TEORÍA DE CONJUNTOS - Jesús Cáceres Blas

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TEORÍA DE CONJUNTOS
NOCIÓN DE CONJUNTO: La idea de conjunto
es una idea primitiva que consiste en una
colección, agrupación o reunión de objetos
cualesquiera, denominados elementos.
Ejemplo: El conjunto de los primeros cinco
números impares.
Se denota A = {1; 3; 5; 7; 9}
7 es un elemento de A
10 no es un elemento de A
{7} no es un elemento de A
Ø = { } no es un elemento de A
RELACION DE PERTENENCIA: Es una
relación que se establece exclusivamente entre el
elemento y su conjunto.
pertenece ( )
no pertenece (∉)
Ejemplo: Dado el conjunto
A = {2, {3; 5}, 8, {7}} entonces:
Analizando
Los elementos del conjunto A son cuatro:
2
{3; 5}
8
{7}
Podemos decir
2 A
{3; 5} A
8 A
{7} A
5 ∉ A
7 ∉ A
10 ∉ A
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Consiste en precisar correctamente que
elementos forman el conjunto. Se puede realizar
de dos maneras.
1) POR EXTENSIÓN O FORMA TABULAR
Es cuando se indica cada elemento en forma
explícita.
Ejemplos
A = {do; re; mi; fa; sol; la; si}
B = {2; 4; 6; 8; 10}
C = {12; 22; 32; 42; 52; 62; 72; 82}
2) POR COMPRENSIÓN O FORMA
CONSTRUCTIVA
Es cuando se indica uno o más características
comunes de los elementos de un conjunto.
Ejemplos:
A = {m/m es una nota musical}
B = {2n/ 1 ≤ n ≤ 5; n N}
C = {n2/ 1 ≤ n ≤ 8; n Z}
C = {n2/ 0 < n < 9; n Z}
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el número de elementos diferentes que
posee un conjunto. Se denota n(A)
Ejemplos
M = {a; b; c; d; e} n(M) = 5
N = {2; 3; 2; 3; 3} n(N) = 2
P = {a; {b}; b; {a; b}} n(P) = 4
DIAGRAMA DE VENN – EULER
Es la representación de los conjuntos mediante
regiones planas limitadas por figuras geométricas
cerradas.
Ejemplo
A B
. 2 . 3 . a . o
. 5 . 7 . e . u
. 9 . i
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN (⊂ ): El conjunto "A" está incluido
en el conjunto "B", si solo si todos los elementos
de "A" son también elementos de "B". Se expresa
también así
A ⊂B
Ejemplo: Dado los conjuntos
A = {2; 3; 6}
B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Representamos gráficamente
B
A
. 2 . 3
. 1 . 6 . 4
. 5
Se lee
● A está incluido en B.
● A está contenido en B.
● A es un subconjunto de B.
● B contiene a A.
● B es un superconjunto de A.
●
NOTA: La relación de inclusión se
establece de conjunto a conjunto, es decir
⊂
Ejemplo: Dado el conjunto
A = {2, 3, {7}, {1; 4}, 5} entonces:
5 elementos
Podemos decir
{2} ⊂ A { {7}} ⊂ A
{{1; 4}} ⊂ A {4} A
{3; 5} ⊂ A {3; 1} A
IGUALDAD (=): Dos conjuntos son iguales
si tienen los mismos elementos.
A = B
Ejemplo: Sean los conjuntos
A = {4; 6; 8} B = {8; 6; 4; 8}
Como entonces A = B
DISJUNTOS: Dos conjuntos (A y B) son
disjuntos cuando no tienen ningún elemento en
común.
Ejemplo: Sean los conjuntos
A = {1; 2} B = {3; 4}
Se observa que A y B son disjuntos.
Diagrama
A y B son disjuntos
CLASES DE CONJUNTOS
CONJUNTO FINITO.- Es aquel conjunto que
tiene un número limitado de elementos; es decir,
su cardinal está determinado.
Ejemplo: Sean los conjuntos
M = {a; b; c; d; e} n(M) = 5
Por lo tanto, M es un conjunto finito
N = {n2/ n Z 2 < n < 8} n(N) = 5
Por lo tanto, N es un conjunto finito
CONJUNTO INFINITO.- Es aquel conjunto
que tiene un número ilimitado de elementos; es
decir, no se puede determinar su cardinal.
