Ensayo Cpech 054 - Matemáticas (2015) (E) - Antonia Salinas

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ENSAYO MT-054
SI
M
EX
4L
CA
02
58
6V
1
Matemática
EN
SC
ES
M
T0
54
-A
15
V1
Matemática 
1. Esta prueba consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán 
consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta 
tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una 
sola de las cuales es la respuesta correcta.
2. Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.	 Marque	su	respuesta	en	la	fila	de	celdillas	que	corresponda	
al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca 
completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. 
Hágalo	exclusivamente	con	lápiz	de	grafito.
4. NO se descuenta puntaje por respuestas erradas. 
5.	 Lea	atentamente	las	instrucciones	específicas	para	responder	
las preguntas Nº 74 a Nº 80 de esta prueba, en donde se 
explica la forma de abordarlas.
6.	 Las	 figuras	 que	 aparecen	 en	 la	 prueba	 NO	 ESTÁN	
necesariamente dibujadas a escala. 
7.	 Si	lo	desea,	puede	utilizar	este	folleto	como	borrador.
8. Cuide la hoja de respuestas. No la doble, ni la manipule 
innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y 
las respuestas.
9. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, 
porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier 
omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
INSTRUCCIONES
Matemática 
EN
SA
YO
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 
1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que 
puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2.	 Las	figuras	que	aparecen	en	el	modelo	son	solo	indicativas.
3.	 Los	gráficos	que	se	presentan	en	este	modelo	están	dibujados	
en un sistema de ejes perpendiculares.
4.	 Se	entenderá	 por	 dado	 común,	 a	 aquel	 que	posee	6	 caras,	
donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son 
equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.
6. Los números complejos i y – i son las soluciones de la ecuación 
x2 + 1 = 0.
7.	 Si	z	es	un	número	complejo,	entonces	z es su conjugado y |z| 
es su módulo.
8.	 Si	Z	es	una	variable	aleatoria	continua,	tal	que	Z	∼ N(0, 1) y 
donde	la	parte	sombreada	de	la	figura	representa	a	P(Z ≤ z), 
entonces	se	verifica	que:
0 z Z
z P(Z ≤ z)
0,67 0,749
0,99 0,839
1,00 0,841
1,15 0,875
1,28 0,900
1,64 0,950
1,96 0,975
2,00 0,977
2,17 0,985
2,32 0,990
2,58 0,995
 
Cpech Preuniversitarios 3
ENSAYO Matemática 
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
< es menor que ≅ es congruente con
> es mayor que ∼ es semejante con
≤ es menor o igual a ⊥ es perpendicular a
≥ es mayor o igual a ≠ es distinto de
 ángulo recto // es paralelo a
∠ ángulo ∈ pertenece a
log logaritmo en base 10 AB trazo AB
∅ conjunto vacío |x| valor absoluto de x
ln logaritmo en base e x! factorial de x
∪ unión de conjuntos ∩ intersección de conjuntos
Ac complemento del conjunto A u→ vector u
Cpech Preuniversitarios4
Matemática 
EN
SA
YO1.	 ¿Cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	NO es siempre verdadera?
 A) La suma entre un número natural múltiplo de 12 y un número 
natural múltiplo de 18 es múltiplo de 6.
 B) El producto entre dos números naturales múltiplos de 15 es 
múltiplo de 9.
 C) La suma de dos números naturales múltiplos de 7 es múltiplo de 
14.
 D) El cuadrado de un número natural múltiplo de 8 es múltiplo de 4.
 E) El producto entre un número natural múltiplo de 16 y un número 
natural múltiplo de 5 es múltiplo de 10.
2. La expresión ( 12x + 12 ) es siempre equivalente a
 A) 2
x + 1 + 2
2 
 B) 
2
2x 
 C) 2
x + 2
2x
 D) 2
x + 1
2 
 E) 2
x + 2
2x + 1
3. Los 25 del quíntuple de la cuarta parte de 200 es 
 A) 4
 B) 20
 C) 100
 D) 250
 E) 400
Cpech Preuniversitarios 5
ENSAYO Matemática 
4. El valor de la expresión log2 (�22 ) es
 A) – 1
2
 
