PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-43

Vista previa del material en texto

E 59- Dibujar la curva y  lnxx .
Solución: La curva es real para x ≥ 0. Tiene las asíntotas: x  0, para la que y  −; y  0, para la que
x  . Corta al eje OX en 1,0, siendo la pendiente de su tangente y ′1  1 − lnx
x2
 1. Tiene un
máximo para lnx  1, es decir en el punto e, 1e . El dibujo de la curva es el siguiente:
1 2 3
-2
-1
0
E 60- Dibujar la curva y  xe
2x
x2 − 1 .
Solución: 1º) La curva es siempre real. 2º) Las asíntotas paralelas al eje OY, son: x  1, x  −1. Para
x  1, la posición de la curva viene dada por: y 
x→1, →0
lim e
1
  , y 
x→1−, →0
lim e
−1
  0. Luego, 1,0
es un punto de discontinuidad, en el que la pendiente de su tangente viene dada por el siguiente límite:
y ′ 
x→1−, →0
lim xe
2x
x2 − 1 1x −
2x2  1
x2 − 12
 0. Para x  −1, la posición de la curva viene dada por
y 
x→−1, →0
lim e
1
  −, y 
x→−1−, →0
lim −e
−1
  0. Luego −1,0 es un punto de discontinuidad, siendo la
pendiente de su tangente y ′−1,0  0. 3º) Para estudiar la asíntota general y  ax  b, se tiene lo
siguiente: la pendiente viene dada por: a 
x→
lim yx x→
lim e
2x
x2 − 1  1; la ordenada en el origen, por:
b 
x→
lim xe
2x
x2 − 1 − x 
x→
lim e
2x
x2 − 1 − 1
1
x

x→
lim
e
2x
x2 − 1 −2x2 − 2
x2 − 12
−1
x2
 2. Por tanto la asíntota
general es: y  x  2. Para estudiar la posición de la curva respecto a esta asíntota, se tiene:
yc − ya 
x→
lim xe
2x
x2 − 1 − x − 2 
x→
lim x 1  x
2 − 1
2x 
x2 − 12
8x2
. . . − x − 2  2x , luego para x  ,
yc  ya, para x → −, yc  ya. La curva no corta a esta asíntota. 4º) La pendiente de la tangente en el
origen es: y ′  1, luego es la primera bisectriz. 5º) Para hallar máximos y mínimos, se tiene al anular y ′, la
raíz x  −1, ya estudiada, y las raíces de x4 − 2x3 − 2x2 − 2x  1  0, que son:
x  12 1  5  2 1  5 , es decir: x1  2.89, x2  0.35. Luego hay un mínimo para
2.89,6.36 y un máximo para 0.35,0.15. 6º) El dibujo de la curva es el siguiente:
-4 -2 2 4
-5
5
10
127
E 61- Dibujar la curva y  xe
x
1  x2
.
Solución: 1º) La curva tiene las asíntotas x  −1, y  0. Para hallar la posición de la curva respecto a la
asíntota x  −1, se hace x  −1  , con  → 0, teniéndose y  −1
e2
, luego para  → 0, y  −. Para
hallar la posición respecto a la asíntota y  0, x  −, siendo yc  ya. La curva tiene una rama parabólica
según el eje OY, para x → . 2º) La curva pasa por el origen, siendo su tangente la primera bisectriz.
3º) El dibujo de la curva es el siguiente:
-4 -2 2 4
-5
5
E 62- Dibujar la curva y  ex3−3x2.
Solución: 1º) y  0. 2º) La curva tiene la asíntota y  0, para x → −, siendo yc − ya  0. Tiene una
rama parabólica para x  , según el eje OY. 3º) Corta al eje OY en 0,e2, siendo la pendiente de su
tangente −3e2. 4º) Para y ′  0, x  1. La curva tiene el mínimo 1,1 y el máximo −1,e4. 5º) El dibujo
de la curva es el siguiente:
-2 2
20
40
60
E 63- Dibujar la curva y  sinxx .
Solución: 1º) No tiene asíntotas, pues para x  0, y 
x0
lim sinxx 
x0
lim cosx  1. Para x  , y → 0, la
curva oscila entre y  0  , con  → 0. 2º) Corta al eje XX′ en los puntos de abscisa x  k. La tangente
en 0,1 es horizontal. 3º) Siendo y ′  xcosx − sinx
x2
, las abscisas de los máximos y mínimos están dadas
por las raíces de la ecuación: x  tanx. Los máximos son: 0,1, 7.725,0.128,... Los mínimos son:
4.493,−0.217,... 4º) El dibujo de la curva es el siguiente:
-20 -10 10 20
0.5
1.0
128
E 64- Dibujar la curva y  x sinx.
Solución: 1º) la curva es simétrica respecto al eje YY ′. 2º) No tiene asíntotas ni ramas parabólicas.
3º) Corta a los ejes en k, 0, siendo la pendiente de sus tangentes k. 3º) Siendo y ′  sin  xcosx, las
abscisas de sus máximos y mínimos están dadas por las raíces de la ecuación: x  − tanx. Los máximos
son: 2.029,0,... y los mínimos: 0,0, 4.913,−4.913,... 4º) El dibujo de la curva es el siguiente:
-20 -10 10 20
-10
10
20
E 65- Dibujar la curva y  xtanx .
Solución: 1º) La curva es simétrica respecto al eje YY ′. 2º) Las asíntotas son: x  k. 3º) Corta al eje XX′
en los puntos de abscisa x  2k  12 , siendo las pendientes de sus tangentes: −

2 − k. Corta al eje
YY ′ en 0,1, siendo su tangente y  1. 4º) Las abscisas de máximos y mínimos están dadas por la
ecuación: x  sin2x2 , siendo 0,1 el máximo. 5º) Los puntos de inflexión están dados por
y ′′  2xcosx − sinx
sin3x
 0, es decir: x  tanx. Por tanto, los puntos de inflexión están alineados sobre la
recta y  1. 6º) El dibujo de la curva es el siguiente:
-10 10
-10
10
E 66- Dibujar la curva y  sinx
x2
.
Solución: 1º) La curva es simétrica respecto al origen. 2º) Tiene la asíntota: x  0; la posición de la
curva está dada por y  sin0  
0  2
, con  → 0, es decir y  10   . Luego, para  → 0, y  ; para
 → −, y  −. 2º) Para x  , y → 0. La curva oscila entre y  0  , con  → 0. 3º) Las
intersecciones con el eje XX′, están dadas por sinx  0, es decir: x  k, siendo las pendientes de sus
tangentes: 1
k22
. 4º) Las abscisas de máximos y mínimos están dadas por las raíces de la ecuación:
x  2 tanx. 5º) El dibujo de la curva es el siguiente:
-20 -10 10 20
-0.1
0.1
129