UNIDAD 3 3

Vista previa del material en texto

NIVELACIÓN DE CARRERA 
MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS 
ADMINISTRATIVAS
ING. GUSTAVO HERMOSA
Contenido
› Unidad 3 Relaciones y Funciones
› Introducción, Definiciones y condiciones para que una relación sea función.
› Dominio y Rango (Definición, Técnicas y Ejercicios).
› Monotonía, Simetría, Paridad y Ecuación de asíntotas, Definición, ejemplos y ejercicios
› Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva, Definición, ejemplos y ejercicios.
› Función Inversa, Definición, ejemplos y aplicación 
› Análisis de funciones .
› Algebra y composición de funciones
› Aplicaciones a la Economía y Administración
ING. GUSTAVO HERMOSA
UNIDAD 3
Relaciones vs Funciones 
ING. GUSTAVO HERMOSA
INTRODUCCIÓN 
𝒇 ⊂ 𝑨𝑿𝑩 𝒆𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝑨 𝒆𝒏 𝑩 ⇔ ∀ 𝒙 ∈ 𝑨, ∃! 𝒚
∈ Τ𝑩 (𝒙, 𝒚) ∈ 𝒇
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios para casa
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios para casa
ING. GUSTAVO HERMOSA
Dominio y Rango
DOMINIO
TÉCNICA PARA HALLAR EL 
DOMINIO
1) Despejar “y” en términos de “x”, si esto es 
posible
2) Analizar ¿Qué valores reales debe tener “x” 
para que la variable “y” sea un número real?
Conjunto formado por todos los elementos 
del conjunto de partida que posee una 
imagen en el conjunto de llegada, también se 
le conoce como conjunto de preimágenes; el 
dominio de una función puede describirse 
explícitamente junto con la función o está 
implícito en la fórmula que define la función.
ING. GUSTAVO HERMOSA
Determinación del dominio 
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejemplo 
Determinar el dominio de la siguiente relación
Ejercicios para casa
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios para casa 
ING. GUSTAVO HERMOSA
Dominio y Rango
RANGO
1) Despejar “x” en términos de “y”, si esto es 
posible 
2) Analizar ¿Qué valores reales debe tener “y” 
para que la variable “x” sea un número real?
Conjunto formado por todos los elementos
del conjunto de llegada que son imágenes de
algún elemento del conjunto de salida.
También se le conoce como Recorrido o
conjunto de imágenes.
TÉCNICA PARA HALLAR EL 
DOMINIO
ING. GUSTAVO HERMOSA
Determinación del dominio 
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejemplos:
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios para casa
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios para casa
ING. GUSTAVO HERMOSA
Monotonía 
› Una de las características más importantes a la hora de hacer la
representación gráfica de una función es estudiar su monotonía, es
decir donde crece y donde decrece nuestra función
ING. GUSTAVO HERMOSA
Monotonía 
ING. GUSTAVO HERMOSA
Paridad de una función y simetría
FUNCIÓN PAR
› Función Par
› Una función se denomina par cuando la imagen
de cualquier elemento del dominio es igual a la
imagen de su elemento opuesto, es decir se
cumple que f(x)= f(-x), y esta función es
simétrica al eje “y”
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejemplo función par
ING. GUSTAVO HERMOSA
Paridad
FUNCIÓN IMPAR
› Una función se denomina impar
cuando la imagen de cualquier
elemento del dominio es igual al
opuesto de la imagen de su
elemento opuesto, es decir se
cumple que f(x)= -f(-x),
y esta función es simétrica al origen
ING. GUSTAVO HERMOSA
EJEMPLO FUNCIÓN IMPAR
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios para casa
ING. GUSTAVO HERMOSA
EJERCICIOS PARA CASA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ecuación de las asíntotas
ASÍNTOTA VERTICAL
› La ecuación de las asíntotas
verticales está dada por los
valores para los cuales la
relación o función no está
definida, es decir aquellos
valores que hacen que el
denominador tome valor de
cero y representan los valores
que no toma el dominio es
decir donde la función es
discontinua
CONDICIONES PARA QUE EXISTA 
UNA ASÍNTOTA VERTICAL
ING. GUSTAVO HERMOSA
Asíntota vertical
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejemplo asíntota vertical
EJEMPLO
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ecuación de las asíntotas
ASÍNTOTA HORIZONTAL
› Se determina comparando los
grados de la expresión del
numerador con la del
denominador de la siguiente
manera:
ING. GUSTAVO HERMOSA
Asíntota horizontal 
CONDICIONES 
› Una recta es una asíntota
horizontal de una función f(x) si
cumple al menos una de las
siguientes condiciones
La ecuación de una
asíntota horizontal es:
Lo más frecuente es que
la misma asíntota sea a la
vez la de la de la rama
derecha de la función y la
de la izquierda.
ING. GUSTAVO HERMOSA
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/asintotas-funcion/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
Ejemplo
ING. GUSTAVO HERMOSA
¿Sabias que ?
TIPOS DE INDETERMINACIONES 
EN LIMITES
EJEMPLO
ING. GUSTAVO HERMOSA
Como levantar una indeterminación 
› Dividir un número entre infinito
es cero, pero si dividimos el
propio infinito entre infinito
¿también es cero?
› No, no tiene solución, por eso
es indeterminado.
¿CÓMO RESOLVERLO?
