 y 6. O sea, la probabilidad de que salga un 
número par es 
2
1
6
3
 . 
II) Tiene la misma probabilidad, ya que al lanzar un dado común, los números 
impares que se pueden obtener son 1, 3 y 5. O sea, la probabilidad de que salga 
un número impar es 
2
1
6
3
 . 
III) NO tiene la misma probabilidad, ya que los dos posibles resultados que se 
pueden obtener al lanzar una moneda son cara y sello. Entonces, la probabilidad 
de obtener uno u otro es 1. 
 
Por lo tanto, solo los eventos I y II tienen la probabilidad pedida. 
 
 
74. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Se debe encontrar la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez, entonces: 
5
4
)( anotarP 
5
1
)anotar no(P  
25
4
5
1
 · 
5
4
)anotar no(P · )anotar(P  
 
 
75. La alternativa correcta es D. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Como el experimento de extracción es sin reposición, el segundo evento dependerá del 
primer evento. Si definimos el evento A como “se extrae primero un 9”, y el evento B 
como “se extraer segundo un 5”, entonces la probabilidad que ocurra A y B es: 
P(A y B) = P(A) · P(B/A) 
 = 
47
4
48
4
 
 
76. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Al lanzar tres veces un dado común, la cantidad de posibles resultados es 6
3
 = 216, de los 
cuales son 15 aquellos donde la suma de las caras es 15: 
 
{(5, 5, 5), (6, 6, 3), (6, 3, 6), (3, 6, 6), (6, 5, 4), (6, 4, 5), (5, 6, 4), (5, 4, 6), (4, 6, 5), (4, 5, 6)} 
 
Luego, la probabilidad de que sus caras sumen 15 es 
108
5
216
10
 
77. La alternativa correcta es B. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
(1) N = 20. Con esta información, no es posible determinar los valores que puede tomar la 
variable X, ya que no se conoce los valores escritos en las tarjetas. 
 
(2) Dos tarjetas tienen escrito el número 1 y el resto, es decir, al menos dos tarjetas, el 
número 2. Con esta información, es posible determinar los valores que puede tomar la 
variable X, ya que pueden salir dos 1, dos 2, o un 1 y un 2. Luego, los posibles valores 
de X son 1, 2 o 4. 
 
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola. 
 
 
 
78. La alternativa correcta es C. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad Aplicación 
 
Si la mitad de las mujeres está casada y 8 de los hombres no está casado, entonces 12 
mujeres están casadas y 8 hombres están casados. En total, hay 20 personas casadas, entre 
las cuales hay 8 hombres. 
 
Entonces, según la regla de Laplace, la probabilidad de escoger al azar un hombre entre las 
personas casadas es P = 
5
2
20
8
posibles casos
favorables casos
 . 
 
Por lo tanto, si entre las personas casadas se escoge una al azar, la probabilidad de que sea 
hombre es 
5
2
. 
 
 
 
79. La alternativa correcta es E. 
 
Unidad temática Azar 
Habilidad ASE 
 
Al realizar el experimento descrito, los posibles resultados y sus correspondientes sumas 
son: 
 
(1, 1) = 2 (2, 1) = 3 (3, 1) = 4 (4, 1) = 5 
(1, 2) = 3 (2, 2) = 4 (3, 2) = 5 (4, 2) = 6 
(1, 3) = 4 (2, 3) = 5 (3, 3) = 6 (4, 3) = 7 
(1, 4) = 5 (2, 4) = 6 (3, 4) = 7 (4, 4) = 8 
 
P(3 ≤ X ≤ 5) significa la probabilidad de que la suma de los dados sea 3, 4 o 5. 
 
Hay 16 posibles combinaciones, de las cuales en 9 el resultado de la suma es 3, 4 o 5. 
Según la regla de Laplace, dicha probabilidad es P = 
16
9
posibles casos
favorables casos
 . 
 
Por lo tanto, el valor de P(3 ≤ X ≤ 5) es 
16
9
. 
 
 
 
80. La alternativa correcta es A. 
 
Unidad temática Datos 
Habilidad Aplicación 
 
Por definición, en la distribución normal tipificada: 
P(– a ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a) – P(X ≤ – a) 
 
Por simetría, se tiene que P(X ≤ – a) = P(X ≥ a), y por propiedad, resulta P(X ≥ a) = 1 – 
P(X ≤ a). Luego, P(X ≤ – a) = 1 – P(X ≤ a). 
 
Reemplazando en la expresión inicial: 
P(– a ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a) – P(X ≤ – a) = P(X ≤ a) – (1 – P(X ≤ a)) = 2·P(X ≤ a) – 1 
 
Como P(X ≤ a) = 
8
5
, entonces P(– a ≤ X ≤ a) = 2·P(X ≤ a) – 1 = 2·
8
5
 – 1 = 
4
5
 – 1 = 
4
1
 
 
Por lo tanto, el valor de P(– a ≤ X ≤ a) es 
4
1
.