Ensayo Cpech 044 - Matemáticas (2015) (E) - Antonia Salinas

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ensayo MT-044
sI
M
eX
4L
Ca
02
58
6V
1
Matemática
en
sC
es
M
T0
44
-a
15
V1
Matemática 
1. Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán 
consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta 
tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una 
sola de las cuales es la respuesta correcta.
2. Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.	 Marque	su	respuesta	en	la	fila	de	celdillas	que	corresponda	
al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca 
completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. 
Hágalo	exclusivamente	con	lápiz	de	grafito.
4. NO se descuenta puntaje por respuestas erradas. 
5.	 Lea	atentamente	las	instrucciones	específicas	para	responder	
las preguntas Nº 74 a Nº 80 de esta prueba, en donde se 
explica la forma de abordarlas.
6.	 Las	 figuras	 que	 aparecen	 en	 la	 prueba	 NO	 ESTÁN	
necesariamente dibujadas a escala. 
7.	 Si	lo	desea,	puede	utilizar	este	folleto	como	borrador.
8. Cuide la hoja de respuestas. No la doble, ni la manipule 
innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y 
las respuestas.
9. Es obligatorio devolver el facsímil íntegramente antes de 
abandonar la sala.
10. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, 
porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier 
omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
INSTRUCCIONES
Matemática 
en
sa
yo
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 
1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que 
puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2.	 Las	figuras	que	aparecen	en	el	modelo	son	solo	indicativas.
3.	 Los	gráficos	que	se	presentan	en	este	modelo	están	dibujados	
en un sistema de ejes perpendiculares.
4.	 Se	entenderá	 por	 dado	 común,	 a	 aquel	 que	posee	6	 caras,	
donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son 
equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.
6. Los números complejos i y – i son las soluciones de la ecuación 
x2 + 1 = 0.
7.	 Si	z	es	un	número	complejo,	entonces	z es su conjugado y |z| 
es su módulo.
8.	 Si	Z	es	una	variable	aleatoria	continua,	tal	que	Z	∼ N(0, 1) y 
donde	la	parte	sombreada	de	la	figura	representa	a	P(Z ≤ z), 
entonces	se	verifica	que:
z P(Z ≤ z)
0,67 0,749
0,99 0,839
1,00 0,841
1,15 0,875
1,28 0,900
1,64 0,950
1,96 0,975
2,00 0,977
2,17 0,985
2,32 0,990
2,58 0,995
0 z Z
 
Cpech Preuniversitarios 3
ensayo Matemática 
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
< es menor que ≅ es congruente con
> es mayor que ∼ es semejante con
≤ es menor o igual a ⊥ es perpendicular a
≥ es mayor o igual a ≠ es distinto de
 ángulo recto // es paralelo a
∠ ángulo ∈ pertenece a
log logaritmo en base 10 AB trazo AB
∅ conjunto vacío |x| valor absoluto de x
ln logaritmo en base e x! factorial de x
∪ unión de conjuntos ∩ intersección de conjuntos
Ac complemento del conjunto A u→ vector u
Cpech Preuniversitarios4
Matemática 
en
sa
yo1. Mauricio y Camila ahorran en sus respectivas alcancías el dinero que 
recibieron para Navidad. Mauricio guarda $ 20.000 y Camila $ 15.000. 
La semana siguiente, Mauricio saca $ 5.000 de su alcancía y luego 
devuelve $ 2.500. Días después, decide comprar un regalo y saca 
$	3.000.	Por	otro	lado,	Camila	es	invitada	a	una	fiesta	y	saca	$	5.000	
de	 su	 alcancía,	 pero	 luego	 devuelve	 $	 2.200.	 Posteriormente,	 saca													
$	3.500	para	comprar	unos	aros	y	finalmente	saca	$	5.000	para	asistir	a	
un	paseo.	Si	las	alcancías	de	ambos	estaban	vacías	antes	de	Navidad,	
y no se realizaron más depósitos ni retiros que los indicados, entonces 
es	correcto	afirmar	que	actualmente
 A) Camila tiene más dinero que Mauricio.
 B) ambos poseen la misma cantidad de dinero.
 C) la diferencia de dinero entre ellos es menor que $ 10.000.
 D) Mauricio tiene el cuádruple de dinero que posee Camila.
 E) entre ambos tienen menos de $ 20.000.