 B) 1
2
 
 C) 1
 D) – 2
 E) 0
5.	 Si	a	un	atleta	 le	 faltaron	20	metros	para	alcanzar	a	dar	4	vueltas	a	
una pista rectangular de 80 metros de largo por 60 metros de ancho, 
entonces ¿cuántos metros recorrió?
 A) 200 
 B) 260
 C) 1.100
 D) 19.120
 E) 19.180
6.	 Si	m es un número impar positivo, n es un número par negativo, p es 
un número par positivo y q es un número impar negativo, ¿cuál de 
las siguientes expresiones corresponde siempre a un número impar 
negativo?
 A) (q – m) • (m + p) 
 B) (m – n) • (p – n) 
 C) (n + q) • (q – p) 
 D) (p – q) • (n – m) 
 E) (n – p) • (m – q) 
Cpech Preuniversitarios6
Matemática 
EN
SA
YO7. 645 + 645 =
 
 A) 231
 B) 230
 C) 250
 D) 220
 E) 226
8.	 ¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	FALSA(S)?
 I) La suma de dos números pares consecutivos siempre es 
divisible por 2.
 II) La diferencia positiva de dos números impares consecutivos 
siempre es divisible por 3.
	 III)	 Todo	 número	 entero	 que	 es	 divisible	 por	 4	 y	 por	 3	 a	 la	 vez,	
siempre es divisible por 2.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	I	y	II
	 E)	 Solo	I	y	III
9.	 Si	m	>	0,	entonces	log	(100m)100 es igual a
 A) 10.000 • log m
 B) 100 • (2 + log m)
 C) 100 · (2 + m)
 D) 2 • (2 + m)
 E) 2 • (2 + log m)
Cpech Preuniversitarios 7
ENSAYO Matemática 
10. Si	18
7
 < �7 < 8
3
 ¿entre qué números se encuentra el valor de
 
 4
�7 – 2
?
 
 A) Entre 3 y 4.
 B) Entre 4 y 5.
 C) Entre 5 y 6.
 D) Entre 6 y 7.
 E) Entre 7 y 8.
11. La expresión (2– 1 – �2)2 representa a un número
 A) irracional positivo.
 B) irracional negativo.
 C) racional positivo.
 D) racional negativo.
 E) imaginario.
12.	 Si	a y b son números positivos, entonces la igualdad
 (�a	–	x + �b	+	x = �a	 + �b ) es siempre verdadera si
 I) x = 0
 II) x = a + b
 III) x = a – b 
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo III.
 C) solo I y II.
 D) solo I y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios8
Matemática 
EN
SA
YO13. En	la	recta	numérica	de	la	figura,	la	razón	 FG
GH 
 es igual a
 A) 12 
F
2
G
2�2
H
�2
 B) �2	2 
 C) 11 
 D) �2	1 
 E) 21 
14.	 Si	log16 5 es aproximadamente 
3
5
 , ¿cuál de los siguientes valores es 
el más cercano a log16 80?
 A) 4
5
 B) 8
5
 
 C) 5
 D) 48
5
 E) 10
Cpech Preuniversitarios 9
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15. Un cuadrado de lado m tiene una diagonal de medida p. ¿Cuál de las 
siguientes expresiones representa siempre a un número irracional?
 A) m + p
 B) m2 + p
 C) m
p
 
 D) m ⋅ p
 E) m + p2
16.	 Sea	z	un	número	complejo.	Si	el	conjugado	de	z se multiplica por el 
inverso aditivo de z, siempre resulta 
 A) el inverso aditivo del cuadrado del módulo de z.
 B) el módulo de z.
 C) el cuadrado del módulo de z.
 D) el inverso aditivo del módulo de z.
 E) ninguno de los resultados anteriores.
17.	 Si	p	=	4	–	3i,	entonces	2p	• (1 – p) es igual a
 A) – 24 – 18i
 B) – 15 + 33i
 C) – 42 – 6i
 D) – 18 + 24i
 E) – 6 + 42i
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EN
SA
YO18. 2(a + b)(a – b) =
 A) 2a2 – b2
 B) 2a2 – 2b2
 C) 4a – 2b
 D) 4a – 4b
 E) 4a2 – b2
19. La expresión (a + 2b) • (2b – a) es equivalente a
 
