Ensayo Cpech 034 - Matemáticas (2016) (E) - Antonia Salinas

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ensayo MT-034
sI
M
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4L
Ca
02
58
6V
1
Matemática
en
sC
es
M
T0
34
-a
16
V1
Matemática 
1. Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán 
consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta 
tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una 
sola de las cuales es la respuesta correcta.
2. Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.	 Marque	su	respuesta	en	la	fila	de	celdillas	que	corresponda	
al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca 
completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. 
Hágalo	exclusivamente	con	lápiz	de	grafito.
4. NO se descuenta puntaje por respuestas erradas. 
5.	 Las	 figuras	 que	 aparecen	 en	 la	 prueba	 NO	 ESTÁN	
necesariamente dibujadas a escala. 
6.	 Si	lo	desea,	puede	utilizar	este	folleto	como	borrador.
7.	 Cuide	 la	 hoja	 de	 respuestas.	 No	 la	 doble,	 ni	 la	 manipule	
innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y 
las respuestas.
8. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, 
porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier 
omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
INSTRUCCIONES
Matemática 
en
sa
yo
9. Instrucciones	para	las	preguntas	Nº	7,	14,	24,	33,	49,	54,	63	
y 75.
 En estas preguntas no se le pide que dé la solución al 
problema, sino que decida si los datos proporcionados 
en el enunciado del problema más los indicados en las 
afirmaciones	 (1)	 y	 (2),	 son	 suficientes	 para	 llegar	 a	 esa	
solución.
 Usted deberá marcar en la hoja de respuestas la letra:
	 A)	 (1)	por	sí	sola,	si	la	afirmación	(1)	por	sí	sola	es	suficiente	
para	responder	a	la	pregunta,	pero	la	afirmación	(2)	por	
sí	sola	no	lo	es;
	 B)	 (2)	por	sí	sola,	si	la	afirmación	(2)	por	sí	sola	es	suficiente	
para	responder	a	la	pregunta,	pero	la	afirmación	(1)	por	
sí	sola	no	lo	es;	
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2),	si	ambas	afirmaciones	(1)	y	(2)	
juntas	 son	 suficientes	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	
pero	 ninguna	 de	 las	 afirmaciones	 por	 sí	 sola	 es	
suficiente;
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2),	si	cada	una	por	sí	sola	
es	suficiente	para	responder	a	la	pregunta;
	 E)	 Se	 requiere	 información	 adicional, si ambas 
afirmaciones	 juntas	 son	 insuficientes	 para	 responder	
a	la	pregunta	y	se	requiere	información	adicional	para	
llegar a la solución.
Cpech Preuniversitarios 3
ensayo Matemática 
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 
1.	 A	 continuación	 encontrará	 una	 serie	 de	 símbolos,	 los	 que	
puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2.	 Las	figuras	que	aparecen	en	el	modelo	son	solo	indicativas.
3.	 Los	gráficos	que	se	presentan	en	este	modelo	están	dibujados	
en un sistema de ejes perpendiculares.
4.	 Se	entenderá	 por	 dado	 común,	 a	 aquel	 que	posee	6	 caras,	
donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son 
equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.
6. Los números complejos i y – i son las soluciones de la ecuación 
x2 + 1 = 0.
7.	 Si	z	es	un	número	complejo,	entonces	z es su conjugado y |z| 
es su módulo.
8.	 Si	Z	es	una	variable	aleatoria	continua,	tal	que	Z	∼	N(0,	1)	y	
donde	la	parte	sombreada	de	la	figura	representa	a	P(Z ≤ z),	
entonces	se	verifica	que:
z P(Z ≤ z)
0,67 0,749
0,99 0,839
1,00 0,841
1,15 0,875
1,28 0,900
1,64 0,950
1,96 0,975
2,00 0,977
2,17 0,985
2,32 0,990
2,58 0,995
0 z Z
 