Ejemplo: Dados los conjuntos
N = {1; 2; 3; 4; 5;….}
Z = {….; –2; –1; 0; 1; 2; 3;….}
P = {n/n R 2 < n < 3}
Todos son conjuntos infinitos.
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO NULO O VACIÓ: φ o {
}
Es aquel conjunto que carece de elementos.
Notación: φ o {}
Ejemplo: Sean los conjuntos
● A = {x/x Z; 2 < x < 3}
A = φ
● B = {x/x es un número impar; 3 < x < 5}
B = φ
OBSERVACIÓN
● El conjunto vacío está incluido en cualquier
conjunto, es decir φ⊂ A
● El conjunto unitario es diferente del vacío.
{φ} {}
CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.
Ejemplo: Sean los conjuntos
A = {3; 3; 3} n(M) = 1
Por lo tanto, A en un conjunto unitario.
B = {x/x Z 2 < x < 4} n(M) = 1
Por lo tanto, B en un conjunto unitario.
CONJUNTO UNIVERSAL (U): Es un
conjunto referencial que comprende a todos los
conjuntos considerados para un estudio
determinado.
Notación: U
Ejemplo: Dados los conjuntos
A = {1; 3; 5} y B = {2; 4; 6}
se puede considerar
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Diagrama
A .9 B
. 1 . 2
. 3 . 4
. 5 . 6
. 8 . 10
. 7
CONJUNTO POTENCIA (P(A)):
Dado el conjunto A, el conjunto potencia de
A es aquel conjunto formado por todos los
subconjuntos de A.
Notación: P(A)
P(A) = {x/x⊂ A}
Ejemplo: Dado el conjunto
A = {m, n, p} n(A) = 3
subconjuntos propios de A
P(A) = {∅; {m}, {n}, {p}, {m; n}, {m; p}, {n; p}, {m; n; p}}
subconjuntos de A
Se observa que
n° de subconjuntos de A = n[ P(A)] = 2
3 = 8
n° de subconjuntos propios de A = 23–1= 7
OBSERVACIÓN
n° de subconjuntos de A = n[ P(A)] = 2
n(A)
n° de subconjuntos propios de A = 2n(A)–1
Donde: n(A) es el número de elementos del
conjunto “A”.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
UNIÓN DE CONJUNTOS (A U B)
La unión de dos conjuntos (A y B) es el conjunto
formado por la agrupación de todos los elementos
de A con todos los elementos de B.
Se denota A U B
Se define: A U B = {x / x ∈ A x ∈ B}
Diagrama
OBSERVACIÓN
● Si A ⊂B, entonces A U B =B
● Si A y B son disjuntos, entonces
n(A U B) = n(A) + n(B)
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS (A ∩ B)
La intersección de dos conjuntos (A y B) es el
conjunto formado por los elementos que
pertenecen a los dos a la vez.
Se denota A ∩ B
Se define: A ∩ B = {x / x ∈ A x ∈ B}
Diagrama
OBSERVACIÓN
● Si A ⊂B, entonces A ∩ B =A
● Si A y B son disjuntos, entonces A ∩ B = φ
●
DIFERENCIA DE CONJUNTOS (A – B)
La diferencia de dos conjuntos A y B (en dicho
orden) es el conjunto formado por los elementos
de A pero que no pertenecen a B.
Se denota A – B
Se define: A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
Diagrama
OBSERVACIÓN
● Si A ⊂B, entonces A – B = φ
● Si A y B son disjuntos, entonces A – B = A
DIFERENCIA SIMÉTRICA (A△B)
La diferencia simétrica de dos conjuntos (A y B)
es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B pero no a ambos
Se denota A △ B
Se define: A △ B = {x / x ∈ (A U B) x ∉ (A ∩ B)}
también: A △ B = {(A – B) U (B – A)}
Diagrama
OBSERVACIÓN
Si A y B son disjuntos, entonces A △ B = A U B.
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (AC )
El complemento de un conjunto A es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al
conjunto universal U pero no al conjunto A.