 A) 4b2 – a2 
 B) a2 – 4b2
 C) 2b2 – 2a2
 D) 2b2 – a2
 E) a2 – 2b2
20. Si	el	cuádruple	del	antecesor	de	(n	+	a)	es	igual	al	triple	del	sucesor	
de (n + a), con a y n números enteros, entonces el valor de n es
 A) – a – 1
 B) – a
 C) 7a + 3
 D) – a + 7
	 E)	 un	valor	que	NO	depende	de	a.
Cpech Preuniversitarios 11
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21. En el sistema 2p – q = m
 p – 3q = 5m
 , el valor de q es
 A) – 3m2
 B) – 9m5
 C) – 2m5
 D) 9m7
 E) 6m5
22.	 De	acuerdo	a	la	ecuación	P	=	5	–	 2
x2
, con x ≠	0		y		P	≠ 5, ¿cuál(es) de 
las siguientes afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
	 I)	 –	P	=	–	5	–	 2
x2
 
	 II)	 –	Px	=	–	5x	+	 2
x 
 III) x2 = – 2
P	–	5
 
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
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EN
SA
YO23.	 Si	m	• n = – 5 y m + n = 2, entonces una ecuación de segundo grado 
que tienea m y n como raíces (o soluciones) es 
 
 A) x2 + 5x + 2 = 0
 B) x2 + 2x – 5 = 0
 C) x2 – 5x + 2 = 0
 D) x2 – 2x + 5 = 0
 E) x2 – 2x – 5 = 0
24. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 – (k + 10)x + (10k – 2) = 0 
para que el producto de las raíces sea 58?
 A) – 48 
 B) – 6
 C) 6
 D) 48
 E) 68
25.	 El	 gráfico	 que	 representa	 a	 los	 números	 que	 están	 a	 lo	 más	 a	 5	
unidades del 4 es
 A) 
– 1 9
 B) 
– 1 9
 C) 
9
 D) 
4
 E) 
4 9 
Cpech Preuniversitarios 13
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26.	 Sea	M	=	4	–	2b,	con	b	un	número	real.	Si		–	7	≤	b	≤	1,	¿qué	valores	
puede tomar M?
	 A)	 Solo	los	valores	entre	el	3	y	el	11,	ambos	incluidos.
	 B)	 Solo	los	valores	entre	el	2	y	el	18,	ambos	incluidos.
	 C)	 Solo	los	valores	entre	el	–	10	y	el	2,	ambos	incluidos.			
	 D)	 Todos	los	valores	menores	o	iguales	que	18.
	 E)	 Todos	los	valores	menores	o	iguales	que	2.
27.	 El	conjunto	solución	de	la	inecuación	x	–	4	≤	5(x + 2)
2
 es
 A) – 94 	,	+	∞
 B) – 103 	,	+	∞
	 C)	 [–	2,	+	∞[
	 D)	 [–	6,	+	∞[
	 E)	 [6,	+	∞[
28.	 Para	realizar	una	faena	de	extracción,	una	empresa	minera	utiliza	tres	
días en la instalación de sus equipos y luego dos días por cada tonelada 
de material que deba extraer. ¿Cuál es la función que representa la 
cantidad total de días que utilizará la empresa en una faena donde 
debe extraer x toneladas de material?
 A) f(x) = 5x
 B) g(x) = 6x
 C) h(x) = 3x + 2
 D) m(x) = x + 5
 E) p(x) = 2x + 3
Cpech Preuniversitarios14
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EN
SA
YO29.	 Sea	la	función	f(x)	=	 x + 11 – x , con x un número real distinto de 1. 
	 Si	a es un número mayor que 1, entonces, f(f(a)) es igual a
 A) – 1a
 B) – 1
 C) 11 – a 
 D) – a
 E) 1a 
30.	 La	función	que	representa	a	la	recta	de	la	figura	es
y
x
a
a
 A) f(x) = x – 1
 B) g(x) = – x – 1
 C) h(x) = x – a
 D) m(x) = – x + a
 E) n(x) = – ax + a
31.	 Todos	 los	números	reales	x para los cuales h(x) = �100 – x2 es un 
número real, son aquellos que satisfacen que
	 A)	 x	≤	100
 B) x < 10
	 C)	 x	≥	–	10
	 D)	 –	10	≤	x	≤	10
	 E)	 x	≤	10
Cpech Preuniversitarios 15
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32.	 Del	 gráfico	 de	 la	 función	 real	 	 f(x)	 =	 log( 14x ), con x > 0, se puede 
afirmar	que
 I) es decreciente.
 II) corta al eje de las abscisas en x = 14 .
 III) pasa por el punto ( 52 , – 1).
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo I y III.
 D) solo II y III.
 E) I, II y III.
33. En el comportamiento del crecimiento de una población de bacterias, 
se observa que la cantidad de bacterias se duplica cada tres minutos. 
Si	 inicialmente	 hay	 5.000	 bacterias,	 ¿cuál(es)	 de	 las	 siguientes	
afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) Dentro de 3 minutos habrá 10.000 bacterias.
 II) Dentro de 6 minutos habrá 15.000 bacterias.
 III) Dentro de media hora habrá 5.000 · 210 bacterias.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
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EN
SA
YO34. El máximo valor que alcanza la función real g(x) = (m – x)·x es
 A) m
 B) m
2
4 
 C) m
2 
 D) – m
2
4 
 E) m
2
2 
35.	 Sean	las	funciones	p(x)	=	–	x2 y h(x) = x3, con x en los reales. ¿Cuál 
es el intervalo de todos los valores de x donde se cumple que
 p(x) > h(x)? 
 A) ]– 1, + ∞[
 B) ]– ∞, 0[
 C) ]– ∞, – 1[
 D) ]– 1, 0[
 E) ∅
36. ¿Cuál de las siguientes alternativas explica mejor la relación que 
existe entre dos triángulos congruentes?
	 A)	 Tienen	sus	tres	lados	respectivamente	proporcionales.
	 B)	 Tienen	sus	tres	ángulos	interiores	respectivamente	congruentes.
	 C)	 Tienen	la	misma	forma.
	 D)	 Tienen	igual	área.
	 E)	 Tienen	sus	tres	lados	respectivamente	congruentes.
Cpech Preuniversitarios 17
ENSAYO Matemática 
37.	 Si	al	punto	A(3,	–	2)	se	le	aplica	una	simetría	axial	con	respecto	al	eje	
X, se obtiene el punto
 
