Bonos-UNLaM

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NOCIONES SOBRE LA VALUACION Y CALCULO DE RENDIMIENTO DE 
BONOS 
 
INTRODUCCION 
 
Los bonos (para el sector público) u obligaciones (para el sector privado) son títulos de 
deuda. Tanto el Estado emisor, ya sea Nacional, Provincial o Municipal en el caso de 
los Bonos o las empresas para las Obligaciones Negociables recurren al mercado de 
capitales buscando financiación para sus erogaciones. 
 
Cuando se trata de fuertes sumas de dinero no resulta sencillo que una sola entidad 
pueda financiar un determinado proyecto. En el mercado de capitales el tema se 
simplifica dado que se atomiza el universo de acreedores que prestan su dinero 
comprando estos títulos de deuda que garantizan pagos a futuro. 
 
Dichos títulos cotizan en Bolsa brindando transparencia a los tenedores y público en 
general que deseen comprarlos o venderlos. 
 
Esta modalidad de endeudamiento por parte de Estados y Empresas tiene características 
propias. Mencionaremos algunas: 
 
• Las condiciones en que se devuelve el dinero prestado lo impone el deudor. 
Este se obliga a pagar sumas de dinero en forma periódica a una determinada 
tasa de interés. El acreedor puede conocer todos y cada uno de los detalles 
vinculados a la devolución de su capital consultando el llamado “Prospecto de 
emisión” o “Condiciones de Emisión”. Se debe tener presente que nada está 
sujeto al azar, todo está previsto, la tasa que se aplicará, la fecha exacta en que 
los pagos se producirán, las porciones de capital que se irán devolviendo, la 
forma de contar los intervalos de tiempo, etc. Todo debe figurar en el prospecto 
de emisión. 
• Existe una pluralidad de acreedores que el deudor no individualiza, pues los 
títulos se negocian periódicamente en los mercados de capitales. 
• Cada obligación tiene un valor nominal y pueden ser emitidas a la par, bajo la 
par o sobre la par, según el precio que se obtenga en la colocación inicial. 
 
Es importante señalar que la aceptación de estos títulos supone depositar confianza en la 
Empresa o Estado emisor. El papel del endeudamiento es fundamental para el análisis 
de la inversión en activos financieros. Aquí también jugará un rol fundamental el 
Mercado de Capitales en el cual se buscarán a los inversores, o sea a los futuros 
tenedores de los títulos. 
 
Con referencia al Mercado de Capitales, cuando se emite un título se lo coloca en el 
llamado mercado primario, en él surge la figura denominada “creadores de mercado” 
que son los que proporcionan liquidez y una cotización permanente de los títulos en el 
mercado secundario. 
A continuación trazaremos un muy estrecho marco teórico del tema. 
 
 1 
CARACTERISTICAS DE EMISION 
 
• Con tasa de interés fija o flotante 
• Bonos sin intereses (cupón cero) 
• Con amortización periódica o en un solo pago al vencimiento 
• Con o sin período de gracia 
• Con opciones 
• Con o sin garantía 
 
RIESGOS ASOCIADOS 
 
• Riesgo de la tasa de interés 
• Riesgo de reinversión 
• Riesgo de rescate anticipado 
• Riesgo de inflación 
• Riesgo de devaluación 
• Riesgo de default 
• Riesgo de liquidez 
• Riesgo soberano, riesgo país y riesgo de crédito 
 
RIESGO DE LA TASA DE INTERES 
 
Cuando la tasa de interés aumenta el precio de los bonos disminuye. 
 
El efecto que tiene la tasa de interés no es igual en todos los bonos. Un bono cupón cero 
sufrirá más un incremento en la tasa de interés. 
 
Cuando se mantiene el bono hasta el vencimiento el riesgo de la tasa no es importante. 
 
RIESGO DE REINVERSION 
 
Los bonos producen un flujo de caja que es reinvertido por sus inversores. 
 
Cuando las tasas de interés disminuyen, los inversores ganan una tasa menor sobre los 
flujos reinvertidos, reduciendo el valor del capital futuro. 
 
Tienen mayor riesgo los bonos que pagan periódicamente amortización. 
 