Cpech Preuniversitarios4
Matemática 
en
sa
yo
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
< es menor que ≅ es congruente con
> es mayor que ∼ es semejante con
≤ es menor o igual a ⊥ es perpendicular a
≥ es mayor o igual a ≠ es distinto de
 ángulo recto // es paralelo a
∠ ángulo ∈ pertenece a
log logaritmo en base 10 AB trazo AB
∅	 conjunto	vacío		 |x| valor absoluto de x
ln	 logaritmo	en	base	e		 x!	 factorial	de	x
∪ unión de conjuntos ∩ intersección de conjuntos
Ac complemento del conjunto A u→ vector u
Cpech Preuniversitarios 5
ensayo Matemática 
1. Matías	tiene	ahorradas	18	monedas	de	$	50,	12	monedas	de	$	100	y	
algunas	monedas	de	$	500,	de	manera	que	suma	un	total	de	$	5.100.	
Si	cambia	todas	las	monedas	de	$	100	por	monedas	de	$	50,	¿cuántas	
monedas tendrá en total?
	 A)	 		30
	 B)	 		36
	 C)	 		42
	 D)	 		48
	 E)	 102
2. La expresión ( 195 – 194195 + 194 )	es igual a
	 A)	 1
198
	 B)	 		0
	 C)	 1
388
	 D)	 119
	 E)	 9
10
3.	 El	doble	de	las	tres	cuartas	partes	del	quíntuple	de	los	dos	tercios	de	
30 es
	 A)	 				6	
	 B)	 		30
	 C)	 		75
	 D)	 150
	 E)	 200
Cpech Preuniversitarios6
Matemática 
en
sa
yo4.	 Sea	M	el	conjunto	de	todos	los	divisores	positivos	de	un	número	entero	
mayor que 1. Entonces, es FALSO	afirmar	que	el	conjunto	M	contiene	
al menos
	 A)	 un	cuadrado	perfecto.
	 B)	 dos	elementos.
	 C)	 un	número	par.
	 D)	 un	número	primo.
	 E)	 un	número	impar.
5. La expresión (4x + 4x + 1), con x un número entero positivo, es siempre 
divisible por
	 I)	 2
	 II)	 4
	 III)	 5
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	II.
	 C)	 solo	III.
	 D)	 solo	II	y	III.
	 E)	 I,	II	y	III.
6.	 ¿En	cuál(es)	de	los	siguientes	casos	el	resultado	de	(3a	+	2b)	es	un	
número par?
	 I)	 a es número impar y b = 0.
	 II)	 a es un número par y b es un número entero positivo.
	 III)	 a	=	0	y	b es un número impar.
	 A)	 Solo	en	II
	 B)	 Solo	en	III
	 C)	 Solo	en	I	y	en	III
	 D)	 Solo	en	II	y	en	III
	 E)	 En	ninguno	de	ellos
Cpech Preuniversitarios 7
ensayo Matemática 
7.		 Sean	a, b y c	tres	números	reales	distintos	de	cero	y	distintos	entre	sí.	
Es posible determinar que a
b
 > c
b
 si:
	 (1)	 a	>	c
	 (2)	 a	<	b
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
8.	 Si	a, b y c	son	números	reales	positivos	distintos	de	1,	¿cuál(es)	de	
las	siguientes	igualdades	es	(son)	siempre	verdadera(s)?
	 I)	 log	(abc)	=	log	a	+	log	b	+	log	c
	 II)	 log	(–	a)– 1 = log a
		 III)	 2 • log a 
log b
 = logb a
2
	 A)		 Solo	I
	 B)		 Solo	II
	 C)		 Solo	I	y	II
	 D)		 Solo	I	y	III
	 E)		 Solo	II	y	III
9.	 Si	loga m = p, con a y m números reales mayores que 1, entonces 
log 1
a
 m + loga( 1 m) es igual a
	 A)	 			1
	 B)	 			2p
	 C)	 			0
	 D)	 –	p
	 E)	 –	2p
Cpech Preuniversitarios8
Matemática 
en
sa
yo10. �32b + 5 – 32b + 3 • (�3b + 3 + 3b + 4 )– 1 =
	 A)	 �4 • 33b
	 B)	 �2 • 3b
	 C)	 �32 • 33b + 6
	 D)	 �26 • 3b – 1
	 E)	 �8 • 33b
11.	 Al	simplificar	la	expresión	( 2�5 + �10�5 ) resulta
	 A)	 2	+	�10
	 B)	 2	+	�5
	 C)	 2	+	�2 
	 D)	 2�3 
	 E)	 2�2
12.	 Sea	x un número real tal que log4 130 < x < log3 80. Entonces, un valor 
de x	podría	ser
	 A)	 3,7
	 B)	 4,2
	 C)	 3,4
	 D)	 3,1
	 E)	 2,8
13.	 Si	la	diferencia	entre	�14 y �5 es aproximadamente 3
2
, entonces el 
valor aproximado de �70, redondeado a la décima, es
	 A)	 8,8
	 B)	 8,5
	 C)	 8,4
	 D)	 8,7
	 E)	 8,6
Cpech Preuniversitarios 9
ensayo Matemática 
14.	 Sean	p y m	números	irracionales.	Se	puede	afirmar	que	la	expresión			 
( pp + m ) representa un número racional, si:
	 (1)	 (p	•	m)	es	un	número	racional.
	 (2)	 p es el doble de m.
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
15. El resultado de la suma entre un número complejo y su conjugado 
siempre es
	 A)	 un	número	imaginario.
	 B)	 un	número	real.
	 C)	 el	módulo	del	número	complejo.
	 D)	 el	inverso	aditivo	del	número	complejo.
	 E)	 cero.
16.	 (1	+	3i)	•	(3	–	2i)2 =
	 A)	 			49	+	27i
	 B)	 			21	+	23i
	 C)	 –	31	+	3i
	 D)	 					5	+	15i
	 E)	 			41	+	3i
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Matemática 
en
sa
yo17.	 Sean	los	números	complejos	z1 = 3 – 2i y z2	=	3	+	2i.	¿Cuál(es)	de	
las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 z1 + z2 = 6
	 II)	 z1 • z2 = 5 – 12i
	 III)	 |z1|	≠	|z2|
	 A)Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 Solo	II	y	III
18.	 El	área	de	un	cubo	es	igual	a	seis	veces	el	cuadrado	de	su	arista.	Si	
el valor de la arista de un	cubo	es	(x	+	y),	entonces	la	expresión	que	
representa su área corresponde a
	 A)	 6x2 + y2
	 B)	 6(x2 + y2)
	 C)	 6(x	+	y)2
	 D)	 36(x +	y)2
	 E)	 36x2 + y2
19.	 Sea	(x	–	3)	un	factor	de	la	expresión	algebraica	ax2 + bx + c, con a, b 
y c	números	reales.	¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	
siempre verdadera(s)?
	 I)	 Si	a	=	–	3,	entonces	b	=	c.
	 II)	 Si	(x	+	2)	es	el	otro	factor	de	la	expresión,	entonces	c	=	–	6.
	 III)	 Si	a	=	2,	b	=	1	y		c	=	–	15,	entonces	el	otro	factor	es	(2x	+	5).
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 Ninguna	de	ellas
Cpech Preuniversitarios 11
ensayo Matemática 
20.	 Sea	la	ecuación	literal	 ax + 3
bx – 5
 = 7. Entonces, si 
	 I)	 a es el doble de b, el valor de x es 38
5b
.
	 II)	 a es la mitad de b, el valor de x es 38
3b
.
	 III)	 a es igual a b, el valor de x es igual a 19
3b
.
	 Es	(son)	verdadera(s)
 
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	II.
	 C)	 solo	I	y	II.
	 D)	 solo	I	y	III.
	 E)	 I,	II	y	III.
21. Un niño juega a lanzar una moneda, cuando sale cara se anota dos 
puntos	y	cuando	sale	sello	se	anota	tres	puntos.	Si	lanzó	la	moneda	
24	veces	y	obtuvo	un	total	de	55	puntos,	¿cuántas	veces	obtuvo	sello	
en la moneda?
 