 A) (3, 2) 
 B) (2, – 3)
 C) (– 3, – 2) 
 D) (– 3, 2)
 E) (– 2, 3) 
38. ¿Cuál es el vector de traslación que lleva un punto desde la posición 
(2, – 1) a la posición (5, 2)?
 A) (3, – 1)
 B) (– 3, 3)
 C) (3, 3)
 D) (3, – 3)
 E) (– 3, 1) 
39.	 En	el	cuadrilátero	ABCD	de	la	figura,	AD ≅ DC y AB ≅ BC .	Si		AC y 
DB son diagonales, ¿cuál de las siguientes congruencias es FALSA?
A
D
B
P C
 A) AP ≅ PC 
 B) ∠	DPA	≅ ∠	CPD
 C) Δ	APB	≅ Δ	CPB
 D) ∠	BAP	≅ ∠	PDC
 E) ∠	PBA	≅ ∠	CBP
Cpech Preuniversitarios18
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EN
SA
YO40. Al punto (– 2, – 3) se le aplica una traslación obteniendo el punto (1, – 4). 
Si	al	punto	(–	4,	1)	se	le	aplica	la	misma	traslación,	se	obtiene	el	punto
 A) (– 3, – 3)
 B) (– 1, – 2)
 C) (– 1, 0)
 D) (3, – 5)
 E) (– 7, 2)
41.	 En	la	figura,	ABCD	es	un	cuadrado	cuyas	diagonales	son AC y BD. 
¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) Los puntos D y B son simétricos con respecto al segmento AC.
 II) AB y DC son simétricos con respecto al punto E.
 III) AC = a�2 .
D C
A
E
a
B
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
42.	 Si	al	punto	(1,	–	7),	en	el	plano	cartesiano,	se	le	aplica	una
 I) traslación de 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia 
arriba, resulta el punto (5, – 4).
 II) rotación de 270° en sentido antihorario, con respecto al origen, 
resulta el punto (– 7, – 1).
 III) simetría con respecto al eje Y, resulta el punto (– 1, – 7).
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo III.
 C) solo I y II.
 D) solo II y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios 19
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43.	 En	la	circunferencia	de	centro	O	de	la	figura,	el	arco	DA	mide	120º.	Si		
DB y AC son diámetros, la medida del ángulo x es
B
A
C
D
O x
 A) 30º
 B) 50º
 C) 60º
 D) 80º
 E) 120º
44.	 En	el	triángulo	ABC	de	la	figura,	AB // DE.	Si	CD	=	5,	DA	=	9	y	DE	=	4,	
entonces el valor de AB es
BA
C
D E
 A) 36 5
 