RIESGO DE RESCATE ANTICIPADO 
 
Está relacionado con el riesgo de reinversión. Permite al emisor rescatar el bono antes 
de su vencimiento a un precio preestablecido. Incrementa el riesgo de reinversión del 
flujo de efectivo del bono. 
 
 
RIESGO DE INFLACIÓN 
 
 2 
Lo sufren todos los bonos cuando la inflación se despierta. Son menos riesgosos los 
bonos emitidos en moneda “dura”. 
 
Es descontado en el precio en aquellos bonos que son emitidos en monedas que tienden 
a depreciarse y no poseen cláusulas indexatorias. 
 
RIESGO DE DEVALUACIÓN 
 
Los bonos de Gobiernos de países que han devaluado sus monedas están de alguna 
manera expuestos. 
 
Este factor es reconocido por los inversores, que demandan rendimientos más altos para 
invertir en este tipo de obligaciones. 
 
RIESGO DE DEFAULT 
 
Es el riesgo de cesación de pagos. Existe cuando hay posibilidades de que la entidad 
emisora no pague los cupones de interés o capital al vencimiento. 
 
Este tipo de riesgo es calificado por las agencias de crédito, que someten a las empresas 
emisoras a rigurosos análisis financieros. 
 
RIESGO DE LIQUIDEZ 
 
Este riesgo abarca a aquellos títulos que no tienen un gran mercado y que pueden 
resultar difícil de vender cuando se lo precisa. En algunos casos, el mercado para estas 
obligaciones puede ser extremadamente ilíquido. 
 
RIESGO SOBERANO 
 
Aparece relacionado con la forma en que los inversores perciben el riesgo de una 
inversión en un bono soberano. 
 
Surge como diferencia entre el rendimiento de un título en dólares de un país riesgoso 
con un título de vencimiento equivalente de la tesorería americana (Treasuy Bonds). 
 
GLOSARIO 
 
La siguiente es la terminología que emplearemos en nuestro estudio sobre títulos: 
 
• Valor Nominal 
• Renta 
• Amortización 
• Valor Residual 
• Valor Técnico 
• Precio de Mercado 
• Valor de paridad 
 3 
• Rendimiento corriente 
• TIR (YTM) 
• Stripped TIR 
• Duración (Duration) 
• Duración modificada 
• Convexidad (Convexity) 
 
VALOR NOMINAL 
 
Es el valor por el cual están emitidos los bonos. Por lo general 100 o múltiplo. Los 
bonos suelen estar representados por una lámina con cupones adheridos (modalidad 
cartular) o certificados de propiedad representativos (modalidad escritural). 
 
RENTA 
 
Son los intereses que paga el bono. Los intereses se calculan sobre la parte de capital 
que el emisor del mismo todavía no ha cancelado. Generalmente el pago de renta se 
realiza a intervalos periódicos de tiempo (en forma semestral, trimestral, mensual, etc) y 
se abonan bajo 2 modalidades. 
 
• Tasa fija. 
• Tasa flotante. 
 
AMORTIZACIÓN 
 
Son los pagos de principal (también llamados servicios) que realiza el bono. El principal 
puede amortizarse íntegramente en un solo pago al final (Bono Bullet). También puede 
amortizarse en forma periódica (Bono Amortizing). 
 
VALOR RESIDUAL 
 
Es el valor nominal menos las amortizaciones de capital. En un bono Bullet el valor 
nominal coincidirá con el residual hasta el vencimiento. En un bono Amortizing a 
medida que transcurre la vida del bono el valor residual diferirá del valor nominal. 
 
 Valor )()()(Re AtalonesdeCapiAmortizaciVNalValorNominVRsidual −=
 
VALOR TÉCNICO 
 
El valor técnico es una forma de expresar el valor de rescate del título al momento 
actual. Es el valor que debería tener el título desde el punto de vista técnico. Equivale 
al Valor Residual más los intereses corridos (intereses devengados del cupón que esta 
corriendo). La forma de devengar los intereses dependerá de las condiciones insertas en 
el prospecto respectivo. 
 