	 A)	 		7
	 B)	 10
	 C)	 12
	 D)	 14
	 E)	 17
Cpech Preuniversitarios12
Matemática 
en
sa
yo22.	 Sea	 la	expresión	algebraica	r	=	 a + bc ,	con	c	≠	0.	¿Cuál(es)	de	 las	
siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 Si	b	=	–	2a,	entonces	r	=	 – ac .
	 II)	 Si	3a	=	c,	entonces	r	=	 13 + 
b
3a .
	 III)	 Si	a	=	b	=	–	c,	entonces	r	=	2.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
23. Con respecto a la ecuación x2	+	12x	+	36	=	0,	¿cuál	de	las	siguientes	
afirmaciones	es	verdadera?		
 
	 A)	 Tiene	dos	soluciones	reales	positivas	y	distintas.
	 B)	 Tiene	dos	soluciones	reales	negativas	e	iguales.
	 C)	 Tiene	dos	soluciones	reales	positivas	e	iguales.	
	 D)	 Tiene	dos	soluciones	reales	negativas	y	distintas.
	 E)	 NO tiene solución en los números reales.
24.	 Se	puede	determinar	que	 la	ecuación	x2	–	3px	+	q	=	0	 tiene	raíces	
reales e iguales, si:
	 (1)	 q	=	(3p2 )
2
	 (2)	 q	=	4p	+	1		y		p	=	11	–	q
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios 13
ensayo Matemática 
25. El intervalo de todos los números que se encuentran a lo menos a 5 
unidades y a lo más a 12 unidades de 9 es
	 A)	 ]–	∞,	4]	∪ [14, + ∞[
	 B)	 [4,	14]
	 C)	 ]–	∞,	–	3]	∪ [21, + ∞[
	 D)	 [–	3,	21]
	 E)	 [–	3,	4]	∪ [14,	21]
26. El intervalo solución del sistema 7x
4 + 5 ≤ 2x – 
3
4 
9	≤	2(x	+	3)
 es
	 A)	 [23,	+	∞[
	 B)	 32 , + ∞
	 C)	 – ∞, 32 
	 D)		 32 , 23 
	 E)	 ]–	∞,	23]
27. El conjunto solución de la inecuación 7 – 3x > 10 – 6x es
	 A)	 ]–	1,	+	∞[ 
	 B)	 13 , + ∞ 
	 C)	 – 1
3
, + ∞
	 D)	 ]1,	+	∞[
	 E)	 – ∞ , – 1
3
 
Cpech Preuniversitarios14
Matemática 
en
sa
yo28.	 ¿Cuál	 de	 las	 siguientes	 funciones	 está	 mejor representada en la 
gráfica	de	la	figura? y
x
– 3
1
	 A)	 f(x)	=	x	+	3
	 B)	 g(x)	=	3x	–	1
	 C)	 h(x)	=	3x	–	3
	 D)	 k(x)	=	–	3x	–	3
	 E)	 m(x)	=	–	x	+	3
29.	 Sean	 las	 funciones	 reales	 f(x)	=	2x	+	3	 y	g(x)	=	ax	+	1,	 con	a y x 
números reales. Entonces, si
	 I)	 a	=	 27 ,	entonces	g(f(2))	=	3.
	 II)	 f(g(7))	=	19,	entonces	a	=	1.
	 III)	 a	=	0,	entonces	f(g(2))	=	9.
 
	 Es	(son)	verdadera(s)
 
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	II.
	 C)	 solo	III.
	 D)	 solo	I	y	II.
	 E)	 solo	II	y	III.
Cpech Preuniversitarios 15
ensayo Matemática 
30. Una receta consiste en agregar 5 cucharadas de polvos de hornear 
por cada 3 cucharadas de harina. Entonces,
	 I)	 si	se	agregan	A cucharadas de harina, se deben agregar 5A3 
cucharadas de polvos de hornear.
	 II)	 la	función	f(x)	=	 35 x representa la cantidad de cucharadas de 
polvos de hornear por cada x cucharadas de harina.
	 III)	 si	 se	 agregan	 4	 cucharadas	 de	 harina,	 se	 deben	 agregar	 6	
cucharadas de polvos de hornear.
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	II.
	 C)	 solo	I	y	II.
	 D)	 solo	I	y	III.
	 E)	 ninguna	de	ellas.
31.	 Si		 25
x
125 · 51 – 6x
 = 1, entonces el valor de x es
	 A)	 – 5
4
	 B)	 –	1	
	 C)	 	 2
7
	 D)	 	 1
2
	 E)	 	 5
8
Cpech Preuniversitarios16
Matemática 
en
sa
yo32.	 ¿Cuál	 de	 las	 siguientes	 funciones	 está	 mejor representada en el 
gráfico	de	la	figura?
 
