Ejercicios Grupales Unidad 2

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MSc. Gustavo Hermosa 
UNIDAD 2 
ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES 
1. Relacionar el tipo de ecuación con la respuesta correcta justifique sus respuestas 
1) 
2−𝑥
3
= 0 a) Ecuación racional 
2) √𝑥2 − 9 = 0 b) Ecuación exponencial 
3) 
1
𝑥
+
1
2𝑥−3
= log 10 c) Ecuación irracional 
4) 2𝑥 = 𝑥 − 1 d) Ecuación de primer grado 
 a) Ecuación logarítmica 
 
2. Resolver la siguiente ecuaciones. 
a) 𝑝𝑥 (
1−𝑝𝑛
1−𝑝
) − 𝑝𝑛𝑥 + 𝑥 = −1 
b) 
𝑥−𝑎
𝑥−𝑎−1
+
𝑥−𝑏−1
𝑥−𝑏−2
=
𝑥−𝑏
𝑥−𝑏−1
+
𝑥−𝑎−1
𝑥−𝑎−2
 
c) 
𝑎+𝑥
𝑎2+𝑎𝑥+𝑥
−
𝑎−𝑥
𝑎𝑥−𝑥2−𝑎2
=
3𝑎
𝑥(𝑎4+𝑎2𝑥2+𝑥4)
 
d) 
√2+𝑥
𝑛
2
= √2𝑥
𝑛
−
√2+𝑥
𝑛
𝑥
 
e) 
𝑥+𝑚
𝑎+𝑏
−
𝑎𝑥
(𝑎+𝑏)2
=
𝑎𝑚
𝑎2−𝑏2
−
𝑏2𝑥
𝑎3−𝑎𝑏2+𝑎2𝑏−𝑏3
 
f) 
𝑥−𝑎
𝑏+𝑐
+
𝑥−𝑏
𝑎+𝑐
+
𝑥−𝑐
𝑎+𝑏
= 3 
g) √𝑥 + 6 + √𝑥 + 1 = √7𝑥 + 3 
3. Resuelva los siguientes literales: 
a) Determinar K en la ecuación 𝑥2 − 5𝑘𝑥 + 2𝑘2 = 0, sabiendo que la suma de las 
raíces es igual a la mitad del producto de las raíces. 
b) Si ∝ +𝛽 son las raíces de la ecuación 𝑥2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 calcular ∝3+ 𝛽3 
c) 
1
𝑥6
+
9
𝑥3
+ 8 = 0 
d) 
1+𝑥−1
1−𝑥−1
+
1+2𝑥−1
1−2𝑥−1
=
2+13𝑥−1
1+𝑥−1
 
e) 
𝑥
2𝑎
=
3𝑎
6𝑥−5𝑎
 
f) 
1+𝑎
𝑎
+
1+𝑏
𝑏
+
1+𝑥
𝑥
=
1
𝑎+𝑏+𝑥
+ 3 
g) (𝑥2 + 𝑥)2 − 8(𝑥2 + 𝑥) + 12 = 0 
 
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4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones 
a) {
𝑥 −
4𝑥+1
9
=
2𝑦−5
3
𝑦 −
3𝑦+2
7
=
𝑥+18
10
 
b) {
𝑥
𝑎+𝑏
+
𝑦
𝑎−𝑏
= 2𝑎
𝑥 − 𝑦 = 4𝑎𝑏
 
c) 
{
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 + 𝑏
1
𝑥−𝑦
=
1
2𝑏
𝑥
𝑦−𝑧
−
1
2
=
𝑏
𝑎−𝑏
 
d) Determinar la dependencia de a y b para que el sistema tenga única solución 
{
𝑥 + 𝑦 = 3
5𝑥 − 3𝑦 = 7
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 5𝑏
 
