PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-41

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-2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
y1
y1
y
y3
y2
y3
y y
-2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
y1
y1
y
y3
y2
y3
y y
E 46- Dibujar la curva y  x  1  3 xx − 2 .
Solución: Operando, y  x  1  x2 − 2x
1
3  x  1  x
2
3 − 23 x
−1
3 . . . . Como
x→
lim yx  1, y
x→
lim y − x 
x→
lim 1  x
2
3  , la curva no tiene asíntotas, teniendo dos ramas parabólicas, una en el
primer cuadrante, según el eje OY, y otra en el tercer cuadrante, según el eje OY ′. La curva corta a los ejes
en −3.8,0 y 0,1. En este último punto, la pendiente de la tangente es , siendo punto de inflexión.
Otro punto de inflexión es 2,3, siendo  la pendiente de su tangente. La curva se puede dibujar
también, obteniendo primero, y1  xx − 2, seguidamente y2  3 y1 , y por fin, y  x  1  y2. En el
siguiente dibujo se incluye en línea continua la curva pedida, y en trazos, la curva radicando y la curva
raíz cúbica de este.
-5 5
5
10
E 47- Dibujar la curva y  x − 1 3 x2 .
Solución: No tiene simetrías. No tiene asíntotas paralelas a los ejes. Tiene una rama parabólica en el
primer cuadrante, según el eje OY, y otra en el tercer cuadrante, según el eje OY ′. Corta a los ejes en 0,0
y 1,0, siendo las pendientes de sus respectivas tangentes, − y 1. El punto 0,0 es de retroceso. La
curva tiene un mínimo en 0.4,−0.3. El dibujo de esta curva es el siguiente:
121
-1 1 2
-2
-1
1
E 48- Dibujar la curva y  ex.
Solución: No hay valores negativos de y. Para x  , y  . Para x  −, y  0. La curva corta al
eje OY en 0,1, siendo e la pendiente de su tangente. El dibujo de esta curva es el siguiente:
-4 -2 0 2
2
4
E 49- Dibujar la curva y  e
1
x .
Solución: No hay valores negativos de y. Para x  0, y  , luego la curva tiene la asíntota x  0. Para
x  0  , con  → 0, y  . Para x  0 − , con  → 0, y  0, siendo por tanto, el punto 0,0 de
discontinuidad, siendo su tangente el eje OX′. Desarrollando la ecuación dada, se tiene:
y  1  1x 
1
2x2
. . . , luego la curva tiene la asíntota y  1. La posición relativa de la curva respecto a
y  1, viene dada por yc − ya  1x , luego para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. El dibujo de esta
curva es el siguiente:
-2 -1 0 1 2
5
10
E 50- Dibujar la curva y  coshx  e
x  e−x
2 .
Solución: La curva es simétrica respecto al eje OY. No tiene valores negativos de y. Para x  ,
y  . Tiene un mínimo en 0,1. El dibujo de esta curva es el siguiente:
122
-4 -2 0 2 4
10
20
E 51- Dibujar la curva y  lnx.
Solución: Solo hay curva para x  0. Para x  0, y  −. Para x  , y  . Corta al eje OX en
1,0, siendo 1 la pendiente de su tangente. El dibujo de esta curva es el siguiente:
5 10
-2
0
2
E 52- Dibujar la curva y  xe
1
x .
Solución: La curva tiene una discontinuidad en el punto de abscisa x  0, en el que
→0
lim y0   
→0
lim e
1
  , y
→0
lim y0 −  
→0
lim −e
1
−  0. La pendiente de la tangente en 0,0 es
x→0
lim e
1
x − e
1
x
x  0. Para hallar la asíntota general y  ax  b, se tiene: a x→
lim yx x→
lim e
1
x  1,
b 
x→
lim y − x 
x→
lim xe
1
x − x 
x→
lim x 1  1x 
1
2x2
. . . − x  1. Luego la asíntota es y  x  1.
Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota, se tiene que: yc − ya  x  1  12x 
. . .−x − 1  12x , por lo que para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. Derivando la ecuación de la
curva, e igualando a cero, se tiene: y ′  e
1
x 1 − 1x  0, obteniéndose el mínimo 1,e. El dibujo de
esta curva es el siguiente:
-2 2
-2
2
4
Nota: Ver el problema E 55.
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