y
x
3
1
– 1
	 A)	 f(x)	=	log	x – 1
	 B)	 g(x)	=	log2	(x	+	1)
	 C)	 h(x)	=	log 1
2
 (x	+	1)
	 D)	 j(x)	=	log2	(x	–	1)
	 E)	 k(x)	=	log 1
2
 (x	–	1)
33.	 Se	puede	determinar	el	dominio	de	la	función	real	g(x)	=	�mx + d, con 
m y d números reales, si:
	 (1)	 m	<	0
	 (2)	 d	=	2			
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
34.	 Sea	la	función	p(x)	=	1	–	x2, con x	en	los	reales.	Si	a es un número 
real	distinto	de	cero,	¿cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	
siempre	verdadera(s)?
	 I)	 p(1	–	a)	=	a2
	 II)	 p(3a)	=	9	•	p(a)
 
	 III)	 p(a	– 1)	=	
–	p(a)
a2
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 Ninguna	de	ellas.
Cpech Preuniversitarios 17
ensayo Matemática 
35. Si	$	m	se	invierten	al	i%	de	interés	compuesto	trimestral,	¿cuál	de	
las siguientes expresiones representa el capital acumulado al cabo 
de t años?
	 A)	 m	• (1 + i100 • t4 )
	 B)	 m	• (1 + i100 • 4t)
	 C)	 m	• (1 + i100 )
4t
	 D)	 m	• (1 + i100 )
t
	 E)	 m	• (1 + i100 )
t
4
36.	 Sea	la	función	real	f(x)	=	xa	+	1.	Es	correcto	afirmar	que	el	gráfico	de	
esta	función	tiene	forma	parabólica	si	f(2)	es	igual	a
	 I)	 		9
	 II)	 		5
	 III)	 17
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	II.
	 C)	 solo	I	y	II.
	 D)	 solo	II	y	III.
	 E)	 I,	II	y	III.
Cpech Preuniversitarios18
Matemática 
en
sa
yo37.	 En	la	figura,	los	puntos	R	y	S	son	simétricos	con	respecto	a	la	recta	L.	
La	abscisa	del	punto	S	siempre se puede expresar como
x
y
p
R
– 1
L
S
	 A)	 2p	+	1
	 B)	 2p
	 C)	 2p	+	2	
	 D)	 p	+	1
	 E)	 2p	–	1	
38.	 En	 el	 plano	 cartesiano	 de	 la	 figura,	 al	 girar	 el	 punto	Q	en	 90°	 con	
respecto	al	punto	R,	resulta	el	punto
– 1
2
– 3
1
y
x
Q
R
	 A)	 (6,	–	1)
	 B)	 (–	6,	0)
	 C)	 (2,	–	1)
	 D)	 (–	5,	–	2)
	 E)	 (–	4,	–	5)
39.	 Si	al	punto	(2,	3)	se	le	aplica	una	rotación	negativa	de	90º	con	respecto	
al	origen,	y	 luego	una	 traslación	según	el	vector	 (–	1,	6),	entonces	
¿cuál	es	el	nuevo	punto?	
		 A)	 (–	4,	8)	
	 B)	 (–	3,	2)	
	 C)	 (3,	–	2)	
	 D)	 (2,	4)	
	 E)	 (9,	–	1)
Cpech Preuniversitarios 19
ensayo Matemática 
40.	 En	el	rectángulo	ABCD	de	la	figura,	QP es paralelo con DA .	Si	DP y 
AQ	se	intersectan	en	R,	y	PC y QB	se	intersectan	en	S,	¿cuál	de	las	
siguientes parejas de triángulos es siempre congruente?
D Q
P
S
C
BA
R
	 A)	 ARD		y		CSB
	 B)	 APQ		y		BPQ
	 C)	 QSC		y		BSP
	 D)	 PSQ		y		PRQ
	 E)	 PBC		y		APQ
41.	 Sean	los	vectores	 a→ =	(2,	–	3)		y	 b→ =	(–	1,	–	p),	con	p un número real. 
Si	 a→ + b
→
 =	(1,	–	5),	¿cuál	es	el	valor	de	p? 
 
	 A)	 			2																							
	 B)	 			8	
	 C)	 –	2
	 D)	 –	4	
	 E)	 –	8
42.	 Sean	los	puntos	M(a,	2a)	y	P(2a,	a)	en	el	plano	cartesiano,	con	a	>	0.	
Entonces, 
	 I)	 al	girar	M	en	90°	con	respecto	a	P,	resulta	el	punto	(a,	0).
	 II)	 el	punto	simétrico	de	P	con	respecto	a	M	es	(3a,	0).
	 III)	 para	trasladar	M	a	la	posición	de	P	se	debe	aplicar	el	vector	(a,	–	a).
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	III.
	 B)	 solo	I	y	II.
	 C)	 solo	I	y	III.
	 D)	 solo	II	y	III.
	 E)	 I,	II	y	III.
Cpech Preuniversitarios20
Matemática 
en
sa
yo43.	 En	la	figura,	B	pertenecea	la	circunferencia	de	centro	O.	La	medida	
del arco AC es
C
O
A
B
80°
	 A)		 280°
	 B)		 160°
	 C)		 200°
	 D)		 		80°
	 E)		 		40°
44.	 En	la	figura,	L3 y L4 son transversales y L1 // L2. Entonces, siempre se 
cumple que
L3
L1
a
c
y
b
x k	• a
L2
L4	 I)	 x	+	y	=	2k	•	(b	+	c)
 
	 II)	 x
y
	=	k	• ( bc )
	 III)	 x	•	y	=	k	•	(b	•	c)
	 Es	(son)	verdadera(s)
	 A)	 solo	I.
	 B)	 solo	II.
	 C)	 solo	I	y	III.
	 D)	 I,	II	y	III.
	 E)	 ninguna	de	ellas.
Cpech Preuniversitarios 21
ensayo Matemática 
45. En	la	figura,	los	puntos	C	y	Q	pertenecen	al	segmento	RB	y	los	
segmentos	PQ	y	AC	se	intersectan	en	el	punto	T.	Si	PT	=	2	cm,	
RC	=	3	cm,	QB	=	4	cm	y	CTQ	es	un	triángulo equilátero de lado 
1 cm, entonces la medida de TA es
R
C
Q
BA
P
Ta
a
	 A)	
11
4 cm
	 B)	
7
5 cm
	 C)						6	cm
	 D)	
17
3 cm
	 E)						4	cm
46.	 En	la	figura,	la	recta	L1	es	tangente	en	F	a	la	circunferencia	e	intersecta	
en M a la recta L2,	que	corta	a	la	circunferencia	en	los	puntos	G	y	H.	
Si	FM	=	10	cm	y	HM	=	8	cm,	entonces	la	medida	de	GH es
MF
H
G
L2
L1	 A)	 		1,25	cm
	 B)	 		2	cm
	 C)	 		4,5	cm
	 D)	 		6	cm
	 E)	 12,5	cm
Cpech Preuniversitarios22
Matemática 
en
sa
yo47.	 En	la	figura,	QR corta en A y PQ	es	tangente	en	T	a	la	circunferencia	
de	centro	O	y	diámetro AB .	Si	PQ // RO y ∠	ROB	=	50º,	¿cuál	es	la	
medida del arco	AT?
P
T
Q
A
R
O
B
	 A)	 15º
	 B)	 20º
	 C)	 25º
	 D)	 40º
	 E)	 50º
48.	 En	la	figura,	AC ⊥ DB y AD ⊥ DC	.	Si		∠	CAD	=	60°,	¿cuál(es)	de	las	
siguientes	afirmaciones	es	(son)	siempre	verdadera(s)?
A C
D
B
	 I)	 BC	:	AB	=	3
	 II)	 DC	:	AD	= �3
	 III)	 AC	:	DB	=	4�3
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
49.	 En	la	figura,	Q	es	un	punto	del	segmento	PR.	Se	puede	determinar	la	
medida de PR , si:
	 (1)	 y	=	3
P Q R
x – y x + y
	 (2)	 PQ QR = 
1 
2
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios 23
ensayo Matemática 
50.	 Sea	la	recta	L:	px	+	qy	+	pq	=	0,	con	p y q números reales distintos 
de	 0.	 ¿Cuál(es)	 de	 las	 siguientes	 afirmaciones	 es	 (son)	 siempre 
verdadera(s)?
	 I)	 L	es	paralela	a	la	recta	y	=	
p 
q ⋅ x.
	 II)	 L	es	perpendicular	a	la	recta	y	=	
q 
p ⋅ x.
	 III)	 L	intersecta	al	eje	X	en	el	punto	(–	q,	0).
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 Solo	II	y	III
51.	 Si	p es un número real distinto de 0, entonces la ecuación de la recta 
que	pasa	por	los	puntos	(–	1,	2p)	y	(3,	–	2p)	es
 