➢ Para resolver este tipo de indeterminación 
dejamos en el numerador y en el 
denominador sólo el término de mayor 
grado:
➢ Una vez hemos dejado el término de 
mayor grado, operamos y eliminamos 
los factores que se repitan tanto en el 
numerador como en el denominador. 
En este caso, podemos eliminar una x 
en cada lado:
ING. GUSTAVO HERMOSA
Asíntota oblicua
CONDICIONES 
› Si el grado de la expresión
polinomial es un grado mayor
que el grado del denominador
n-m=1, la grafica tiene una
asíntota oblicua cuya ecuación
es igual al cociente que se
obtiene al dividir el numerador
para el denominador.
ING. GUSTAVO HERMOSA
Las historias más tristes de amor
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Intervalos de positividad en la grafica y 
puntos de corte
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios para casa
ING. GUSTAVO HERMOSA
Tipo de funciones 
INYECTIVA
EJEMPLOS 
ING. GUSTAVO HERMOSA
Tipo de funciones 
SOBREYECTIVA
› Es también llamada 
suprayectiva o exhaustiva, cuando 
el codominio y el recorrido 
coinciden. Formalmente:
› Nota:
› El codominio es el conjunto de 
valores que podrían salir.
› El rango es el conjunto de valores 
que realmente salen.
ING. GUSTAVO HERMOSA
Función sobreyectiva y Biyectiva
Función Biyectiva
ING. GUSTAVO HERMOSA
Tipos de funciones
ING. GUSTAVO HERMOSA
Función lineal
› Una función lineal se la 
denota de la forma y= 
mx+b, su gráfica es una 
recta de pendiente m y 
ordenada en el origen b.
ING. GUSTAVO HERMOSA
Función lineal
› Sean (1, y1); (x2, y2) dos puntos
conocidos sobre una línea recta no
vertical, la pendiente de la recta es el
número m dado por la relación entre el
cambio vertical ∆y y el cambio
horizontal ∆x, (ordenadas sobre
abscisas).
ING. GUSTAVO HERMOSA
Una recta vertical no tiene pendiente, 
porque cualesquiera dos puntos sobre ella 
deben tener x1 = x2 que da un denominador 
cero en la ecuación
Para una recta horizontal cualesquiera dos
puntos deben tener y1 = y2, esto significa que
el numerador es cero en la ecuación, por lo
tanto la pendiente es cero.
Función lineal
› Sean (1, y1); (x2, y2) dos puntos
conocidos sobre una línea recta no
vertical, la pendiente de la recta es el
número m dado por la relación entre el
cambio vertical ∆y y el cambio
horizontal ∆x, (ordenadas sobre
abscisas).
ING. GUSTAVO HERMOSA
Una recta vertical no tiene pendiente, 
porque cualesquiera dos puntos sobre ella 
deben tener x1 = x2 que da un denominador 
cero en la ecuación
Para una recta horizontal cualesquiera dos
puntos deben tener y1 = y2, esto significa que
el numerador es cero en la ecuación, por lo
tanto la pendiente es cero.
ING. GUSTAVO HERMOSA
Formas de Ecuación de la Recta
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Punto pendiente
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Pendiente intersección
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 General
𝑥 = 𝑎 Recta vertical
𝑦 = 𝑏 Recta Horizontal
ING. GUSTAVO HERMOSA
Escribir la ecuación de una recta que pasa por el punto P (-4, 5) y cuya 
pendiente es -3. Exprese su respuesta en la forma lineal general. Sustituimos 
estos valores en la ecuación de la rectapunto-pendiente y tenemos:
ING. GUSTAVO HERMOSA
Rectas Paralelas y Perpendiculares
ING. GUSTAVO HERMOSA
Aplicaciones
ING. GUSTAVO HERMOSA
1. Precios por reparación. Una compañía que repara copiadoras comerciales. Cobra por un servicio una
cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de $150 por un servicio de una hora
y $280 por un servicio de tres horas, determine una función lineal que describa el precio de un servicio,
en donde x es el número de horas de servicio.
Depreciación. Un televisor nuevo se deprecia $120 por año, y tiene un valor de $340 después de 4 
años. Determine una función que describa el valor de este televisor, si x es la edad, en años, de la 
televisión
Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $
58 por unidad y 200 unidades cando el precio es de 51 y la oferta por semana es de 100 unidades
cuando el precio es de $50 y 200 unidades cuando el precio es $60 .Determinar la ecuación de
oferta y demanda suponiendo que es lineal; además determine el punto de equilibrio.
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Análisis 
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
1. Si el precio (en dólares) de una videocinta es p = 40 −
q
10
, entonces se venderán q cantidad de
cintas.
a) Encuentre una expresión para el ingreso total por la venta de q cantidad de cintas.
b) Encuentre el número de cintas que producirá el ingreso máximo.
c) Encuentre el ingreso máximo.
1. Suponga que la demanda y la oferta de cierto producto está dado por las ecuaciones: p = 150 −
6q2 Demanda , y p = 10q2 + 2q (Oferta); donde p es el precio en cientos de dólares y q el número
de unidades producidas. Determine el punto de equilibrio. Grafique.
Función polinomial
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Función con valor absoluto
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Función exponencial
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA
Ejercicios 
ING. GUSTAVO HERMOSA
ING. GUSTAVO HERMOSA