 B) 56 5
 C) 45 4
 D) 35 2
 E) 35 4
45.	 En	la	figura,	el	triángulo	ABC	es	rectángulo	en	C	y	CD ⊥ AB . ¿Cuál es 
el valor de CD ?
A B
C
D
6 8
 A) 75
 B) � 245
 C) 14
�28
 D) 245
 E) 145
Cpech Preuniversitarios20
Matemática 
EN
SA
YO46.	 En	la	circunferencia	de	la	figura,	¿cuánto	mide	el	ángulo	x?
x
p
2p + 30º
p + 10º
 A) 40º
 B) 45º
 C) 55º 
 D) 90º
 E) Ninguna de las medidas anteriores.
47.	 En	la	circunferencia	de	la	figura,	AB y CD son cuerdas, AB = 20 cm, 
DE = 7 cm y	EC	=	12	cm.	Si	AE > EB, ¿cuánto mide AE ?
D
B
A
C
E
 A) 4 cm
 B) 6 cm
 C) 8 cm
 D) 14 cm
 E) 21 cm
48.	 En	la	figura,	PQ es tangente a la circunferencia en el punto Q y PA es 
secante. ¿Cuál es el valor del segmento AB?
A
Q
P
B
16
8
 A) 24
 B) 32
 C) 64
 D) 96
 E) 192
Cpech Preuniversitarios 21
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49.	 ¿Cuál(es)	de	las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
 I) En un triángulo rectángulo cualquiera, la altura correspondiente a 
la hipotenusa divide al triángulo en otros dos que son semejantes 
entre sí y semejantes con el triángulo original.
	 II)	 Si	 dos	 triángulos	 tienen	 dos	 de	 sus	 ángulos	 respectivamente	
congruentes, entonces son triángulos semejantes.
 III) En dos triángulos semejantes, la razón entre sus áreas 
corresponde al cuadrado de la razón entre sus lados homólogos.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) I, II y III
50.	 Si	el	punto	(2,	–	1)	pertenece	a	la	recta	de	ecuación	nx	–	3y	=	7,	¿cuál	
es el valor de n?
 A) 5
 B) 2
 C) – 2
 D) – 5
 E) – 10
51.	 Sean	L1:	py	+	1	=	x	+	p		y		L2:	x	+	y	=	1		dos	rectas	en	el	plano.	Se	
puede	afirmar	que
 I) si p = 0, entonces la recta L1 es paralela al eje X.
 II) si p = 1, entonces la recta L1 es perpendicular a la recta L2.
 III) si p = – 1, entonces la recta L1 es paralela a la recta L2.
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo III.
 C) solo I y II.
 D) solo II y III.
 E) I, II y III.
Cpech Preuniversitarios22
Matemática 
EN
SA
YO52. La diferencia de medida entrelas aristas de dos cubos es de 2 cm. 
Si	la	arista	del	cubo	menor	mide	x cm, ¿cuál es la diferencia positiva 
entre sus volúmenes? 
 A) 8
 B) 6x2 – 12x – 8
 C) 6x2 + 12x + 8
 D) 4x2 – 4
 E) 4x2 + 4
53.	 Si	un	cuadrado	de	lado	2	se	gira	indefinidamente	en	torno	a	una	de	
sus diagonales, se forma un cuerpo geométrico cuya área total es
 A) 2�2π
 B) 4�2π
 C) 2�2π 
3
 D) 8�2π
 E) 4�2π 
3
54.	 En	el	sistema	tridimensional	de	la	figura	se	ubican	los	puntos	A(1,	0	,	0),	
B(0,	1,	0),	C(0,	0,	1)	y	D(1,	0,	1).	¿Cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	
es FALSA?
C
D
A
B y
x
z
 A) Δ DBC ≅ Δ DBA
 B) AD ⊥ AB 
 C) ∠ ADC ≅ ∠ DCB
 D) ∠ CBA = 60º
 E) DC // AB 
Cpech Preuniversitarios 23