5. Resolver la siguiente ecuación exponenciales 
a) 2𝑥+√𝑥
2−4 − 5(√2)
𝑥−2+√𝑥2−4
− 6 = 0 
b) 51+2𝑥 + 61+𝑥 = 30 + 150𝑥 
c) 22𝑥 ∗ 9𝑥 − 2 ∗ 63𝑥−1 + 42𝑥−1 ∗ 34𝑥−2 
d) 9𝑥 − 4√3 ∗ 3𝑥−1 + 1 = 0 
e) √2𝑥√4𝑥 ∗ 0,125
1
𝑥
3
= 4√2
3
 
 
6. Resolver la siguiente ecuación logarítmicas 
a) 𝑙𝑛(−4 − 𝑥) + 𝑙𝑛3 = 𝑙𝑛(2 − 𝑥) 
b) 2𝑙𝑜𝑔(𝑙𝑜𝑔𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(7 − 2𝑙𝑜𝑔𝑥) − 𝑙𝑜𝑔5 
c) 𝑙𝑜𝑔(𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 6 
d) 𝐸 =
𝑙𝑛(√𝑒 )+𝑙𝑜𝑔5(25)−𝑙𝑜𝑔1
5
(25
1
3) 
𝑙𝑜𝑔(√10)−𝑙𝑜𝑔2(
1
16
)−𝑙𝑛( √𝑒
6
)
 
e) 
2 log2+log(𝑥−3)
log(7𝑥+1)+log(𝑥−6)+log3
=
1
2
 
f) 𝑥2 log2 (
3+𝑥
10
) −𝑥2 log0,5(2 + 3𝑥) = 𝑥
2 − 4 + log√2 (
3𝑥2+11𝑥+6
10
) 
 
7. Resolver los siguientes literales 
a) Si 𝑥 ∈ 𝑅, a qué intervalo pertenece la expresión algebraica 
3
2𝑥2+5
 
b) Si −3 ≤ 𝑥 ≤ 0 ≤ a qué intervalo pertenece la expresión 
2
3
√9 − 𝑥2 
c) Si 
2𝑥+1
𝑥−1
∈ [8,16], hallar el valor de m y n, tal que 𝑥 ∈ [𝑚, 𝑛] 
 
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d) Si se sabe que x>-3 y además que: 𝑎 < √
9𝑥+46
𝑥+5
< √𝑏 hallar el valor de a+b 
e) {[−2,1] ∪ [2,4[} ∩ [−
3
2
, 3] 
 
8. Resolver las siguientes inecuaciones 
a) 
2+𝑥
3
−
2(𝑥−1)
7
≥
−5𝑥+7
3
−
3(𝑥+1)
7
 
b) (𝑥 − 3)2 > 2 
c) 𝑥5 − 6𝑥4 + 11𝑥3 − 10𝑥2 − 12𝑥+16>0 
d) Halar el conjunto de números enteros que satisfacen la siguiente inecuación: 
2𝑥 − 15
2
<
5
3
(2 − 𝑥) >
2
3
(8 − 5𝑥) 
e) 1 +
15−7𝑥
𝑥2+𝑥−6
> 0 
f) 
3𝑥2−3𝑥+8
𝑥2+𝑥+1
≥ 2 
g) 
|𝑥−2|
𝑥+1
> 0 𝑥 ≠ −1 
h) |2𝑥 − 1| < √𝑥2 − 𝑥 +
1
|−4|
+ 1 
i) ||𝑥 − 2| − 3| > 2 
j) 
|6𝑥−𝑥2|−4
4−|𝑥|
> −1 
k) |𝑥2 + 2| − |𝑥2 + 1| > |𝑥 − 1| 
l) (|𝑥 − 1| + |𝑥 − 2|)(|1 − 𝑥| − |2 − 𝑥|) ≤ 𝑥2 − 6 
m) |𝑥3 − 1| ≤ 𝑥2 + 𝑥 + 1 
n) 2|𝑥 + 5| − |𝑥 + 2| ≥ 5|𝑥| 
 
9. Una inversión a 10% de interés bimestral genera un monto total de 10.000 dólares 
después de 1 año ¿Cuál es el capital invertido? 
10. ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que un monto inicial se duplique a una tasa 
anual de 18,92% compuesto anualmente? 
11. Suponga que la demanda y la oferta de cierto producto está dado por las ecuaciones 
𝑝 = 150 − 6𝑞2 (demanda), y 𝑝 = 10𝑞2 + 2𝑞 (oferta); donde p es el precio en 
cientos de dólares y q es el número de unidades producidas. Hallar el precio de 
equilibrio. 
 