 ValorTécni )()( ICorridosInteresesCVRVTco +=
 
 4 
PRECIO DE MERCADO 
 
Es el valor al cual cotiza un bono en el mercado secundario (bolsa de comercio). Se 
rige por las propias fuerzas del mercado (oferta y demanda). Es el valor actual de 
referencia para los futuros flujos de fondos. El precio de mercado funciona como 
variable de ajuste de la renta que paga el bono. 
 
PARIDAD 
 
Es la relación existente (cociente) entre el precio de mercado y su valor técnico. Esa 
relación puede ser igual, superior o inferior a uno.Para cada caso se dirá que el bono 
cotiza a la par, sobre o bajo la par. 
 
 
VT
PMVPidad =)( ValordePar
 
RENDIMIENTO CORRIENTE 
 
Es una medida que relaciona el cupón de interés del período corriente con el precio de 
mercado del bono. Considera solamente las ganancias por intereses, pues relaciona el 
cupón de interés periódico con el precio del bono en un momento dado. 
 
 
PM
RelPeríodoInteresesdRCCorrienteienton )()(dimRe = 
 
TASA INTERNA DE RETORNO (YTM) 
 
Es el rendimiento que tiene el bono actualizando los flujos futuros de fondos y 
contrastándolo con el valor de mercado del mismo. Supone la reinversión de los flujos 
a la misma tasa. 
 
 ∑
= +
=
n
P
p
p
TIR
FF
PM
1 )1(
 
 
STRIPPED TIR 
 
Es utilizada como medida de riesgo soberano en los bonos que tienen una garantía 
externa. También se la denomina rendimiento disociado. Refleja el rendimiento de la 
porción no garantizada del título en bonos soberanos que tengan colaterales sobre 
ciertos cupones. En esta forma se obtiene una medida que puede ser utilizada como 
aproximación del riesgo país. La stripped yield es una buena medida de la tasa de riesgo 
puro que le pide el mercado a un bono soberano de un país deudor. Para los títulos que 
no poseen ningún tipo de colateral la stripped yield será igual a la yield to maturity. 
Para medir la Stripped TIR se deberán actualizar los flujos de fondos garantizados del 
bono a las respectivas tasas vigentes (Libor, Treasury Bonds, respectivas) restando esos 
valores actuales al precio de mercado del bono. Luego se deberá volver a calcular la 
 5 
tasa interna de retorno con los flujos no garantizados contra el precio de mercado 
remanente del punto anterior. 
 
DURACION (DURATION) 
 
Es un indicador que representa la vida media de un bono. El concepto fue elaborado 
originalmente por Frederick Macaulay. Representa la vida media ponderada de la 
corriente de pagos que genera el bono. Conceptualmente cualquier título de duration 
“D” es equivalente a un Zero Coupon (Bono Cupón Cero) cuyo vencimiento es igual a 
la misma “D” cuyo único pago es la suma de todos los valores presentes de los cupones 
pendientes de pago descontados a la TIR vigente. Esto es así porque en un bono Zero 
Coupon la duration será igual a su Maturity o plazo de vencimiento ya que el único 
flujo descontado es igual al precio. 
 
La Duration es una medida de “Riesgo-Tasa” para medir la elasticidad del precio del 
bono con respecto a la tasa de interés. Se la utiliza como medida de madurez y riesgo 
de un bono. El valor de la Duration está directamente relacionado con el tiempo 
remanente de vida de un bono e inversamente con la TIR. 
 
La fórmula para calcular la Duration de un bono bullet es la siguiente: 
 
 
PM
m
TIR
Pn
m
TIR
Ct
D
n
t
nt∑
=





 +
+





 +
=
1 1
.
1
.
 
 
Donde: 
C= Cupón de interés del bono 
P= Principal 
PM= Precio de mercado del Bono 
m= Número de pagos por año. 
 
DURACION MODIFICADA 
 
La Duration modificada es un indicador que nos sirve para estimar cambios en el precio 
de los bonos cuando se modifica la TIR requerida por el mercado. Es una medida de 
volatilidad que permite predecir razonablemente los cambios porcentuales en el precio 
de mercado ante un cambio en la TIR. El resultado contestará la siguiente pregunta: 
Ante la suba de un uno por ciento en la TIR ¿cuánto caería el precio del bono? 
 