2. El resultado de 17 • (35 – 3 • 4) redondeado a la cuarta cifra decimal es
 A) 3,2856
 B) 3,2857
 C) 3,2858
 D) 4,5714
 E) 4,5715
3.	 Se	tienen	3	botellas	con	agua.	La	botella	A contiene 3
4
 de un litro, 
la botella B tiene 710 de un litro y la botella C contiene 
4
5
 de un litro. 
¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
 I) La botella B contiene más agua que la botella C.
 II) La botella C contiene más agua que la botella A.
 III) La botella A contiene más agua que la botella B.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 Solo	II	y	III
Cpech Preuniversitarios 5
ensayo Matemática 
4.	 Si	–	3	<	 1xx <	1,	con	x	≠	0,	entonces	un	valor	posible	para	x es
 I) – 2
 II) – 1
 III) 3 
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo I y II.
 D) solo I y III.
 E) solo II y III.
5. 2 
– 1 – 22
1
2
 
 =
 A) – 7
 B) – 4
 C) – 3
 D) 4
 E) 74
6. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? 
 I) 73	:	72 = 7
3
2 
 II) 4m + 4m + 4m + 4m = 4m + 1
 III) 2
2
5 = 
4
25
	 A)	 Solo	II 
B)	 Solo	III 
C)	 Solo	I	y	III 
D)	 Solo	II	y	III 
E) Ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios6
Matemática 
en
sa
yo7. ¿Cuál de los siguientes números está entre �2 y 8
5
?
 A) 1
 B) 1,3
 C) 1,5
 D) 1,7
 E) 1,8
8.	 Sea	x un número natural tal que log3 73 < x < log3 100. El valor de x 
es
 A) 3
 B) 4
 C) 5
 D) 6
 E) 7
9.	 Si �6 es aproximadamente 2,449, entonces �24 es aproximadamente
 A) 0,612
 B) 1,224
 C) 4,898
 D) 5,997
 E) 9,796
Cpech Preuniversitarios 7
ensayo Matemática 
10. 2
2 – �2
 + 2 – �2
2
 = 
 A) 6 – 3�2
2
 B) 1
 C) 6 + �2
2
 D) 6 + 3�2
2
 E) 8 + 3�2
2
11.	 Sea	a una aproximación por truncamiento a la centésima de �5 y 
b una aproximación por exceso a la centésima de �5 . ¿Cuál de las 
siguientes	afirmaciones	es	verdadera?
 A) a – b = 0
 B) a + b = 2�5
 C) (a + b)2 = 5
 D) b = 100a + 1100
 E) a2 + b2 = 10
Cpech Preuniversitarios8
Matemática 
en
sa
yo12.	 Si	r, s y t son números naturales mayores que 1, ¿cuál de las siguientes 
afirmaciones	es	siempre verdadera?
 A) 
s
�t + 
r
�t = t
 
s + r 
sr
 B) (�� r�3ts )
1 
r + 
1 
s + 
1 
t 
= 27
 
 C) 
s
�t ⋅ 
r
�t = t
 
s + r 
sr
 D) 
s
�t ⋅ 
r
�t = t
 
sr 
s + r
 E) (�� r�3ts )s+ t + r = 27
13.	¿Cuál(es)	de	la	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) log15( 1225 ) = – 2
	 II)	 Si	log
�11
 x = 2, entonces x = 11
	 III)	 Si	logx 27 = – 3, entonces x = 3
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
14.	 Si	i	es	la	unidad	imaginaria,	entonces	(2	–	3i)	+	(1	+	2i)	• (3 – i) es igual 
a
 A) 7 + 2i
 B) 10
 C) 8 – 6i
 D) 3 + 2i
 E) 10 – 6i
Cpech Preuniversitarios 9
ensayo Matemática 
15.	 Sea	z	=	 (p	+	mi)	 un	número	complejo.	Si	 la	 suma	entre	el	 inverso	
aditivo de z y el conjugado de z es igual al inverso multiplicativo de z, 
entonces siempre se cumple que
 A) p + m = 0
 B) m = 0
 C) p – m = 0
 D) p = 0
 E) p • m = 1
16.	 Pedro	tiene	x años y José tiene y	años.	Si	en	diez	años	más	las	edades	
de	Pedro	y	José	estarán	en	 la	 razón	3	 :	4,	¿cuál	de	 las	siguientes	
igualdades representa al enunciado?
 A) xy + 10 = 
3
4 
 B) x + 10y + 10 = 
3
4
 C) x + 10y = 
3
4
 D) xy = 
3
4
 E) xy = 
3
4 + 10
17. La expresión (x – 1)2 • (x + 1) es divisible por
 I) (x2 – 1)
 II) (x2 + 1)
 III) (x + 1)2
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo II y III.