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55. En una muestra estadística, calcular el segundo quintil siempre es 
equivalente a calcular
 I) el percentil 60.
 II) el tercer cuartil.
 III) la mediana
 Es (son) verdadera(s)
 A) solo I.
 B) solo II.
 C) solo III.
 D) solo I y II.
 E) ninguna de ellas.
56. La tabla adjunta muestra la distribución de edades de un grupo de 
personas, en años cumplidos, agrupadas en intervalos. ¿Cuál(es) de 
las	siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
Edad (años) Frecuencia
[17 – 19] 16
[20 – 22] 8
[23 – 25] 6
 I) El promedio (o media aritmética) obtenido a partir de la marca de 
clase es 20.
 II) El intervalo donde se encuentra la moda es [17, 19].
 III) El intervalo donde se encuentra la mediana es [20, 22].
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	I	y	II
	 C)	 Solo	I	y	III
 D) I, II y III
 E) Ninguna de ellas.
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Matemática 
EN
SA
YO57. En la tabla adjunta se muestra una distribución de frecuencias para 
tres datos. La frecuencia acumulada del dato B es
Dato Frecuencia Frecuenciaacumulada
A 14
B n + 2
C n 36
 A) 10
 B) 12
 C) 19
 D) 22
 E) 26
Cpech Preuniversitarios 25
ENSAYO Matemática 
58.	 El	 gráfico	 de	 la	 figura	 muestra	 el	 número	 de	 niños	 por	 familia	 en	
un	 condominio.	 ¿Cuál(es)	 de	 las	 siguientes	 afirmaciones	 es	 (son)	
verdadera(s)?
6
5
4
3
2
1
1 2 3 40
Nº familias
Nº niños
 I) La moda de los niños por familia es 2.
 II) La media aritmética (o promedio) de los niños por familia es 2.
 III) 2 3 de las familias del condominio NO tienen niños.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	II
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	I	y	III
 E) I, II y III
Cpech Preuniversitarios26
Matemática 
EN
SA
YO59.	 Según	la	tabla	de	distribución	de	frecuencias	adjunta,	¿cuál(es)	de	las	
siguientes	afirmaciones	es	(son)	verdadera(s)?
Dato Frecuencia
1 20
2 15
3 35
4 30
 I) El percentil 30 es 4.
 II) El cuartil 3 es 3. 
 III) El decil 8 es 1.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	II
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) Ninguna de ellas.
60. Un conjunto de números tiene 10 elementos, los que toman solamente 
el valor 1 o 2. ¿Cuál(es) de los siguientes parámetros del conjunto se 
puede(n) calcular solo con los datos entregados?
 I) La media aritmética (o promedio).
 II) La varianza.
 III) El rango.
	 A)	 Solo	I
	 B)	 Solo	III
	 C)	 Solo	I	y	III
	 D)	 Solo	II	y	III
 E) Ninguno de ellos.
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ENSAYO Matemática 
61. La tabla adjunta representa la distribución de frecuencias de un dato 
en una población. ¿Cuál es la varianza de dicho dato?
 
