4 Ecuaciones

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Ecuaciones e 
Inecuaciones
Unidad 2
TEMAS PR INCIPALES
2 . 1 . C o n c e p t o y C l a s i f i c a c i ó n d e 
E c u a c i o n e s
2 . 2 . E c u a c i o n e s L i n e a l e s
2 . 3 . E c u a c i o n e s F r a c c i o n a r i a s
2 . 4 . S i s t e m a s L i n e a l e s p a r a 2 y 3 v a r i a b l e s 
2 . 5 . E c u a c i o n e s C o n r a d i c a l e s
2 . 6 . E c u a c i o n e s C u a d r á t i c a s
2 . 7 . E c u a c i o n e s e x p o n e n c i a l e s y 
l o g a r í t m i c a s
2 . 8 . D e s i g u a l d a d e s e I n t e r v a l o s
2 . 9 . I n e c u a c i ó n l i n e a l , c u a d r á t i c a , 
r a c i o n a l , i r r a c i o n a l y v a l o r a b s o l u t o
"Las matemáticas son un 
lugar donde puedes hacer
cosas que no puedes hacer en 
el mundo real"
Marcus du Sautoy
C O N C E P T O Y 
C L A S I F I C A C I Ó N
ECUACIONES:CONCEPTO
Se llama ecuación a la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que serán
denominados miembros de la ecuación. En las ecuaciones, aparecerán
relacionados a través de operaciones matemáticas, números y letras
(incógnitas).
NOTA:
NUNCA SE PERMITA QUE EN UNA ECUACION HAYA UNA VARIABLE QUE
TENGA UN VALOR PARA EL CUAL ESA ECUACION NO ESTE DEFINIDA
POR EJEMPLO
"Y" NO PUEDE SER 4, POR 
QUE PROVOCARIA QUE EL 
DENOMINADOR FUESE 0
X+3=8
Tiene una sola raíz: x = 5. Si multiplica ambos miembros de la ecuación por x
.
SI:
𝑋2 - X - 12 = 8x-32
Que admite las .raíces x = 5 y x=4, como es fácil comprobar por
sustitución. Por tanto, la operación realizada introduce la raíz extraña x = 4
•De lo anterior resulta que siempre que se utilice la operación: B) En la
resolución de un acción, será necesario comprobar las raíces halladas en la
ecuación original, con objeto de desechar las raíces extrañas que hayan
podido introducir."
CLASIFICACIÓN:
Las ecuaciones pueden clasificarse desde diferentes puntos de vista como
señalamos a continuación.
Por la parte literal. Se clasifican en:
a) Numérica: Es una ecuación en la que solo aparecen las letras de las incógnitas.
Ejemplo 1. La ecuación 2t + 8 = 9t – 6 es numérica pues la única letra que aparece es
la t que es la variable.
b) Literal: Es una ecuación en la que además de las variables aparecen otras letras que
representan cantidades conocidas.
Ejemplo 2. La ecuación 9y – 2c = 2a + 5y es literal porque aparte de la variable y
tenemos otras letras que representan cantidades conocidas.
Por la forma de presentación de las variables. Se clasifican en:
a) Entera: Es aquella en la que ninguno de sus términos tiene denominador
Ejemplo 3. La ecuación 2z – 3 = 20 es una ecuación entera.
b) fraccionaria: Es aquella en la cual algunos de sus términos tienen denominador.
c) Racional: Es aquella en la que las incógnitas no tienen raíces cuadradas ni
cubicas.
d) Irracional: Si las incógnitas aparecen en dentro de algunas de estas raíces
Por el término de mayor grado. Se clasifican en:
a) Lineales: Cuando el mayor exponente de la variable o variables es 1. Además, se les
llama así porque al graficar la ecuación se obtiene una línea recta
Ejemplo 4. La ecuación 2t – 7 = 5t + 3 es lineal con una sola variable: t
Ejemplo 5. La ecuación 8x – 5y = 8 es lineal en dos incógnitas: x, y
b) Cuadráticas: Cuando el mayor exponente de la variable es 2. Al graficarla se obtiene una
figura que se llama parábola.