 D) I, II y III.
 E) ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios10
Matemática 
en
sa
yo18.	 Si	el	área	de	una	figura	plana	está	representada	por	la	expresión	
 (x + �x –	6),	entonces	la	figura	podría ser un
 A) cuadrado de lado (�x – 3).
 B) cuadrado de lado (�x + 2).
 C) rectángulo donde sus lados son (�x + 2) y (�x – 3).
 D) rectángulo donde sus lados son (�x + 3) y (�x – 2).
 E) rectángulo donde sus lados son (�x – 3) y (�x – 2).
19. Considerandoel sistema x = 2 – y
3y = x + 1
 , el valor de yx es
 A) 13
 B) 35
 C) 34
 D) 53
 E) 3
20.	 Si	w	≠ 0, al dividir la expresión (w	–	 1w3 ) por 1w3 , se obtiene
	 A)	 (w2 – 1)2 
	 B)	 (w	+	1)2	(w	–	1)
	 C)	 (w2 + 1)2	(w	–	1)
	 D)	 (w2 – 1)2	(w	+	1)
	 E)	 (w2	+	1)	(w	+	1)	(w	–	1)
Cpech Preuniversitarios 11
ensayo Matemática 
21.	 Si	x e y son números reales positivos y distintos entre sí, entonces 
¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a
 ( x + yx ) :	( xy – yx )?
 I) 
y
x – y
 II) 
– y
y – x
 III) 
– (x + y)
x
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) I, II y III
22. Sea	la	ecuación	mx2 +	(2m	+	1)x	–	7	=	0.	Si	la	suma	de	las	raíces	
(o soluciones) de la ecuación es – 5
2
, el valor de m es
 A) 1
 B) 2
 C) 5
 D) 7
 E) 9
23. Viviana tiene $ x, y si regala $ 3.000 tendrá por lo menos el doble del 
dinero	que	tiene	su	hermano.	Si	el	hermano	de	Viviana	tiene	$	4.000	
menos que ella, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el 
enunciado?
	 A)	 x	+	3.000	≥	2	• (x – 4.000)
 B) x + 3.000 < 2 • 4.000
 C) x – 3.000 < 2 • (x – 4.000)
	 D)	 x	–	3.000	≥	2	• (x – 4.000)
	 E)	 x	–	3.000	≥	2	• 4.000
Cpech Preuniversitarios12
Matemática 
en
sa
yo24. El intervalo de todos los números reales que se encuentran a lo más 
a 15 unidades de 8 es
 A) [– 7, 23]
 B) [8, 23]
 C) ]– ∞, – 7[ ∪ ]23, + ∞[
 D) ]23, + ∞[
 E) ]– ∞, – 7]
25. Una escala de notas se construye sabiendo que si un alumno tiene 
0 puntos obtiene como nota un 2,0 y si tiene 20 puntos obtiene como 
nota	un	7,0.	Si	el	comportamiento	de	la	nota	con	respecto	al	puntaje	es	
lineal, entonces ¿qué nota obtendrá un alumno que tuvo 16 puntos?
 A) 4,0
 B) 5,5
 C) 6,0
 D) 6,5
 E) Ninguna de las notas anteriores.
26. Con respecto a la función real f(x) = 2x + 5, se puede concluir que
 I) la función es creciente.
	 II)	 su	gráfica	intersecta	al	eje	Y	en	el	punto	(0,	5).
	 III)	 su	gráfica	intersecta	al	eje	X	en	el	punto	(2,	0).
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo I y II.
 D) solo I y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios 13
ensayo Matemática 
27. Un auto gasta combustible en proporción directa con la distancia 
que recorre, de manera que si recorre P kilómetros gasta R litros de 
combustible.	Entonces,	es	correcto	afirmar	que
 I) si el auto recorre x kilómetros, gasta ( PR • x) litros de combustible.
	 II)	 si	 el	 auto	 recorre	 (P	 +	 1)	 kilómetros,	 gasta	 (R	 +	 1)	 litros	 de	
combustible.
 III) si el auto recorre 1R kilómetros, gasta 
1
P litros de combustible.
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo III.
 C) solo I y III.
 D) I, II y III.
 E) ninguna de ellas.