Dato Frecuencia
6 2
9 1
 A) 2
 B) 3
 C) 4
 D) 6
 E) 7
62.	 Sea	el	conjunto	M	=	{(p	–	1),	(p	+	1)},	con	p un número natural. ¿Cuál 
de	las	siguientes	afirmaciones	es	verdadera?
 A) La varianza de M es 0. 
 B) La desviación estándar de M es igual a la varianza de M.
 C) La varianza de M depende del valor de p.
 D) La varianza de M es mayor que la desviación estándar de M.
 E) La desviación estándar de M es 2.
63.	 Sea	 X una variable aleatoria con función de probabilidad normal 
tipificada	P.	Si	P(X	≤	a)	=	 5 8 ,	entonces	el	valor	de	P(–	a	≤	X	≤	a)	es	
 A) 1 4
 B) 5 16
 C) 3 8
 D) 3 4
 E) 13 16
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Matemática 
EN
SA
YO64.	 Si	la	probabilidad	de	que	un	suceso	ocurra	es	a, ¿cuál es la probabilidad 
de que dicho suceso NO ocurra?
 A) 0
 B) 1
 C) 1a
 D) a – 1
 E) 1 – a
65. En un programa de televisión, el 20% de las personas del público son 
hombres	y	el	 resto	son	mujeres.	Si	 se	elige	al	azar	a	una	persona	
entre el público, ¿cuál es la probabilidad de que esta persona sea un 
hombre?
 A) 4 5
 B) 2 5
 C) 1 10
 D) 1 50
 E) Ninguna de las probabilidades anteriores.
66. ¿Cuántos números distintos de tres cifras pueden escribirse, de 
manera que la primera cifra sea un número mayor que 5 y la segunda 
cifra sea un número menor que 3?
 A) 8
 B) 64
 C) 80
 D) 120
 E) 150
Cpech Preuniversitarios 29
ENSAYO Matemática 
67. Si	la	probabilidad	de	extraer	al	azar	una	bolita	roja	de	una	caja	es	 25 , ¿cuál 
de las siguientes alternativas presenta la cantidad de bolitas blancas y 
rojas, todas de igual peso y tamaño, que podría haber en la caja?
 A) 10 blancas y 50 rojas.
 B) 20 blancas y 50 rojas.
 C) 20 blancas y 30 rojas.
 D) 30 blancas y 20 rojas.
 E) 50 blancas y 20 rojas.
68. Un jugador de fútbol, cuando patea un penal, tiene una probabilidad 
de 45 	de	anotar.	Si	patea	dos	penales,	¿cuál	es	 la	probabilidad	de	
anotar el primero de ellos y fallar el segundo?
 A) 425
 B) 825
 C) 12
 D) 1
 E) 45
Cpech Preuniversitarios30
Matemática 
EN
SA
YO69. En una baraja de 48 naipes se tienen oros, bastos, espadas y copas. 
Cada uno de estos grupos consta de doce cartas numeradas del 1 
al	12.	Si	se	extraen	dos	cartas	al	azar,	una	tras	otra	y	sin	reposición,	
¿cuál es la probabilidad de obtener primero un 9 y luego un 5? 
 A) 448 + 
4
48 
 B) 448 + 
4
47 
 C) 448 ⋅ 
4
48 
 D) 448 ⋅ 
4
47 
 E) 448 ⋅ 
3
47 
70.	 Se	lanzan	tres	veces	un	dado	común.	¿Cuál	es	la	probabilidad	de	que	
la suma de sus caras sea 15?
 A) 5108
 B) 124
 C) 172
 D) 1
36
 E) 1
16
Cpech Preuniversitarios 31
Matemática ENSAYO
71. En una caja se tienen cinco bolitas marcadas con el número 1, cuatro 
bolitas marcadas con el número 2, tres bolitas marcadas con el número 
3, dos bolitas marcadas con el número 4 y una bolita marcada con el 
número	 5,	 todas	 de	 igual	 peso	 y	 tamaño.	 Si	 se	 escoge	 una	 bolita	
al azar de la caja y la variable aleatoria X corresponde al número 
marcado en la bolita, ¿cuál de las siguientes expresiones representa 
a	la	función	de	probabilidad	P(X	=	n)?
 A) 25 – 
n
15
 B) 1n 
 C) n15
 D) 6 – n15
 E) 5n 
72. En una sala hay 26 hombres y 24 mujeres. La mitad de las mujeres 
está	casada	y	18	de	los	hombres	no	está	casado.	Si	entre	las	personas	
casadas se escoge una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea 
hombre?
 A) 425
 B) 413
 C) 25
 D) 12
 E) 910
Cpech Preuniversitarios32
Matemática 
EN
SA
YO73.	 Se	tiene	un	dado	de	cuatro	caras,	con	sus	caras	numeradas	del	1	al	
4.	Un	experimento	consiste	en	lanzar	el	dado	dos	veces	y	se	define	
la variable aleatoria X como la suma de los resultados de ambos 