Ejemplo 6. La ecuación z2 – 5z – 3 = 0 es cuadrática porque el mayor exponente de la
variable z es 2.
c) Cúbicas: Cuando el mayor exponente de la variable es 3.
Ejemplo 7. La ecuación 5r3 – 4r + 8 = 5 es de grado 3 o cúbica.
 Para ecuaciones de grado 4, 5 y 6, etc, se nombra solo diciendo el grado.
Por el número de incógnitas.
a) Ecuaciones de una sola variable: cuando solo interviene una cantidad desconocida.
Ejemplo 8. La ecuación 3x2 +2 = 0 es de una variable: x
Ejemplo 9. La ecuación 0.2t – 8 = 0.25 es de una variable.
 Cabe resaltar que, aunque son ecuaciones de una sola incógnita, el grado es
diferente, pues en el ejemplo 8 el grado es 2 y en el ejemplo 9 es 1.
b) Ecuaciones de dos o más variables: cuando intervienen dos cantidades
desconocidas. Si hay igual número de ecuaciones que de variables, entonces se llama
n ecuaciones con n variables.
Ejemplo 11. La expresión -7 5 x – 13y = 8
2 17x + 0.23y = 14
se llama sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables.
C O N C E P T O Y 
C L A S I F I C A C I Ó N
INECUACIONES CONCEPTO
ORIGEN ETIMOLÓGICO
En concreto, es una palabra que deriva del latín. Exactamente es el fruto de la 
suma de estos componentes léxicos:
-El prefijo “in-”, que significa “no” y “sin”.
 Se denomina inecuación a una desigualdad algebraica en
la cual sus miembros se encuentran vinculados por los
signos
< (menor que), ≤ (menor o igual que), > (mayor que)
o ≥ (mayor o igual que).
f(x) < g(x)
f(x) ≤ g(x)
f(x) > g(x)
f(x) ≥ g(x)
De esta manera, las inecuaciones se expresan del siguiente 
modo:
PARA SOLUCIONAR:
 Para solucionar una inecuación, es necesario descubrir
el conjunto de los valores de la variable que permite
verificarla.
 Por ejemplo, tomemos la inecuación 3x − 4 < 8.
 La resolución requiere seguir pasos tal como se hace con
las ecuaciones (que son igualdades con números y letras
relacionadas entre sí mediante operaciones matemáticas):
3x − 4 < 8
3x < 12
x < 4
En esta inecuación, podemos notar que x es un valor menor que 4.
https://definicion.de/ecuacion/
3 x 3 – 4 < 8
9 – 4 < 8
5 < 8
Ó
3 x 2 – 4 < 8
6 – 4 < 8
2 < 8
En cambio, si tomamos el valor 5:
3 x 5 – 4 < 8
15 – 4 < 8
11 < 8 (lo cual no es correcto: 11 no es menor que 8)
o Cuando aparecen dos o más inecuaciones, se habla de
un sistema de inecuaciones. Es importante tener en cuenta
que no siempre estos sistemas cuentan con solución.
https://definicion.de/sistema
ECUACIONES 
LINEALES
ECUACIONES L INEALES
Propiedades
•Propiedad 1 : Cuando se suma o resta un
número a ambos lados de la igualdad, la
igualdadsemantiene.
•Propiedad 2 : Cuando se multiplica o
divide por un mismo número, distinto de
cero, en ambos lados de la igualdad, la
igualdadsemantiene.
•Propiedad 3 : Cuando se eleva a una
potencia distinta de cero ambos miembros
dela igualdad, la igualdadsemantiene.
• Propiedad4 : Cuandoseextrae lamisma
raíz, en ambos lados de la igualdad, la
igualdadsemantiene.
Ecuacióndeprimergrado
Una ecuación de primer grado o
ecuación lineal es una igualdad que
involucra una o más variables a la
primera potencia y no contiene
productosentre lasvariables,esdecir,
una ecuación que involucra
solamente sumas y restas de una
variablea laprimerapotencia.