12. Para una compañía de dulces, el costo combinado de mano de obra y material es $6 
y los costos fijos son de $50. Un estudio ha demostrado que sus ingresos están dados 
por: 31𝑞 − 𝑞2 donde 𝑞 es el número de dulces. ¿Cuántos dulces debe vender la 
 
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compañía para generar utilidades mayores a $100? Pd: Los valores han sido 
modificados para obtener valores exactos. 
 
13. La compañía POWER fabrica un producto para el cual el costo de la mano de obra 
es de $4 , materiales $3 y $1 de costos adicionales por unidad; los costos fijos son 
de $ 35 000. Si el precio de venta del producto es de $13. 
 
a) Hallar el punto de equilibrio 
b) La utilidad o pérdida cuando se producen 9 000 y 4 000 unidades. 
 
14. En la actualidad, las ciudades A y B tienen poblaciones de 270 000 y 360 000 
habitantes, respectivamente. La ciudad A crece a razón de 6% anual y B crece a razón 
de 4% anual. Determine cuál es la mayor población al final de cinco años y por 
cuánto difiere de la otra población. Redondee su respuesta al entero más cercano. 
15. Una compañía de investigación de mercado necesita determinar cuántas personas 
se adaptan al sabor de unas nuevas pastillas para la tos. En un experimento, a un 
individuo se le dio una pastilla para la tos y se le pidió que periódicamente asignara 
un número, en la escala de 0 a 10, al sabor percibido. Este número fue llamado 
magnitud de la respuesta. Al sabor inicial le correspondió el número 10. Después de 
repetir el experimento varias veces, la compañía estimó que la magnitud de la 
respuesta, R, está dada por t el número de segundos después de que el sujeto tomó 
la pastilla para la tos. (a) Encuentre la magnitud de la respuesta al cabo de 20 
segundos. Redondee su respuesta al entero más cercano. (b) ¿Después de cuántos 
segundos la persona tiene una magnitud de respuesta de 5? Aproxime su respuesta 
al segundo más cercano. 
16. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprar un 
automóvil y el de arrendarlo con opción a compra. Puede rentar un automóvil por 
$420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan, el costo por milla (gasolina y 
aceite) es $0.06. Si comprara el automóvil, el gasto fijo anual sería de $4700, y los 
otros costos ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuál es el mínimo de millas que tendría 
que conducir por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra? 
17. El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios 
empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $1.10 
cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la 
empresa en $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de 60¢ por 
cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la 
decisión de fabricar sus propios empaques? 
 
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18. Un fabricante de comedores produce dos estilos: americano antiguo y 
contemporáneo. Por su experiencia, la gerencia ha determinado que pueden 
venderse 20% más comedores del estilo americano antiguo que del contemporáneo. 
Cada venta de un americano antiguo reporta una utilidad de $250, mientras que se 
gana $350 en cada contemporáneo. Si para el año próximo la gerencia desea una 
ganancia total de $130,000, ¿cuántas unidades de cada estilo deben venderse? 
19. United Products Co. fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton y 
Whyton. En de Exton, los costos fijos son de $7000 al mes, y el costo de producir 
cada calculadora es de $7.50. En la planta de Whyton, los costos fijos ascienden a 
$8800 al mes y la producción de cada artículo cuesta $6.00. Para el mes que viene 
United Products necesita 1500 calculadoras. ¿Cuántas debe producir cada planta si 
el costo total en cada una debe ser el mismo?