28.	 Si	f(a	–	3)	=	1	–	a2, entonces el valor de f(3) es
 A) – 35
 B) – 11
 C) – 8
 D) 0
 E) 1
Cpech Preuniversitarios14
Matemática 
en
sa
yo29. La solución de la ecuación ( 12 )4x + 1 = 8x – 2 es
 A) – 5
 B) – 1
 C) 37
 D) 57
 E) 7
30.	 Si		f(x)	=	�1	–	x2,	con		–	1	≤	x	≤	1,	entonces	f(– 34 ) es igual a
 A) �7
4
 B) �72
 C) 54
 D) 12
 E) un número que NO es real.
Cpech Preuniversitarios 15
ensayo Matemática 
31.	 Sea	g(x)	=	log	(ax	–	1)	una	función	real,	con	a y x números mayores 
que	1.	¿Cuál(es)	de	 las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	siempre 
verdadera(s)?
 I) g(a + 1) = 2 • log a
 II) g(a) – g(1) = log (a + 1)
 III) g( 2a ) = 1
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 Solo	II	y	III
32.	 Sea	f(x)	=	–	2x2	+	8x	+	24	una	función	definida	en	los	reales.	El	máximo	
valor que toma la función es
 A) 2
 B) 16
 C) 24
 D) 32
 E) 40
33. ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada en el 
gráfico	de	la	figura?
x
y
 A) f(x) = 2x3
 B) g(x) = x3 – 2
 C) h(x) = x2
 D) p(x) = – x2 + 2
 E) q(x) = – 2x3
Cpech Preuniversitarios16
Matemática 
en
sa
yo34. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema x	–	4	≤	3
2x + 6 < 5x
 ?
 A) ]– 2, 7]
 B) ]– ∞, – 1]
 C) ]– ∞, 2]
 D) ]2, 7]
 E) ∅
35.	 En	 el	 cuadrilátero	 BCDE	 de	 la	 figura,	BC ⊥ CD y BC ⊥ BE .	 Si	
BE = 5 cm y BC = 12 cm, entonces ¿cuánto mide el perímetro del 
triángulo CDE? E
a
a
DC
B
 A) 48 cm
 B) 39 cm
 C) 36 cm
 D) 31 cm
 E) 29 cm
36.	 Si	al	punto	P(3,	2)	se	le	aplica	una	simetría	con	centro	en	el	punto	
(1,	–	1)	y	después	se	le	aplica	una	simetría	con	respecto	al	eje	X,	el	
punto resultante es
 A) (– 1, 4)
 B) (– 3, 4)
 C) (– 1, – 4)
 D) (1, 0)
 E) ninguno de los puntos anteriores.
37.		Si	al	punto	M(3,	–	2)	se	le	aplica	el	vector	de	traslación	(–	2,	3),	seguido	
del vector de traslación (1, – 1), ¿cuáles son las nuevas coordenadas 
del punto?
 
 A) (1, 0) 
 B) (– 2, 0)
 C) (– 1, 2) 
 D) (2, 0) 
 E) (1, 1)
Cpech Preuniversitarios 17
ensayo Matemática 
38.	 Si	al	punto	M(3,	4)	ubicado	en	un	plano	cartesiano	se	 le	aplica	una	
rotación	de	90°	con	centro	en	el	origen	y	luego	una	traslación	T(5,	–	2),	
su nueva posición es
 A) (– 4, 3)
 B) (1, 1)
 C) (2, – 6)
 D) (– 6, 2)
 E) (9, – 5)
39.	 Sean	los	vectores	a→ = (3, 5), b→ 	=	(v,	w)		y		c→ = (8, 6). ¿Qué valores 
deben tener v y w, respectivamente, para que (a→ + b→) sea el doble 
de c→?
 A) 5 y 1
 B) 1 y 5
 C) 13 y 7
 D) 7 y 13
 E) 13 y 1
40.	 Según	 la	figura	adjunta,	es	correcto	afirmar	que	si	al	punto	P	se	 le	
aplica
 
	 I)	 el	vector	de	traslación	T(–	1,	1),	queda	en	la	posición	(–	7,	–	3).
	 II)	 una	simetría	con	respecto	al	eje	X,	queda	en	la	posición	(–	6,	4).
 III) una simetría con respecto al origen, queda en la posición (6, 4).
 Es (son) verdadera(s) y
x
– 4
– 6
P
 A) solo II.
 B) solo III.
 C) solo I y II.
 D) solo I y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios18
Matemática 
en
sa
yo41.	 En	el	triángulo	AEB	de	la	figura,	AB // DC.	Si		BC	=	8,	BE	=	15	y	AD	=	5,	
entonces el valor del trazo DE es
A
C
B
D E
 A) 358
 B) 565
 C) 407
 D) 758
 E) ninguno de los valores anteriores.