	 A)	 y	=	–	px	+	p
	 B)	 y	=	–	2px	+	4p
	 C)	 y	=	–	px	+	3p		
	 D)	 y	=	px	+	2p
	 E)	 y	=	–	2px	–	2p
52.	 En	 la	 figura	 se	 muestra	 una	 homotecia	 de	 centro	 O	 y	 razón	 de	
homotecia	2,5,	que	transforma	al	segmento	AB	en	el	segmento	PQ.	Si	
AP	=	12	cm,	¿cuál	es	la	medida	de	OA?
O
B
Q
P
A
	 A)	 		4,8	cm
	 B)	 30	cm
	 C)	 		7,2	cm
	 D)	 18	cm
	 E)	 		8	cm
Cpech Preuniversitarios24
Matemática 
en
sa
yo53.	 En	la	figura,	PQRS	es	un	rectángulo	ubicado	en	el	plano	cartesiano.	
Si	 los	 vértices	 P	 y	 S	 están	 ubicados	 en	 los	 puntos	 (4,	 0)	 y	 (0,	 3),	
respectivamente,	entonces	la	abscisa	del	vértice	R	es
R
QS
P
x
y	 A)	 94
	 B)	 	6
	 C)	 	2
	 D)	 52
	 E)	 	3
54.	 Sean	las	rectas	en	el	plano	L1: px + 2y + q = 0 y L2: 6x + 3y + 10 = 0. 
Se	puede	afirmar	que	L1 y L2 se intersectan en un solo punto, si:
	 (1)	 q	≠	 203
	 (2)	 p	≠	4
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
55.	 Si	un	prisma	recto	tiene	10	caras,	¿cuántas	aristas	tiene	en	total?
	 A)	 		8
	 B)	 10
	 C)	 16
	 D)	 18
	 E)	 24
Cpech Preuniversitarios 25
ensayo Matemática 
56.	 Si	una	recta	L	en	el	espacio	corta	al	plano	XZ	en	el	punto	(1,	0,	2)	y	al	
plano	YZ	en	el	punto	(0,	2,	1),	entonces	dicha	recta	corta	al	plano	XY	
en el punto
	 A)	 (2,	1,	0)
	 B)	 (–	1,	4,	0)
	 C)	 (1,	–	4,	0)
	 D)	 (–	1,	2,	0)
	 E)	 (1,	2,	0)
57.	 Sean	R(–	2,	3	,	–	5)	y	S(1,	–	1,	–	4)	dos	puntos	en	el	espacio.	¿Cuál	
es	la	medida	del	segmento	RS?
	 A)	 				�6 
	 B)	 		�26 
	 C)	 		�18 
	 D)	 		�14 
	 E)	 �106 
58.	 Un	 envase	 cónico	 contiene	 un	 líquido,	 como	muestra	 la	 figura.	 Si	
todas	las	medidas	están	en	centímetros,	el	volumen	del	líquido	es
6
4
9	 A)	 12π cm3 
	 B)	 32π cm3 
	 C)	 36π cm3 
	 D)	 48π cm3 
	 E)	 64π cm3 
Cpech Preuniversitarios26
Matemática 
en
sa
yo59. La tabla adjunta muestra la cantidad de dólares con los que viajan 
algunos turistas en una determinada agencia de viaje.
Cantidad de dólares Frecuencia Frecuencia acumulada
[250, 350[ 8
[350, 450[ 29
[450, 550[ 29
[550, 650[ 50
[650,	750] 120
	 Con	 respecto	 a	 los	 datos	 de	 esta	 tabla,	 ¿cuál	 de	 las	 siguientes	
afirmaciones	es	FALSA?
	 A)	 La	marca	de	clase	del	cuarto	intervalo	es	600.
	 B)	 La	frecuencia	relativa	porcentual	del	segundo	intervalo	es	17,5%.
	 C)	 La	mediana	corresponde	al	intervalo	[450,	550[.
	 D)	 El	intervalo	modal	corresponde	al	intervalo	[550,	650[.
	 E)	 La	frecuencia	del	quinto	intervalo	es	12.
60. De	una	determinada	población	se	extrae	la	muestra	{3,4,5,6,m}.	Si	el	
promedio	de	dicha	población	es	4,5,	entonces	se	puede	afirmar	que	
el valor de m
	 A)	 es	igual	a	4,5.
	 B)	 es	mayor	que	4,5.
	 C)	 es	mayor	a	6.
	 D)	 es	menor	a	3.
	 E)	 no	se	puede	determinar.
Cpech Preuniversitarios 27
ensayo Matemática 
61. La tabla adjunta muestra el resultado de una prueba de velocidad 
máxima	que	se	realizó	a	un	grupo	de	autos.	¿Cuál(es)	de	las	siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
Velocidad
máxima [km/h] Frecuencia
[100, 120[ 4
[120, 140[ 7
[140, 160[ 14
[160, 180[ 20
[180,	200] 15
	 I)	 El	intervalo	modal	corresponde	a	[160,	180[.
	 II)	 La	mediana	se	encuentra	en	el	intervalo	[140,	160[.
	 III)	 La	muestra	tiene	60	datos.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
Cpech Preuniversitarios28
Matemática 
en
sa
yo62.	 El	gráfico	de	la	figura	muestra	la	distribución	de	la	edad	de	todas	las	
personas pertenecientes a una determinada empresa, según su sexo.
Mujer
Hombre
4.000
Cantidad
2.000
3.000
1.000
3.500
1.500
2.500
500
Edad
20 a 35
años
36 a 51
años
52 años
y más
	 ¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 
	 I)	 Considerando	 solo	 a	 las	 mujeres,	 el	 primer	 cuartil	 está	 en	 el	
intervalo de 20 a 35 años.
	 II)	 Considerando	 solo	 a	 los	 hombres,	 el	 primer	 cuartil	 está	 en	 el	
intervalo de 20 a 35 años.
	 III)	 Considerando	 a	 todas	 las	 personas	 de	 la	 empresa,	 el	 tercer	
quintil se encuentra en el intervalo de 36 a 51 años.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
	 E)	 Solo	II	y	III
Cpech Preuniversitarios 29
ensayo Matemática 
63. La tabla adjunta muestra la distribución de las edades de los jugadores 
de	una	liga	juvenil	de	fútbol,	con	x e y números enteros mayores que 
1, tal que x > y. 
Edad (años) Frecuencia
[10 – 12[ x – y
[12 – 14[ x + y
[14 – 16[ 2x
[16 – 18[ x
[18	–	20] 2y
	 Se	puede	determinar	la	cantidad	de	jugadores	de	la	liga,	si:
	 (1)	 La	frecuencia	del	intervalo	modal	es	10.
	 (2)	 El	intervalo	con	la	menor	cantidad	de	jugadores	tiene	frecuencia	2.
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios30
Matemática 
en
sa
yo64.	 Un	encuestador	consulta	a	diferentes	personas	acerca	de	las	veces	que	
consumen helado al mes. El estudio se lleva a cabo durante un mes, 
y el encuestador determina el promedio de consumo semanalmente, 
como	 se	 muestra	 en	 la	 tabla	 adjunta.	 ¿De	 qué	 manera	 se	 puede	
determinar el promedio de consumo de helado mensualconsiderando 
a todos los encuestados?
Semana Número de encuestados Promedio
1 25 3,5
2 40 3,8
3 30 3,1
4 25 3,3
	 A)	 Sumando	 todos	 los	valores	de	 la	columna	"Promedio"	y	 luego	
dividir ese resultado por 4.
	 B)	 Sumando	 todos	 los	valores	de	 la	columna	"Promedio"	y	 luego	
dividir ese resultado por la suma de todos los valores de la 
columna	"Número	de	encuestados".
	 C)	 Multiplicando	 cada	 valor	 de	 la	 columna	 "Semana"	 por	 el	
respectivo promedio obtenido en ella y luego sumar todos esos 
resultados.
	 D)	 Multiplicando	cada	valor	de	la	columna	"Número	de	encuestados"	
por su respectivo promedio, sumar todos esos valores y dividirlo 
por	la	cantidad	de	días	en	que	se	llevó	a	cabo	el	estudio.
	 E)	 Multiplicando	cada	valor	de	la	columna	"Número	de	encuestados"	
por su respectivo promedio, sumar todos esos resultados y 
dividirlo	por	la	suma	de	todos	los	valores	de	la	columna	"Número	
de	encuestados".
Cpech Preuniversitarios 31
ensayo Matemática 
65.	 Durante	 el	 primer	 semestre	 del	 colegio,	 las	 notas	 de	 Pablo	 en	 la	
asignatura	de	Historia	 fueron	2,5	–	6	–	3	–	7	–	6,5.	En	el	segundo	
semestre,	sus	notas	en	 la	misma	asignatura	 fueron	4,8	–	5	–	5,3	–	
5,2	–	4,7.	Respecto	a	esta	 información,	¿cuál(es)	de	 las	siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 Las	notas	de	Pablo	en	el	primer	semestre	son	más	dispersas	
que las del segundo semestre.
	 II)	 Las	 notas	 de	 Pablo	 del	 segundo	 semestre	 tienen	 menor	
desviación estándar que las del primer semestre.
	 III)	 Las	notas	de	Pablo	del	primer	semestre	tienen	mayor	rango	que	
las del segundo semestre.
	 A)	 Solo	III
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
66.	 Sea	A	un	conjunto	que	contiene	a	todos	los	números	primos	mayores	
que	3	y	menores	que	16.	¿Cuál	de	los	siguientes	valores	es	igual	a	la	
varianza del conjunto A?
	 A)	 100
	 B)	 	10
	 C)	
�344
5
	 D)	 �10
	 E)	 344 25
Cpech Preuniversitarios32
Matemática 
en
sa
yo67. A un grupo de estudiantes se les aplica un test, el cual es evaluado 
con	una	calificación	entre	1	y	7,	cuyos	resultados	se	muestran	en	la	
tabla	adjunta.	¿Cuál	es	la	desviación	estándar	de	las	calificaciones	de	
los alumnos?
Calificación Frecuencia
1 0
2 0
3 3
4 3
5 3
6 0
7 0
 