lanzamientos.	 Si	 P	 corresponde	 a	 la	 función	 de	 probabilidad	 en	 el	
experimento	descrito,	¿cuál	es	el	valor	de	P(3	≤	X	≤	5)?
 A) 17
 B) 316
 C) 37
 D) 12
 E) 916
Cpech Preuniversitarios 33
Matemática ENSAYO
Instrucciones para las preguntas Nº 74 a la Nº 80
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, 
sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema 
más	los	indicados	en	las	afirmaciones	(1)	y	(2)	son	suficientes	para	llegar	
a esa solución.
Usted	deberá	marcar	en	la	hoja	de	respuestas	la	letra:
A) (1) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (1)	 por	 sí	 sola	 es	 suficiente	 para	
responder	a	la	pregunta,	pero	la	afirmación	(2)	por	sí	sola	no	lo	es;
B) (2) por sí sola,	 si	 la	 afirmación	 (2)	 por	 sí	 sola	 es	 suficiente	 para	
responder	a	la	pregunta,	pero	la	afirmación	(1)	por	sí	sola	no	lo	es;	
C) Ambas juntas, (1) y (2),	 si	 ambas	 afirmaciones	 (1)	 y	 (2)	 juntasson	 suficientes	 para	 responder	 a	 la	 pregunta,	 pero	 ninguna	 de	 las	
afirmaciones	por	sí	sola	es	suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2),	si	cada	una	por	sí	sola	es	suficiente	
para	responder	a	la	pregunta;
E) Se	requiere	información	adicional,	si	ambas	afirmaciones	juntas	son	
insuficientes	para	responder	a	la	pregunta	y	se	requiere	información	
adicional para llegar a la solución.
74.	 Sean	a y b	números	enteros.	Se	puede	determinar	que	( a + b 3 ) es un número	par	si:
 (1) a es el quíntuple de b.
 (2) (a + b) es múltiplo de 3.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios34
Matemática 
EN
SA
YO75. Sea		x	+	y	=		12.	Se	puede	determinar	el	valor	numérico	de	y	si:
 (1) 3x + 3y = 36
 (2) 2x – 3y = – 21 
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
76.	 En	la	figura,	el	triángulo	ABC	es	equilátero	y	B	está	en	el	segmento	AR.	
Se	puede	afirmar	que	el	triángulo	ABC	es	semejante	con	el	triángulo	
PQR	si:
A B R
C
Q P
	 (1)	 El	triángulo	PQR	es	equilátero.
	 (2)	 El	segmento	AR	es	paralelo	con	el	segmento	QP.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios 35
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77. En una caja se tienen N tarjetas de la misma forma y tamaño, con N > 3, 
con	un	número	escrito	en	cada	una	de	ellas.	Se	realiza	el	experimento	
de	extraer	dos	tarjetas	al	azar	y	se	define	la	variable	aleatoria	X como 
el producto de los dos números obtenidos. Es posible determinar los 
valores que puede tomar la variable X	si:
 (1) N = 20.
 (2) Dos tarjetas tienen escrito el número 1 y el resto tiene escrito el 
número 2.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
78.	 Sea	una	parábola	cuya	función	es	f(x)	=	x2 + mx + n, con x en los reales. 
Se	pueden	determinar	los	puntos	de	intersección	de	la	parábola	con	
los	ejes	si:
 (1) m = 4
 (2) n = – 5
 
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
Cpech Preuniversitarios36
Matemática 
EN
SA
YO79.	 Sean	 P(3,	 7)	 y	 Q	 dos	 puntos	 en	 el	 plano.	 Se	 puede	 calcular	 las	
coordenadas	del	punto	Q	si:
	 (1)	 P	y	Q	pertenecen	a	una	recta	que	es	paralela	al	eje	Y.
	 (2)	 P	y	Q	están	a	dos	unidades	de	distancia.
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
80.	 Sea	X una variable aleatoria con distribución normal de promedio μ 
y	desviación	estándar	σ.	Se	puede	calcular	la	probabilidad	de	que	X 
tome	un	valor	mayor	que	2	si:
 (1) μ = 0
 (2) σ = 1
 A) (1) por sí sola.
 B) (2) por sí sola.
 C) Ambas juntas, (1) y (2).
 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
	 E)	 Se	requiere	información	adicional.
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