42. En	la	figura,	AB 	es	diámetro	de	la	circunferencia	de	centro	O.	Si	el	
arco AC es 215 de la circunferencia, ¿cuál es la medida de a?
O
B
A
C
a
 A) 48º
 B) 66º
 C) 132º
 D) 248º
 E) Ninguna de las medidas anteriores.
43.	 En	la	figura,	AE	:	DB	=	2	:	3	y	el	área	del	triángulo	AEB	mide	20	cm2. 
¿Cuánto mide el área del triángulo DBC?
A B
C
E
D
25°
25°
 A) 30 cm2 
 B) 40 cm2 
 C) 45 cm2
 D) 60 cm2
 E) Faltan datos para determinarla.
Cpech Preuniversitarios 19
ensayo Matemática 
44. En	la	figura,	AB // CD y E pertenece a AD. ¿Cuál es el valor de AE ?
B
A
C
D
E
12
20
18a a
 A) 30
 B) 13,3
 C) 10,8
 D) 10
 E) 8,4
45. En	la	figura,	el	triángulo	ACB	es	rectángulo	en	B,	AD	=	36,	DC	=	9	y	
AC ⊥ BD. El valor del segmento BD es
 
A CD
B
 A) �18
 B) 3�5
 C) 15
 D) 18
 E) 45
46. Desde un punto situado a 20 cm del centro de una circunferencia de 
radio 8 cm, se traza una tangente a la circunferencia. La medida de 
dicha tangente es
 A) 4�21 cm
 B) 4�15 cm
 C) 4�10 cm
 D) 4�6 cm
 E) 12 cm
Cpech Preuniversitarios20
Matemática 
en
sa
yo47.	 El	triángulo	ABC	de	la	figura	es	rectángulo	en	C.	Si	AC	=	9	y	BC	=	12,	
¿cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
A
C
p Bq
hc
 I) p = 15 – q
 II) q = 48 
5
 III) hc = 
36 
5
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
48.	 Sea	L:	2x	+	3y	–	9	=	0	una	recta	en	el	plano.	El	coeficiente	de	posición	
de la recta L es
 A) – 9
 B) – 3
 C) 
– 2 
3
 D) 3
 E) 9
Cpech Preuniversitarios 21
ensayo Matemática 
49.	 En	la	figura	se	muestra	una	homotecia	de	centro	O	y	razón	de	homotecia	
2,5 que transforma a una circunferencia de centro A y radio 3 en una 
circunferencia	de	centro	B.	Si	las	circunferencias	son	tangentes entre 
sí, ¿cuánto mide OA?
A
O
B
 A) 4
 B) 4,2
 C) 6
 D) 7
 E) 7,5
50.	 Sean	los	puntos	P(0,	1),	Q(1,	0)	y	R(1,	2)	en	el	plano	cartesiano.	Si	
una	recta	L	pasa	por	P	y	Q,	una	recta	M	pasa	por	Q	y	R,	y	una	recta	
N	pasapor	P	y	R,	entonces	es	FALSO	afirmar	que
 A) la recta L es perpendicular a la recta y = – x.
 B) la recta M es paralela a la recta x = – 1.
 C) la recta L es perpendicular a la recta N.
 D) la recta y = x pasa por el punto medio de RQ .
 E) la recta N es paralela a la recta y = x – 1.
Cpech Preuniversitarios22
Matemática 
en
sa
yo51. Una persona desea comprar una piscina y le ofrecen dos modelos de 
igual precio, ambas con forma de paralelepípedo, cuyas dimensiones 
se encuentran en la tabla adjunta.
 
 
Largo Ancho Profundidad
Modelo A 3m 2m 1m
Modelo B 2m 2m 1,5 m
	 Según	 la	 información	 dada	 y	 si	 ambos	 modelos	 se	 llenan	
completamente,	 ¿cuál(es)	 de	 las	 siguientes	 afirmaciones	 es	 (son)	
verdadera(s)?
 I) En el modelo A se utiliza más agua que en el modelo B.
 II) En el modelo B se utilizan 6 m3 de agua.
