Pauta Ayudantia 8 MAT024 2022-02 - Alfredo Mallea (2)

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Ayudant́ıa 8
Matemática IV (MAT-024)
Jueves 27 de Octubre de 2022
Problema 1. Sea S la superficie triangular de vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1). Calcule∫∫
S
xyz dS
Solución:
Observar que el plano que pasa por esos 3 puntos es: 2x+ y + z = 2. Parametrización de S :
r⃗(x, z) = (x, 2− 2x− z, z); 0 ≤ z ≤ 1; 0 ≤ x ≤ 1− z
donde se obtiene ||r⃗x × r⃗z|| =
√
6. La integral queda:∫∫
S
xyz dS =
∫ 1
0
∫ 1−z
0
xz(2− 2x− z)
√
6 dxdz =
√
6
30
.
Problema 2. Sea S una porción sólida acotada por la esfera x2 + y2 + z2 = 16, y los planos z = 2 y
z = 2
√
3. Encuentre la masa de S si se sabe que la densidad en cada punto del sólido viene dado por
δ(x, y, z) = 1 + z
√
x2 + y2.
Solución:
Parametrización de la superficie S :
r⃗(θ, ϕ) = (4 cos(θ) sen(ϕ), 4 sen(θ) sen(ϕ), 4 cos(ϕ)); 0 ≤ θ ≤ 2π; π
6
≤ ϕ ≤ π
3
,
se tiene ||r⃗θ × r⃗ϕ|| = 16 sen(ϕ).
Calculando la masa:∫∫
S
(
1 + z
√
x2 + y2
)
dS = 4
∫ π/2
0
∫ π/3
π/6
[1 + 4 cos(ϕ)(4 sen(ϕ))] 16 sen(ϕ) dϕdθ
= 43
∫ π/2
0
∫ π/3
π/6
sen(ϕ) dϕdθ + 45
∫ π/2
0
∫ π/3
π/6
cos(ϕ) sen(ϕ)(sen(ϕ)) dϕdθ
= 16π(
√
3− 1) + 64π
3
(3
√
3− 1)
= π
(
80
√
3− 112
3
)
.
Problema 3. Sea S = S1 ∪ S2, donde S1 es la porción del cono z = 1 +
√
x2 + y2 que queda dentro
de la esfera x2 + y2 + z2 = 5 y S2 es la porción de la esfera x
2 + y2 + z2 = 5 que queda dentro (o por
encima) del cono. Si la densidad de masa es δ(x, y, z) = 1, calcular el momento de inercia respecto del
eje z.
Ayudant́ıa 8 de Matemática IV (MAT-024) 2
Solución:
Observar que la intersección de las superficies S1 y S2 corresponde al ćırculo x
2+y2 = 1 ubicado
en el plano z = 2. En efecto:
x2 + y2 + z2 = 5
z − 1 =
√
x2 + y2
⇒ (z − 1)2 + z2 = 5 ⇔ (z − 2)(z + 1) = 0
Se debe considerar que z ≥ 0.
Parametrización de S1: Se trata del gráfico de la función z = 1+
√
x2 + y2 y hay una parametrización
natural (x, y) → (x, y, f(x, y)), con vector normal n⃗ = (−fx,−fy, 1). El dominio de la parametrización
es el disco x2 + y2 ≤ 1.
Parametrización de S2: Lo mismo, se trata del gráfico de la función z =
√
5− x2 − y2, con
dominio en el disco x2 + y2 ≤ 1. Aśı
Iz =
∫∫
S
(
x2 + y2
)
dS =
∫∫
S1
(
x2 + y2
)
dS +
∫∫
S2
(
x2 + y2
)
dS
=
∫∫
x2+y2≤1
(
x2 + y2
)√ x2
x2 + y2
+
y2
x2 + y2
+ 1 dA+
∫∫
x2+y2≤1
(
x2 + y2
)√ x2
5− x2 − y2
+
y2
5− x2 − y2
+ 1 dA
=
√
2
∫∫
x2+y2≤1
(
x2 + y2
)
dA+
√
5
∫∫
x2+y2≤1
x2 + y2√
5− x2 − y2
= 4
√
2
∫ π/2
0
∫ 1
0
r3 drdθ + 4
√
5
∫ π/2
0
∫ 1
0
r2√
5− r2
r drdθ
= 2
√
2π
∫ 1
0
r3dr + 2
√
5π
∫ 1
0
r2√
5− r2
r dr
=
√
2
2
π − 2
√
5π
(
22
3
− 10
√
5
3
)
.
Problema 4. Sea S la superficie que se obtiene al unir el punto (0, 0, 1) con cada punto de la curva
(x− 1)2 + y2 = 1 en el plano z = 0. Calcule∫∫
S
√
x2 + (1− z)2 dS.
Solución:
Una parametrización para la curva es r⃗(θ) = (1 + cos(θ), sen(θ), 0), 0 ≤ θ ≤ 2π, con esto
podemos parametrizar la superficie S como
Φ(t, θ) = (0, 0, 1)+t((1+cos(θ), sen(θ), 0)−(0, 0, 1)) = (t(1+cos(θ)), t sen(θ), 1−t), 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Entonces:∫∫
S
√
x2 + (1− z)2 dS =
∫ 1
0
∫ 2π
0
√
t2(1 + cos(θ))2 + t2
√
t2(1 + cos(θ))2 + t2 dθdt
=
∫ 1
0
t2dt
∫ 2π
0
(
2 + 2 cos(θ) + cos2(θ)
)
dθ
=
5π
3
.
Problema 5. Sea γ la espiral r = θ , en el plano z = 0 , con 0 ≤ θ ≤ 2π . Sea S la superficie que
Ayudant́ıa 8 de Matemática IV (MAT-024) 3
se obtiene al unir mediante segmentos de recta el punto (0, 0, 1) con cada punto de la espiral γ.
Si la densidad de masa en cada punto (x, y, z) de S es igual a su distancia al eje z . Determine la
masa de S .
Solución:
Sea P (θ) = (θ cos(θ) , θ sen(θ) , 0) , con 0 ≤ θ ≤ 2π . Considerar
S : (x, y, z) = (1− t)(0, 0, 1) + t(θ cos(θ) , θ sen(θ) , 0) = (tθ cos(θ) , tθ sen(θ) , 1− t
con 0 ≤ t ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ 2π .
Luego φt × φθ =
(
−t sen(θ)− tθ cos(θ) , −t cos(θ) + tθ sen(θ) , tθ2
)
y
∥φt × φθ∥ = t
√
1 + θ2 + θ4 .
Aśı la masa de S queda:
m =
∫
S
(x2 + y2) dS =
2π∫
0
1∫
0
t2θ
√
1 + θ2 + θ4 dt dθ =
1
6
4π2∫
0
√
1 + u+ u2 du ≈ 133.43