Se denota AC
Se define: AC = {x / x ∈ U x ∉ A}
Diagrama
PRÁCTICA DE CONJUNTOS
1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar
verdadero (V) o Falso (F), según corresponda:
i) 7 ∈ A ( V ) iii) {10} ∈ A ( F )
ii) 9 ∈ A ( F ) iv) {15} ∈ A ( F )
a) VVFF b) VFFV c) VVFF d) VFFF
Resolución:
Elementos de A:
7
8
10
15
2. Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V) o (F)
según corresponda:
i) {5} ∈ A ( F ) iii) {9} ⊂ A ( V )
ii) {7} ∈ A ( V ) iv) {5; {2}} ⊂ A ( V )
a) FVVF b) FVFV c) FVVV d) VFFV e) VVFF
Resolución:
Elementos de A:
5
{7}
9
{2}
3. Dado el conjunto: A = {7; 9; 11; 13; 15; 17}
Determinarlo por comprensión:
Resolución
A: números impares, desde el 7 hasta el 17
A = {2n + 1/ n ∈ N; 2 < n < 9}
2n +1 = 7
2n = 7 – 1
n = 3
2n + 1 = 17
2n = 17 – 1
n = 8
4. Hallar la suma de elementos de cada
conjunto:
A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12}
B = {b + 4/ b ∈ Z ; 5 < b < 10}
a) 40; 41 b) 43; 49 c) 45, 46 d) 47; 45
Resolución
Por extensión A = {7: 8: 9; 10; 11}
Suma de elementos de A: 7+8+9+10+11 = 45
Por extensión b = {6; 7: 8: 9}
B = b + 4 = {10; 11: 12: 13}
Suma de elementos de B: 10 + 11 + 12 + 13 = 46
5. Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”:
A = {7- a ; b + 4; 5}
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Resolución
n(A) = 1
7- a = b + 4 = 5
7- a = 5 a = 2
b + 4 = 5 b = 1
Por lo tanto: a + b = 2 + 1 = 3
6. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto
que posee 5 elementos diferentes?
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34
Resolución
Dato: n(A)= 5
n° de subconjuntos de A = 2n(A)
n° de subconjuntos de A = 25 = 2x2x2x2x2 = 32
7. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de
los siguientes conjuntos?
A = {i; n; s; t; i; t; u; t; o} ; B = {I, S; A; M}
a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 16
d) 32 y 64 e) 128 y 32
Resolución
n(A) = 6 n(B) = 4
n° de subconjuntos de A = 2n(A) = 26 = 2x2x2x2x2x2 = 64
n° de subconjuntos de A = 2n(B) = 24 =2x2x2x2 = 16
8. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 12}.
Indicar (V) o (F), según corresponda, si P(A)
representa el conjunto potencia de A.
i) {8} ϵ P(A) ( V ) ii) {10; 12} ϵ P(A) ( V)
iii) 10 ϵ P(A) ( F ) iv) Ø ϵ P(A) ( V )
v) Ø ∉ P(A) ( F )
a) VVFVF b) FVVFV c) FVFVV
d) VFFVV e) VVFVV
Resolución
P(A) = {Ø; {7}, {8}, {10}, {12}, {7; 8}, {7; 10}, {7; 12},
{8,10}; {8,12}, {10, 12}, {7, 8, 10}, {7, 8, 12}, {8, 10, 12}
{7, 10, 12}, {7; 8; 10; 12}}
OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS
1. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 3; 5; 6} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Determine:
Resolución
U
A B
Se define: A U B = {x / x ϵ A x ϵ B}
A U B = {1; 2 ; 3; 4 ; 5}
Se define: A ∩ B = {x / x ϵ A x ϵ B}
A ∩ B = {2; 3; 5}
Se define: A – B = {x / x ϵ A x ∉ B}
A – B = {1; 4}
Se define: B – A = {x / x ϵ B x ∉ A}
B – A = {6}
Se define: A△ B = {x / x ϵ (A U B) x ∉ (A ∩ B)}
también: A△ B = {(A – B) U (B – A)}
A△ B = {1; 4; 6}
AC = {x / x ϵ U x ∉ A}
AC = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} - {1; 2; 3; 4; 5}
AC = {6; 7; 8}
BC = {x / x ϵ U x ∉ B}
BC = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} - {2; 3; 5; 6}
BC = {1; 4; 7; 8}
2. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 4} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
Determine:
Resolución
U
A B
U
A
Se define: A U B = {x / x ϵ A x ϵ B}
A U B = A = {1; 2 ; 3; 4 ; 5}
Se define: A ∩ B = {x / x ϵ A x ϵ B}
A ∩ B = B = {2; 4}
Se define: A – B = {x / x ϵ A x ∉ B}
A – B = {1; 3; 5}
Se define: B – A = {x / x ϵ B x ∉ A}
B – A = { }
Se define: A△ B = {x / x ϵ (A U B) x ∉ (A ∩ B)}
también: A△ B = {(A – B) U (B – A)}
A△ B = {1; 3; 5}
3. Si: A = {a, b, e, d}
B = {x/x es una vocal}
Hallar: A ∩ B
a) {a, e} b) {a, i} c) {a, o} d) {a, u} e) {a}
Resolución
A = {a, b, e, d}
B = {x/x es una vocal}
B = {a, e, i, o, u}
A ∩ B = {a, e}
4. Dados los diagramas de Venn.
Hallar: A △ B
a) {4; 5; 7; 8}
b) {4; 5; 2; 1}
c) {4; 5; 9; 7; 8}
d) {4; 5; 9; 7}
e) {4; 5; 9}
5. Si: n(A) = 12, n(B) = 18 y n(A ∩ B) = 7
Hallar: n(A△ B)
a) 12 b) 16 c) 20 d) 31 e) 15
n(A△ B) = (5+7+11) – (7)
n(A△ B) = 16
6. En la sección de 3ro. “B” hay 25 alumnos,
se sabe que a 12 alumnos les gusta el curso de
historia y a 18 el curso de lenguaje. Si a todos les
gusta al menos uno de los dos cursos
mencionados, ¿a cuántos les gusta sólo historia o
sólo lenguaje?
a) 15 b) 12 c) 18 d) 23 e) 20
Resolución
U (3° B) = 25
0
(0) + (12 – X) + (X )+ (18 – X) = 25
12 + 18 – X = 25
12 + 18 – 25 = +X
5 = +X
¿a cuántos les gusta sólo historia o sólo
lenguaje?
= (12 – X) + (18 – X)
= (12 – 5) + (18 – 5)
= 7 + 13
= 20
7. De un grupo de 150 estudiantes se sabe
que 60 son mujeres, 80 estudian Biología, 20 son
mujeres que no estudian Biología ¿cuántos
hombres no estudian Biología?
a) 35 b) 50 c) 45
ESTUDIA
BIOLOGÍA
NO ESTUDIA
BIOLOGÍA
MUJERES 40 20 60
HOMBRES 40 50 90
80 70 150
8. De un grupo de 100 personas, 40 son
mujeres, 73 estudian Historia, 12 mujeres no
estudian Historia ¿cuántos hombres no estudian
Historia?
a) 15 b) 20 c) 35
ESTUDIA
HISTORIA
NO ESTUDIA
HISTORIA
MUJERES 28 12 40
HOMBRES 45 15 60
73 27 100
9. En el restaurante “La Trujillana” cada cliente
puede escoger o cebiche o sopa como plato de
entrada. Cierto día, se registró una concurrencia de
9 mujeres más que varones. En esa oportunidad,
se sirvieron 22 cebiches, 12 de los cuales fueron
consumidos por varones. Además, se sabe que 19
mujeres pidieron sopa. ¿Cuántos comensales
asistieron ese día al restaurante?
a) 32 b) 49 c) 27
CEVICHE SOPA
MUJERES x + 9
VARONES x
X = 22 + 27 = 29 +20 = 49
10. De un grupo de 100 turista europeos se sabe
que:
36 visitarán Argentina
20 visitarán Brasil
25 visitarán Colombia
12 visitarán Argentina y Colombia
9 visitarán Brasil y Colombia
10 visitarán Argentina y Brasil
6 visitarán los tres países mencionados
a) ¿Cuántos no visitaran estos países?
b) ¿Cuántos visitaron Brasil o Argentina pero
no Colombia?
a) 44 y 4 b) 26 y 31 c) 38 y 31 d) 44 y 31 e) 44 y 17
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1) Dado el conjunto
A = {1, {2; 3}, 4, {5}}
Escribir (F) si es falso o (V) si es verdadero, según
sea el caso:
a) 1 A ( ) b) {5} ∉ A ( )
c) 2 A ( ) d) {3; 5} A ( )
e) {4} ⊂ A ( ) f) φ ⊂ A ( )
2)
a) Determina por comprensión los siguientes
conjuntos:
A = {a, e, i, o, u}
B = {2; 4; 6; 8; 10}
b) Determina por extensión los siguientes
conjuntos
A = {x/x es un día de la semana}
B = {x/ x N x ≤ 7}
OPERACIONES
ENTRE CONJUNTOS
3) Dados los conjuntos A y B incluidos en el
universo U.
A = {1; 2; 3; 4}
B = {3; 4; 5; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Grafique y determine las operaciones con dichos
conjuntos.
a) A U B b) A ∩ B c) A – B
d) B – A e) BC