	 III)	 Sumando	el	agua	de	ambos	modelos,	se	utiliza	un	total	de	12	m3 
de agua.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
52.	 Si	el	diámetro	de	una	esfera	mide	12	cm,	entonces	su	volumen	mide
 A) 12π cm3
 B) 48π cm3 
 C) 192π cm3 
 D) 288π cm3 
 E) 2.304π cm3
Cpech Preuniversitarios 23
ensayo Matemática 
53.	 Si	a, b y c son números mayores que 1 y distintos entre sí, ¿cuál 
de las siguientes ecuaciones continuas representa una recta que NO 
pasa por el origen?
 A) x a – 1 = 
y 
b – 1 = 
z 
c – 1
 B) x a = 
y 
b = 
z 
c
 C) x – a a = 
y – b 
b = 
z – c
c
 D) ax – 1 2 = 
bx – 1 
2 = 
cx – 1
2
 E) x – 1 a = 
y – 1 
b = 
z – 1
c
54.	 Si	 la	 media	 aritmética	 (o	 promedio),	 la	 mediana	 y	 la	 moda	 son	
calculadas en la siguiente tabla de distribución de frecuencias, 
entonces se cumple que 
Dato Frecuencia
1 4
2 5
3 1
4 3
5 2
 A) moda = mediana < media aritmética
 B) moda < mediana < media aritmética
 C) mediana = media aritmética < moda
 D) media aritmética < mediana = moda
 E) mediana = media aritmética > moda
Cpech Preuniversitarios24
Matemática 
en
sa
yo55. La tabla adjunta muestra las edades de los 25 alumnos de un curso 
de Matemática en el preuniversitario. A partir de los datos de la tabla, 
la mediana de las edades es
Edad (años) Frecuencia
17 10
18 7
19 5
20 3
 A) 17 años.
 B) 18 años.
 C) 18,5 años.
 D) 19 años.
 E) 20 años.
56.	 En	el	gráfico	adjunto	se	presenta	el	porcentaje	de	logro	que	tuvieron	
los alumnos de un curso en una evaluación, agrupados en forma de 
intervalos. 
1
0
0 20 40 60 80 100
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Frecuencia
Porcentaje	de	logro
 
	 Según	este	gráfico,	es	correcto	afirmar	que
 I) el intervalo modal (o clase modal) es [60, 80[.
 II) la cuarta parte del curso se ubicó en el intervalo [40, 60[.
 III) 40 personas del curso rindieron la evaluación.
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo III.
 B) solo I y II.
 C) solo I y III.
 D) solo II y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios 25
ensayo Matemática 
57.	 El	gráfico	adjunto	muestra	el	resultado	de	una	encuesta	que	se	hizo	
a	90	personas	sobre	las	preferencias	musicales	de	cada	uno.	Si	cada	
persona	escogió	solo	una	preferencia,	es	correcto	afirmar	que
	 I)	 menos	del	50%	prefiere	rock	o	metal.
	 II)	 30	personas	prefieren	rock.
	 III)	 36	personas	prefieren	funk	o	música	clásica.
 
Rock
30%
Funk
30%
Clásica
10%
Metal
 Es (son) verdadera(s) 
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo III.
 D) solo II y III.
 E) ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios26
Matemática 
en
sa
yo58.	 Los	puntajes	obtenidos	en	un	ensayo	PSU	por	 los	alumnos	de	uno	
de los cuartos medios de un colegio se presentan en el siguiente 
gráfico.¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es		(son)	verdadera(s)?
3
550 600 650
5
7
8
10
Puntajes
Cantidad de alumnos
700 750 800
 I) La moda de los puntajes es 10.
 II) 40 alumnos rindieron el ensayo.
 III) La media aritmética (o promedio) del curso en el ensayo es 
mayor que 650 puntos.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	II
	 E)	 Solo	II	y	III
59.	 Sean	(2n	–	1),	(2n	+	1),	(2n	+	3)	y	(2n	+	5)	cuatro	números	naturales.	
La media aritmética y desviación estándar de estos números son, 
respectivamente,
 A) (2n + 2) y �6
 B) (2n + 2) y �5
 C) (2n + 1) y 2�3
 D) (8n + 8) y �5
 E) (8n + 2) y 2�6
Cpech Preuniversitarios 27
ensayo Matemática 
60.	 Sea	X una variable aleatoria con distribución normal de promedio 7. 
	 Si	P(5	≤	X	≤	9)	=	0,4	y	P(4	≤	X	≤	10)	=	0,7,	entonces	¿cuál	es	el	valor	
de	P(5	≤	x	≤	10)?
 A) 0,625
 B) 0,65
 C) 0,575
 D) 0,55
 E) 0,525
61. ¿Cuántas palabras distintas de cinco letras, con o sin sentido, se 
pueden formar utilizando un conjunto de cinco letras distintas, sin 
repetición?