Suformagenerales:ax+b=0
• QuiQu
Ejemplo:
1. Quitamos corchete
2. Quitamos paréntesis
3.Quitamos 
denominadores
• QuiQu
4. Quitamos paréntesis
5. Agrupamos 
términos
 Sumamos
6. Dividimos los dos miembros por -9
PARA RESOLVER:
ECUACIONES 
FRACCIONARIAS
PARA RESOLVER:
SISTEMAS DE 
ECUACIONES
SISTEMA DE ECUACIONES PARA 2 Y 3 VARIABLES
Llamamos a un sistema de ecuaciones como un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos o queremos encontrar
una solución común.
SISTEMA DE DOS ECUACIONES 
LINEALES CON DOS INCOGNITAS
Le llamamos sistema de dos ecuaciones lineales en las variables (o incógnitas) ¨x¨e ¨y .̈ Consiste
en encontrar los valores ¨x¨ e ¨y¨para las cuales las dos ecuaciones sean verdaderas de manera
simultánea.Estosvaloresse llamansolucionesdel sistema.
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son
números,y ¨x¨e ¨ÿ son las incógnitas.
Los sistemas de ecuaciones l ineales los 
podemos clasif icar según su número de 
soluciones:
Tiene una única
solución, la 
representaciónson dos 
rectasque se cortan en
un punto.
.
Compatible 
indeterminado:
Tiene infinitas 
soluciones, la 
representación 
son dos rectas 
que coinciden.
Compatible 
determinado:
Incompatible:
No tiene solución,la representación 
son dos rectas 
paralelas.
EXISTEN VARIOS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 
PARA EL SISTEMA DE ECUACIONES:
Para este método primero es despejar una de las incógnitas en una de 
las ecuaciones y sustituirla con su valor en la siguiente , por ejemplo:
• Despejamos una de las incógnitas en primera ecuación:
x + y = 7
x = 7 – y
• Sustituimos el valor de ¨x¨ en la segunda ecuación y despejamos la ¨y¨:
5x - 2y = -7
5. ( 7 – y ) - 2y = -7
35 - 5y - 2y = -7
35 - 7y = -7
-7y = -7 - 35
-7y = -42
y = -42/-7
y = 6
• Por último, tomamos el valor de ¨y¨ para hallar ¨x¨:
x = 7 - y
x = 7 - 6
x = 1
La respuesta de nuestro ejercicio es:
y = 6
x = 1
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Este método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualamos los resultados, 
por ejemplo:
x + y = 7
5x – 2y = -7
• Despejamos una de nuestras incógnitas en este caso será la ¨x¨ y la despejaremos en nuestras dos 
ecuaciones:
• x + y = 7 
x = 7 - y
• 5x - 2y v= -7
5x = 2y - 7
x = ( 2y - 7 ) / 5
• Una vez que hayamos despejado, igualamos:
7 – y = ( 2y – 7 ) / 5
5 ( 7 – y ) = ( 2y – 7 ) / 5
35 - 5y = 2y - 7
42 = 7y
y = 42 / 7
y=6
• Sustituimos el valor que hemos calculado en ¨y¨ , y lo despejamos en una de nuestras ecuaciones para 
hallar ¨x¨.
x = 7 - y
x = 7 – 6
x = 1
La respuesta de nuestro ejercicio es:
MÉTODO DE REDUCCIÓN
Este método es combinar, sumando o restando las ecuaciones propuestas para que 
desaparezca una de las incógnitas, por ejemplo:
x + y = 7
5x – 2y = -7
Multiplicamos una de nuestras incógnitas con un valor numérico en este caso 
vamos a eliminar la ¨y¨ que la tomaremos en nuestra primera ecuación y la 
multiplicaremos por 2:
x + y = 7
5x – 2y = -7
2x + 2y = 14
5x – 2y = -7
7x = 7
x = 1
• Por último se sustituye el valor de ¨x¨ en una de nuestras ecuaciones para 
hallar ¨y¨:
x + y = 7
1 + y = 7
y = 7 – 1
y = 6
La respuesta de nuestro ejercicio es:
x = 1
y = 6
PARA RESOLVER:
1.
2.
3.
SISTEMA DE ECUACIONES CON TRES VARIABLES
 Para resolver este sistema de tres ecuaciones y tres 
incógnitas utilizamos lo aprendido en la solución del 
sistema de 2 ecuaciones.
Ejemplo:
PARA RESOLVER: