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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa Departamento de Matemática Campus Santiago GUIA 1 - Integrales Múltiples 1. Calcular las siguientes integrales dobles: (a) ∫ 4 1 ∫ 5 2 (x2 − y2 + xy − 3) dxdy (b) ∫ 2 0 ∫ 2 −3 (x3 + 2x2y − y3 + xy) dxdy (c) ∫ 2 0 ∫ 2 1 x√ 1 + x2 + y2 dxdy (d) ∫∫ D xy(x+ y) dxdy donde D = [0, 1] × [0, 1]. (e) ∫∫ D | cos(x+ y)| dxdy donde D = [0, π] × [0, π] 2. Grafique la región D e invierta el orden de integración. Integre. (a) ∫ π 0 ∫ asenθ 0 ρ dρ dθ (b) ∫ a 0 ∫ √a2−x2 0 x dydx (c) ∫ 2 −2 ∫ √4−x2 − √ 4−x2 y dydx (d) ∫ 3 −3 ∫ 18−x2 x2 xy3 dydx 3. Dibuje la región de integración y calcule la integral doble (a) ∫∫ D x cos(x+ y)dxdy si D es el triángulo de vertices (0, 0) , (π, 0) y (π, π). (b) ∫∫ D ex+y dxdy si D = {(x, y) ∈ R2 / |x|+ |y| ≤ 1}. (c) ∫∫ D x2y dxdy siD es la región del primer cuadrante acotada por las curvas xy = 1; xy = 2; y = x e y = 4x. 4. Encuentre el volumen, usando integrales dobles, del sólido sobre la región x2 + y2 ≤ 1 y entre las supeficies z = 0 y z = x2. 5. Encuentre el volumen, usando integrales dobles, del cuerpo sobre la región R : 1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ x2 y entre las superficies z = 0, z = y x 6. Encuentre el volumen del cuerpo limitado por los tres planos coordenados y el plano ax+ by + cz = 1, donde a , b , c son positivos. Use integrales dobles. 7. Encuentre el volumen del elipsoide x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 8. Encuentre los volúmenes de los cuerpos indicados: (a) z = x2 + y2 , z = 4. (b) x = 0 , x = y , z2 = 1− y2. (c) Los planos x = 0 , y = 0 , 2x+ 3y + z = 4 , 6x+ y − z = 8. 9. Calcular las siguientes integrales, usando el cambio de variables que se indica: (a) ∫∫ R 48xy dxdy donde R es el cuadrado de vértices (0,0), (1,1), (2,0) y (1,-1). Use el cambio de variable x = 1 2 (u+ v) y = 1 2 (u− v). (b) ∫∫ R 4(x+ y)e(x−y) dxdy donde R es el triángulo de vértices (0,0), (-1,1) y(1,1). Use el mismo cambio de variables anterior. (c) ∫∫ R √ x2 + y2 dxdy donde R es el triángulo de vertices (0,0), (4,0) y (4,4). Use el cambio x = u y = uv. 10. Calcule las siguientes integrales usando fórmula de cambio de variables apropiada: (a) ∫∫∫ S dV siendo S el sólido limitado por dos esferas concéntricas de radios a y b , (0 < a < b) y con centro en el punto (1,-1,1). (b) ∫∫∫ S (x2 + y2) dxdydz siendo S el sólido limitado por la superficie x2 + y2 = 2z y el plano z = 2. 11. Encuentre el volumen usando coordenadas polares, grafique previamente las regiones: (a) x2 + y2 ≤ 1 ; 0 ≤ z ≤ x2 + y2. (b) x2 + y2 ≤ 4 ; 0 ≤ z ≤ x+ 2. (c) x2 + y2 ≤ 9 ; x2 + y2 ≤ z ≤ 9. (d) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9 ; 1√ x2 + y2 ≤ z ≤ 1. (e) −2 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ √ 4− x2 ; 0 ≤ z ≤ x√y. 12. Encuentre el volumen del cuerpo limitado por las superficies indicadas: (a) x2 + y2 = 9 ; x2 + z2 = 9. (b) z = x2 + y2 + 1 ; z = 2x+ 2y. (c) z = x2 + y2 ; z = 2− x2 − y2 13. Use coordenada polares para probar que∫∫ R2 dxdy (x2 + y2 + 1) 3 2 = 2π 14. Al calcular por integración doble el volumen V limitado por encima por la superficie z = f(x, y) y por la parte inferior por una cierta región S del plan xy, se ha llegado a la siguiente suma de integrales reiteradas: V = ∫ a sen c 0 ∫ √b2−y2√ a2−y2 f(x, y) dx dy + ∫ b sen c a sen c ∫ √b2−y2 ycotg c f(x, y) dx dy siendo 0 < a < b y 0 < c < π 2 , dibujar la región S dando las ecuaciones de todas las curvas que constituyen su frontera. 15. Sea f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R definida por: f(x, y) = { e−(x 2+y2) si x = n−1 n n ∈ N 1 en los demás puntos del cuadrado Demostrar que f es integrable y calcular su integral. 16. Un cono se obtiene uniendo todos los puntos de una región plana S con un punto no situado en el plano de S. Designando con A el área de S, y con b la altura del cono. Demostrar que: (a) El área de la sección producida por un plano paralelo a la base y a dis- tancia t del vértice es t h A, si 0 ≤ t ≤ h. (b) El volumen del cono es 1 3 Ah. 17. Sea R la región limitada por las rectas x − 2y = 0, x − 2y = 4, x + y = 4 y x+ y = 1. Calcule usando un cambio de variable adecuado la integral:∫∫ R 3xy dA . 18. Integre zex 2+y2 sobre el cilindro x2 + y2 ≤ 4 y 2 ≤ z ≤ 3. 19. Sea T la transformación definida por T (u, v) = (4u, 2u + 3v). Considerar el rectangulo R = [0, 1] × [0, 2]. Hallar la Imagen B = T (R). Evaluar a) ∫∫ B xy dA b) ∫∫ B (x− y) dA 20. En los siguientes ejercicios encontrar la masa y el centro de masa de la lámina dada si la densidad de área es como se indica. (a) Una lámina de la forma de la región rectángular acotada por las rectas x = 3, y = 2 y los ejes coordenados. La densidad de área en cualquier punto es xy2. (b) Una lámina en la forma de la región acotada por la parábola x2 = 8y, la recta y = 2 y el eje y. La densidad de área vaŕıa con la distancia a la recta y = −1. (c) Una lámina en la forma de la región en el primer cuadrante acotada por el ćırculo x2 + y2 = a2 y los ejes coordenados. La densidad de área vaŕıa con la suma de las distancias a las dos orillas rectas. 21. En cada uno de los problemas, hallar el momento de inercia respecto al eje dado de la placa cuya densidad y curvas que lo limitan se dan. (a) R está limitado por x2 + y2 = a2, ρ = k √ x2 + y2, eje z. (b) R está limitado por y = x2, y = x+ 2, ρ = k, eje x. (c) R está limitado por x2 + y2 = a2, ρ = k √ x2 + y2, eje x. 22. Hallar Ix, Iy y I0 para las regiones dadas. Considere ρ = 1. (a) La región limitada por la parábola y2 = 8x y la recta x = 2. (b) La región limitada por el gráfico de la ecuación |x|+ |y| = 1 23. Calcular el momento de inercia de la elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 (a) respecto al eje y (b) respecto al origen de coordenadas 24. Evaluar las integrales usando coordenadas ciĺındricas: (a) ∫∫∫ S 4 + √ z dV , S es el cono x2 + y2 ≤ 1 , √ x2 + y2 ≤ z ≤ 1. (b) ∫∫∫ S (x+ y)z dV , S es la región 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ √ 4− x2. (c) ∫∫∫ S z√ x2 + y2 dV , S es la región 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ |x|. 25. Evalúe usando coordenadas esféricas: (a) ∫∫∫ S x2 dV , donde S es la esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1. (b) ∫∫∫ S z √ x2 + y2 + z2 dV , S es la región dentro del cono φ = α y dentro de la esfera r = b.
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