 A) 3.125
 B) 120
 C) 25
 D) 20
 E) 15
62. En un curso de 45 alumnos, la probabilidad de escoger al azar un 
alumno que sea hombre es 35 . ¿Cuántas mujeres hay en el curso? 
 A) 15
 B) 18
 C) 21
 D) 27
 E) 30
Cpech Preuniversitarios28
Matemática 
en
sa
yo63.	 Al	lanzar	un	dado	común,	¿cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	
(son) FALSA(S)?
 I) La probabilidad de obtener un divisor de 8 es 12 .
 II) La probabilidad de obtener un múltiplo de 5 es 16 .
 III) La probabilidad de obtener un número primo es 23 .
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) Ninguna de ellas.
64. La siguiente tabla muestra el resultado de una encuesta aplicada a 
un grupo de personas acerca de la cantidad de frutas que consume 
diariamente.	Si	se	escoge	al	azar	una	persona	del	grupo,	la	probabilidad	
de que esta persona consuma
Cantidad
de frutas
Personas
0 3
1 5
2 5
3 4
4 2
5 1
 I) cuatro frutas diariamente es de 110 .
 II) una o dos frutas diariamente es de 12 .
 III) tres o más frutas diariamente es de 310 .
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo I y II.
 C) solo II y III.
 D) I, II y III.
 E) ninguna de ellas.
Cpech Preuniversitarios 29
ensayo Matemática 
65.	 Se	lanzan	dos	dados	comunes	y	se	anota	la	suma	de	los	resultados	
obtenidos. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este 
experimento? 
 A) 6
 B) 10
 C) 11
 D) 12
 E) 36
66.	 Una	caja	contiene	10	bolitas:	3	rojas,	3	azules,	2	verdes	y	2	negras,	
todas de igual peso y tamaño. Un hombre realiza el experimento de 
extraer al azar una bolita, registrar el color que se obtuvo y volver a 
ingresar	 la	bolita	a	 la	caja.	Si	ha	realizado	el	experimento	un	cierto	
número de veces, entonces podemos asegurar que
 A) si en una extracción salió una bolita roja, entonces en la 
extracción siguiente la bolita será nuevamente roja.
 B) la probabilidad de extraer una bolita roja o una azul es igual a la 
probabilidad de extraer una bolita verde o una negra.
 C) en el registro de anotaciones del hombre, la frecuencia de 
extracción de las bolitas rojas debe ser mayor que la frecuencia 
de extracción de las bolitas verdes.
 D) mientras mayor número de extracciones se realicen, la frecuencia 
relativa de cada color se acercará a la probabilidad de cada 
color.
 E) en cada extracción, el color de la bolita debe ser diferente al 
color de la bolita de la extracción anterior.
Cpech Preuniversitarios30
Matemática 
en
sa
yo67. Una ruleta está dividida en cuatro sectores iguales, numerados del 1 
al	4.	Si	se	gira	la	ruleta	tres	veces	seguidas,¿cuál	es	la	probabilidad	
de que en las tres ocasiones se obtenga un 4?
 
 A) 164
 B) 364
 C) 1
12
 D) 14
 E) 13
68.	 En	una	caja	hay	fichas	de	cuatro	colores:	3	blancas,	2	rojas,	4	azules	y	
1	negra,	todas	de	igual	peso	y	tamaño.	Si	se	extrae	una	ficha	al	azar,	
¿cuál es la probabilidad de que esta sea blanca o azul?
 A) 12 
 B) 25 
 C) 720 
 D) 325 
 E) 710 
Cpech Preuniversitarios 31
Matemática ensayo
69.	 Se	tiene	el	siguiente	listado	de	palabras:	árbol,	perro,	gato,	mueble,	
maleta,	auto	y	rábano.	Si	se	escoge	una	palabra	del	listado	al	azar,	la	
probabilidad que dicha palabra contenga la letra r o la letrab es
 A) 27
 B) 37
 C) 47
 D) 57
 E) 67
70.	 Se	lanzan	cinco	monedas	simultáneamente.	¿Cuál	es	la	probabilidad	
de que a lo menos en dos de ellas salga sello?