	 A)	 	0
	 B)	 � 23
	 C)	 	1
	 D)	 	3
	 E)	 �3
Cpech Preuniversitarios 33
ensayo Matemática 
68. Juan y Camila tienen una baraja de 5 cartas idénticas cada uno. En 
la baraja de Juan, tres cartas tienen la letra A y las otras dos tienen la 
letra B, mientras que en la baraja de Camila, dos cartas tienen la letra 
A y las otras tres tienen la letra B. Cada uno extrae una carta al azar, 
anota	el	resultado	y	devuelve	la	carta	a	su	respectiva	baraja.	Si	cada	
uno repite este proceso 20.000 veces, entonces, según la Ley de los 
Grandes	Números,	se	puede	afirmar	que
	 A)	 las	veces	que	Juan	extrajo	una	tarjeta	con	la	letra	A	son	mayores	
que las veces que Camila extrajo una tarjeta con esa letra.
	 B)	 es	 imposible	que	Juan	y	Camila	extraigan	solo	 tarjetas	con	 la	
letra B.
	 C)	 en	teoría,	Camila	debería	extraer	más	tarjetas	con	la	letra	A	en	
comparación con Juan.
	 D)	 tanto	Juan	como	Camila	deberían	extraer	teóricamente	la	letra	A	
un	60%	y	la	letra	B	un	40%	de	las	veces.
	 E)	 si	 se	 consideran	 todas	 las	 extracciones	 realizadas	 por	 Juan	
y	Camila,	 en	 teoría	 la	 letra	A	 se	 extraería,	 aproximadamente,	
20.000 veces.
69.	 Se	define	 la	 variable	aleatoria	X como el tiempo de vida útil de un 
determinado tipo de ampolleta, con una media de 1.000 horas de 
duración	y	una	desviación	estándar	de	20	horas.	Si	X se distribuye de 
forma	normal,	¿qué	porcentaje	de	las	ampolletas	tendrá	una	vida	útil	
superior a las 1.040 horas?
	 A)	 		2,3%
	 B)	 15,9%
	 C)	 97,7%
	 D)	 93,1%
	 E)	 84,1%
Cpech Preuniversitarios34
Matemática 
en
sa
yo70.	 Se	 tienen	n	 tarjetas	 de	 igual	 forma	 y	 tamaño,	 y	 se	 anota	 en	 cada	
tarjeta	una	letra	distinta.	Si	se	escogen	p tarjetas al azar, una a una y 
con	reposición,	y	se	escribe	la	palabra	formada	de	acuerdo	al	orden	
en	el	que	se	extraen,	¿cuántas	palabras	distintas,	con	o	sin	sentido,	
se	pueden	formar?
 