 





 +
−
=
m
TIR
DDM
1
 
 
 
 6 
CONVEXIDAD (CONVEXITY) 
 
Una aproximación más exacta del comportamiento del precio de un bono para un 
cambio en la TIR requerida, se obtiene considerando la Duration modificada más la 
convexidad de la curva. Sumando ambos valores obtendremos el cambio porcentual 
exacto en el precio. La fórmula para su cálculo es la siguiente: 
 
 
 
 
( )
2
..
1
.1.
1
1
1
2 Vmm
m
TIR
CFtt
x
m
TIR
n
t
t∑
=





 +
+





 +
=CV 
 
De manera tal que: 
 
 ∆ 2% TIRxConvexityTIRxModificadaDurationV ∆+∆=
 
CONVENCIONES EN LA CONSTRUCCION DE FLUJOS 
 
Las Rentas que por el paso del tiempo y el efecto de la tasa generará el título se calcula 
sobre convenciones insertas en los prospectos. La importancia radica en lograr exactitud 
en los cálculos. Las mismas son: 
 
• Actual / Actual 
• Actual / 365 
• Actual / 360 
• 30 / 360 
 
ACTUAL / ACTUAL 
 
Cuenta los días exactos para cada período y en el denominador toma los días exactos 
que tiene cada año donde aparece un cupón, distinguiendo si es un año bisiesto o un año 
de 365 días. El BODEN 2012 cuenta semestres entre 3/8 y el 3/2 
 
 100*0.0186*(184/365)=0,9376 
 
ACTUAL / 365 
 
Esta convención se adopta cuando el bono se definió sobre la base de un año de 365 
días, contando para los períodos el número exacto de días entre fechas calendarias 
consecutivas. “Actual” significa que se cuentan los días exactos que tiene el período de 
renta. 
 7 
 
ACTUAL / 360 
 
Análoga a la anterior, sólo que el año se define sobre una base de 360 días. Entre los 
ejemplos de uso tenemos a los “treasury bills” y algunas obligaciones negociables. 
 
30 / 360 
 
Cuenta los meses como si todos tuvieran 30 días con un año de 360 días. El BONTE 02 
fijó una tasa del 6,125% anual y estableció la convención 30/360 para el cómputo de los 
días del período de capitalización. Cuando hay períodos intermedios por las fracciones 
se cuentan los días reales hasta completar un mes de 30 días, en tanto que los meses 
enteros se cuentan todos como de 30 días. 
 
PARTE PRACTICA 
 
CALCULO DE TIR Y DURATION EN BONOS BULLET COMPRADOS EN EL 
MOMENTO 0 
 
Los gráficos que siguen muestran la TIR y la DURATION de un bono cuando éste es 
adquirido en la fecha de emisión del mismo. 
 
TIR PERIODICA 
03/08/2004 03/08/2005 03/08/2006 03/08/2007 03/08/2008 03/08/2009 
0 1 2 3 4 5 
 (100,00) 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
TIR= 10,00% DUR= 4,16986545 
03/08/2004 03/08/2005 03/08/2006 03/08/2007 03/08/2008 03/08/2009 
0 1 2 3 4 5 
 (90,00) 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
TIR= 12,83% DUR= 4,12101258 
03/08/2004 03/08/2005 03/08/2006 03/08/2007 03/08/2008 03/08/2009 
0 1 2 3 4 5 
 (110,00) 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
TIR= 7,53% DUR= 4,211681 
 
 
Cuando no se cuenta con una calculadora financiera o un programa Excel la TIR se 
podrá calcular de la siguiente manera: 
 