 A) 316
 B) 14
 C) 516
 D) 12
 E) 1316
Cpech Preuniversitarios32
Matemática 
en
sa
yo71. El 70% de los asistentes a una conferencia son mujeres y el 40% de 
los	hombres	asistentes	son	menores	de	25	años.	Si	se	escoge	una	
persona al azar entre los asistentes, la probabilidad de que sea un 
hombre de 25 años o más es de
 A) 12%
 B) 18%
 C) 21%
 D) 28%
 E) 90%
72. En un gimnasio hay 70 personas chilenas y 20 personas extranjeras. 
De los chilenos, 25 son hombres y de los extranjeros, 14 son mujeres. 
Si	 se	 escoge	 una	 persona	 al	 azar,	 ¿cuál(es)	 de	 las	 siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) La probabilidad de que esta persona sea de nacionalidad chilena 
es 79 .
 II) La probabilidad de que esta persona sea mujer es 5990 .
 III) La probabilidad de que esta persona sea extranjera es 29 .
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) I, II y III
Cpech Preuniversitarios 33
Matemática ensayo
73. Sea	X	una	variable	aleatoria	de	función	de	probabilidad	f(X)	=	 aX2 .	Si	X 
solo puede tomar los valores 2, 3 y 6, ¿cuál es la probabilidad de que 
X tome el valor 3 ó 6? 
 A) 23
 B) 911
 C) 4549
 D) 718
 E) 514
Cpech Preuniversitarios34
Matemática 
en
sa
yoInstrucciones para las preguntas Nº 74 a la Nº 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, 
sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema 
más	los	indicados	en	las	afirmaciones	(1)	y	(2)	son	suficientes	para	llegar	
a esa solución.
Usted	deberá	marcar	en	la	hoja	de	respuestas	la	letra:
A) (1) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (1)	 por	 sí	 sola	 es	 suficiente	 para	
responder	a	la	pregunta,	pero	la	afirmación	(2)	por	sí	sola	no	lo	es;
B) (2) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (2)	 por	 sí	 sola	 es	 suficiente	 para	
responder	a	la	pregunta,	pero	la	afirmación	(1)	por	sí	sola	no	lo	es;	
C) Ambas juntas, (1) y (2),	 si	 ambas	 afirmaciones	 (1)	 y	 (2)	 juntas	
son	 suficientes	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	 pero	 ninguna	 de	 las	
afirmaciones	por	sí	sola	es	suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2),	si	cada	una	por	sí	sola	es	suficiente	
para	responder	a	la	pregunta;
E) Se	requiere	información	adicional,	si	ambas	afirmaciones	juntas	son	
insuficientes	para	responder	a	la	pregunta	y	se	requiere	información	
adicional para llegar a la solución.
74.	 Mauricio	 y	 Paulina	 se	 reparten	 10	 dulces.	 Se	 puede	 determinar	 la	
cantidad	de	dulces	que	recibe	cada	uno	si:
	 (1)	 Paulina	recibe	más	dulces	que	Mauricio.
 (2) El número de dulces que recibe cada uno corresponde a números 
primos.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios 35
ensayo Matemática 
75.	 Se	puede	determinar	que	el	resultado	de	(a	–	b)	es	un	número	positivo	
si:
 (1) a y b son números positivos.
 (2) (b – a) < 0
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
76. Es posible determinar la cantidad de bacterias que hay en el estudio 
de	un	cultivo	si:
 (1) La cantidad de bacterias se duplica cada 20 minutos.
 (2) Desde el inicio del estudio del cultivo han pasado 6 horas.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios36
Matemática 
en
sa
yo77. Los vectores m→ y p→ se ubican en el plano cartesiano, tal como indica 
la	figura.	Se	puede	determinar	el	valor	numérico	de	a si:
y
x
a– 2
m
→ p
→
 (1) ( p→ + m→ ) = (1, 4)
 (2) ( p→ – m→ ) = (5, 0)
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
78.	 Sean	los	puntos	P(a,	b	+	1)	y	Q(b,	a	+	1)	en	el	plano	cartesiano.	Se	
puede determinar el valor numérico de PQ si:
 (1) a + b = 13
 (2) a – b = 7
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios 37
ensayo
79.	 Se	pueden	determinar	los	valores	de	los	100	datos	de	una	muestra	
estadística	si:
 (1) La desviación típica o estándar es 0 y el primer dato es 5.
 (2) La media aritmética (o promedio) es 5.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.	
80.	 Sea	X una variable aleatoria en el conjunto {1, 2, 3, 4}, con función 
de probabilidad f y función de distribución F.	Se	puede	determinar	el	
valor	numérico	de	F(3)	si:
 (1) f(4) = 0,1
 (2) F(2) = 0,7
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
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