	 A)	 					pn
	 B)	 					np
	 C)	 				 n!p!
	 D)	 n!(n	–	p)!
	 E)	 	n	• p
71.	 Se	 tienen	 bolitas	 con	 las	 letras	 de	 las	 palabras	 PRECIPITAR y 
CHUBASCOS,	todas	de	igual	peso	y	tamaño.	Si	se	introducen	todas	
las	 bolitas	 en	 una	 caja	 y	 se	 escoge	 una	 al	 azar,	 ¿cuál(es)	 de	 las	
siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 La	probabilidad	de	obtener	una	vocal	es	menor	que	la	probabilidad	
de obtener una consonante.
	 II)	 Considerando	todas	las	letras,	 la	que	tiene	mayor	probabilidad	
de ser escogida es la letra C.
	 III)	 Todas	las	vocales	tienen	la	misma	probabilidad	de	ser	escogidas.
	 A)	 Solo	I	y	II
	 B)	 Solo	I	y	III
	 C)	 Solo	II	y	III
	 D)	 I,	II	y	III
	 E)	 Ninguna	de	ellas.
Cpech Preuniversitarios 35
ensayo Matemática 
72.	 Se	 realiza	un	experimento	que	consiste	en	 lanzar	simultáneamente	
tres	monedas	de	distinto	valor,	definiendo	la	variable	aleatoria	X como 
la	cantidad	de	caras	obtenidas.	¿Para	cuántos	elementos	del	espacio	
muestral se cumple que el valor de X asociado a ellos es 2?
	 A)	 8
	 B)	 1
	 C)	 4
	 D)	 3
	 E)	 2
73. En una caja hay 15 bolitas de billar numeradas del 1 al 15, todas de 
igual peso y tamaño. Un experimento consiste en sacar dos bolitas, una 
a	una	y	sin	reposición,	y	se	define	la	variable	aleatoria	X como la suma 
de	los	valores	extraídos.	¿Cuál	de	las	siguientes	parejas	de	números	
corresponden	al	mínimo	y	al	máximo	valor	que	puede	tomar	X?
	 A)	 3	y	30
	 B)	 3	y	29
	 C)	 2	y	29
	 D)	 2	y	30
	 E)	 1	y	15
74. Un alumno responde un examen en el que las preguntas tienen tres 
opciones,	una	sola	de	las	cuales	es	correcta.	Si	contesta	dos	de	las	
preguntas	al	azar,	¿cuál	es	la	probabilidad	de	que	solo	una	de	ellas	
esté correcta?
	 A)	 29
	 B)	 13
	 C)	 49
	 D)	 12
	 E)	 59 
Cpech Preuniversitarios36
Matemática 
en
sa
yo75.	 En	 una	 bolsa	 hay	 caramelos	 de	menta,	 piña	 y	 naranja.	 Se	 puede	
determinar la probabilidad de extraer al azar un caramelo de menta o 
de naranja, si:
	 (1)	 En	total	hay	50	caramelos	en	la	bolsa.
	 (2)	 La	probabilidad	de	extraer	un	caramelo	de	piña	es	 925 .
	 A)	 (1)	por	sí	sola.
	 B)	 (2)	por	sí	sola.
	 C)	 Ambas	juntas,	(1)	y	(2).
	 D)	 Cada	una	por	sí	sola,	(1)	ó	(2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.	
76. Al lanzar una moneda cargada, la probabilidad de obtener cara es de 
un	75%.	Si	la	moneda	se	lanza	100	veces,	¿cuál	es	la	probabilidad	de	
obtener exactamente 90 sellos?
	 A)	 (10090 ) ( 14 )
90
	 B)	 (9010 ) ( 14 )
10 ( 34 )
90
	 C)	 (9010 ) ( 14 )
90 ( 34 )
10
	 D)	 (10090 ) ( 14 )
10 ( 34 )
90
	 E)	 (10090 ) ( 14 )
90 ( 34 )
10
Cpech Preuniversitarios 37
ensayo Matemática 
77.	 Un	 investigador	 realiza	 un	 estudio	 sobre	 la	 cantidad	 de	 crías	 que	
puede	 llegar	 a	 tener	 una	 cierta	 especie	 de	 felino.	 El	 número	 de	
crías	 representa	 una	 variable	 aleatoria	 discreta	 x,	 cuya	 función	 de	
distribución	acumulada	es	F(x),	 representada	en	 la	 tabla	adjunta,	 y	
función	de	probabilidad	f(x).	¿Cuál	es	el	valor	de	f(5)?
Número de crías (x) F(x)
1 0,1
2 0,35
3 0,6
4 0,8
5 0,95
6 1
	 A)	 0,1
	 B)	 0,15
	 C)	 0,2
	 D)	 0,25
	 E)	 0,9
78.	 En	una	caja	hay	tres	fichas	negras	numeradas	del	1	al	3	y	seis	fichas	
rojas	numeradas	del	4	al	9.	Si	al	extraer	una	ficha	al	azar	resulta	un	
número	impar,	¿cuál	es	la	probabilidad	de	que	esa	ficha	sea	roja?
	 A)	 1 3
	 B)	 2 5
	 C)	 1 2
	 D)	 3 5
	 E)	 5 6
Cpech Preuniversitarios38
Matemática 
en
sa
yo79. En un dado de 20 caras congruentes, 10 de las caras tiene el número 
1, en 5 de las caras el número 2 y en sus caras restantes el número 3. 
Si	se	define	la	variable	aleatoria	X como el resultado del lanzamiento 
del	dado,	¿cuál	es	el	valor	esperado	(esperanza	matemática)para	X?
	 A)	 1,75
	 B)	 2
	 C)	 2,5
	 D)	 3,6
	 E)	 1,5
80. Sea	X	una	variable	aleatoria	discreta,	tal	que	su	función	de	probabilidad	es
 k	–	2n4 , si n = 2
 n	–	k	+	25 , si n = 5
3k	–	n	–	2
20 , si n = 6
 0 , si n es cualquier otro valor.
P(X	=	n)	=
	 ¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 k es igual a 3.
	 II)	 El	recorrido	de	X es {2, 5, 6}.
	 III)	 P(X	=	5)	es	mayor	que	P(X	=	6).
	 A)	 Solo	II
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
	 E)	 I,	II	y	III
Cpech Preuniversitarios 39
ensayo Matemática 
Mis apuntes
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Matemática 
en
sa
yo
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