1. Se actualizarán los flujos de fondos a tasa 0%, llevándolos todos al momento 0. 
Esto implica la sumatoria lineal de los flujos de fondos, restándosele el flujo de 
compra. 
 8 
2. Se tomará la tasa de emisión del título y se actualizarán los valores a dicha tasa 
llevándolos al momento 0, luego se resta el flujo de compra. 
3. Se construye un eje cartesiano donde las ordenadas al origen sean los valores 
actuales netos y las abcisas las tasas a utilizar para el descuento. 
4. En el eje mencionado quedarán marcados dos puntos, el primero de haber 
descontado a tasa cero y el segundo de haber descontado a la tasa de emisión. 
5. Entre esos dos puntos se traza una recta, prolongándola si es necesario hasta que 
corte el eje de absisas. 
6. La recta mencionada estaría mostrando aproximaciones de VAN para diferentes 
tasas. Se sabe, por otro lado que la TIR es la tasa que iguala el VAN a 0 por lo 
tanto cuando dicha recta cruza el eje de absisas estaríamos en un entorno 
razonable por donde pasa la TIR. Decimos un entorno razonable puesto que en 
definitiva estamos trazando una recta entre dos puntos pero la verdadera funciónno es una recta sino una curva, por lo tanto la tasa que encontremos seguramente 
no será la TIR, pero sí una aproximación. 
7. Se descontarán los flujos a esa tasa, si el resultado es positivo la TIR tendrá un 
valor superior a esa tasa, ocurrirá lo contrario si el resultado es negativo. 
8. Se probará hasta llegar a un valor que aproxime a (+) ó (-) 0,0 y número. 
 
En el caso del segundo bono del ejemplo que se adquiere a un valor de $90 quedaría 
armado un gráfico como el que sigue: 
 
 
$60,00
0% 15%$0,00
$20,00
$40,00
$60,00
$80,00
Tasas
VA
N
 
($6,47)
($20,00)
 
Dado que la recta corta el eje de absisas en un valor anterior al 15% se prueba con 
valores inferiores al 15%. Luego resulta que la TIR es del 12.83% 
 
Para calcular la Duration se arma una planilla de cálculo como la que sigue: 
 
n Valores Act. Proporción Ponderación Pond. Años 
1 8,86277616 0,09847529 35,9434811 0,0985 
2 7,85488012 0,08727645 63,7118055 0,1746 
3 6,96160443 0,07735116 84,6995206 0,2321 
4 6,16991418 0,0685546 100,158273 0,2737 
5 60,1508251 0,6683425 1220,39341 3,3435 
 90 1 1504,90649 4,1223 
 
 9 
Donde: 
 
1. Los valores actuales surgen de actualizar cada flujo a la TIR. 
2. La columna proporción muestra el grado de participación de cada valor actual en 
los $90. 
3. La columna de ponderación es la resultante de multiplicar la columna de 
proporción por la maturity del cupón. Para el primer casillero 365, para el 
segundo 365*2 y así sucesivamente. 
4. La ponderación en años es igual a la columna anterior dividida por 365. 
 
 
CALCULO DE TIR Y DURATION EN BONOS BULLET COMPRADOS CON 
POSTERIORIDAD A SU EMISIÓN 
 
En el presente ejemplo estamos suponiendo que la compra se efectúa con posterioridad 
a la fecha de emisión del bono digamos medio período después que salió a circular. 
 
TIR NO PERIODICA 
03/02/2005 03/08/2005 03/08/2006 03/08/2007 03/08/2008 03/08/2009 
0,5 1 2 3 4 5 
 (100,00) 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
TIR= 11,45% DUR= 3,64087286 
 
03/02/2005 03/08/2005 03/08/2006 03/08/2007 03/08/2008 03/08/2009 
0,5 1 2 3 4 5 
 (90,00) 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
TIR= 14,75% DUR= 3,58331862 
 
03/02/2005 03/08/2005 03/08/2006 03/08/2007 03/08/2008 03/08/2009 
0,5 1 2 3 4 5 
 (110,00) 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
TIR= 8,59% DUR= 3,68969008 
 
 
Con referencia a la TIR para calcularla con Excel se utiliza la fórmula de TIR no 
periódica. Si se calcula sin la ayuda de programas computacionales se deberá seguir los 
pasos mencionados con anterioridad cuidando de actualizar los flujos por el medio 
período de referencia. 
 
CALCULO DE UN BONO BULLET COMPRADO A LA PAR EN EL 
MOMENTO 0 SU TIR, DURATION, DURATION MODIFICADA Y 
CONVEXITY. 
 
 10 
En el ejemplo que sigue estamos suponiendo que compramos un bono bullet a la par en 
el momento 0. El mismo paga una renta periódica del 10%. El cuadro con los flujos es 
el siguiente: 
 
03/02/2001 03/02/2002 03/02/2003 03/02/2004 03/02/2005 03/02/2006 
0 1 2 3 4 5 
 (100,00) 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
La pregunta que nos hacemos es que valor tendría el título si la TIR subiese un 1%. 
Entonces calculamos la TIR actual que como fue comprado a la par coincide con la tasa 
de las condiciones de emisión, calculamos su duration con los métodos ya vistos. 
Dividiendo la duration por el factor (1+TIR) obtendremos la Duration modificada y 
luego corregiremos el valor de compra. Los resultados son los siguientes: 
 
TIR= 10% 
DUR= 4,16986545 
DUR MOD= 3,79078677 
V.Comp.corr. 96,2092132 
 
Si reemplazamos el valor de compra por el valor de compra corregido y hallamos 
nuevamente la TIR nos encontramos con lo siguiente: 
 
03/02/2001 03/02/2002 03/02/2003 03/02/2004 03/02/2005 03/02/2006 
0 1 2 3 4 5 
-96,2092132 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
 TIR= 11,02635% 
 
Notamos que la TIR no es exactamente un 11% sino un valor aproximado. Entonces 
decidimos aplicar la convexity para corregir el precio de compra y llegar a una TIR del 
11% (no debemos olvidar que la pregunta original era qué valor de compra tendría el 
título para una TIR del 11%) 
 
Cálculo de la CONVEXITY 
 
(1)CUPON (2)FF (3)VAN FF (4)t*(t+1)/mmV (5)=Cx (3)*(4) (6)= (5)/(1+TIR)^2 (7)= (6)/2 
1 10 9,09090909 0,02 0,18181818 0,15026296 0,07513148 
2 10 8,26446281 0,06 0,49586777 0,40980807 0,20490404 
3 10 7,51314801 0,12 0,90157776 0,74510559 0,37255279 
4 10 6,83013455 0,2 1,36602691 1,12894786 0,56447393 
5 110 68,3013455 0,3 20,4904037 16,9342179 8,46710895 
 100 23,4356943 19,3683424 9,68417119 
 
 
Luego el resultado se multiplica por el cuadrado del diez por ciento y se procede como 
se indica a continuación: 
 11 
Incremento % en el precio del bono por Duration Modificada -3,79078677 
Incremento % en el precio del bono por Convexity 100*((0,01^2)*9,6841,,, 0,09684171 
 -3,69394506 
 
Este es el valor en que debería reducir en porcentaje el precio del bono. Restamos ese 
porcentaje al precio del bono y obtenemos un nuevo precio corregido. Con estos 
nuevos valores procedemos a calcular la TIR, entonces: 
 
03/02/2001 03/02/2002 03/02/2003 03/02/2004 03/02/2005 03/02/2006 
0 1 2 3 4 5 
-96,3060549 10,00 10,00 10,00 10,00 110,00 
 
 TIR= 10,99946% 
 
 
RELACION PRECIO TASA EN UN BONO 
 
A continuación mostramos en un cuadro y su correspondiente gráfica como varía el 
precio de un bono de acuerdo a la TIR que tenga. Notamos que se verifica que el precio 
del bono cae cuando su TIR aumenta y viceversa. El bono del ejemplo es un bono 
bullet valuado en el momento cero. 
 
 Precio (0%) Precio (2%) Precio (4%) Precio (6%) Precio (8%) Precio (10%) Precio (12%) 
0 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100 
1 10 9,80392157 9,61538462 9,43396226 9,25925926 9,09090909 8,92857143 
2 10 9,61168781 9,24556213 8,8999644 8,5733882 8,26446281 7,97193878 
3 10 9,42322335 8,88996359 8,39619283 7,93832241 7,51314801 7,11780248 
4 10 9,23845426 8,54804191 7,92093663 7,35029853 6,83013455 6,35518078 
5 110 99,6303891 90,4119817 82,198399 74,8641517 68,3013455 62,4169541 
Suma 50 37,7076761 26,710934 16,8494551 7,98542007 0 -7,2095524 
Precio 150 137,707676 126,710934 116,849455 107,98542 100 92,7904476 
Tasa 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 
 
0
100
200
Tasas
Pr
ec
io
Precio 150 137,71 126,71 116,85 107,99 100 92,79
Tasas 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12%
1 2 3 4 5 6 7
 
 12